【数学】赌博与概率论

数学与通识

概率论是一门既古老又年轻的学科。说它古老,是因为产生概率的重要因素—赌博游戏已经存在了几千年,概率思想早在文明早期就己经开始萌芽了。而说它年轻,则是因为它在十八世纪以前的发展极为缓慢,现代数学家和哲学家们往往忽略了那段历史,他们更愿意把1654年帕斯卡(Pasac)l和费马(Fomrat)之间的七封通信看作是概率论的开端。这样,概率论的“年龄”就比数学大家族中的其它多数成员小很多。一般认为,概率论的历史只有短短的三百多年时间。虽然在早期概率论的发展非常缓慢,但是十八世纪以后,由于社会学,天文学等其它学科的研究需要,使得概率本身的理论得到了迅速发展,它的思想和方法也逐渐受到了其它学科的重视和借鉴。在当代,随着概率论本身的发展和学科之间的交叉融合,囊括了概率理论和统计理论两大部分的广义概率论已经成为一门应用非常广泛的学科,概率方法与统计方法逐渐渗透到了其它学科的研究工作当中。无论是在自然科学领域还是社会科学领域,各门学科中都能看到概率论的身影。概率论已经成为一种重要的工具,在社会发展中发挥着巨大的作用。

机会的早期计算

古希腊人从航海实践中发现了许多概率经验规律, 古犹太人在纪元之初就有概率加法定律和乘法定律的应用记录。但是由于结果不确定的特点, 人们一直认为随机现象好似运气都由天神决定, 其规则是世俗不可想象的。能够刺激人们思考概率的事情很多, 但最终孕育概率论的却是庸俗的骰子赌博。公元 960 年左右, 怀特尔德大主教计算出掷三个骰子时不计次序所能出现的不同组合有 56 种。十三世纪左右拉丁诗歌《维图拉》指出这 56 种组合出现的机会不是相同的: 3 枚骰子点数一样, 每个点数只有一种方式; 2 枚骰子点数一样而另一枚不一样, 则有 3 种方式; 如果 3 枚都不一样就有 6 种方式。但是这些经验并没有引起更多的思考, 机会的计算仍处于直觉的、散乱的经验水平上。

卡尔扎诺是一位医学博士, 曾在米兰讲授数学, 写过多部医学、数学等方面的著作。他认为赌博是一种社会病, 也有理由作为可以医治的疾病来研究。约在 1564 年, 他集中了自己的智慧和赌博经验, 用拉丁文写出著名的《论机会游戏》, 揭示了赌博中的不确定性原理, 成为概率论前史的重要人物。书中, 卡尔扎诺强调赌博的基本原则是同等条件,“如果它们有利于对手, 那么你是傻瓜, 如果有利于自己, 那么你就不公平”。骰子应该是“诚实的”, 几个诚实的骰子联合起来仍然是诚实的, 下注应该根据这种诚实性。等可能思想的提出是卡尔扎诺的贡献之一, 为理解和解决复杂的赌博问题提供了依据。他定义了胜率(有利结果数与不利结果数之比) 表示机会的大小, 计算出了多种赌博的全部可能结果数和有利结果数, 由于当时组合数学还很贫乏, 他的计算在方法上与《维图拉》基本相同。卡尔扎诺还思考了独立事件的乘法法则, 在一番错误推理后他发现了正确方法, 例如一次的胜率是 3:1, 连续两次的胜率是 9:7。卡尔扎诺是第一个深入讨论概率问题的人, 他提出了考虑随机问题的基本原则, 建立了胜率概念和一些运算法则, 对概率理论的形成具有开创性贡献。但是他也犯了不少错误, 例如他认为在掷两个骰子时, 36 次投掷有 1 次机会出现双 6, 平均起来 18次投掷中, 出现双 6 的机会是 50%。这种推理意味着36 次投掷中必定出现一次双 6, 他没有意识到自己的错误。由于该书只有很少部分讨论机会计算, 其等可能思想来自赌博直觉, 很多结论缺少有效推理。该书是在他死后 87 年才出版, 此前惠更斯的《论赌博中的计算》已经刊世, 这削弱了他应有的学术影响,所以后人多数不称他是概率论缔造者。

古典概率时期(十七世纪)

人们对偶然现象(即随机现象)规律性的探求,经历了相当长的历史时期,甚至可以追溯到远古的原始社会。最早,人们对事物的偶然性并不重视,他们认为这是“微不足道的”,而只注意那些有一定必然规律的现象。但是,严酷的现实使人们感到这种观点是错误的,因为火灾、水灾、地震等偶然现象一当发生,便给人们的生命财产带来不可估量的损失。随之,又认为偶然现象是“可怕的”,“严重的”。但是,在实践中人们又发现,事物的偶然性不仅有可怕的一面,也有造福于人类的一面,例如久旱后偶遇甘霖,就是大喜之事。这样,人们开始探讨偶然现象发生的规律性。由于生产力水平,科学文化知识所限,长期以来人们对偶然现象的规律性探求进展十分缓慢,甚至有人提出它是“神秘的”,“不可捉摸的”。直到唯物辩证法产生,才开始从研究偶然性与必然性这一对矛盾的对立统一中加深了认识。恩格斯在《路德维希·费尔巴哈和德国古典哲学的终结》一文中指出:“在表面上是偶然性起作用的地方,这种偶然性始终是受内部的隐蔽着的规律支配的,而我们的问题是在于发现这些规律。”马克思主义的认识论,给人们指出了认识偶然性的正确方法。

现代人认为概率论的早期研究大约在十六世纪到十七世纪之间。这段期间,欧洲进入文艺复兴时期,工业革命已开始蔓延。伴随工业发展提出的误差问题,伴随航海事业发展产生的天气预报问题,伴随商业发展而产生的贸易、股票、彩票和银行、保险公司等,加之人们越来越需要了解的患病率、死亡率、灾害规律等问题,急需创立一门分析研究随机现象的数学学科。概率论应社会实践的需要出现了。在这个时期,意大利著名物理学家伽俐略就曾对物理实验中出现的误差进行了科学的研究,把误差作为一种随机现象,并估计了他们产生的概率。

有人认为,概率论的起源是对赌博的研究,这种看法是不全面的。概率论和其它学科一样,其生命力来源于生产力发展的需要。但是,也应当尊重历史,早期刺激数学家思考概率论的一些特殊问题是来自赌博者的请求。那时的概率论工作者的贡献正在于他们善于从具沐的赌博问题中,看到它们的实际背景,并致力于把它们的研究成果从实际问题上升为理论,使概率论成为一门有坚实社会基础,应用日益广泛的学科。以研究赌博问题称著的惠更斯在他1657年出版的《论赌博中的计算》集子中有一段很深刻的话:“在任何场合我认为如果读者仔细研究对象,当可注意到你所处理的不只是赌博而已,其中实际上包含着很有趣很深刻的理论的基础。”

梅尔还向数学家巴斯卡们请教过一个著名的分赌本的问题:“两个赌徒相约赌若千局,谁先赢s局就算是赢。在一人赢a(<S)局,另一人赢b(<S)局,赌博中止。问赌本应怎样分才合理。”1654年7月30日,巴斯卡将自己的解法写信告诉数学家费尔玛,后来惠更斯参加了他们的讨论,并将解法写进了他的著作《论赌博中的计算》。这是最早的概率论论著。他们的计算都有按赢得整局赌博的概率的比例来分赌本的思想,即朴素的数学期望的思想。

关于“分赌本”问题,早在十六世纪西欧就有讨论。路加、巴巧罗曾提出按已赢局数的比例分配。后来,意大利医生加尔达诺指出,这样做未考虑到每个赌徒能够再赢的局数,但他找不到正确的解法。加尔达诺曾著《论赌博》一书,在他死后的1663年出版,书中已计算了掷两颗或三颗骰子有多少方法得到某一总点数。更早的塔塔利亚也作过类似的计算。

初等概率时期(十八世纪)

十八世纪,概率论发展很快,几乎初等概率的全部内容都在这个期间形成。在这个期间,概率论工作者以不是孤立地、静止地研究事件发生的概率,而是把随机现象视为一种特殊的变量—随机变量。恩格斯在《自然辩证法》中指出:“有了变数,运动进入了数学;有了变数,辩证法进入了数学”。随机变量的引入,数学家如鱼得水,他们利用各种数学工具,研究随机变量的分布,从而使概率论的研究得到了一次飞跃。

法国杰出的数学家德莫哇佛尔最早研究了随机变量服从正态分布的情形,发现了正态概率分布曲线。这一重大发现有着不可磨灭的功绩,因为在众多的随机现象中,服从正态分布的随机现象是占绝大多数的。接着,他又发现,许多分布的极限正态分布,并证明了二项分布当p=q=1/2的情形。这种证明某一分布的极限是正态分布的各种定理,以后发展成概率论的一个重要组成部分—中心极限定理。

1740年,英国数学家心普松的《机会的性质与规律》出版。在书里,他所研究的问题中有一个对产品剔废及检查很重要的问题:设有n件等级不同的产品,n1件属于第一级,n2属于第二级,……,我们任意取其中的m件,试求其中取得m1件第一级,m2件第二级,……的概率。这就是现在常用到的多项分布的情形。

分析概率时期(十九世纪)

在整个十八世纪和十·九世纪初叶,概率论风行一时。但是,由于一些学者过分夸大了它的作用,许多人企图把它应用到诸如诉讼之类的“精神”或“道德”的科学上去,遭到了失败。这以后,欧洲的一些数学家认为概率论只是一种数学游戏,不可能有重大的具有科学根据的应用。甚至概率论在气体动力论、误差论、射击论等方面的卓有成效的应用也因此而受到忽视。这些错误后来被形容为“数学诞语”,导致概率论的发展在西欧较长的一段时间(十九世纪下半叶)出现停滞。

虽然概率论在这段时期走了一段弯路,但它的发展仍是主流。在这个时期,概率论工作者较好地应用数学工具,使概率论的理论更加严密,基本上完成了概率论作为数学的一个分支应具备的条件。拉普拉斯1812年在巴黎出版了他的经典著作《分析概率论》。这部著作对十八世纪概率论的研究成果作了比较完美的总结,内容包括几何概率、贝努里定理、最小二乘法等。他还明确了概率的古典定义,证明了中心极限定理中的德莫哇佛尔—拉普拉斯形式,发展了概率论在观察和测量误差方面的应用。可以说,他是严密地,系统地奠定概率论基础的第一个人。不足之处在于他对概率的定义缺乏深入的讨论,只是企图把任何一个概率问题,勉强纳入简单的等可能模型。他还有很多著作:《论事件原因概率》、《概率论报告》、《关于叙列的报告》、《概率论的哲学探讨》。

法国数学家波阿松通过研究,发现了在概率论中占重要地位的一个分布—波阿松分布。他还推广了大数定律,在1837年他的《关于民型审判的概率研究》著作中,第一次提出了“大数定律”这一名称。波阿松还是第一个把概率论用到解决射击问题上的数学家。

德国数学家高斯是历史上伟大的数学家之一,他的名字在数学史上与阿基米德、牛顿、欧拉等并列。1809年,高斯发表了他的名著《天体沿园锥曲线绕日运动的理论》,书中首次叙述了在统计学中十分重要的最小二乘法原理。这个原理数学家勒让德在1806年曾谈及过,但高斯1794年已开终使用。此外,高斯对正态分布进行了深入的讨论,并运用于射击和误差理论。

十九世纪后半叶概率论有了很大的发展,这是同俄国的几位数学家的努力分不开的。

非洲几何学的创始人罗巴契夫斯基留下的丰富数学遗产中有两篇概率论作品。他并不研究概率论,他对概率论的兴趣是从几何学研究中得到的。布尼亚科夫斯基为了在俄国推广概率论,1846年出版了俄罗斯的第一本教科书《数学概率论基础》。虽然他受拉普拉斯和波阿松的影响,书中有不少论述是把概率论用于“伦理科学”的错误观点,但这部著作的意义仍是很重大的。布尼亚科夫斯基在该书绪言中说:“既然我们至今还没有任何关于数学概率论的专书,甚至连译本都没有,则我们面临要用俄罗斯的术语来写一门还没有通行辞藻和表达方法的新科学这样的一种困难。”事实上,布尼亚科夫斯基采用的术语大部分已在俄国的文献中生了根。此外,他广泛地在俄国推行把概率论应用到统计学,特别是在保险事业和人口统计上也是卓有功绩的。

布尼亚科夫斯基的优秀学生切比雪夫发表的概率论论文虽然只有四篇,但它们对后来概率论的影响是难以评价的。以他的名字命名的切比雪夫不等式。同时,他作为基础知识在概率论和数理统计中起着十分重要的作用。切比雪夫的概率论思想为后来俄罗斯概率论学派的杰出工作奠定了基础。按研究的性质来说,这个学派的活动大致可分为两个时期:第一个时期代表人物有马尔科夫,李雅普诺夫。这个时期的特征是研究独立随机变量叙列和马尔科夫链概型。第二个时期的代表人物是辛钦和柯尔莫哥洛夫。这个时期的特征是将实变函数的观点和方法引入概率论中。切比雪夫的学生马尔科夫研究了一种离散的随机序列,这种序列的特点是“无后效性”。后来人们称之为马尔科夫链”。广义的理论后来成为一类独立的学科—随机过程。马尔科夫还推广了大数定律和中心极限定理的应用范围。切比雪夫的另一个学生李雅普诺夫证明了较广泛条件下的中心极限定理。为了证明这个定理,他创造了特征函数方法。这种方法已成为概率论的基本工具之一。从十九世纪八十年代起,英国生物学家高尔顿和皮尔逊建立了“变异”、“相关”、“回归”等概念,并将概率论应用于进化论和生物学研究。顺便提及的是,皮尔逊原是一个物理学家,他花了五十年的时间研究统计学,还在1911年于伦敦创办了世界卜第一所统计学校。

现代概率时期(二十世纪)

二十世纪以来,概率论有了很大的发展。由千公现化体系的建立,使得概率论的理论更加完备。另外,极限理论的研究取得了一系列的结果。随机过程,数理统计从概率论中独立出来,成为两门生命力极强的新学科。概率的应用性越来越显示出来,产生了应用概率的研究分支,并由此滋生出许多分支。概率论与其它学科相结合,又出现了不少边缘学科。二十世纪初,随着概率论的发展,人们越来越发现它的基础不牢固,明确定义概率成为一个非常突出的问题。十九世纪以来,数学各分支都纷纷出现公理化潮流。集合论的发展使人们认清了事件,测度论的发展使人们了解了概率的实质,特别是实变函数论中的勒贝格测度和积分的研究,都为概率公理化定义的出现创造了条件。1933年,柯尔莫哥洛夫顺应潮流,在他的《概率论的基本概念》一书中,叙述了他的定义。这个定义以勒贝格测度为理论基础,抓住概率的有界性、非负性、可加性三条最基本的性质来定义概率。这种定义在逻辑关系上和别的数学分支完全相仿,从而使概率论成为一个严谨的数学分支。

二十世纪以来,美籍南斯拉夫数学家费勒及法国数学家列维在极限理论方面开展了一系列有益的研究工作。1935年,费勒找到了满足中心极限定理的充要条件,后来数学界称这个条件为费勒条件。费勒在马尔科夫过程论的研究中对首先引用半群理论作了很有意义的研究。对现代数理统计作出决定性贡献的是英国数学家费歇尔。他以医学、生物实验为背景,提出了似然方法;开创了试验设计、方差分析;确立了统计推断的基本方法(二、三十年代)。原籍波兰的美国数学家奈曼和皮尔逊,从1928年起,建立了严格的假设检验理论。1946年,瑞典数学家克拉梅尔出版了《统计数学方法》。这部著作收集了半个多世纪以来的数理统计研究成果。它的出现,标志着数理统计作为一门独立的数学分支正式确立。

第二次世界大战以后,数理统计的理论开始向纵深发展。四十年代末,美国数学家瓦尔德创立了统计判决理论。他的想法是把形形色色的统计问题归并在一个统一的模型下以便进行统一的处理。许多数理统计分支,如参数估计,都受到这种理论的影响而得到发展。由于概率论中极限理论的发展,正态分布作为统计量的地位越来越明显,统计中的大样本理论由此而得到迅猛的发展,参数估计中的极大似然估计,稳健统计,自适应估计,随机逼近、非参数统计等都发展较快。另外,贝叶斯统计学派在这个时期复兴并发展。近年来,由于电子计算机的广泛应用,统计中的大量计算工作变得容易。另一面方,计算机在短时间内处理大量数据的功能,在一定程度上降低了数学模型的作用。近几十年来,数理统计中纯数学比重加大,所用的数学工具越来越精深,许多实际工作者感到难于问津,又出现一种理论与实际“分家”的趋势。

随机过程产生是近代概率论发展的重要标志之一。古典概率论主要研究随机事件的概率或随机变量的分布,而现代概率论则主要研究无穷多个随机变量的集合,即研究随机过程。继马尔可夫链产生后,柯尔莫哥洛夫建立了马尔科夫过程的一般理论;美国数学家维纳由于研究控制论的需要,首先讨论了平稳过程的预测理论;1934年,苏联数学家辛钦建立了平稳随机过程理论;1937年,克拉梅尔开始研究随机过程的统计理论;美国数学家杜勃进一步研究随机过程,在经典鞍论上做了发展性的工作。

随机过程按研究的性质分类,又可分为马氏过程,平稳过程,软、正态过程,点过程等。它与其它学科结合,又产生了许多边沿分支:与微分方程、数理统计、数论、几何、计算、数学相结合,出现了随机微分方程、过程统计、数论中的概率方法、几何概率、计算概率等等。近十年间,还出现了无穷质点的随机过程、点过程现代理论、马氏过程与位势论等新研究方向。

1955年,在美国数学年会上,第一次提出了“应用概率”。这种应用性很强的研究方向,在社会科学数量化、精确化中;在日益需要的自动控制和管理学中,越来越受到人们的重视。应用概率的诸分支又有:排队论、可靠性理论、马尔科夫决策规划、对策论、信息论、随机规划等等,还有与其它学科的结合分支:生物统计、药学统计、军事统计、气象统计、水文统计等等。

可以预见,随着科学技术的发展,概率论的理论与应用也将得到更大的发展。作为数学的分支,概率论的高度抽象性、广泛应用性、体系严谨性的特点在发展中将愈来愈明显地显示出来。

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