【文摘】哪些是重要的数学才能

柯尔莫戈洛夫  好玩的数学

学习和研究数学所需要的特殊才能常常被人们过分地夸大。由于数学的非常形式化和课堂上很糟的教学,导致了数学特别难学的印象。如果有好的指导或者跟着一本好书,一个普通的中等才能的人足以毫不费劲地掌握中等学校的数学,而且更可以进一步学习,比如说,微积分初步。

但是,一旦涉及到专门选择数学作为职业时,很自然地就要用到自己的数学才能,或者有时称作数学天赋。事实上,在在数学中,理解数学推理,解答数学问题,乃至于更深一步去发掘新的结果时,不同的人当然有不同的速度,不同的难易程度和不同的成就。在这一部门中,那些能最有成效地工作的人正在力求成为千百万青年当中的数学专业人员。

所以,学校的数学小组,数学竞赛以及其他宣扬数学知识和发扬独立数学工作兴趣活动的主要目的之一就是协助青年,使得他们的数学天赋得以发挥。对于个别青年,不应当过早地赋予其数学天才之称号,但可以以谈话的方式及时启发,以竞赛奖励来推动,使他们这些有才能的数学人才去选择数学,作为将来他们的工作,这是必要的。

数学才能究竟是什么呢?

首先,需要明确,数学上的成就很少是因为机械记忆大量事实和个别公式而获得,等等。在数学上,如同所有事情一样,有很好的记忆力是很有用的,可是,大多数杰出的数学家并不见得具有特别突出的记忆力。用一个比较极端的例子来说明,如果有一个很偏才的人,记得住一系列很长的数字而且可以心算这种数字的加法或乘法,这种人并不会被看作是有好的数学才能。当然,此时的所谓数学才能是在严格意义下的数学才能。

有过代数学习经历的人知道,在代数计算中,例如,如果找到了较为复杂的文字式的巧妙变换,或者不用乘法而能找到更有效的方法去解方程等,都可以说接近了这种“才能”。对于从事严谨科学工作的数学家来说,这种才能是常常需要的。
通常也有一种情况,即就是上述那种计算才能的特别充分的发展,有时我们称之为“计算才能”,这是基本类型数学才能中的一种类型的特指。在中学代数中,进行代数式分解因式时,学生首先遇到的困难,就需要用这种才能来解决。在本文后附录中所列习题1 和2就属于这种情况!有时,一个很简单式子的因式分解则需要很多智慧。在解方程中,这种类型的才能更具其施展的园地。

然而,有时,在研究问题时,数学家会用几何直观方法。在中学教学中的实例,也可以充分说明几何直观方法的意义,例如,用图形去研究函数的性质非常有用。所以,在数学各分支以及在最抽象的问题研究工作中,几何直观起了很人的作用,这样说,不会使读者惊奇。

在中学里,通常很难给空间图形一个直觉的表示,应该用实例可以说明,按照通常中学的水准来衡量,这样的人才就是一个好数学家。即当他合上书之后,他不用画图就可以清晰地想象出,一个立方体表面跟经过它的中心而且垂直于它的一个对角线的平面的交线是什么样。

附录中习题4的所有解题难点就在于是否能直观了解切四面体所得到的交线是什么样的图形。几何直观在习题5-7的解决中也很重要。虽然,这类问题的解决还需要逻辑推理能力和理论的高深知识,并且后者对于证题来说是必备的。

数学才能的第三个重要方面是正确而又有条理的分段逻辑推理能力。在中学,首先,这种能力可以在具有定义定理和证明的系统化几何课程进行培养。然而,显然,对于中学生来说,从数学推理的逻辑结构来看,代数课程中的数学归纳法原理就是很难的学习内容。因为,对于很多学生而言,在这个命题本身的表述中,已经有很多的“每一个”“如果”“那么”等等的堆积。因此,正确了解和使用数学归纳法原理首先要有对逻辑的准确理解,还要有很好的判断力,这种对逻辑的成熟理解对数学家来说是很有必要的。

在不理解的情况下,很难得到有条理的逻辑推理能力。在进行中学数学竞赛解题中,就常常会出现这种意外的困难。在这里,并没有任何预先的中学数学课内知识基础的假定,但是,要求正确地理解题意和有条理的推理。

有一个滑稽问题,困扰了很多十年级学生。如果松林里有800000株树,并且其中每一株树上的松针不多于500000个,试证明,至少有两株树的松针数是相同的。

请与附录3 里习题8题进行比较。在习题10-12里,主要的困难不是所用的推理方法是否复杂,而是所要用的推理方法是不常见的。

数学才能的各方面都会在不同的组合里常常遇到,在这些不同方面里,如果单独一方面有突出的发展,那么就可以收到意外而非凡的结果。当然,这种单方面的发展终究是危险的。因此,用不着再用语言来说明,如果没有对自己事业的热爱,如果没有每天系统地勤恳工作,任何才能都是无效的。(姚芳译校)

附录 数学竞赛题选。

1.因式分解:x^5+x+1(列宁格勒,1951,8年级)。
2.因式分解:x^{10}+x^8+1(利沃夫,1946,9-10年级)。
3.求解联立方程xy(x+y)=30,x^3+y^3=35(列宁格勒,1951,9年级)。
4. 一正方体里有两个正四面体,第一个正四面体的顶点是正方体的四个顶点,第二个四面体的顶点是正方体其余的四个顶点。试求这两个四面体公共部分的体积与正方体体积之比,(伊凡诺夫,1951,9-10年级)。
5.在一球外外切一个空间四边形,求证:切点都在同一平面上。(莫斯科,1950,9-10年级)。
6.求证从正四面体里的任意一点到它的面上的距离之和是一常数。(斯大林格勒,1950.10年级)。
7.求证正面体的高的中点与到底的各个顶点之连线相互垂直。(喀山,1947,9-10年级》。
8.有五百只装着苹果的箱子,已知每个箱子最多可以装240个苹果。求证至少有三只箱子装了同样多的苹果。(基辅,1950,7-8年级)。
9.50!=1*2*3*...*50数内包含多少个0?(利沃夫,1950,7-8年级)。
10. 在24小时里,表的时针与分针有多少次相互垂直?(基辅,1949,7-8年级)。
11.n凸多边形最多有几个锐角?(基辅,1949,9-10年级)。
12.求证:13边凸多边形不能分割诸多平行四边形。(莫斯科,1947,7-8年级)。(姚芳译)

注释[1] 本文译自:柯尔莫戈洛夫. 论数学职业. 8-11页. (А.Колмогоров О профессии математика. 8-11.[2]此处谈到的是分解成为有理系数的多项式,开始时很多人会觉得在习题1和2里的这类的分解是不可能的。[3]在《论数学才能》中多处提到此附录中的习题,为了帮助理解,此处附上此附录。附录中有25道题,但《论数学才能》中涉及到的习题属于12(包括12)以前的题,因此,只列出前12道题。

选自《数学——科学和职业》,[俄]柯尔莫戈洛夫著,姚芳、刘岩瑜、吴帆编译,大连理工大学出版社

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