【数学】布达佩斯平面

作者:Ivars Peterson 翻译:蒋迅

在1933年冬季的布达佩斯,几乎每个星期天都有一小群学生在城市的某个地方在公园或咖啡馆见面讨论数学。参加聚会的通常包括埃尔德什·帕尔(Paul Erdős,1913-1996),塞凯赖什·哲尔吉(George Szekeres,1911-2005)和埃丝特·克莱因(Esther Klein,1910-2005)。

除了满足他们对数学的热情,学生们还喜欢交流个人八卦和谈论政治。在某种程度上,他们拥有自己的非正式大学,没有围墙。他们抓住机会快乐地探索新思想。

有一次,克莱因向该小组提出了一个她刚刚遇到的一个奇怪的平面几何问题。假设在平面上的任何位置有五个点,只要其中三个点都不形成直线即可。连接四个点后,它们形成一个四边形-一个有四个边的图形。

克莱因注意到,给定五个点,其中四个总是看起来似乎定义了凸四边形。术语“凸形”表示图形没有凹痕。因此,正方形是凸的,但月牙四边形(带有四个顶点的角回旋镖或箭头形状)不是。


这里ACDE是凸四边形,但是ABCE(阴影部分)不是,因为B处的缩进。

克莱因询问是否有人可以证明在平面上的任何给定的没有三点在一条线上的五点集中必然存在凸四边形。在让她的朋友们思考问题之后,克莱恩解释了她的证明。

她认为,有三种不同的情况将凸多边形包围所有五个点。你可以把这些点想成一块木板上的钉子,用猴皮筋绷在这些钉子上而形成一个环使得它绷在最多得钉子上。

最简单的情况是凸多边形通过连接四个点以形成四边形而产生,该四边形把其余得点上包在里面并自动满足要求。

在第二种情况下,如果凸多边形是包含所有五个点的五边形,则可以将这些点中的任何四个连接起来以形成四边形。

最后,如果凸多边形仅是由三个点形成得三角形,则三角形内部的两个点将定义一条线,该线将三角形分开,以使三角形的两个点都位于该线的一侧。这两个点加上两个内部点自动形成凸四边形。

受到克莱因论点的启发,哲尔吉对结果进行了概括,就是要证明在随机散布在整个平面上的点中,如果有足够的点,您总能找到形成特定多边形的集合。例如,您总是可以在九个点的集合中找到一个凸五边形,而八个点不行。

然后哲尔吉和埃尔德什提出了一个命题:如果平面上得得点数为1+2^(k-2),你总是可以选择k个点使得它们可以形成一个凸多边形。于是,对于一个四边形,k是4,需要得点数是1+2^(4-2)=5。对于凸五边形,为5,需要得点数是9。

哲尔吉在多年后写的回忆录中描述了这种情况,他回忆说:“我们很快意识到,简单的推理是行不通的。令人感到兴奋的是,我们的圈子里出现了一种我们太急于解决得新型几何问题。”

埃尔多斯称其为“幸福结局”(happy end)问题。他想到的结局是哲尔吉和克莱恩后来的婚姻。该问题也被证明是由弗兰克·拉姆西发现的一个定理的应用

请参见“逻辑领域”,http://mathtourist.blogspot.com/2021/02/playing-fields-of-logic.html

有趣的是,还没有人证明关于保证凸多边形存在所需的精确点数的猜想。事实上,仅针对值k=3,4(由克莱恩)和5解决了问题。因此,甚至没有人证明平面中的任何17个点集始终包含六个点,这些点是一个凸六边形的顶点。

埃尔多斯本人后来在拉姆西理论的从一组孤立的结果到一个连贯的工作体系得转变中发挥了核心作用,这涉及到拉姆西定理和相关命题的应用。

尽管拉姆齐理论主要是针对它所暗示的发人深省的数学难题而进行研究,但它已开始在庞大的计算机和电话网络的设计中发挥作用。该理论中使用的技术可以帮助工程师和计算机科学家利用模式,这种模式在大型系统中不可避免地出现,在大型系统中,数据存储,检索和传输是重要组成部分。

同时,关于埃尔多斯和哲尔吉提出的原始猜想的工作仍在继续。用数学表达式表示,该问题要求:对于大于或等于3的任何整数n,确定最小正整数N(n),以使平面中至少的任何集合(即其中三个点不在一条直线上)包含n个点,它们是凸n边形的顶点。

尽管许多数学家做出了努力,但埃尔多斯-哲尔吉问题仍未解决。同时,这个悬而未决的问题本身又引发出了许多值得探索的相关的问题。一些数学家在点集之间寻找其他类型的模式,而另一些数学家则将该问题推广到更高维度和其他情况。

那是几十年前首次提出的一个优雅问题的丰富遗产,至今仍引起数学家的关注。

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