【数学】博尔维恩积分

作者:蒋迅  遇见数学

学过微积分的读者都知道,求导数有一定之规,但求积分则可能会出现各种神奇的结果。今天介绍博尔维恩积分(Borwein Integral)。这是一组积分等式:

看到这里,读者可能会将这个形式推广下去。但令人意外的是,这个系列到此中断。我们得到

它的精确值是一个很奇怪的数:

这个意外的结果是博尔维恩父子:大卫·博尔维恩(David Borwein,1924–)和乔纳森·博尔维恩(Jonathan Borwein,1951–2016)在 2001 年提出来的。大卫·博尔维恩的另一个儿子彼得(Peter B. Borwein,1953-2020)也是一位数学家,可以称为一个数学之家了。比较嘘唏的是两个儿子都先老父而去。

小博尔维恩在数学软件 Maple 上“验证”了他们的结果后,跟 Maple 博尔维恩积分  的开发人员开了一个玩笑 — 他说  Maple 出了一个“bug”。可怜的  Maple  计算机代数专家花了三天时间去找 bug,终于意识到这只是一个玩笑。

产生这个结果的原因可以用卷积和傅立叶变换来解释。我们不深入讨论。一般地,考虑如下的积分:

其中 a_0,a_1,a_2,...,a_n是实数。那么上式中C_n的值可以用这些参数来表达。这个表达式的一般描述有点复杂。我们只考虑一个特殊情况。假定我们有

也就是说,n 是第一个使得a_1+a_2+...+a_{n-1}+a_n  超过 a_0 的那个指标。那么有C_k=1,k=0,1,2,...n-1

博尔维恩积分就是这个结果当a_k=\frac 1{2k+1}  时的特例。读者可以自行验证。

还有一个类似的例子更为离奇:

这个系列可以推广到:

但只是对 n<15341178777673149429167749449969249338310889成立。在此之后的 n 都不成立。这个结果是澳大利亚科普作家和趣味数学家格雷格·伊根(Greg Egan, 1961−)给出的。见约翰·拜艾兹(John C. Baez, 1961−)的博客。这个例子说明了盲目的推演是危险的。这样的例子还有拉马努金计算的 e^{\pi\sqrt{163}},这个数几乎就是一个整数,距离整数只有 10^{-12} 的误差。
再比如,等式 \sum_{n=1}^\infty\frac{\left \lfloor ntanh\pi \right \rfloor }{10^n}=\frac 1{81} 几乎成立,误差到了小数点后200位。这个结果是博尔维恩兄弟俩的结果。

上面的积分都只涉及正弦函数。下面的例子多了因子2\cos x ,结果也会在某一步不再成立:

参考文献

  1. J. Borwein, D. H. Bailey, R. Girgensohn, Experimentation in Mathematics: Computational Paths to Discovery, 2004, pp. 4-44.
  2. D. Borwein & J.M. Borwein, Some Remarkable Properties of Sinc and Related Integrals, The Ramanujan Journal, March 2001, Volume 5, Issue 1, pp 73–89.
  3. J. C. Baez, Patterns That Eventually Fail, https://johncarlosbaez.wordpress.com/2018/09/20/patterns-that-eventually-fail/ .
  4. H. Schmid, Two curious integrals and a graphic proof, Elem. Math. 69 (2014) 11-17.
  5. D. Borwein and J. M. Borwein, Some Remarkable Properties of Sinc and Related Integrals,The Ramanujan Journal, vol. 5, 2001, pp. 73–89.

【编程】Python IP地址
上帝的杰作系列之二:完美等式
【文摘】数学趣题汇编(15)
【数学】森德拉姆素数筛法
【数学】3x+1问题(1)
【数学经典】素数之恋-伯恩哈德·黎曼
【人物】卡弗:20世纪黑人的良知,以研究花生服事上帝
【文摘】凯尔文:是上帝创造了生命,并且掌管一切
【人物】数学家熊庆来
【人物】塞德里克•维拉尼

此条目发表在数学分类目录,贴了, 标签。将固定链接加入收藏夹。