【人物】大卫•希尔伯特

数学与通识

在中国很早的时候就有人说过一句很有哲理的话,如果你从无限中拿走或者添加一部分,剩下的还是无限。这句话换成数学表达方式就是∞+M=∞或者∞×M=∞。如果不好理解的话,就看下面的例子。

这个故事是伟大的数学家大卫•希尔伯特所讲述,名字就叫希尔伯特无限旅馆。假设你到了一家旅馆,恰好客满,那么老板只好告诉你,不好意思我们不能接待你。但是如果是一家有无限客房的旅馆呢?

如果这时候又来了无限多个客人怎么办呢?如果我是老板,就会让住在一号房间的客人住到三号房间,三号房间客人住到六号房间,以此类推,所有的偶数号房间就都腾出来,可以供无限的客人居住了。是不是很神奇呢?

这个无限客房的旅馆里住着无限多的客人,当你住店的时候,此时老板就会想一想,然后让住在一号房间的客人住到二号房间去,以此类推,就把一号房间给你腾出来了。为什么不能让你住进最后一间里呢?因为这是无限客房,并没有最后一间房间让你住。

看完今天对无穷大的描述,有没有很烧脑呢?数学其实就是一门描写数字之间关系的科学,数学在某种程度上说就是万物之理。是人类进步的助手,也是我们前进的阶梯。

希尔伯特何许人也,下面来介绍一下这位20世纪最伟大的数学家之一:大卫•希尔伯特(德语:David Hilbert [ˈdaːvɪt ˈhɪlbɐt],1862年1月23日-1943年2月14日),德国数学家,是19世纪和20世纪初最具影响力的数学家之一。希尔伯特1862年出生于哥尼斯堡(今俄罗斯加里宁格勒),1943年在德国哥廷根逝世。他因为发明了大量的思想观念(例:不变量理论、公理化几何、希尔伯特空间)而被尊为伟大的数学家、科学家。他被认为是最后的数学全才。

希尔伯特是对二十世纪数学有深刻影响的数学家之一,他领导了著名的哥廷根学派,使哥廷根大学成为当时世界数学研究的重要中心,并培养了一批对现代数学发展做出重大贡献的杰出数学家。在20世纪伊始,希尔伯特指出了20世纪的数学发展方向,并提出了亟待解决的23大数学问题。经过众多优秀数学家的不懈努力,大部分的希尔伯特问题都已经得到解决,这有力促进了20世纪数学的进一步发展。希尔伯特的墓志铭为:“我们必须知道,我们也必将知道”,这正是他对于23大数学问题的决心。希尔伯特的23个问题分为四大块:第1到第6问题是数学基础问题;第7到第12问题是数论问题;第13到第18问题是属于代数和几何问题;第19到第23问题属于数学分析问题.经过一个多世纪,希尔伯特提出的23个问题中,接近一半已经解决或基本解决。有些问题虽未解决,但也取得了重要的进展。

希尔伯特

希尔伯特提出的问题是极其深奥的,不少问题一般人连题目也看不懂.正因为困难,才吸引有志之士去做巨大的努力.但它又不是不可接近的,因而提供了使人们终有收获的科学猎场.一百多年来,人们始终注视着希尔伯特问题的研究,绝不是偶然的.希尔伯特问题的研究与解决大大推动了许多现代数学分支的发展,包括数理逻辑、几何基础、李群、数学物理、概率论、数论、函数论、代数几何、常微分方程、偏微分方程、黎曼曲面论和变分法等.第2问题和第10问题的研究,还促进了现代计算机理论的成长.

当然,预测不可能全部符合后来的发展,20世纪数学发展的广度和深度都远远超出20世纪初年的预料,像代数拓扑、抽象代数、泛函分析和多复变量函数等许多理论学科都未列入这23个问题,更不要说与应用有关的应用数学以及随计算机出现发展起来的计算数学和计算机科学了.

希尔伯特的数学工作可以划分为几个不同的时期,每个时期他几乎都集中精力研究一类问题。按时间顺序,他的主要研究内容有:不变量理论、代数数域理论、几何基础、积分方程、物理学、一般数学基础,其间穿插的研究课题有:狄利克雷原理和变分法、华林问题、特征值问题、“希尔伯特空间”等。

在这些领域中,他都做出了重大的或开创性的贡献。希尔伯特认为,科学在每个时代都有它自己的问题,而这些问题的解决对于科学发展具有深远意义。他指出:“只要一门科学分支能提出大量的问题,它就充满着生命力,而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡和终止。”

在1900年巴黎国际数学家代表大会上,希尔伯特发表了题为《数学问题》的著名讲演。他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势,提出了23个最重要的数学问题。这23个问题统称希尔伯特问题,后来成为许多数学家力图攻克的难关,对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响,并起了积极的推动作用,希尔伯特问题中有些现已得到圆满解决,有些至今仍未得到解决。他在讲演中所阐发的相信每个数学问题都可以得到解决的信念,对数学工作者是一种巨大的鼓舞。他说:“在我们中间,常常听到这样的呼声:这里有一个数学问题,去找出它的答案!你能通过纯思维找到它,因为在数学中没有不可知。”

1930年,在接受哥尼斯堡荣誉市民称号的讲演中,针对一些人信奉的不可知论观点,他再次满怀信心地宣称:“我们必须知道,我们必将知道。”希尔伯特去世后,这句话就刻在了他的墓碑上。

希尔伯特的《几何基础》(1899)是公理化思想的代表作,书中把欧几里得几何学加以整理,成为建立在一组简单公理基础上的纯粹演绎系统,并开始探讨公理之间的相互关系与研究整个演绎系统的逻辑结构。

1904年,又着手研究数学基础问题,经过多年酝酿,于二十年代初,提出了如何论证数论、集合论或数学分析一致性的方案。他建议从若干形式公理出发将数学形式化为符号语言系统,并从不假定实无穷的有穷观点出发,建立相应的逻辑系统。然后再研究这个形式语言系统的逻辑性质,从而创立了元数学和证明论。希尔伯特的目的是试图对某一形式语言系统的无矛盾性给出绝对的证明,以便克服悖论引起的危机,一劳永逸地消除对数学基础以及数学推理方法可靠性的怀疑。

哥德尔

1930年,年轻的奥地利数理逻辑学家哥德尔(1906~1978)获得了否定的结果,证明了希尔伯特方案是不可能实现的。但正如哥德尔所说,希尔伯特有关数学基础的方案“仍不失其重要性,并继续引起人们的高度兴趣。”

以希尔伯特命名的数学名词多如牛毛,有些连希尔伯特本人都不知道。比如有一次,希尔伯特问系里的同事“请问什么叫做希尔伯特空间?”令人痴迷是希尔伯特空间(Hilbert space),它是有限维欧几里得空间(Euclidean space)的一个推广,使之不局限于实数的情形和有限的维数,但又不失完备性(不像一般的非欧几里得空间那样破坏了完备性)。而且从上面的关系可知,希尔伯特空间(Hilbert space)可以看做是增加了内积运算的巴拿赫空间(Banach space)。

希尔伯特空间(Hilbert space)指的其实就是完备的内积空间(Complete inner product space),两者同义。而非完备的内积空间又称为准希尔伯特空间(pre-Hilbert space)。

那么显然就有如下关系:

希尔伯特空间 = 完备的内积空间 ⊂ 内积空间

即希尔伯特空间是一种特殊的内积空间,其特殊性就体现在其完备性上,因为一个内积空间不一定是完备空间。那么,这其中包含有两个概念,即:“完备空间”和“内积空间”。而两者的交集即为“完备的内积空间”。

希尔伯特学术论著有:《希尔伯特全集》(三卷,其中包括他的著名的《数论报告》)、《几何基础》、《线性积分方程一般理论基础》等,与其他人合著的有《数学物理方法》、《理论逻辑基础》、《直观几何学》、《数学基础》。

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