【人物】数学家欧拉

数学与通识

欧拉 (Leonhard Euler, 1707~1783) 在历史上被人赋予数学分析化身的桂冠、瑞士著名数学家和物理学家.为了纪念欧拉的卓越贡献, 第6版10元瑞士法郎便以欧拉的肖像作为正面像.欧拉以其卓越的工作和数学成就被后世列为仅次于阿基米德、牛顿、高斯的第4位最伟大的数学家.由于欧拉在数学上的卓越成就, 鲜有人了解其在物理学中的研究成果.下面以欧拉生平简介和欧拉在物理学中的研究工作作一简介.

生平简介

欧拉于1707年出生于瑞士巴塞尔, 他是瑞士这片土地上出现过的最伟大的科学家之一.在欧拉幼年, 由于父亲希望他继承自己牧师的职位, 于是被送到当地一所神学学校读书, 但欧拉对学校开设的神学课程没有多大兴趣, 反而在数学上表现了极强的天赋.当欧拉进入当地著名学府巴塞尔大学学习时, 其数学才能受到了约翰·伯努利教授的赏识, 在其引导下, 欧拉开始了数学研究, 并且和他的两个儿子成为了终生好友, 其中一位丹尼尔·伯努利便是我们所熟知的伯努利方程的发现者.在伯努利教授的影响下, 欧拉对数学的研究进入了佳境, 获得卓越的成就.不幸的是, 在1735年, 欧拉用3天时间解决了一个其他科学家花费3个月才能解决的天文学问题, 在超强度工作下下, 他的右眼失明了.在欧拉59岁时, 他仅有的左眼也因白内障手术失败而失明, 在视线越来越模糊时, 欧拉将所有公式记录了下来, 养成了盲写数学公式的能力, 在自己口述, 儿子或者秘书记载的情况下, 继续进行研究, 在失明后的17年间, 欧拉还口述了几本书和400篇左右的论文, 并且还解决了困扰牛顿的月球运动问题.

欧拉一生中“完成了800多篇 (部) 论文和著作, 其中关于数学的大约有58%左右, 物理学和天文学各占了28%和11%, 其余3%是关于航海学和建筑学的.”欧拉也由此被称为历史上著作最丰富的科学家之一.

物理学上的研究

力学发展中的承前启后工作

欧拉是继牛顿以后对力学的贡献最多的科学家, 在力学的各个领域都有突出贡献.在力学领域的研究中, 欧拉出版了《力学或运动科学的分析解说》、《刚体运动理论》、《航海学》等多部著作, 并且在著作中阐述了刚体运动学、刚体动力学、流体力学等多个研究领域的最基本的结论.欧拉是第一位把各要素相互之间距离保持不变的物体定义为刚体的研究者, 并且针对各个形状的物体计算了惯量矩.在1750年, 欧拉提出了刚体绕定点运动的位移定理, 由该定理出发可推出刚体绕定点运动的任一瞬间都存在着瞬时转动轴和瞬时角速度, 且这种角速度遵循平行四边形法则.

欧拉在研究舰船运行过程中涉及到海水, 风等流体的计算而创立了理论流体力学, 奠定了理想流体力学的基础, 为后人研究航空、航天事业中涉及的弹性力学和流体力学两分支打下了坚实的基础.欧拉在力学上的研究是对牛顿经典力学的继承, 也为后人的研究做了启示的作用, 在力学发展史上有其独特的地位.

解决天体物理学上的难题

18世纪欧洲的数学家非常重视天体运动的研究, 欧拉是其中的佼佼者.欧拉在天体物理方面著有《1769年彗星的计算》、《日食的计算》、《月球新理论》等多部著作.他计算了彗星的轨道、做了月球在地球和太阳相互作用下的精准轨道分析、以及各大行星的摄动研究等计算工作.欧拉解决了使牛顿头疼的月球运动分析, 并建立了“欧拉第一月球理论”, 欧拉的研究在理论上证明了牛顿万有引力的正确性;在实践中, 为后人制订航船航行的月球运行表起到了奠基作用.由于欧拉的理论计算为其他人编制航海月球参考表做出了贡献, 欧拉在多年后也因为这个方面的研究领到了一笔可观的奖金, 奖励其在航海运行中的作用.在解决天文学问题时, 他为了制订出测时系统而过度长时观测太阳方导致了眼睛患疾进而恶化失明, 欧拉为科学研究拼搏的精神由此可见一斑.

光学波动说及光学仪器的研究

光本质学说的两个对立的学派———波动说和微粒说, 自从诞生以来, 便一直争论不休.但自从牛顿站在微粒说阵地后, 18世纪欧洲的科学家便少有人提倡和拥护波动说了.欧拉却是那个世纪提倡波动说的最杰出科学家.由于笛卡尔提出的以太学说并未证明是错误的, 在这种学说的影响下, 欧拉认为光的产生是以太特有的震动而造成的, 并在这个理论下解释了光通过各种介质的现象, 得到了大量光的反射和色散的理论.欧拉在光学研究领域, 发表了《光和色彩的新理论》、《屈光学》等著作, 解释了一些光学现象, 为光学体系的计算奠定了基础, 并且记载了折射式望远镜、反射式望远镜及显微镜的最佳效果计算规则, 使光学仪器的最大亮度、最大视野等计算问题得到了有效解决, 为光学的发展和光学仪器制作精度的提高作出了不可磨灭的贡献.

声学、热学、电磁学、分子动理论的研究

18世纪的欧洲大陆, 为了提高各种乐器的音响效果, 科学家们都在致力于寻找修正乐器的新方案.欧拉也是其中一位, 欧拉利用数学分析法建立了声音在空气中传播的模型, 进行了声音的谐振研究, 并且发现了共振现象.在1759年高斯发表的3篇关于声学的论文中建立了声波的波动理论, 并且根据自己的观察研究将声音的产生和传播做了详细的阐述.

1738年, 法国科学家设立的每年奖学金题目为回答热学本质的问题, 欧拉的应征论文《论火》获得了奖项, 在论文中欧拉阐述了他对热的本质的观点, 他认为热得本质是分子的振动所产生的.

在电磁学方面欧拉将单磁流的概念引入了其中, 提出了关于电的本质的观点, 这个观点为法拉第和麦克斯韦的电磁理论提供了启示作用.

在分子动理论的研究中, 欧拉是历史上第一个真正接近气体分子运动论的科学家, 他把空气想象成一堆挤压在一起的旋转球形的分子构成的, 并假设在任意给定温度下, 所有空气的分子旋转运动的线速率是相同的.欧拉的分子运动理论虽然和现代气体理论的观点不相同, 但是, 他的研究仍然可以看做是第一个真正接近气体分子运动论的成果.

欧拉的一生给我们的启发

紧贴实际、涉猎广泛

欧拉一生的研究, 除了我们熟知的数学的多个领域以及前面提及到的物理学中的多个领域外, 还涉猎了许多不同的学科.欧拉研究过人口统计学, 他是第一个企图通过编制死亡年表来对人口变动进行考察的科学家, 并且亲自编订了生命统计表, 研究人口出生, 死亡和增长的问题.欧拉在航海领域也是颇有建树, 著有《航海科学》、《船舶制造和结构全论》等著作.欧拉在建筑学上, 也有颇有研究, 在俄国政府准备修建一座会议大厦时遇到难题时, 工程师也是求助欧拉进行了计算和设计.

欧拉的研究涉及了多个范围, 而且其研究是与生活实际是息息相关的.欧拉倾向于用数学工具去解决生活中的实际问题, 在他的研究中, 科学是没有具体界限的.在解决生活中的问题时, 我们所需要的知识并不是单一的学科能够见成效的, 所以, 个人的知识结构便需要涉及多个领域, 正是这样的思想, 欧拉才能在各个领域都有卓越的成就.

甘为人梯、淡泊名利

欧拉一生与多人合作过, 在与他人合作过程中, 他处处为他人着想, 不会与别人争夺发明权, 时刻保持甘当人梯的思想与人共同研究.其中以和挚友丹妮尔·伯努利以及后辈拉格朗日的合作最为典型.

欧拉是经伯努利父子介绍到俄国科学院工作的, 到了科学院后, 欧拉便帮助丹妮尔·伯努利进行流体力学方面的研究, 在两人的一致努力下, 最终得到了流体在忽略粘性损失的流动中, 流线上任意两点的压力势能、动能与位势能之和保持不变的结论———这便是我们所了解的伯努利方程.当法国后辈拉格朗日写信给欧拉请教数学问题时, 欧拉不仅没有高傲的态度, 而且盛赞其工作, 将自己不成熟的论文压下不发, 让拉格朗日的研究成果得以公布于世, 成就了一代名家.欧拉的甘当人梯、淡泊名利的谦逊精神可见一斑.

大胆质疑、挑战权威

1704年继《自然哲学的数学原理》之后, 牛顿出版了第2部宏作《光学》, 由于牛顿在力学的权威地位, 以及在光学实验中的贡献, 其所提光学理论知识得到了其他人的积极拥护.在书中, 牛顿强调:人们不可能研制出可以消除色差的透镜, 不可能制成不产生任何色差的透镜.在它提出这个理论后少有人对其进行审视和思考, 直到牛顿去世后的21年欧拉摒弃牛顿的观点, 发表了一些关于如何制作可以消除色差的透镜, 为后人研究透镜开拓了方向, 为后人大胆质疑牛顿这位学术权威树立了榜样.

不畏艰难、百折不挠

1735年欧拉因解决天文问题观察太阳时间过长加上劳累多度, 右眼失明了, 在他59岁那年, 左眼由于白内障手术失败也失去了光明, 不幸却继续降临在欧拉身上, 在1771彼得堡的一场大火漫延到欧拉家中, 欧拉差点丧生火中, 幸亏仆人冒死相救, 才能脱险, 但欧拉家中的一切藏书、著作等全部毁于火中.令人敬佩的是, 在欧拉完全失明的17年中欧拉却口述了几本书和大约400篇文章.

欧拉在困境中不畏艰难、百折不挠的精神, 在挫折中顽强拼搏、勇毅向前的行为鼓舞了一代又一代的科学工作者.

作为历史上最伟大的4位数学家之一的欧拉, 用其命途多舛的一生却有着涉猎多个领域的辉煌成就为我们后世树立了一座丰碑.他不仅在数学上令人仰慕, 在物理学上, 我们也不应该忘记这位颇有贡献的数学名人.

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【人物】霍夫曼编码

作者 | Alex 审校 | 赵军

作为一名科学家和老师,我真的非常执着。如果我觉得自己还没有找到问题的最简单解决方法,我会非常不满意,这种不满会一直持续,直到我找到最佳方法为止。对我来说,这就是科学家的本质。——David Albert Huffman

“那是我生命中最奇特的时刻”

1951年,麻省理工大学的Robert M. Fano教授留给学生一道选择题:学生们可以选择通宵达旦地复习功课,参加期末考试;或者交出一份学期论文,逃过考试一劫。在学期论文中,Fano教授布置了一个看似很简单的问题:找到使用二进制代码表示数字、字母或者其他符号的最佳编码方法。学生们不知道的是,这其实是Fano教授自己正在研究的课题。

Robert M. Fano(图片来自ETHW)

注:在这里要介绍一下Robert M. Fano教授,Fano教授出生于意大利的一个犹太家庭,父亲是意大利数学家、有限几何创始人Gino Fano;兄长Ugo Fano是一位物理学家,对理论物理做出过诸多贡献;堂兄Giulio Racah也是一位优秀的物理学家和数学家。Fano教授本人更是以信息论方面的工作闻名,他与香农一起合作开发了香农-法诺编码( Shannon–Fano coding),并推导出法诺不等式( Fano inequality)。他还发明了Fano 算法(Fano algorithm)并假设了Fano 度量(Fano metrics)。

一个名叫David Albert Huffman的年轻人因为不想参加期末考试,而选择了攻坚论文。他为了完成这篇论文,花费了数月时间,研究了多种方法,但没有一种方法可以证明是最有效的。他对发现解决方案感到绝望,开始灰心丧气,并打算放弃这篇论文,转而准备期末考试。
一天,正当他准备将论文笔记扔到垃圾桶中时,突然灵光一现!答案出现了!他想到了最佳编码方法!“那是我生命中最奇特的时刻,”Huffman回顾这个时刻时说。“突然恍然大悟,犹如闪电一般  。”
这种方法实现了平均码长最短的编码,比Fano教授的方法还要好。
1952年,这位年轻人发表了他的学期论文A Method for the Construction of Minimum-Redundancy Codes
这篇论文所描述的编码方法改变了数据压缩的进程,进而改变了现代人类的生活,传真机、调制解调器、高清电视等到处都有它的身影,这种编码方法由创造它的年轻人的名字命名,被称为霍夫曼编码(Huffman Coding)

David A. Huffman

霍夫曼说,如果他一早知道自己的导师Fano和信息论之父香农都曾在最佳编码问题上“挣扎”过,他绝无可能在25岁的年纪就解决这个问题,或者去尝试解决这个问题。“我很幸运能在正确的时间出现在那里,而且我的教授没有告诉过我其他优秀的人也曾苦困恼于这个问题,从而使我感到气馁。”

   什么是霍夫曼编码?

著名计算机科学家、《计算机程序设计艺术》的作者高德纳曾经说过:“在计算机科学和数据通信领域,霍夫曼编码是人们一直在使用的基本思想。”
霍夫曼编码是一种经典的数据压缩方法,可以压缩图像、音频、表格等。这种压缩方案主要用于JPEG和MPEG-2。
让我们来看下方的字符串:

A DEAD DAD CEDED A BAD BABE A BEADED ABACA BED

这里一共有46个字符,每个字符占8个比特,所以一共有46*8=368个比特。如果我们使用霍夫曼编码的话,可以将这368个比特压缩到更小的尺寸。
在上面的字符串中,如果我们使用等长编码(Equal Length Code),将每个字符设计成长度为3的二进制编码,将会得到46*3=138个比特(长度为138)。但等长编码有一个弊端,即所有字符的长度相同导致编码结果太长,占用了太多计算机空间和网络带宽。
所以变长编码(Variable Length Code)应运而生,但同时也带来一个问题:二进制编码中,只有0和1,如果每个字符的位数不固定,则很难确定从哪里开始,以及到哪里停止,这就很容易产生歧义。虽然可以使用分隔符,但是这样一来却增加了消息长度。
这时,霍夫曼编码出现了。霍夫曼编码所使用的基本策略是:出现频率高的字符使用较短的编码,出现频率低的字符则使用较长的编码。霍夫曼编码使用前缀码(Prefix code)解决了前述的歧义问题,前缀码,即表示某些特定符号的位串永远不是代表任何其他符号的位串的前缀。

注:前缀码(Prefix code), 有时称为“无前缀码(Prefix-free code)”。

这种方式通过构建霍夫曼树(Huffman tree)来完成。
一开始所有节点都是叶子节点,包含一个字符和对应的权重——代表字符在整个字符串中出现的频率。出现频率最高的字符,距离树的根节点最近。两个最小权重的节点创建一个新节点,新节点的权重为其子节点的权重之和,然后我们再在这个新节点和剩余节点上应用此过程,直到剩下最后一个节点,而这就是霍夫曼树的根节点。
我们从根节点开始,然后沿着霍夫曼树像要编码的字符前进。如果走了左侧路径,则标记为 0,走了右侧路径,我们则标记为 1。这样就完成了整个霍夫曼树的构建。整个字符串编码后的结果如下图步骤8所示。
最终需要消耗115比特,比368比特整整少了253比特,比138比特少了23比特。

图片来自http://math.oxford.emory.edu/

作为对后世影响深远的编码方法的创造者,霍夫曼拥有怎样的一生呢?

早年动荡的生活

霍夫曼出生于美国俄亥俄州,他的童年并不幸福:一系列的家庭变故导致了父母的离婚,之后霍夫曼跟随母亲一起生活。据他母亲告诉他,他学会说话要比其他同龄孩子整整晚了两年,这使得大家都以为他是一个发育迟缓的孩子(霍夫曼曾将自己“迟钝”的童年归结于家庭的一系列变故和父母的离婚)。为了能让霍夫曼被学校录取,他的母亲成为了一家问题儿童学校的数学老师。但是经过一系列的测试,他的母亲和老师们惊奇地发现,霍夫曼在智力方面不仅没有任何问题,而且还超出同龄人很多。

原来是霍夫曼的沉默掩盖了他的早慧。
18岁时,霍夫曼获得了俄亥俄州立大学电气工程学士学位。随后加入美国海军,并成为一名雷达维修官,在一艘帮助清除日本和中国水域水雷的驱逐舰上服役。但这艘驱逐舰的船长经常让霍夫曼做很多额外的工作,这些工作与他接受过的雷达、声纳、对抗措施和其他工程训练完全无关,从而引起了霍夫曼的不满。
“一盒 35 毫米电影胶片从上层甲板掉下来,砸伤了我的头,这是我在战争中唯一一次受伤。”
两年后,霍夫曼退役,进入俄亥俄州立大学继续攻读电气工程硕士学位。但那段时间,霍夫曼常常感到非常迷茫,他看不清自己未来的方向,感觉像是被困住了一样,只能通过旅行和登山来排遣苦闷和压抑。
麻省理工学院(MIT)是霍夫曼的脱困之路。虽然对于申请MIT没有抱任何希望,但霍夫曼还是幸运地被录取了。MIT的电气工程学院的课程丰富且广泛,霍夫曼终于找到了归属,也对自己的职业目标有了清晰的认识。
当然,也是因为进入MIT学习,才有了后来闻名于世的霍夫曼编码。
霍夫曼曾说过,这种早年动荡不安的生活使他爱上了数学。“我喜欢整洁的东西,”他说,可能是因为我早年生活动荡的缘故,我很喜欢以一个明确的答案来总结发生的事情。正是这种明确的秩序感驱使着霍夫曼不断努力,最终获得了辉煌的成就。

霍夫曼的教学生涯

1953年,霍夫曼在麻省理工学院获得了电气工程理学博士学位。同年,他入职MIT,成为一名大学老师。
霍夫曼能够留校,主要得益于他的一篇博士论文,这也是他最引以为傲的论文(出乎意料,笔者以为会是霍夫曼编码那篇论文),题目是The Synthesis of Sequential Switching Circuits,而他在MIT所教授的课程,正是开关电路。
霍夫曼编码的成功使得霍夫曼备受瞩目,同时也吸引了时任贝尔实验室研究副总裁的William O. Baker的注意。Baker博士曾担任过艾森豪威尔、肯尼迪、约翰逊、尼克松和里根五位总统的科学顾问,他将霍夫曼招纳入了一个审查委员会,该委员会主要负责为国家安全局审查未来科技计划。
1967年,已经是正教授的霍夫曼离开了MIT,加入了加利福尼亚大学圣克鲁兹分校(UCSC,University of California,Santa Cruz)。在UCSC,霍夫曼帮助创立了计算机科学系并在1970~1973年期间担任系主任,他在开发该系学术课程以及教师人员招聘方面,发挥了重要作用。
1994年,霍夫曼退休。
退休后的霍夫曼并没有远离校园,作为一名荣誉退休教授,他依然活跃在课堂,教授信息论和信号分析等课程.

 情迷折纸

图片来自https://www.huffmancoding.com/my-uncle/scientific-american

从上世纪70年代开始,霍夫曼对折纸(Paperfolding)产生了浓厚的兴趣。正如他所开发的无损压缩方法闻名于计算机科学领域一样,霍夫曼在折纸领域也成就非凡。
作为曲痕折纸(Curved-crease Paperfolding)的先驱人物,霍夫曼制作了几百件曲痕折纸作品,这些作品代表了1970~1990间该领域的大部分成就,他的工作启发了后世对曲痕折纸的进一步研究。
霍夫曼同时研究数学和折纸艺术,他的主要兴趣之一就是通过精确计算,使折叠出来的结构避免给纸张施加压力。通过数学计算,霍夫曼试图理解,当几个折痕同时出现在一点的时候,什么样的角度关系才不会使纸张拉伸或者撕裂。
他曾经在论文Curvature and creases: A primer on paper中分析了曲痕折纸的数学性质,并制作了雕塑来研究这种特殊的折叠方式。
为了普及折纸知识,霍夫曼曾在麻省理工学院和斯坦福等大学讲授过折纸的理论和实践课程并多次面向公众发表折纸艺术的演讲。在1979年一次面向科学家和艺术家的演讲中,他表示科学和艺术这两个群体中的人相互交流太少。
从70年代到90年代,霍夫曼创作了大量折纸,其中既有曲痕折纸,也有直痕折纸,这些折纸优雅、美丽,堪称艺术品。麻省理工学院博物馆收录了一系列霍夫曼的折纸模型。

霍夫曼说:“我从来没有声称自己是艺术家,我甚至不确定该如何定义艺术。但我发现折纸背后的优雅数学定理很自然地使折纸呈现出一种优雅的视觉效果。”
除了折纸以外,霍夫曼还拥有很多其他爱好。
早年他从香农那里学会了骑独轮车。离开MIT加入加州大学圣克鲁兹分校以后,因为这里距离西部山区很近,所以霍夫曼经常徒步背包旅行和露营。65岁时,他又爱上了浮潜和人体冲浪。

 成就非凡

霍夫曼的成就为他赢得了无数奖项和荣誉。1999年,他获得了电气和电子工程师协会 (IEEE) 颁发的理查德·汉明奖章(Richard Hamming Medal),以表彰他对信息科学的杰出贡献。他因其关于时序开关电路的博士论文获得了富兰克林研究所的 Louis E. Levy Medal,他还获得了俄亥俄州立大学的杰出校友奖和 W. Wallace McDowell Award。1981年, IEEE 计算机学会为他颁发了计算机先锋奖;1998年,霍夫曼获得了 IEEE 信息理论学会颁发的技术创新金禧奖。
1999年10月7日,经过与癌症长达10个月的斗争,霍夫曼离开了这个世界。
在霍夫曼的一生中,他从来没为自己的任何一项发明创造申请过专利,虽然与亿万富翁擦肩而过,但他似乎并没有多么失望,毕竟霍夫曼编码还帮他逃过期末考试一劫。

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【文摘】数学的灾难

作者 莫里斯·克莱因 翻译  李宏魁

回顾以往,1930年时数学基础的状况可说是差强人意。已知的悖论已经被解决,但是几个学派为此使用了特定的方法。诚然,对于什么是正确的数学这一问题已不再有一致的观点,然而每一位数学家都能采用他所喜欢的方法,进而依据该方法的原理发挥他的创造力。

但是,两个问题继续困扰着数学界。第一是建立数学的相容性,这恰恰是希尔伯特在1900年的巴黎讲演中提出的。虽然已知的悖论已经解决,可再次发现新悖论的危险依然存在。第二个问题被称为完备性 (completeness),一般而言,完备性意味着任何数学分支的公理对于判别涉及该分支的概念的所有有意义的断言的真伪性是充分的。

完备性问题就是一个合理的欧氏几何的命题,例如“三角形的三条高线交于一点”这个命题能否根据欧氏公理证明或证伪。更进一步,在超限数域中,连续统假设又是一个例子。完备性要求根据构成超限数理论基础的公理证明或证伪该假设。类似的,完备性要求根据数论中的公理证明或证伪哥德巴赫猜想(Goldbach s hypothesis):任一偶数都是两个质数之和。事实上完备性问题包括了许多其他的命题,对它们的求证向数学家们所发起的挑战已逾几十年甚至上百年。

对于相容性问题和完备性问题,几个学派采取了稍有不同的态度。罗素实际上放弃了他的逻辑方法中使用的逻辑公理是真理的信念,并且还承认了他的约化公理的人为属性。他的类型论避免了已知的悖论,而且罗素确信它能避免所有可能的悖论。然而,信心不能代替证明,罗素没能解决完备性问题。

尽管集合论公理化主义者自信他们的方法不会引起新的矛盾,但这一信念缺乏证据。同样,人们关注的主要不是完备性,直觉主义者对相容性问题漠不关心。他们认为被人类思维所承认的直觉具有自然而然的相容性,形式论的证明是不必要的,也与他们的哲学不相干。至于完备性,他们的看法是,人类的直觉是如此的强有力,以至于能判断绝大多数有意义的命题的真伪,即便有个别例外。

与之相反,由希尔伯特领导的形式主义学派并没有自鸣得意。在20世纪的最初几年,希尔伯特为解决相容性问题做了一些初步的工作。此后,在1920年,他的研究工作又一次回到了相容性和完备性问题。

在他的元数学中,希尔伯特找到了相容性的证明方法。对于完备性, 在1925年的论文“论无限”中,他再次从根本上对1900年巴黎演讲所表明的观点进行了阐述:“每一个明确的数学问题必须能被正确地解决。” 在1925年的文章中,他进一步强调了这一观点:“

作为可以用来处理基本问题的方法的一个例子,我更乐于选取一切数学问题均可解决这样一种观点。我们都相信这一点,吸引我们去研究一个数学问题的最主要的原因是:在我们中间,常常听到这样的呼声,这里有一个数学问题,去找出它的答案!你能通过纯思维找到它,因为在数学中没有什么不可知!”

在1928年意大利博洛尼亚国际数学家大会的发言中,希尔伯特批评了以前的完备性证明,因为它们使用了元数学所不允许的逻辑原理。但他对自己系统的完备性则充满了信心:“我们的推理并不具有任何秘密的技术,它只不过按照确切、清楚的规则进行而已,正是这样的规则保证了判断的绝对客观性。”他还说,每个数学家都相信,任何明确的数学问 题必是可解的。在1930年的论文“自然知识和逻辑”中,他又这样说:“我认为,孔德没有能找到一个不可解的问题的真正原因是,本来就不存在不可解的问题。”

在1927年完成,1930年发表的《数学的基础》中,希尔伯特详细论述了他在1905年的观点:使用他的元数学方法(证明论)可以来建立相容性和完备性。他断言:“

我力求用这种建立数学基础的新方法达到一个有意义的目标,这种方法可以恰当地被称为证明论。我想把数学基础中所有的问题按照其现在提出的形式一劳永逸地解决,换言之,把每一个数学命题都变成一个可以具体表达和严密推导的公式。经过这样的处理,数学所推导出来的结果就会无懈可击,同时又能为整个科学描绘一幅合适的景象。我相信我能用证明论达到这一目标,尽管为此还要做大量工作。”

显然,希尔伯特对于用证明论解决相容性和完备性问题是非常乐观的。

截至1930年,人们已取得了若干完备性的相关成果。希尔伯特自己构造了一个只包括算术且具有一定人为色彩的系统,进而建立了它的相容性和完备性。不久其他人也得到了类似的局部结果,从而相对平凡的公理系统(例如命题演算)被证明是相容的,甚至是完备的。这些证明中的一部分是由希尔伯特的学生完成的。1930年,后来成为普林斯顿高等研究院教授的哥德尔证明了包括了命题和命题函数在内的一阶谓词演算的完备性。所有这些成果使形式主义者备受鼓舞。希尔伯特本人也确信,他的元数学和证明论将会成功地确立全部数学的相容性和完备性。

但就在第二年,哥德尔发表的另一篇论文却打开了潘多拉的盒子。这篇题为“论《数学原理》中的形式不可判定命题及有关系统”(1931年)的论文包含了两个惊世骇俗的结论。其中对数学界尤具毁灭性的断言是:任何数学系统,只要其能包含整数的算术,其相容性就不可能通过几个基础学派(逻辑主义学派、形式主义学派、集合论公理化学派)采用的逻辑原理而建立。这一结果特别适用于形式主义学派,原因是希尔伯特已经仔细地限定了元数学的逻辑原理,能使用的逻辑工具之少甚至连直觉主义者都认为可以接受。难怪外尔对此评论说:上帝是存在的,因为数学无疑是相容的;魔鬼也是存在的,因为我们不能证明这种相容性。

上述哥德尔的结果,是他的更为惊人的结果的一个推论,被称为 “哥德尔不完备性定理”(Gödel incompleteness theorem)。这一定理表明, 如果一个形式理论 足以容纳数论并且无矛盾,则 T 必定是不完备的。这意味着,有这样一个数论的有意义的语句 S,使 和非 S 用这个理论都证明不了。因为 S 或非 总会有一个是真的,于是就有一个数论的语句 S,它是真的,又是不可证明的,故其是不可判定的。尽管哥德尔并不十分清楚其所涉及的公理系统的分类,但事实上他的定理不仅适用于罗素 – 怀特海系统、策梅洛 – 弗伦克尔系统、希尔伯特的数论公理化,而且事实上是一个被广泛接受的公理系统。很明显,相容性是以不完备性为代价的。我们可以通过那些超越前面所提到的形式系统的逻辑的证明,也就是推理的规则,来说明某些不可确定的语句。

就像人们猜测的,哥德尔并非很轻易地就得到了他那令人惊异的结果。他的方案是将数与逻辑主义者和形式主义者在数学方法中所用的符号及符号的顺序相联系。进而对于任何构成证明的命题或者命题集合, 他同样确定一个哥德尔配数(Gödel number)与之对应。

更明确地讲,他的算术化在于为数学概念指派自然数:1 指派给1, 2 指派给等号,3 指派给希尔伯特的否定符号,5 指派给加号,等等。于是符号串 1=1 就变成了整数符号 1,2,1。然而,哥德尔并不是将 1,2, 1 指派给公式 1=1,而是一个单一的,但却能表明各个指数的数。他选取了最小的三个质数2、3、5,从而得到2· 3· 51=90,所以对 1=1 他指派了自然数 90。由于注意到 90 只能唯一地被分解为 2· 3· 51,因此我们能够再次得到符号 1,2,1 。

对考察的系统中每一个公式,哥德尔都指定了一个数,而且对构成证明的整个公式序列,他同样指定了一个数,该数的各个指数正是每个公式的数值,尽管它们本身并不是质数,可与它们相对应的底数都取质数。例如 2900 · 390,就是一个证明的哥德尔配数,此证明由公式900和公式90构成。于是,从一个证明的哥德尔配数出发,我们可以重新构造出构成这一证明的公式。

在此基础上,哥德尔进一步指出,他所考察的形式系统的元数学概念同样可以用数值表示出来。因此,元数学的任何断言都有指派给它的哥德尔配数,一个元数学语句的数同时还是某个算术语句的数值。这样,元数学也就被“映射”为算术了。

使用这些算术术语,哥德尔证明了如何构造一个算术论断 G,用元数学语言来说就是,具有哥德尔配数 m 的陈述不可证明。但是 G 作为一串符号,具有哥德尔配数 m,于是 G 对自己说:“我是不可证明的。”但如果纯粹的算术论断 G 是可证明的,它就断言了自己不可证明;反之, 如果 G 是不可证明的,那么正如它所断言的,就是不可证明的。然而,既然算术断言要么可证明,要么不可证明,那么算术论断所从属的形式系统如果无矛盾,必定不完备。即使这样,算术论断 G 确实是真的,因为它是一个关于整数的论断,可以通过较形式系统所允许的更直观的推理而建立。

人们还可以从下面的例子中把握和领会哥德尔的方案的精髓所在。考察“这句话是假的”这样的陈述,我们遇上了矛盾。若这句话为真,它断言自己是假的;如果该句话为假,那么它为真。对此,哥德尔用“不可证明”取代“假”,这时句子变为:“这句话是不可证明的。”于是,如果这句话不可证明,那么它讲的是真的;相反,如果这句话可以证明,那么它为假,或是按照标准逻辑,如果它为真,则不可证明。因此,当且仅当这个陈述不可证明时,它为真。这个结果没有矛盾,但却出现了一个不可判定的真陈述。

在展示了他的不可判定陈述之后,哥德尔将“算术是相容的”这一元数学陈述表述为一个算术陈述 A,而且他证明了 A 蕴涵 G。因而如果 A 是可证明的,那么 G 也是可证明的;如果 G 是不可判定的,那么 A 就是不可证明的,也就是不可判定的。这一结果表明,能被转换为算术系统的任何方法或逻辑原理,对于证明相容性都是无能为力的

看上去似乎可以通过向形式系统加入逻辑原理或数学公理来避免不完备性。但哥德尔的方法表明:如果新加入的语句可以按他的方案,即对符号和公式指派一个哥德尔配数,用算术术语表示,那么不可判定的命题仍能被构造出来。唯一可行的方法是,使用不能被“映射”为算术的推理原理来避免不可判定的命题,并证明一致性。下面是一个不很严密的类比:如果推理原理和数学公理是日语,哥德尔的算术化是英语,那么只要日语可以翻译成英语,哥德尔的结果就能得到。

哥德尔不完备性定理断言,不仅仅是数学的全部,甚至任何一个系统,都不可能用类似哥德尔使用的能算术化的数学和逻辑公理系统加以概括。因为任何这样的公理系统都是不完备的。存在着有意义的陈述从属于这些系统,却不能在系统内部得出证明。然而非形式的论证可以证明其正确性。这个结论——公理化的能力具有局限性——与19世纪末的观点形成了尖锐的对比。那时人们认为数学与公理化了的各分支的总和具有相同的广度,所以哥德尔的结果是对内涵公理化一个致命的打击。公理化方法的这个缺陷本身并不是一个矛盾,但却是惊人的。因为数学家,尤其是形式主义者,原本期望任何一个真命题一定会在某个公理系统的框架内确立起来。因此,当布劳威尔弄清楚了直觉上明确的东西不及经典数学上证明的东西多时,哥德尔却证明了直觉的可靠超出了数学的证明。正像伯奈斯所说的,过分推崇公理体系是不明智的。当然,上述论点并没有排除这样的可能性,新的证明方法可能优于几个基础学派接受的逻辑原理所允许的方法。

哥德尔的两个结果都是毁灭性的。相容性的不能证明给予希尔伯特形式主义哲学以沉重打击,因为希尔伯特计划了以元数学为工具的这样一种证明,而且相信它能成功。然而,灾难大大超出了希尔伯特的方案所能解决的范围,哥德尔关于相容性的结论表明,我们使用任何数学方法都不可能借助于安全的逻辑原理来证明相容性,现已提出的各种方法概莫能外。这可能是20世纪某些人声称的数学的一大特征,即其结果的绝对确定性和有效性已经丧失。更为糟糕的是,由于相容性的不可证明,数学家们正冒着传播谬误的风险,因为不定什么时候就会冒出一个悖论。如果真的发生了这种情况,而且悖论又不能消除,那么全部数学都会变得毫无意义。因为对于两个相互矛盾的命题,必定有一个是假的,而且被所有的数理逻辑学家采用的蕴涵的逻辑概念(称为实质蕴涵)都允许一个假命题推出任何命题,因而数学家们正工作在厄运即将来临的威胁之下。不完备定理则是另一场沉重打击,这里又一次直接牵涉希尔伯特,即便这个定理适合于所有关于数学的形式化方法。

虽然数学家们一般并没有像希尔伯特那样自信,可他们确实希望解决一切明确的问题。例如证明费马大定理(其断言没有大于 2 的整数满足 xn+yn=zn)的努力,到1930年为止,已经产生了数百篇冗长而深奥的相关论文。这些努力有可能完全是徒劳的,因其很可能是不可判定的。

在某种程度上,哥德尔不完备性定理是对排中律的否定。我们相信一个命题非真即假,从现代数学基础的观点看,这意味着依据该命题归属的特定学科的逻辑规律和公理,它或者可以证明,或者可以证伪。但是哥德尔表明,有些命题既不能被证明,也不能被证伪。这是有利于直觉主义者的又一论据,只不过他们是从其他角度出发反对排中律的。

然而,证明相容性的可能依然存在,只要人们能够用不同于哥德尔的方法给出一个包含了不可判定命题的系统。这是因为——根据前面提及的理由——实质蕴涵表明如果存在一个矛盾,任何命题都是可以证明的,但是迄今为止并没有得到上面的结果。

希尔伯特不相信他的失败,他是一个乐观主义者,对人类推理和理解的能力具有无限的信心。这种乐观主义给他以勇气和力量,但却阻止了他去了解可能存在的不可判定的数学命题。对希尔伯特来说,在数学领域中研究者除了自身的能力之外,没有任何其他的限制。

在哥德尔1931年的发表成果的时候,希尔伯特正在和伯奈斯合作写一部关于数学基础的著作(第一卷,1934年;第二卷,1939年)。因此,在第二卷的前言中作者们提出下面的观点:人们必须扩充元数学中的推理方法,包括超限归纳法。希尔伯特觉得,这些新原理仍然在直观上是可靠的,并且会被普遍接受。他坚持了这一方向,却没能取得新的成果。

在经历了严酷的1931年之后,进一步的进展使情况更加复杂,进而挫败了任何定义数学及何为正确结果的企图。但其中的一项工作还是值得一提。根岑,希尔伯特学派的一员,他放宽了在希尔伯特元数学中对证明方法的限制,例如使用超限归纳法,在1936年设法确立了数论和分析中一些受限制部分的相容性。

根岑的相容性证明为一些希尔伯特主义者支持和接受,他们认为根岑的工作并没有超出人们乐于接受的逻辑的限制。于是为了捍卫形式主义,人们必须从有限的布劳威尔逻辑发展到超限的根岑逻辑。根岑方法的反对派争辩说:“可接受”的逻辑是如此深奥莫测,而且我们对算术相容性的怀疑竟然可以用同样值得怀疑的元数学原理来消除,这太不可思议了。事实上,早在根岑之前,对于超限归纳法的使用就有过争论,并且一些数学家尽量在任何可能的场合从证明中消除它。这不是一个直觉上使人信服的原理,正如外尔评论的那样:这样的原理降低了有效推理的标准,并且把原本可靠的东西变得模糊了。

哥德尔不完备性定理引发的附属问题同样应当提及。既然无论多么错综复杂的数学分支都有不可判定的断言存在,那么我们对某一特定断言能否判定呢?这就是著名的判定问题(decision problem)。它要求一个有效的程序如同计算机一样,能在有限次步骤之内判定一个陈述或一类陈述的可证性。

为了具体化一个判定程序的概念,让我们考察一个很普遍的例子。为判定一个整数是否能被另一个整数整除,可以进行除法,如果没有余数,回答就是能。这同样适用于对多项式的整除的判定。类似地,对于判定方程 ax + by = c 是否有整数解,同样存在一个明确的方法(这里a, b,c 是整数)。

在1900年巴黎国际数学家大会的著名演讲中,希尔伯特提出了一个非常有趣的问题:人们能否通过有限步骤判定丢番图方程是否有整数解 (希尔伯特第十问题)。由于方程ax + by = c 涉及两个未知数且解必须为整数,所以它属于丢番图方程,而希尔伯特第十问题则更加一般化。在任何情况下判定问题都大大复杂于希尔伯特第十问题,但人们往往喜欢称这一类判定问题为希尔伯特第十问题,因为在希尔伯特问题上取得成果这一事实本身就使得该成果引人注目。

何为有效的程序?普林斯顿大学的教授丘奇用递归函数,或者说可计算函数,给出了它的概念。让我们考察递归性的一个简单例子:

如果定义 f (1) =1,

f (n+1) =f (n) +3。

那么,f (2) = f (1) +3 或 1+3 或 4,

(3) 即 (2) +3 或 4+3 或 7。

依次类推,我们能连续地计算 f(n) 的值,函数 f(x) 就称为是递归的。丘奇对递归性的定义更加一般,将其等价于可计算性。1936年,丘奇使用他新发展的递归函数的概念表明一般不存在判定程序。因此,对一个特定的断言,我们并非总能够找到一个算法判定它是否能证明。在所有特定的情况下人们都有可能发现一个证明,然而这样的证明能否被发现则在事先并没有检验标准。于是,数学家们尝试求证什么是不可以证明 的可能就是在浪费时间。至于希尔伯特第十问题,马季亚谢维奇于1970年证明:一般情况下没有算法能够判定相应的丢番图方程是否有整数解。这一问题也许并非不可判定,但不存在有效的程序,这意味着对今天大多数的数学家而言,没有一个递归的程序(不必是上面所描述的那一个)能预先告诉我们它是否可解。

不可判定的命题与不存在判定程序的问题之间存在着某种微妙而明确的区别。不可判定的命题在一个特定的公理系统内是不可判定的,它们存在于任何有意义的公理系统中。例如,欧几里得平行公理就不能依据其他平行公理判定,另一个例子是断言实数是满足通常实数公理性质的最小集合。

还未得到解决的问题也许可判定,但这不总是能预先决定的。尺规作图的三等分角问题至少有数百年被错误地看作是不可判定的问题,可它已被证明是不可能做到的。丘奇定理表明,不可能预先确定一个命题是否能被证明或证伪,或许二者都不能,即该命题不可判定,但这可不像已知的不可判定命题那么明显。哥德巴赫猜想目前仍没有得到证明,也许依据数论的公理它是不可判定的,但现在还没能明显地看出这一点,这与哥德尔的例子恰恰相反。因此,也许在某个时候,它能被证明或证伪。

尽管哥德尔对不完备性所做的工作及提出不可能证明相容性所带来的震撼已经过去10年了,但它们还没有从数学界完全消散,而新的震撼又一次来临。这次仍旧是哥德尔,他发表的一系列研究论文引起了更大的困惑:什么是正确的数学,它又正在向什么方向发展?我们再一次回想起起源于20世纪初的数学方法之一:在集合论的基础上构建数学大厦。正是基于这一理由,策梅洛公理系统获得了发展。

在“选择公理和广义连续统假设二者与集合论公理的相容性”(1940年)一文中,哥德尔证明,如果策梅洛 -弗伦克尔系统在除去选择公理后仍是相容的,那么加上这条公理以后这个系统也是相容的。这就是说,选择公理不能被证伪。同样地,康托尔的连续统假设(没有基数存在于\aleph _02^{\aleph _0} 之间,后者是实数集的基数),甚至是广义连续统假设与策梅洛-弗伦克尔系统(即使将选择公理包括进去)是无矛盾的,换言之,这些断言不能被证伪。为了证明他的结果,哥德尔构造了包含这些断言的模型。

在一定程度上,选择公理和连续统假设的相容性是令人信服的,就像对待其他的策梅洛 – 弗伦克尔系统的公理那样,人们至少是在充满自信地使用着它们。

然而,数学家们的得意——如果存在的话——将被接下来的进展击得粉碎。哥德尔的结果并没有排除这样一种可能性,选择公理或是连续统假设(或者两者都)能够基于其他策梅洛 – 弗伦克尔公理得出证明。选择公理不可能在此基础上证明的思想至少可以回溯到1922年,从这一年开始的几年中,包括弗伦克尔在内的几个人,证明了选择公理的独立性。但是他们每一个人都发现,为了得出证明,必须向策梅洛-弗伦克尔系统加入某个辅助公理,并且以后其他人的证明也存在同样的缺陷。哥德尔在1947年推测连续统假设同样独立于策梅洛-弗伦克尔公理以及选择公理。

然而,在1963年,斯坦福大学的数学教授科恩证明了选择公理和连续统假设二者同时独立于其他策梅洛-弗伦克尔公理(如果它们是相容的)。换言之,这两个论断并不能基于其他策梅洛-弗伦克尔公理得到证明,而且即使把选择公理保留在策梅洛-弗伦克尔系统中,连续统假设或广义连续统假设,也还是无法得到证明(然而,策梅洛-弗伦克尔系统与广义连续统假设选择公理)。这两个独立性结果意味着在策梅洛-弗伦克尔系统中,选择公理和连续统假设都是不可判定的。特别是,对于连续统假设,科恩的结果表明了有可能在\aleph _02^{\aleph _0},即 c 之间存在某个超限数,即便没有任何已知的集合具有这样一个超限数。

就原理而言,科恩的称为“力迫法”(forcing method)的方法,与其他的独立性证明并没有什么不同。由此人们可能会联想到,为了表明平行公理确实独立于其他欧氏几何公理,人们必须要找出一个解释或者模型,它能满足除去存有疑问的平行公理之外的所有其他公理。这一模型必须相容,否则它也许会满足存有疑问的公理。相对于弗伦克尔、哥德尔等人早期的证明,科恩的改进在于他仅仅使用到了不包括任何辅助公理在内的策梅洛-弗伦克尔公理。此外,与选择公理的独立性存在早期证明(尽管不尽人意)相反,连续统假设的独立性在科恩的工作之前一直悬而未决。

因此,为了在集合论基础之上(甚至在逻辑主义基础之上或是在形式主义基础之上)构造数学,人们可以有几种不同的做法。一种做法是避免使用选择公理和连续统假设,这将会限制一些能够证明的定理。《数学原理》在它的逻辑原理中就没有包括选择公理,可是确实在一些定理的证明中用到了它,并得到了明确的表述。事实上,在现代数学中它是一个基本的定理。另一种做法是承认或者否认选择公理以及连续统假设。否认选择公理,可以假定即使对集合的可数族也不存在明确的选择;否定连续统假设,可以假定 2^{\aleph _0} =\aleph _2  或  2^{\aleph _0} =\aleph _3 。科恩正是这样做的,并且他给出了一个模型。

有许多种数学和集合论(除去其他的数学基础)可以向许多方向发展。进而,人们可以只对集合的有限族使用选择公理,也可只对集合的不可数族使用选择公理。自然,还可以对任何集合族使用选择公理。这种种做法,均有人尝试过。

由于科恩的独立性证明,数学陷入了类似于非欧几何所造成的混乱 那样的窘境。众所周知,平行公理独立于其他欧氏几何公理的事实,使几种非欧几何的构造成为可能。科恩的结论提出了如下的问题:面对这两个公理,数学家们该做何种选择?即使只考察集合论公理化的方法,选择的多样性也同样令人不知所措。

这种选择之所以不能轻易做出,其原因是在每种情况下都会产生正面的和反面的效果。就像已经提及的,克制不用这两个公理,将会严格地限制能够被证明的定理,并且迫使人们排除许多在现存的数学中一直 被认为是基础的东西。即使是证明任何无限集合 S 具有可数无穷子集,也需要选择公理。需要选择公理才能证明的许多定理在现代分析、拓扑学、抽象代数、超限数理论以及其他一些领域中都是基础性的定理。因此,不接受选择公理会使数学家们举步维艰。

与之相反,如果承认选择公理,那么某些得到证明的定理至少是违 反直觉的。著名的“巴纳赫-塔斯基悖论”(Banach-Tarski paradox)即是其中之一,其可以描述如下:两个实心球体,一个大小与篮球相仿,另一个大小与地球一样,它们能够分别被分割成互不重叠的有限份,而且使得大球体的每一份与小球体的每一份对应全等。或者也可这样描述:可以把整个地球分成有限份,然而重新拼装成一个篮球大小的球体。在1914年发现的这个悖论的一个特例表明,一个球面可以分割成两部分并重新组合成两个完整的球面,每个新球面的半径都与原球面相同。与19世纪集合论碰到的悖论不同,这些新发现的悖论并不存在矛盾,它们只不过是集合论公理与选择公理的逻辑推论。

否定一般化的选择公理也导致了新奇的结论。一个技术结果或许对专家们更有意义,即每个线性集合都是可测的。换言之,既然选择公理蕴涵着不可测集合的存在,那么通过假定每个线性集合都可测就能否定选择公理。此外还有关于超限基数的新奇结论。至于连续统假设,无论承认它还是否认它,人们都冒着进入未知领域的风险。可是,有意义的结论迄今没有得到。然而,一旦假定 2^{\aleph _0}  =\aleph _2 ,那么每个实数集合就都是可测的了。当然,还可以推导出其他的新结论,可是它们都不甚重要。

就像对平行公理的研究将几何学领到了一个十字路口那样,科恩对这两个有关集合的公理所做的工作将以集合论为基础的数学也领到了错综复杂的交叉路口。这开创了数学的几个发展方向,但却没能给出任何 明显的理由来说明哪个更为优越。事实上,自从科恩1963 年的工作以来,人们在策梅洛 – 弗伦克尔集合论中发现了众多不可判定的命题,使得人们对选择(使用基本的策梅洛-弗伦克尔公理再加入一条或多条不可判定命题)的多样性无所适从。选择公理和连续统假设的独立性证明就好比告诉一个建筑师,只要稍稍改动他的图纸,就可以用一个城堡取代他原来要建造的办公楼。

当前集合论的研究者希望他们能按照某种可靠的方式修改集合论公理,借此能确定是否可以从一组为数学家们广泛接受的公理出发推导出选择公理以及连续统假设。按照哥德尔的观点,这些可能性应该是可以实现的,为此人们已付出了巨大的努力,但迄今为止没有成功。或许在未来的某一天,对于使用什么样的公理最终会取得一致的意见。

困扰数学家们的并不仅仅是哥德尔、丘奇以及科恩的工作带来的问题,数学家们的麻烦与日俱增。由勒文海姆1915年开始的通过在1920年到1933年之间斯科伦发表的一系列论文得以简化和完成的一项研究,揭示了数学结构的又一缺陷,这就是为人们熟知的“勒文海姆-斯科伦定理”( Löwenheim-Skolem Theory)。设想人们为数学的某个分支,或者说就是为可以作为整个数学的基础的集合论建立了合乎逻辑的数学公理。对此,最合适的例子莫过于用于整数的那组公理了。人们希望这些公理能确定整数的全部特性,并且仅仅是这些特性。然而奇怪的是,人们发现可以找出截然不同的解释或模型都能满足这些公理。因此,鉴于整数集是可数的,或者按照康托尔的记法,存在\aleph _0  个整数,则存在着与整个实数集合(甚至在超限的含义上更大的集合)同样多元素的集合的解释。同理,相反的现象也可能出现,也就是说,假设人们承认了关于集合论的某个公理系统,进而还希望这些公理可以容纳并且的确能描述不可数集族的全部特性。然而,人们却发现了满足这个公理系统的可数集族以及其他一些与人们的常识非常不同的超限解释。实际上,每一个相容的系统都存在着相应的可数模型。

这意味着什么呢?假定人们打算开列一张特征表,并认为它是且仅仅是刻画了美国人,令人吃惊的是,某人发现了一种动物,它具有表上所列的全部特征,但完全不同于美国人。换言之,试图用公理系统来描述一类唯一的数学对象事实上是不可能做到的。就像哥德尔不完备性定理告诉人们的,一组公理对于证明属于它们所覆盖的数学分支的全部定理是不充分的那样,勒文海姆-斯科伦定理告诉人们,一组公理能够容许比人们预期多得多的解释,而且这些解释具有本质的区别。公理没有限制住解释或是模型。因此,数学的真理性不可能严格地与公理化一致。

非预期的解释之所以可能,原因之一在于每个公理化系统内部都有无定义的概念。先前人们认为这些概念是被公理隐含地加以定义的,可事实上公理并没能做到这一点。因此,无定义概念的概念必须以某种非预期的方式加以更改。

勒文海姆-斯科伦定理与哥德尔不完备性定理同样惊世骇俗。对于 发端于20世纪初的公理化方法而言,它无疑是另一次沉重打击。直到不久前,公理化仍被认为是唯一可靠的方法,而且仍被逻辑主义者、形式主义者和集合论公理化主义者使用着。

从总体上来看,勒文海姆-斯科伦定理并不出人意料。哥德尔不完备性定理表明每个公理化系统都是不完备的,即存在着不可判定的命题。假定 P 就是一个这样的命题,那么不管是 P 还是非 P 都不能从这些公理中推导出来。因而,人们可以接受一个更大的公理系统:原来的公理集合加上命题 P 或是命题非 P。由于解释不会是同构的,所以这两个公理系统也不是无条件的,也就是说,不完备性是有条件的。但勒文海姆-斯科伦定理是以一种更强硬也更根本的方式否定了无条件性。它证实了对于一个给定的公理系统,可以存在完全不同的解释或模型,而这无须加入任何新的公理。当然不完备性是必须的,否则的话,完全不同的解释是不可能的。此外,为了不被所有的解释所共同包容,关于某个解释的一些有意义的陈述也必定会是不可判定的。

经过对自己的结论再三考虑之后,斯科伦在1923年的一篇论文中表示,对于把公理化方法当作集合论的基础他是持反对意见的。即便是冯·诺依曼也在1925年表示赞同他的公理以及其他关于集合论的公理系统全都注明“不真实的标记……集合论不可能无条件地公理化……既然算术、几何等不存在公理体系,而对集合论却没有这样假定,那么也就必定不存在无条件的公理化无穷系统”。这一情况,他继续写道,“对我而言,是有利于直觉主义的又一论据。”

数学家们试图通过回想非欧几何的历史使他们自己平静下来。在关于平行公理争论了几个世纪之后,罗巴切夫斯基和鲍耶创立了他们的非欧几何,黎曼也给出了另一个几何学。数学家们起初倾向于抛弃这些新生的几何学,这有若干理由,其中之一是它们必定是不相容的,可后来的解释表明它们是相容的。例如黎曼的双椭圆几何学,与人们开始的意愿(应用于普通平面的图形)完全不同地按照球面上的图形得到了解释。然而,这个解释或模型的发现是受欢迎的,它证实了相容性。而且黎曼最初的期望与后来的解释在研究对象的数目上并没有什么不同,无非是点、线、面、三角形等等而已。用数学的语言来讲,这两个解释是同构的。然而,勒文海姆 – 斯科伦定理所适用的公理系统的不同解释并不同构,它们是完全不同的。

关于数学的抽象性,庞加莱曾经说过,数学是一门为不同事物起相同名字的艺术。例如,群的概念就可以表示整数、矩阵以及几何变换的全部特性。勒文海姆-斯科伦定理支持了庞加莱的观点,然而却改变了它的含义。人们并不期望群公理能表明所有解释具有相同的适用范围和特性(群公理不是无条件的,如果忽略平行公理,欧氏几何也不是无条件的)。与此相反,数学家们原以为适用于勒文海姆-斯科伦定理的那些公理系统只指向一个特定的解释,于是,当它们适用于完全不同的解释时,则令数学家们茫然不知所措。

上帝打算毁灭某些人,首先是使他们发疯。也许是上帝仍不相信哥德尔和科恩的工作,或者是勒文海姆和斯科伦还打算施展什么诡计,他们又开始了进一步的发展,似乎要使数学家们陷入绝境。在探讨微积分时,莱布尼茨引入了无穷小量。他认为无穷小量比1,0.1, 0.01…以及其他任何正数都小,但不是0。他进而认为,人们可以像使用其他普通数一样使用无穷小量。虽然无穷小量只是一种理想的元素,或者说是一种虚构的东西,但确实是有用的。事实上,对莱布尼茨而言,微积分学的基本概念——导数,就是两个无穷小量的比值。莱布尼茨还像对普通数值那样,也使用了无穷大量。

在整个18世纪,数学家们一直为无穷小量的概念争论不已。一方面,他们任意地,甚至是不合乎逻辑法则地使用它们;另一方面,他们最终又把无穷小量作为没有意义的东西而扔掉。柯西不仅拒绝无穷小量而且想努力消除它们。然而,无穷小量是否合理的问题依旧存在。米塔格-莱弗勒有一次问康托尔,在有理数与实数之间是否存在另外一类数,后者坚决予以否认。1887年,康托尔又证明了无穷小量在逻辑上是 不可行的。这个证明从根本上依赖阿基米德公理,即对于任意实数 a, 总存在一个整数 n,使得 na 大于另一给定的实数 b。皮亚诺也证明了无穷小量不存在。罗素在他的《数学原理》(1903 年)中对此表示赞同。

然而,即便是伟人的号召,也不会得到非常迅速的响应。从亚里士多德时代起以及之后很长的一段时间里,地球是球体的观念被众多思想家认为荒诞不经而遭到摒弃。因为如果是那样,生活在地球另一面的人就会在空中倒垂着他们的头颅。可事实上,球体才是正确的观念。同样地,尽管莱布尼茨关于无穷小量的证明必须被摒弃,依然有许多人试图为它建立一个合乎逻辑的推论。

杜·布瓦-雷蒙、施托尔茨和克莱因的确认为基于无穷小的相容理论是可能的。事实上,克莱因指出,为了得到一个这样的理论,就必须 放弃阿基米德公理这一关于实数的最基本的公理。斯科伦也在1934年引入了不同于普通实数的一种新数——超整数,而且给出了它们的一些性质。若干数学家的一系列论文最终导致了一种使无穷小合理化的新理论的产生,而其中最重要的贡献则是由罗宾逊做出的。

称为非标准分析的新系统引入了“超实数”(hyperreal number),它包括原有的实数以及无穷小。正像莱布尼茨所做的那样,一个正无穷小被定义为小于一切普通的正数而大于 0 的数值;类似地,一个负无穷小 则大于一切负实数而小于 0。这些无穷量都是固定的数值,从而它们既 不是莱布尼茨意义上的变量,也非可以逼近 0 的变量,而是柯西有时使用这个术语时所表示的含义。更进一步地,非标准分析又引入了新的无穷大数,它们是无穷小量的倒数但不是康托尔的超限数。每一个有限的超实数 r 可表述成 x+a 的形式,其中 x 是一个普通的实数而 a 是一个无穷小量。

有了无穷小的概念,人们就可以说两个超实数无限接近了,这意味着它们的差是一个无穷小量。于是每个超实数都无限地接近于一个普通的实数,因为差恰好是无穷小。人们可以随心所欲地使用超实数,就像使用普通的实数那样。

使用新的超实数系统,人们可以引入其值既可以是普通实数又可以是超实数的函数。根据这些数,人们还可以定义函数的连续性:如果 x-a 是无穷小量,那么 f (x) – f (a) 也是无穷小量,此时称 f (x) 在 x=a 处连续。我们还可以用超实数定义导数和其他微积分的概念,进而证明分析的全部结论。最主要的一点是:超实数系统使人们能以一种精确的方式取得微积分学的成果,而先前人们正是因为不清晰甚至无意义而拒不接受微积分。

使用新的数系将会增长数学的力量吗?迄今为止,通过这种方法仍没能得到任何有重大意义的新结论,可重要的是它又开创了一条新的道路,而这正是一些数学家所渴望的。事实上,关于非标准分析的论著已经在不断涌现出来,而另外一些人则因为这样或那样的原因而责难这种新型的分析。但是物理学家们确实得救了,因为即便在知道了柯西已摒弃无穷小之后,为了方便起见,他们仍然在使用着这一有益的工具。

1900年以来数学基础的进展是令人迷惑的,即使在目前,数学的状况仍旧杂乱无章,前进的道路上不再有真理的光芒。曾被普遍赞赏和普遍接受的数学,其证明尽管有时需要校正,但毕竟曾被认为是可靠推理的极致。而到现在,这种看法改变了。对待数学可以采取相互矛盾的态度,在逻辑主义、直觉主义和形式主义的基础之外,集合论的方法又独立地给出了更多的选择。一些有歧义的甚至是矛盾的观点在其他学派内也是可能的。正由于此,在直觉主义哲学的内部,构造化运动又分成了许多小派别。对形式主义而言,什么样的数学原理可以使用存在着众多有待取舍的选择。而对非标准分析而言,虽然并不属于任何一个学派,却允许采取在分析中会引起歧义甚至是矛盾的观点的态度。无论如何,以前曾被当作不合乎逻辑的和应该被摒弃的,现在却被一些学派认为是逻辑上可靠的而予以接受。

至此,旨在消除可能存在的矛盾与建立数学结构相容性的努力宣告失败。是接受公理化方法,还是接受非公理化的直觉主义方法?如果接受公理化方法,又应该接受哪些公理?对这些问题再也不会存在一致的看法了。数学是建立在各自的公理集合之上的一组结构,这一流行的观点不足以包含数学所应该包含的东西,另一方面又包含了比它应该包含的更多的东西。看法上的不一致甚至殃及推理。排中律不再是毫无疑义的逻辑原理,争论的焦点是存在性证明中不允许计算其存在性正被确立的量及是否可用排中律。为此,必须放弃完美推理的观念。显然,不同的数学将导致选择的多样性。因此,近期数学基础研究所谓取得突破性的进展不过是邂逅了又一片荒野。

我们上面描述的自1931年以来取得的这些成果,使得逻辑主义者、形式主义者和集合论公理化主义者彻底绝望,而唯有直觉主义者对此保持了某种程度的镇定和乐观。使用逻辑符号和原理所做的全部工作,即使对最睿智的伟人的思想也构成了责难,对直觉主义者却是风马牛不相及。数学的相容性是显然的,因为直觉的意义保证了这一点。至于选择 公理和连续统假设,直觉主义者们并不承认。此外,布劳威尔在1907年已对此讲得相当多了,不完备性和不可判定命题的存在不仅没有使他们感到困扰,而且他们还理直气壮地说:我早就这样跟你讲过了。然而, 即使是直觉主义者们,其实也不希望抛弃在1900年之前建立的那部分不合乎他们标准的数学。他们已经断言,通过使用排中律确立数学的存在性是不能被接受的,只有允许人们按照期望的精确度对其存在性已被证实的量进行运算的那些构造,才是令人满意的。因此,他们仍在争论着构造性的存在性证明。

总之,没有哪个学派有权力宣称它就代表了数学,而更加不幸的是, 正如海廷在1960年评论的,从1930年开始,无休止的论战取代了友好合作的精神。

在1901年,罗素说道,“现代数学最主要的成就就在于发现了什么是真正的数学。”这些话至今仍能自然而然地打动我们。除了几个学派在作为今天的数学什么是可以接受的问题上存在分歧之外,人们可以对将来给予更多的期望。现存的学派一直在忙于证明当前的数学是正确的, 但如果注意到希腊数学在17世纪和19世纪的遭遇,人们就会发现戏剧性的巨变。这几个现代学派试图证明20世纪数学的合理性,可它们能够 符合21世纪数学的要求吗?直觉主义者确实在思索着数学的成长与发展,可是他们的“直觉”有能力给出或产生历史上没有过的东西吗?当 然,即便在1930年,回答也是否定的。因此,对数学基础的修正看上去总是必需的。

一则寓言恰如其分地概括了20世纪有关数学基础的进展状况。在莱茵河畔,一座美丽的城堡已经矗立了许多个世纪。在城堡的地下室生活着一群蜘蛛,突然一阵大风吹散了它们辛辛苦苦编织的一张繁复的蛛网,于是它们慌乱地加以修补,因为它们认为,正是蛛网支撑着整个城堡。

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【人物】阿基米德

蔡天新 赛先生

上帝乃几何学家。——柏拉图

01 叙拉古城

公元前287年,阿基米德出生在地中海最大的岛屿——西西里东南港市叙拉古(又译锡拉库萨),这个年份是依据他的死亡年份和寿命推算出来的。

12世纪的君士坦丁堡(今伊斯坦布尔)诗人、学家策策斯(Tzetzes)被认为是学究的完美典范,这位诗人的母亲是格鲁吉亚人,年轻时担任省长秘书,后来以教书和写作为生。他最著名的一部拜占庭重音(教诲)诗集《千千诗集》(又名《史书》)共一万二千多行,引用作家达四百多人,包含了许多轶文。其中提到,“智者阿基米德是叙拉古人,著名的机械制造师,终生研究几何学,活到七十五岁。”

叙拉古的奥提伽岛,阿基米德在此抗击罗马人

阿基米德原本是有传记的,作者是他的一位叫赫拉克利德(Heraclides)的朋友。赫拉克利德与公元前6世纪的哲学家赫拉克利特(Heracleitus)不是同一个人,也非同一个时代。还有一位公元前4世纪的天文学家赫拉克利德斯(Heracleides)名字也很相近,后者是柏拉图的学生和学园管理者,曾率先提出地动说,并认为水星和金星是绕日旋转的。6世纪的数学注释家欧托基奥斯(Eutocius)曾不止一次提到这本传记,可惜后来失传了。阿基米德的生平事迹,如同米利都的泰勒斯一样,散见于古代的各种文献中。

古希腊共有四个主要部落,分别是亚加亚人(迈锡尼人)、爱奥尼亚人、多利安人和伊奥尼亚人。叙拉古住着多利安人,稍北的卡塔尼亚住着爱奥尼亚人;一水之隔的亚平宁半岛最南端住着伊奥尼亚人(泰勒斯被认为是伊奥尼亚学派的创建人),稍北的毕达哥拉斯学园所在地塔兰托则住着迈锡尼人,他们说着不同的方言。

多利安人最早出现在荷马史诗《奥德赛》中,他们生活在克里特岛上。追根溯源,多利安人可能来自巴尔干岛北部,后迁移到伯罗奔尼撒半岛、罗德岛、克里特岛和西西里岛东部地区。叙拉古的多利安人多是从科林斯移民来的,那是在伯罗奔尼撒半岛与希腊本土的接壤处。

沉思的阿基米德。意大利画家费蒂作于1620年

大约在阿基米德出生前一个世纪,叙拉古人建立起一个帝国,他们向北把势力扩大到意大利南部,向南与迦太基(今北非突尼斯)人进行了三次战争,后者是地中海东岸的腓尼基人建立起来的。但在阿基米德出生前两年,叙拉古帝国突然瓦解。

在阿基米德生活的年代,古希腊的鼎盛时期已经过去,经济、文化中心转移到埃及北部的地中海港市亚历山大;与此同时,亚平宁半岛上新兴的罗马帝国,正不断地扩张势力。阿基米德生长在这一新旧交替的时代,而叙拉古城也成为多种势力的角力场所。

阿基米德出身贵族,他的父亲菲迪亚斯是一位天文学家,与早些时候的那位大雕刻家、画家、建筑师同名,却没有亲戚关系,后者曾参与雅典卫城上的巴特农神庙建设。有人因此推断他的爷爷是艺术家,或者至少是艺术爱好者。

可以确认的是,阿基米德从小受父亲影响,喜欢思考和研究。大约在十岁左右,父亲送他到埃及的亚历山大念书,那是当时西方世界的学术中心,有一座著名的大学和图书馆。学者云集,数学、天文学、医学研究较为发达,阿基米德跟随包括欧几里得门徒在内的专家学习,打下了日后从事科学研究的基础。据说他在亚历山大发明了螺旋泵——一种提水的装置,曾被埃及人广泛使用。

02亚历山大

阿基米德在亚历山大求学的经历我们不甚了解,其时赫赫有名的大数学家欧几里得很可能已不在人世,至少离开教学岗位了。因为欧几里得虽然生卒年和出生地不详,但他的执教应大体在托勒密一世统治时期(约公元前323-前285)。在亚历山大期间,阿基米德至少结交了三位同窗或好友,科农(Conon)、多西修斯(Dositheus)和厄拉托色尼(Eratosthenes)。

科农是萨摩斯人,与他的前辈老乡毕达哥拉斯一样,也是一位数学家和天文学家。科农是阿基米德最要好、最信得过的朋友,两人的友谊维持了一生,他后来成为托勒密三世的宫廷天文官。科伦在圆锥曲线方面的工作,成为阿波罗尼奥斯(Apollonius)《圆锥曲线论》第四卷的基础。

厄拉托色尼是北非昔兰尼加(今利比亚拜尔盖)人,他比阿基米德小十来岁,却有着“柏拉图第二”的雅号,后来担任亚历山大图书馆馆长,平素非常讲究穿戴,八十岁时因为双目失明绝食身亡。

厄氏多才多艺,写过十卷本的古代戏剧史,是一位五项全能运动员,他在数学方面创立了筛法,这个方法及其推广如今在数论领域仍十分有用。他测出了地球的周长,与准确的数字只差两百公里;还根据大西洋和印度洋的潮涨潮落情况,推断它们是相通的,15世纪的葡萄牙探险家达·伽马依据此理论从水路到达印度。他还利用极圈和回归线划分出地球的五个气候带,沿用至今。

返回故乡叙拉古以后,阿基米德与科农、厄拉托色尼保持通信,他把《抛物线求积》、《论螺线》、《球柱和圆柱体》的论著寄给科伦,把《论力学定理和方法》和《群牛问题》的论著寄给厄拉托色尼,通过他们也转达给了亚历山大的同行,而两位朋友也把自己的工作告诉阿基米德。

残留在古建筑上的图案,作者摄于西西里

据4世纪的数学家帕波斯(Pappus)所言,著名的阿基米德螺线是科农发现的,现今巴黎二十个区便是依此曲线排列,这个图案还出现在2004年雅典奥运会的闭幕式上。可惜,科农本人的著作均已遗失,包括7卷本的《论天文学》和《答色腊西达库斯》,后者讨论了圆锥曲线和圆的交点问题。

科农去世以后,阿基米德又与科农的学生、研究历法和天气预报的犹太人多西修斯通信,他在信中写道,“听说科农已经死了,他是我非常好的朋友,而你与他十分相熟,又是学习几何的学生……因此我写信给你,寄给你一些几何定理,因为我已经习惯写信告诉科农了。”

从阿基米德其他著作的前言中我们得知,多西修斯在给阿基米德的信中,也经常问起一些数学问题,至于具体内容是什么,无人知晓。无论如何,阿基米德的主要学术成果,均是在与这些亚历山大学者的通信中为人所知并保存下来的。

究其原因,古希腊没有学术刊物,出版书籍也非易事,因此许多学者通过给朋友们写信,向世人宣布自己的学术成果,附信的内容也成为论著的序言。比阿基米德稍晚的阿波罗尼奥斯也是这样做的,他与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大黄金时期的三大数学家。

阿波罗尼奥斯年轻时也在亚历山大求学,后来到过小亚细亚米利都北面的帕加马王国,那里有一个大图书馆,规模仅次于亚历山大。他在帕加马认识欧德莫斯(Eudemus)和阿塔罗斯(Attalus),回到亚历山大后,把他的名著《圆锥曲线论》前3卷和后5卷分别寄给欧德莫斯和阿塔罗斯,两人因此在数学史上留名。但此欧德莫斯非数学史家欧德莫斯,后者来自罗德岛,是亚里士多德的学生。

03力学之父

阿基米德是叙拉古统治者希罗王的亲戚,和王子格伦是朋友,格伦后来继承了王位。公元前1世纪的罗马建筑师、作家维特鲁威在其十卷本的名著《建筑学》第九卷中,记叙了阿基米德和希罗王一则千古传诵的故事。

随着希罗王的政治威望和权势的日益提高,他决定建造一个华贵的神龛,内装一个纯金的王冠(wreath,其实是环状花冠),以报答神灵的恩泽。金匠如期完成了任务,本应得到奖赏,偏偏这时候有人告状,说他偷去一部分金子,代之以银子。国王甚为愤怒,却又无法判断真假,便请聪明能干的阿基米德来鉴定。  

起初,阿基米德也想不出好办法。苦闷之际,他到公共浴室洗澡,当浸入放满水的木桶时,一部分水溢出桶外,他的身体顿觉轻飘,于是豁然开朗。阿基米德领悟到,不同质料的物体,虽然重量相同,但因为体积不同,排出的水量也必不相同。根据这一道理,不仅可以判断王冠是否掺假,还可以知道少去的黄金份量。

阿基米德从浴盆里站了起来

阿基米德高兴地跳了起来,赤身裸体地用多利安方言高喊“尤里卡!”意思是,“我找到了!”他不仅揭穿了金匠的劣迹,且将其上升到理论高度,得到流体静力学的浮力原理:物体在流体中减轻的重量,等于排去流体的重量。

这个原理记载在阿基米德的著作《论浮体》中,《建筑学》因为这则故事被数学家们知晓,文艺复兴以后它成为古典时期的建筑名著。另有作者记成是希罗王头上的王冠,如同专家所分析的,这不甚合理,如此轻巧的体积恐不能混入银子,也难以用排水法鉴别真伪。

1500年以后,意大利画家达·芬奇依据《建筑学》第3卷中提出的人体比例要求和黄金分割律,绘出了钢笔素描《维特鲁威人》,后来成为艺术史上最著名的素描,《建筑学》也借此进入了绘画史。其实,维特鲁威本姓波利奥,因为与同时代的诗人、演说家兼历史学家同名,故被后世写成维特鲁威。

在帕波斯的著作《数学汇编》里,记载了阿基米德另外一个有名的杠杆定律的故事。这个定律说的是,如果两个物体与一个支点的距离反比于其重量,则杠杆获得平衡。杠杆定律奠定了力学的基础,阿基米德因此发出豪言壮语:“给我一个支点,我可以移动地球。”(希腊语原文:Δός μοι πᾷ στῶ καὶ τὰν γᾶν κινήσω. 英译:Give me a standing place and I will move the earth.)

其实,准确的说法是,“如果另外有一个地球,就可以站在那儿移动这一个。”这是1世纪罗马帝国时代的希腊传记作家普鲁塔克在《马塞勒斯传》里描写的,阿基米德还向希罗王夸下海口:任何重物都可以用一个给定的力来移动。国王听后大为惊讶,要求阿基米德用事实来证明。

于是阿基米德从国王的船队中选了一艘有三根桅杆的货船,那通常需要很多人花大力气才拖得动。阿基米德安装了一组滑轮,一个人独自握着绳子站在远处,轻而易举地将船拉了过来。而依据5世纪的拜占庭哲学家普罗克洛斯(Procrus)的说法,那是希罗王为托勒密王建造的一艘大船,下水时几乎动用了所有的叙拉古人,而阿基米德凭借自己发明的机械装置,使得国王一个人就把它拖动。

尼加拉瓜邮票上的阿基米德和杠杆原理

国王因此对他佩服得五体投地,并当众宣布,“从现在起,阿基米德说的话我们都要相信。”有趣的是,笔者发现,今天通过巴拿马运河或苏伊士运河上的每一艘巨轮,依然依靠轨道上的滑轮车牵引。

04数学之神

阿基米德不仅出身高贵,内心也具有贵族气质,他对自己的实用发明并不十分看重,这从他流传下来的著作可以看出,那几乎是清一色的数学问题,而机械方面的发明全仰仗他人的记载,但他对机械学的兴趣还是深深地影响了他的数学思想。

《论球与圆柱》可能是阿基米德最得意的数学著作,序言是他给多西修斯的一封信。书中给出了六个定义和五个公理,例如:两点之间的所有连线,以直线最短;以相同的平面曲线为边界的曲面中,以平面的面积最小。最著名的公理也叫阿基米德公理,用现代数学语言来描述就是:任给两个正数a和b,必存在自然数n,使得na > b。从这些定义和公理出发,阿基米德推导出了六十个命题。

例如,阿基米德发现并证明了,球面积等于它的大圆面积的4倍,球体积等于以它的大圆为底、半径为高的圆锥体积的四倍。后者意味着:以球的大圆为底、直径为高的圆柱的体积是球体积的二分之三。实际上,这便是著名的球体积公式:

V={4\over3}\pi R^3

这属于命题34,那也是应他要求刻在自己墓碑上的著名论断。七百年以后,利用3世纪数学家刘徽提出的牟合方盖思想,中国晋朝的数学家祖冲之、祖暅父子也得到了同一结果。

镶嵌在圆锥里的球,阿基米德墓的标志

又如,命题14说的是,正圆锥体的侧面积等于以底面半径与母线的比例中项为半径的圆的面积。实际上,这就等于圆周率、半径和母线三者的乘积。但在古希腊,由于毕达哥拉斯学派发现了\sqrt2的无理性,引发了第一次数学危机,线段的长度是否存在成了问题。

虽说二个世纪以后,欧多克斯(Eudoxus)通过引进不可通约概念,将这一危机化解。不过,数学家仍避免线段的长度概念,这就是为何阿基米德选择用矩形的面积来表达。从阿基米德公理出发,他用穷竭法(method of exhaustion)严格地证明了欧几里得《几何原本》中的一条定理:只要边数足够多,圆外切正多边形的面积与内接正多边形的面积之差可以任意小。

所谓穷竭法是公元前5世纪的雅典演说家、政治家安提芬(Antiphon) 创立的,他在研究“化圆为方”问题时,提出了使用圆内接正多边形面积“穷竭”圆面积的思想。稍后,欧多克斯加以改进,将其定义为:“在一个量中减去比其一半还大的量,不断重复这个过程,可以使剩下的量变得任意小”。

希腊邮票上的阿基米德

阿基米德进一步完善了穷竭法,并将其广泛应用于求解曲面面积和旋转体体积。例如,他通过把[0,1]区间n等分,累加矩形条面积,算出了y=x^2和x轴在该区间上曲边三角形的面积。遗憾的是,用穷竭法计算不同的曲边形面积时,需要采用不同的直边形去逼近,计算过程采用了特殊的技巧,因而不具有一般性,无法推广到一般的曲边梯形。

《圆的测量》是一本内容较薄的著作,只有三个命题,均是有关圆的面积和圆周率的,却同样不可小觑。虽说欧几里得在《几何原本》里讨论了许多圆的性质,却压根没提圆周率的值和圆面积、圆周长的计算公式。

阿基米德弥补了这一不足,其中命题1是这样叙述的:圆的面积等于一个以其周长和半径作两个直角边的直角三角形的面积。简单的说就是:圆的面积等于半径乘半周长。这与中国数学古籍《九章算术》里的说法“半周长半径相乘得积步”,或者公元263年刘徽注释的说法“半周乘半径为圆幂”,是等价的。

命题3给出了圆的周长与直径之比(圆周率)的上下界,即:

3{10\over71}<\pi<3{1\over7}

阿基米德用他的穷竭法,分别计算出了内接和外切正96边形的周长。这也是科学史上首次用上、下界来确定一个量的近似值,同时提供了误差估计。值得一提的是,不等式左右两端都是连分数的渐近形式,换句话说,在不超过7或71的所有分数中,它们是最接近于圆周率值的。阿基米德得到的圆周率是3.14,精确到小数点后两位,这是公元前人类所得到了最精确的结果。在此之前,最好的结果是古埃及人的3.1,而古巴比伦人和后来的《九章算术》给出的结果都是3.0。

在《论锥形体和球形体》中,阿基米德研究了椭圆的面积以及旋转体的体积,进一步深化了穷竭法,十分接近今天的积分法思想。而在《论螺线》一书中,他研究了螺线与出发点的垂线围成的曲线面积,以及螺线的切线,后者用到的微分学的思想。

所谓螺线,是指沿绕一定点匀速旋转的直线作匀速运动的点的轨迹,用牛顿发明的极坐标表示就是r=a\theta。如同20世纪的美国数学史家E·T·贝尔所言,他(阿基米德)比牛顿和莱布尼兹领先两千多年发明了积分学,在他的一个问题(指螺线)中,领先他们发明了微分学。难怪1世纪的罗马博物学家、《自然史》作者普林尼要赞颂阿基米德是“数学之神”。

阿基米德也留传下一部算术著作《沙粒的计算》,这唯一的一部算术著作也可能是他的最后一部著作。这是他为外行人写的一些“机智的妙语”,充满了想象力,他把书献给希罗王的儿子格伦,堪称世界上最早的科普著作。

意大利邮票上的阿基米德

全书只有一个定理,即相当于现今的指数乘法法则。阿基米德先给出了地球、月亮和太阳的大小估计,进而计算出沙粒的数目。不过,如同他事先所说的,这只是一种假设,这些数字与实际出入较大。阿基米德以万为基础,建立新的记数法,使得任何大的数都能表示出来。他算出充满太阳系的沙粒为10^{51}颗,即使是扩充到整个宇宙,也只能容纳10^{63}颗。

最后,我们谈谈阿基米德的数学著作对后世的影响。虽然他的工作很有独创性,比如计算球的表面积和体积公式,用22/7作为圆周率的近似值,但在古代的影响十分有限。他的工作也没有被继承和发扬,没有人试图推广他的旋转体体积公式,即使在8世纪和9世纪他的著作被译成阿拉伯文之后。

随着文艺复兴的到来,包括布鲁内莱斯基(佛罗伦萨大教堂的设计者)和达芬奇这样的巨匠都对阿基米德入迷,前者还有“阿基米德第二”的雅号,但他们看的都是手抄本。1544年,阿基米德的7部希腊文著作在巴塞尔首次印刷,附有拉丁文译文,它们在当时第一流的数学家和物理学家,包括开普勒和伽利略的著作中有所反映。对17世纪的笛卡尔和费尔马,更是产生了巨大的影响。不幸的是,他的《方法论》直到20世纪初才被发现。

05羊皮书稿

1906年,丹麦文献学家海伯格(Heiberg,1854-1928)在君士坦丁堡发现了阿基米德寄给厄拉托色尼的那篇论著《论力学定理和方法》(以下简称《方法论》的羊皮书),此前它被认为已经遗失了,且连阿拉伯文版和拉丁文版也不存在。两年以后,海伯格再次去君士坦丁堡,经过不懈的努力,终于使185页的文字重见天日(除去少数完全看不清)。

在这篇论文中,阿基米德解释了他怎样通过在想象中比较一个已知面积或体积的图形和立体,以及一个未知的图形和立体,从中得到了他要寻求的事实;而一旦知道了事实,那么在数学上证明它就比较容易了。这有点像如今的数论学家,利用想象力和计算机寻找数的规律,再设法证明它;不同的是,这种证明通常很不容易。

在《方法论》中,阿基米德阐明了平衡法。穷竭法主要用来证明结论,却不易发现新的结果。阿基米德用平衡法计算物体的面积或体积,也是依据德谟克利特的原子论思想,先把面积或体积分成许多窄的平行条或薄的平行层。进而阿基米德假设把这些薄片挂在杠杆的一端,使它们平衡于容积和重心都已知的一个图形,而且已知图形的面(体)积一般都是容易求得的。

例如,求球体积时,他把同一个球、圆柱和圆锥放在一起,把球和圆锥的薄片挂在杠杆的一侧,而让圆柱的薄片挂在另一头,利用力矩和杠杆原理,以及圆柱和圆锥的体积公式,推导出了球体积公式。

看得出来,除了微积分或无穷数学的思想,阿基米德研究数学的第二个武器是力学和物理学。我们再举两个例子,一个是重心。牛顿力学里,假设每个星球都是单个的点,这样的点叫重心。圆的重心便是圆心,正方形或平行四边形的重心是对角线的交点。而对于三角形,阿基米德证明了,重心就在任意一条中线距离边长的的三分之一处。这个结论是《论平面平衡》的命题1。再来看抛物线,这似乎是数学家发明的游戏工具。然而,现代科学却表明,围绕着原子核的电子、发射到太空的火箭、投石机弹出的石子,它们的运动轨迹均为圆锥曲线。

下面我们来讲述阿基米德羊皮书的历史。羊皮书是由羊皮纸(perchment)做成的,得名于它的诞生地,就是前面提到的帕加马王国(Pargamon)。当年那儿建立了大图书馆和大学,成为希腊散文和修辞的中心,并试图与亚历山大竞争文化学术中心地位。

托勒密王朝为了阻碍这一竞争,严禁向帕加马输出纸莎草纸,于是帕加马人在公元前2世纪发明了羊皮纸。羊皮纸由小羊皮或小牛皮制作,经石灰处理,剪去羊毛,再用浮石软化。这样的纸两面光滑,书写方便,尤其适合鹅毛笔,摺成书本也没问题。比纸莎草纸更适用,但价格昂贵。从公元前2世纪起,羊皮纸与纸莎草纸同时被使用。公元3到13世纪,欧洲各国普遍使用羊皮纸书写文件。14世纪起,逐渐被中国的纸取代。

公元330年,第一个基督教皇帝君士坦丁大帝在博斯布鲁斯海峡建造了一座城市,那便是东罗马帝国的首都君士坦丁堡。他下令抄写50本《圣经》,稍后批准了一项保护古典文献的计划,于是抄录员成了一份可靠的职业。3个世纪以后,圣索菲亚教堂落成,这座宏伟壮丽的建筑物被认为是图形和数字的呈现,是两位小亚细亚建筑师安提缪斯(Anthemius)和伊西多尔(Isidore)设计的。

此两人是阿基米德的崇拜者兼论著编辑,同时代的数学家欧多修斯(Eutocius)加以注释使之更为著名。可以想象,那时的君士坦丁堡拥有各种阿基米德著作。其中9世纪的一位牧首(教皇)佛提乌斯(Photius)通晓希腊古典文献,他收集编辑出版了自己读过的所有著作,冠名以丛书,并发明了书评。他还派遣学生西里尔兄弟去斯拉夫人中间传教,导致他们发明了西里尔字母,至今仍为俄罗斯、乌克兰、白俄罗斯和巴尔干半岛等十多个国家的语言使用。

君士坦丁堡牧首佛提乌斯是一位爱书人

9世纪中叶,抄写的方式从大写字母改为草书小写,这样一来速度加快,且每页文字内容增多。9世纪下半叶,叙利亚数学家、天文学家塔比特(Thabit ibn Qurra)在巴格达的智慧宫里,将阿基米德的著作从希腊文翻译成阿拉伯文。在12世纪时,又被意大利人吉拉尔德(Gerard)在托莱多译成拉丁文。那以后,君士坦丁堡在1204年经历了一场空前的灾难,东征的基督教十字军洗劫了这座欧洲最富有的城市。

阿基米德的著作只留下三个羊皮书抄本,分别称为A、B、C。三个抄本都包含《论平面平衡》,A和B都包含《抛物线求积》,A和C都包含《球体和圆柱体》、《圆的测量》和《论螺线》,B和C都包含《论浮体》;A是《锥形体和椭球体》、《沙粒的计数》的唯一抄本,C是《方法论》和《十四巧板》的唯一抄本。当然,还有著作不在任何抄本之列,有的已经遗失,有的如几何题集《引理集》,因有阿拉伯文版流传下来。

阿基米德羊皮书《十四巧板》封面插图

如今,A和B已经不复存在,只有它们的复本和译本留下来,但它们已经完成了自己的使命,把阿基米德的论著和思想传递到了近代。如此说来,海伯格当年发现的抄本C不仅是含有《方法论》和《十四巧板》(此书表明阿基米德已经掌握了组合学)以及希腊文《论浮体》的孤本,也是幸存下来的最古老的阿基米德论著的希腊文手稿。

这部羊皮书上阿基米德的著作抄于10世纪,后来被人擦掉,大约在13世纪时写上一大堆东正教的祈祷文和礼拜仪式,作为中世纪的宗教文献在一座修道院保存下来。旧的字迹隐约可见,海伯格惊喜地发现,那是阿基米德的著作。他的著作虽然不像《几何原本》那样浑然一体,但也所言有据、论证严密。

20世纪20年代,一位曾在希腊服役的法国人斯里克斯在游历土耳其时得到这本羊皮书,把它带回了巴黎。1947年,他搬到法国南方,把公寓连同羊皮书送给了女儿安妮。最晚在1970年,安妮知道这本书的价值,于是准备私下出售。但是,直到1998年10月29日,纽约克里斯蒂拍卖行的锤音落下,这部羊皮书才以两百万美元被一位不愿透露姓名的美国富翁买下,如今收藏在巴尔的摩华尔特艺术博物馆。

经过考古学团队(含科学史、数学史、艺术史、古籍手稿、化学、数码成像和X射线成像等方面专家)多年的合作研究,这部遗著终于与大家见面了。阿基米德在书中证明了,抛物线形(被一条与准线平行的直线所截的图像)与其内接三角形的面积之比为4比3(如图)。这一点再次证明了毕达哥拉斯学派揭示的整数比例关系无所不在,在《方法论》中,几乎每个命题都如此神奇。

06英雄挽歌

公元前212年,中国的皇帝秦始皇下令在咸阳焚书坑儒,460多名儒生惨遭杀害。那一年,叙拉古的阿基米德也走到了生命的尽头。

原来,出于商业、交通和殖民利益等的冲突,从公元前264年到前146年,迦太基与罗马帝国之间发生了三场战争,史称布匿战争,因为罗马人称迦太基人为腓尼(Peoni),转为布匿(Punic)。

其中尤以第二次布匿战争最为惨烈,那是在公元前218年到前201年间,犹如20世纪的第二次世界大战。迦太基人一度占据了上风,尤其在青年统帅汉尼拔的领导下,在海上完全取得了控制权,他率领的军队从陆地越过比利牛斯山和阿尔卑斯山,进入到亚平宁的腹地,最后因罗马人突袭迦太基本土,回军驰援而功亏一篑。

叙拉古的阿基米德广场

由于叙拉古与迦太基结成同盟,且叙拉古又在罗马船舰征战迦太基的途中,不可避免地成为罗马人攻占的目标。公元前214年,罗马名将马塞勒斯(Marcellus)率领大军围攻叙拉古。许多史书记载了这场战争,最早的是公元前2世纪的希腊政治家、历史学家波利比奥斯(Polybius)的《通史》。

书中写道,马塞勒斯从海上发起攻击,叙拉古人依靠阿基米德发明的起重机之类的器械将靠近岸边的船只抓起来,再狠狠地摔下去。马塞勒斯用八艘五层的橹船推进,每两艘连锁在一起,可是叙拉古人未等靠近,就用强大的机械把巨石抛出,形同暴雨,罗马兵死伤无数,只得后退。

还有一种传说见于2世纪希腊修辞学家、讽刺作家卢西恩(Lucian)的记载,说阿基米德用一面巨镜反射阳光来焚烧敌船。这或许是夸大的说法,不过至少可以说明,当时阿基米德已经发现抛物面反射镜能够聚焦的性质。后来,罗马人又采取夜袭的方法,谁知阿基米德早有防备,事先制造了一种叫“蝎子”的弩炮,专门对付近处的敌人,罗马兵又一次吃了大亏。最后,马塞勒斯干脆放弃正面围攻,而采用长期围困的策略。叙拉古终于因为粮食耗尽陷落,公元前212年,在一个庆祝的节日夜间被罗马人悄悄攻占,阿基米德也光荣牺牲。

关于阿基米德之死,最早的说法出自公元前后的历史学家、《罗马史》作者李维(Livy),“在兵荒马乱之中,侵略军大肆杀戮,阿基米德面对地上的一幅沙图思考,一个罗马士兵将他刺死,根本不知道他是谁。”策策斯教诲诗中是这样描写的,阿基米德没有注意到逼近他的人是谁,“喂!站远一点,别动我的图。”结果他被杀害了。而传记作家普鲁塔克的说法是,阿基米德要求让他先找到问题的答案,结果激怒了士兵。有意思的是,这则阿基米德的典故可能是唯一有关纯粹数学的。

据说,阿基米德被杀死后,马塞留斯非常悲痛,他严肃处理了那个士兵,还寻找到阿基米德的亲属,给予抚恤并表达敬意,又给阿基米德立碑,聊表敬仰之请。并让人在墓碑上刻上球内切于圆柱的图案,以资纪念。

值得一提的是,普鲁塔克是在《马塞勒斯传》写到这则故事的,他并没有为阿基米德立传,也许他认为,那位将军比阿基米德更重要。结果呢,将军本人因为这则有关阿基米德的记载才被人们记忆。一个多世纪以后,古罗马的政治家、作家西塞罗担任西西里的税务官,有意去墓地凭吊,结果无人愿意带路,他只好自己拨开荆刺寻找到了,只见那球和圆柱的图案仍历历在目。只是我不得而知,在墓碑上刻印图像或公式的传统,是否源于阿基米德。

英国哲学家怀特海曾经说过,“欧洲哲学传统最可靠的一般特征在于,它是由对柏拉图的一系列脚注组构成的。”有人借此比喻,“欧洲科学传统最可靠的一般特征在于,它是由对阿基米德的一系列脚注构成的。”

如今阿基米德已被公认为是古代世界最伟大的数学家、科学家。贝尔称:任何一张列举有史以来最伟大数学家的名单中,必定会包括阿基米德,另外两个通常是牛顿和高斯。不过,若拿他们的丰功伟绩与其所处的时代来比较,仍应首推阿基米德。甚至于菲尔兹奖章上刻着的也是阿基米德像,这与诺贝尔奖章刻着捐助人的像形成对照。

菲尔兹奖章,刻着阿基米德肖像

1979年,阿基米德的同胞诗人、克里特岛出生的埃利蒂斯获得了诺贝尔文学奖。在一首冠名《英雄挽歌》的长诗中他这样写道,“梦的轻烟是如何上升的……/ 这一顷刻将另一顷刻抛弃 / 永恒的太阳就这样离开了世界”。

 作者简介 蔡天新

浙江大学数学学院教授、博士生导师、求是特聘学者,近作有《小回忆》增订版、《我的大学》、《26城记》、《数学与艺术》、《经典数论的现代导引》(中、英文版)、《完美数与契波那契序列》(即出),主编《地铁之诗》、《高铁之诗》。

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【文摘】无穷大的密码

数学与通识

无穷大的存在问题是一个令人惊讶的古老问题。亚里士多德首先引入了一个明确的区分,以帮助理解它的意义。他区别两种不同的无穷大。其中之一,他称之为潜在无穷大:这种无限大刻画了无止境的宇宙或一个永无休止的名单,例如自然数1、2、3、4、5,等等,永远继续下去。这些是没有结束的列举或没有边界的疆场,你永远无法到达数的终点,或乘太空飞船达到无休止的宇宙终端。

亚里士多德很乐意这些潜在的无穷大,他认识到,它们的存在在他关于宇宙的思维方式中没有制造任何大麻烦。亚里士多德将所谓的实际无穷大与潜在无穷大相区分。这些将是你可以测量的局部的东西,例如固体的密度、光的亮度或一个物体的温度,在某个特定地方或时间变成无限。你将能在宇宙中局部地遇到这种无限。亚里士多德禁止实际无穷大:他认为它们是不可能存在的。这与他的本质上不可能有完美的真空的信念是一致的。如果可能的话,他相信人们能够推动一个物体并加快到无穷的速度,因为它不会遇到阻力。

几千年来,亚里士多德的哲学构成西方和基督教教义关于宇宙本质的基础。人们继续认为,实际的无穷不可能存在,如果存在的话,那么唯一实际无穷是神性。

数学的无穷

但在19世纪接近尾声时,数学家乔治·康托尔发展了一种更微妙的方式定义数学的无穷,它使数学世界开始发生变化。康托尔认识到,有一个最小类型的无穷大:永无休止的自然数列1、2、3、4、5…。他称这是一个可数无穷大。任何其他的无穷大,如果可以通过把其成员以一对一的方式对应到所有自然数,也被称为可数无穷大。这个想法有一些有趣的后果。例如,所有的偶数全体也是一个可数无穷大。直觉上,你可能会认为偶数只有自然数的一半多,因为对有限个数的列举这是对的。但是,当列举变得无止境后,这不再为真。

你可以给出一个从1到2、从2到4、从3到6等等直到最后的两个列举之间的一一对应。每个偶数将对应到自然数列中的一个唯一的相关数,所以这两个数集有同样多的数。伽利略首先发现了这个事实(尽管他数的是平方数1、4、9、16,等等,而不是偶数),因为感到太奇怪了,导致他不再进一步思考任何无限集合。他认为,这件事有一些危险的自相矛盾之处。然而,对于康托尔而言,能够在数集和其子集之间建立一个一一对应的关系,是一个无限集合的标志性特征。同样,所有有理数的全体,也就是所有的分数,是可数无穷大。系统列举这些数的方法是把分数的分子和分母加起来,然后先写下所有分子分母和为2的分数(只有一个,1/1),然后所有加起来为3的分数(1/2和2/1),依此类推。每次你只计数有限多个的分数(p+q=n的分数p/q个数是n-1)。这是计数所有有理数的一个可靠配方:你不会错过任何数。这表明,有理数是可数的,即使在直观感觉上,分数似乎比自然数多得多。

康托尔接着证明,还有其它类型的无穷大,并在某种意义上比可数无穷大要大得多,因为它们不能以可数无穷的方式来计数。这样一个无穷大的特征由所有实数的全体体现。像实数一样,这些都不可能被计数,没有系统地列出它们的方案。这种不可数无穷大也被称为连续统。但是找到这个无限大的实数集并不是故事的结束。康托尔证明,你仍然可以找到越来越无限大的集合,一路向上直到永远,没有最大可能的无限集合。如果有人给你一个无穷集合A,您可以构建一个更大的集合,不与A一一对应,该集合就是A的所有可能的子集全体。这永无止境的无穷之塔通向一个称为绝对无穷大的东西—无穷塔最末的那个遥不可及的顶峰。在数学上,康托尔把无穷处理为实际的东西,而不是潜在的。你可以将它们相加,比如一个可数无穷大加上另一个可数无穷大结果也是可数无穷大。

关于是否应该允许这样做在数学上可以大做文章。有些数学家认为,如果允许康托尔的超限量(它们被如此称作)进入数学,你可能在一些地方引进某种类型的细微矛盾。如果你将矛盾引入一个逻辑系统,那么最终你将能证明什么都是真的,那则会带来整个数学系统的崩溃。这种担心导致有限主义或构造主义数学的诞生,它只允许数学对象通过有限次的逻辑论证步骤来构造。这样的数学就变成了有点像电脑那样做事,可以设置某些公理,仅仅通过有限步的逻辑步骤推导出的东西才被认为是真的。这意味着你不能把反证法(或排中律)作为证明的公理,反证法先假如结果不成立,然后推导出矛盾,这样原命题的结果必定成立。这个构造主义观点的19世纪支持者是荷兰数学家L.E.J.布劳威尔和德国数学家L. 克罗内克,外尔在20世纪对此也感兴趣了一段时间。有一些数学家们由于哲学和其他原因以这种方式定义数学,还有一些只是感兴趣于在这个限制的情形下到底可以证明些什么。但一般而言,康托尔的想法已被接受,今天它们形成纯数学的一个分支。这导致一些哲学家,甚至一些神学家,重新考虑他们关于无穷的古老态度。因为有许多种类的无穷大,很清楚你不必把数学无穷的出现看成是对中世纪的神学家认为的神性的某种挑战。康托尔的想法实际上最先受到当代神学家的热情追捧,而不是数学家。科学家们也开始区分数学的无穷和物理的无穷。在数学上,如果你说某物“存在”,你的意思是,对于给定的一组特定规则,它并没有引入逻辑上的矛盾。不过,这并不意味着它可以坐在你的办公桌上,或在某个实处运行。独角兽不是逻辑上不可能的,但是,这并不意味着从生物的意义上它存在。当数学家证明了非欧几何存在时,他们只是发现了存在一个公理系统,允许他们不会走向自相矛盾。

物理的无穷

所以,现代物理学中的无穷大已成为与数学上的无穷大互相独立。物理中无穷大有常见的一个领域是空气动力学或流体力学。例如,空气动力学中的波可能会变得非常陡峭及非线性,然后形成激波。在描述激波形成的方程中,一些量可能会变得无限大。但是,当这一切发生的时候,人们可能会认为它只是一个失败的模型。原因可能是忽略了摩擦或粘度,一旦把它们包含在方程中,速度梯度就会变成有限,尽管它可能仍然是非常陡峭的,但在现实中粘度确实可以小到几乎为0。在大多数的科学领域,如果看到一个无穷大,人们通常会想当然地认为是由于模型不准确或不完整所致。粒子物理中一直有一个更长时间未决及更微妙的问题。量子电动力学在整个科学中是最好的理论,关于宇宙它比我们知道的其他东西都有更准确的预测。然而,这些预测的获得也伴随了一个尴尬的问题:当做数值计算来验证实验观察的时候,人们似乎总是得到一个添加了额外有限位的无穷答案。如果减去无穷大,留下来的有限部分就是人们希望在实验室中看到的预测,并总是极其精确地匹配实验。除去无穷大的这个过程被称为重整化。许多著名的物理学家们发现它极不令人满意。他们认为这可能只是一个理论的可以改善的症状。

同样的道理可以解释为什么弦理论在20世纪80年代创造了巨大的兴奋,导致大量的物理学家可以开始研究这一理论。这是粒子物理学家第一次发现了一个有限的理论,这些无穷大在该理论中没有出现。粒子物理的基本出发点是取代传统的观念:最基本的实体(例如光子或电子)应该是点状物体,通过空间和时间移动,所以在时空中被描绘。相反,弦理论认为最基本的实体是线或小圈,它们在移动时描绘出管道。当你有两个点状的粒子通过空间互动,就好像两条线相互打击,在相遇处形成一个尖角。图片中的尖角是所描绘的无穷之源。但是,如果你有两个小圈撞在了一起,这有点像一对裤子中的两条腿;然后又有来自另外两个小圈的相互作用,这像将另一对裤子缝到第一对上。你得到的是一个平稳过渡。这也是为什么弦理论如此吸引人的原因,它是粒子物理的第一个有限理论。

宇宙的无穷

另一种类型的无穷出现在引力理论和宇宙学。爱因斯坦的广义相对论表明,膨胀的宇宙(如我们所观察到的)在有限的过去开始之时,其密度是无限的,这就是我们所说的宇宙大爆炸。爱因斯坦的理论还预测,如果一个人掉进一个黑洞(在我们的银河系和附近有很多黑洞),他将在里面遇到一个无穷大的密度。这些无穷大,如果它们确实存在,将是实际无穷大。

人们对这些无穷大的态度是不同的。来自粒子物理并对弦理论关于宇宙起源有兴趣的宇宙学家会倾向于认为,这些无穷大都不是真正的,它们只是我们的理论不完善的附产品。还有其他人,彭罗斯(Roger Penrose)是其中之一,他们认为宇宙起源的无穷大在物理结构中起着非常重要的作用。但是,即使这些无穷大不是真正的无穷大,但密度仍然令人惊奇的高:比水的密度大10的96次方倍。在实际应用中,如此高的密度,以至于我们需要一个量子理论来描述空间、时间和引力特征的影响,了解在那里发生的事情。

如果认为我们的宇宙最终会停止膨胀并收缩到另一个无穷大,很奇怪的事情也许会发生,这就是一个大紧缩。大紧缩可能是不同步的,因为宇宙有星系,其密度比其他地方大。高密度区域在低密度地区前进入未来的无限大。如果我们处于宇宙中某个小地方,它大大推迟未来无穷大的到来,或甚至不会到来,那么我们可以回头看发生在其他地方的宇宙终止,这样我们就会看到一些无限。你也许会看到空间和时间即将在某个地方结束的证据。但是你很难精确预测当实际无穷大在某处出现时你将看到什么。在我们的宇宙于瞬间形成的过程中,有一个令人纳闷的防御机制。对这些的一个简单解释是:在每个黑洞的中心有无穷大的密度出现,恰似宇宙终端的无穷大。但是黑洞围绕这个现象产生一个景象:甚至光也不能在它附近逃逸。因此我们孤立了,看不到在那些其密度看上去好像要趋向无穷大的地方究竟发生了什么。反过来,无穷大也不能影响我们。这些景象使我们免于那些密度无穷大的地方产生的后果,它们也阻止我们看到发生的现象,除非我们位于黑洞之内。

另一个问题是我们的宇宙在空间上是有限还是无限。我认为我们永远不知道。它或许是有穷大的,但其尺寸任意大。但对许多人而言,有限大宇宙的想法立刻带来宇宙之外是什么的问题。没有“之外”—宇宙就是存在之万物之集。要理解这点,让我们想想二维宇宙,因为它们更容易想象。如果捡一张A4尺寸的纸,我们知道它有边缘,故有限的宇宙怎么会没有边缘呢?但关键之处是这张纸是平整的。如果我们想想二维的弯曲表面,像球的表面那样,则球面的面积是有限的:你仅仅需要有限量的颜料将它上色。但如果你在它上面走动,与在纸上走不一样,你永远到不了边缘。因此,弯曲的空间可以是有限的,但没有边界或边缘。要理解一个膨胀的二维宇宙,让我们首先想想一个无穷情形,其中平均而言无论走向何处,宇宙看上去都是一样的。那么无论你站在何处并向周围张望,看上去宇宙以你为中心向外膨胀,因为每一处都像是中心。对于有限的球面宇宙,把它想象成一只气球,并在表面上标上了星系。当你开始对气球充气时,星系开始彼此相向而退。无论你站在气球表面何处,你可看到当橡皮膨胀时,其他星系离你膨胀而去。膨胀中心不在曲面上,它处于另一维,在这个情形是第三维。因此我们的三维宇宙,假如它是有限的并正向弯曲,则其行为好像是一个想象的四维球体的三维表面。

爱因斯坦告诉我们,空间的几何由它当中的物质的密度确定。这颇有点像橡胶蹦床:如果你把物质放在蹦床上,这使得曲率改变。如果空间有大量的物质,它会导致一个巨大的角距降低,使得空间合拢。因此,一个高密度的宇宙需要一个球形的几何形状和一个有限的体积。但是,如果你有相对较少的物质变形空间,你则得到一个负曲率的空间,形状像一个马鞍或炸薯片。这样的负曲率空间可以继续被拉伸和膨胀下去。一个低密度宇宙,如果它有一个简单的几何形状,将有无限的尺寸和体积。但是,如果它有一个更奇特的拓扑结构,像一个圆环面这样的,也可以有一个有限的体积。关于爱因斯坦的方程的奥秘之一是,它们会告诉你如何从物质分布推导出几何形状,但他的方程关于宇宙的拓扑结构却没说什么。也许更深入的量子引力理论可以对此说些什么。

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【人物】天才数学家伽罗华

数学与通识

他是一个天才少年,15岁学习数学,短短5年就创造出对后世影响深远的“群论”,带来数学的革命。他也是一个悲情少年,两次升学未成,三次论文发表被拒,两次被捕入狱,20岁时就因与情敌对决而黯然离世。他就是法国数学家伽罗华,其惊人才华的背后却是充满坎坷的悲剧人生。2021年是伽罗华诞辰210周年,当我们再次追忆这段科学史上的传奇时,依然会为其成就赞叹,为其命运唏嘘。

令人惊叹的天才少年

伽罗华1811年出生于法国巴黎,1826年,15岁的伽罗华开始选修初级数学的课程,从而使他的数学天赋被彻底激发。伽罗华很快对数学教科书的内容感到无聊和厌倦,开始自学数学大师的巨著,如勒让德的《几何原理》、拉格朗日的《解析函数》等。伽罗华有着炉火纯青的心算本领,可以凭借纯粹的心算完成最困难复杂的数学研究。

1828年伽罗华在法国一个专业数学杂志上,发表了他的第一篇论文——《周期连分数一个定理的证明》。虽然此时的伽罗华还只是一个中学生,但已经能把大数学家的工作向着更完美的方向推进。也正是这一年,17岁的伽罗华第一次参加升入巴黎综合理工学院的竞赛考试,这所学校被誉为法国科学界的最高学府。但可能因为准备不足,伽罗华的考试失败了。这次考试的失败让那些惊叹于他数学天赋的伙伴们感到吃惊。许多人认为这次失败是一种不公正行为的结果,直至20多年后,这种争论仍未停息。

厄运不断的学术生涯

早在1828年,17岁的伽罗华就开始研究方程论,他创造了“置换群”的概念和方法,解决了几百年来使人头痛的高次方程求解问题。伽罗华最重要的成就,就是提出了“群”的概念,他用群论改变了整个数学的面貌。1829年5月,伽罗华将其研究的初步结果提交给法国科学院。负责审查这篇论文的是当时法国数学界的泰斗——柯西。当时柯西意识到这篇论文的重要性,也曾提及要在科学院的会议上介绍这篇文章,但在随后的科学院会议上柯西并未提及伽罗华的工作。为何柯西会忘记这么重要的事,成了一个无法解开的谜。后来,伽罗华论文的手稿也遗失了,此事便不了了之。

1829年7月,伽罗华的父亲在政治斗争中遭到迫害,自杀身亡。父亲的惨死对伽罗华打击很大。父亲去世后没过多久,18岁的伽罗华再次参加了巴黎综合理工学院的入学考试。在口试中,傲慢的主考与伽罗华辩论一道数学难题,主考自己错了却未意识到,而且对伽罗华自创的理论丝毫不能理解。在主考官眼中,伽罗华只是一个不切实际、好高骛远的学生,还轻蔑地嘲笑他。伽罗华感到相当愤怒,最后他居然把黑板擦扔到主考官头上。结果可想而知,伽罗华再次落选了。

1829年10月,伽罗华写了几篇大文章,并希望用自己的全部著作来应征法国科学院的数学特别奖。于是伽罗华整理好自己的论文,再次提交到法国科学院。此次主持审查论文的也是当时数学界权威人士,法国科学院院士——傅立叶!然而很不幸,傅立叶在3个月后病逝,也许根本没来得及仔细看这篇论文。后来人们在傅立叶的遗物中也没有再见到伽罗华的数学论文。就这样,伽罗华的论文第二次被丢失了。

伽罗华没有灰心,继续研究自己在数学领域的新成果,第三次写成论文,于1831年第三次向法国科学院提交。主持这次审查的是科学院院士泊松。这一次论文总算没有丢失,但论文中用了“置换群”这个崭新的数学概念和方法,以致像泊松那样赫赫有名的数学家一下子也未能领会。泊松认为伽罗华的论文晦涩难懂,希望他能更加详尽地重写。于是,伽罗华第三次提交给科学院的论文以一条“不可理解”的评语而被否定了。

1831年5月,伽罗华在一次宴会上拿出小刀挥舞,被人误认为“企图暗杀国王”,因此被送进了监狱。一个月后伽罗华在律师的帮助下,最终被法院裁决无罪释放。但被释放后仅一个多月,伽罗华因身穿炮兵部队制服带领群众在街上游行示威,再次被捕,这次他被判入狱6个月。

数学界未来之星的陨落

伽罗华第二次出狱后不久,便爱上了一个风骚的舞女。为了这个女人,伽罗华卷入了一场涉及“爱情与荣誉”的决斗。伽罗华知道他的情敌枪法很好,自己恐怕难逃一死,于是在决斗前夜,即1832年5月29日晚上,通宵达旦地把其平生所研究的数学成果写成了一个极其潦草的大纲,并在遗书手稿的旁边注释中写道“我没有时间了!”

1832年5月30日清晨,伽罗华在决斗中被情敌打穿了肠子,次日上午10点在医院去世。临终前,他拒绝接受神父的祈祷,他对弟弟阿尔佛雷德说:“不要哭,阿尔佛雷德!我需要足够的勇气在20岁时死去!”至此,数学史上最年轻、最富有创造性的数学家永远凋零,卒年20岁零8个月。

短暂生命的非凡贡献

伽罗华的论文手稿在他去世14年后,也就是1846年,才由法国数学家刘维尔领悟到其中所迸发出的天才思想,刘维尔花了几个月的时间研究并解释了它的意义,并将这些论文发表在极有影响的《纯粹与应用数学杂志》上,科学界传遍了伽罗华的名字。

历史上人类很早就掌握了求解一次方程和二次方程的方法。关于三次方程,我国古人在7世纪找到了一般近似解法,而西方到16世纪初由意大利数学家找到解法。三次方程被解出来后,一般的四次方程很快就被解出。这就很自然地促使数学家们继续努力寻求五次及五次以上的高次方程的解法。遗憾的是3个世纪过去了,前赴后继的数学家没有取得任何成果,著名数学家拉格朗日称这一问题是在“挑战人类智慧的极限”。

此后的19世纪,与伽罗华同一时代的阿贝尔终于给出了高于四次的一般代数方程不存在代数解的证明。伽罗华在阿贝尔研究的基础上,进一步发展了他的思想,把高次方程求解的问题完全转化为置换群及其子群结构的分析,彻底解决了困扰数学家们300多年的根式求解代数方程的问题,并通过研究这一问题提出了“群论”这一崭新的数学概念。作为伽罗华理论的推论,也能得出五次以上一般代数方程根式不可解,以及用尺规“三等分角”和“立方倍积”不可能等结论。而后面两个问题,是困扰了数学家们2000多年的“世界三大几何难题”(指为用没有刻度的直尺和圆规三等分角、化圆为方、立方倍积)中的两个。群论的出现标志着抽象代数的开创和兴起,这是代数的革命。

事实上伽罗华的群论不仅在数学领域渗透到几何学、代数拓扑学、函数论、泛函分析及其他许多数学分支中,而且在物理、化学以及计算机领域中都有重大的应用。直到20世纪90年代,安德鲁·维尔斯在证明费马大定理的过程中,依然用到了伽罗华理论。现在,群论在结晶学、理论物理、量子化学、编码学、计算机科学及算子理论等领域都发挥着极其重要的作用。

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