【文摘】丢番图的代数方程

作者: 张和持 来源:返朴

离  x^3+y^3+z^3=42告破仅一年多,数学家们又在前些日子找到了  x^3+y^3+z^3=3  新的一组整数解。后者的前两个解颇为简单:

1^3+1^3+1^3=3
4^3+4^3+(-5)^3=3

但数十年来,第三组解迟迟没有被找到。其实我们并不是那么关心这个解究竟是多少。如果单单看这个等式,我们除了感受它的壮丽以外,并不能比没有计算机的古希腊人理解得更多(公式左滑显示):
3=569936821221962380720^3+(-569936821113563493509)^3+(-472715493453327032)^3

我可以断言,这个式子目前对数论学家而言几乎没有意义。我们能得出结果,只是因为算法效率变高了,计算机性能比50年前更强了,甚至对于解的估计也取得了进展。但这仍然是一个孤立问题,就算求出了一个解,也不会为下一个解提供任何线索,更难以帮助我们站在更高的角度理解这个问题。不光是 x^3+y^3+z^3=k ,数论学家们研究的大多数方程看起来都没有意义。这不禁让我们产生疑问,这样的代数方程看起来没有任何特殊之处,为什么我们偏要去求它们的整数解呢?

关于算法的技术细节想必没多少人会关心。我只想通过这篇文章给各位读者一个初步的印象——数论不是复杂技巧,也不是冗长计算;我们在数论中寻找的是最深刻的数学关系。

亚历山大港的温暖夏夜

从古希腊时代人们就开始研究方程。比如最为有名的直角三角形:

a^2+b^2=c^2

小学生也能找到几组整数解:(3, 4, 5),  (5, 12, 13)。这样由整系数多项式组成的方程,从那时候起就是代数研究的中心。它们有的来源于几何,也有不少纯粹是出于人类的好奇心。其中做出奠基性贡献的,当属罗马时代生活在亚历山大港的希腊数学家,丢番图(Diophantus of Alexandria)。为了纪念他,我们称这些方程为丢番图方程。关于丢番图,或许读者们还记得他的墓志铭曾出现在小学数学题中:

坟中安葬着丢番图。

多么令人惊讶,它忠实地记录了所经历的道路。

上帝给予的童年占六分之一,

又过十二分之一,两颊长胡,

再过七分之一,点燃起结婚的蜡烛。

五年之后天赐贵子,

可怜迟到的宁馨儿,享年仅及其父之半,便进入冰冷的墓。

悲伤只有用数论(即算数,这两者在古代是同一个词)的研究去弥补,

又过四年,他也走完了人生的旅途。

不过除此之外,我们对他的生平知之甚少,其流传下来的作品只有一套《算数》(Arithmetica,大部分已遗失)。在这本书中,丢番图将他的重点放在了寻找方程的整数解和有理解。这对于今天有许多强力工具的我们并不是什么大问题——方程的解就是一个图形上所有的点。比如x+y=0  就是一条直线, y=x^2 就是一条抛物线。但古人的数学世界并不是\mathbb{R}^n  ,而是 \mathbb{Q} 。毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”,但这些数可不是实数,而是有理数。也就是说,他们认为世间万物都是由整数和它们的商表示的。据说希帕索斯(Hippasus)因为发现 \sqrt2 而被老师毕达哥拉斯下令处决。不过如果我们站在古希腊人的视角,他们到底是怎么想的呢?

丢番图

我们可以合理地猜测,当古希腊人发现,直角边为1  的等腰三角形,其斜边不能用有理数表示时,他们首先并不是想:”啊,这不是有理数。”而是,”啊,这不是数!”相似的类比是\sqrt{(-1)} 。要是没有完备的复数理论,人们当然只能认为复数是“幽灵”;同样,没有极限以及实数理论,古人也无法想象无穷不循环小数是什么。自然,毕达哥拉斯会觉得“万物皆数”出现了漏洞。

这样就不难理解为什么古人对整数和有理数如此痴迷。他们没有笛卡尔坐标系,也就没有解析几何(当然,我不是指 C^w 上的几何)。欧几里得辉煌的学问无法与代数方程建立联系,只能借助巧妙的方法艰难前进。

比如要解 x^2+y^2=7z^2 ,我们能想到去找x^2+y^2  是 7 的倍数的情况,古人当然也能想到。而剩下的工作就是挨着去检验模 7 剩余类下的 49 种可能性( x,y 各有 7 种可能性),最后发现整数解是不存在的。但是只要把问题稍微变一下,比如说解  x^5+y^5=7z^5  ,上面的方法就无能为力了;非但如此,今天的算术几何学家们也对这个方程毫无头绪。古人就更迷惑了——即使解出再多方程,也仍然不能保证下一个方程还会解。

但同时,方程也像是永远无法穷竭的宝库摆在面前,令人神往。

还得靠业余数学家

古希腊、古罗马的数学随着古老帝国的衰落而逐渐被人遗忘,丢番图的作品要沉寂到千年以后,才能等到被另一位对数论情有独钟的数学家发扬光大。16世纪开始,《算数》才被逐渐翻译为拉丁文。其中最有名的一个版本,是1621年由巴切特翻译出版的:这本书曾经被皮埃尔·费马摆在案头。

被称为“业余数学家之王”的费马可能比大多“专业数学家”都要强,其对概率论、微积分、解析几何等分支都做出过开拓性贡献。不过他心中的最爱还是被称为数学的王冠——数论。在费马生活的年代,数学并没有什么实际用途,而他纯粹把这当玩具:或许就如同今天我们玩数独一样。每当有所发现,他就会写在《算数》的页边上。费马的很多注释后来都演变成了重要的研究方向,其中最富盛名的当属所谓的费马大定理:

当整数n > 2  时,关于x,y,z  的不定方程  x^n+y^n=z^n  没有正整数解。

他继续写道:关于这个问题,我确信我发现了一种绝妙的证法,可惜这里的空白处太小,写不下了。今天只流传下来费马对于n=4  情况的证明,不过现代观点普遍认为他当时不可能证明得了这个定理:300年后由安德鲁·怀尔斯(Andrew Wiles)找到的证明所用到的方法远非费马时代可以想象。

费马的工作正式宣布,近代意义上的数论研究开始了。不过这些与现实没有任何关系的数学并没有发展动力——数学最忌讳的就是孤立的问题。无穷小分析可以凭借直观的函数图像与物理直觉;代数的抽象结构来自于数与多项式的自然结构。可是早期的数论却不能找到更深刻的关系。难怪高斯会这样评论费马的问题:

我承认我对费马的定理没什么兴趣,这是个孤立的命题,像这样没人能证明也不能证伪的命题我随手就能写下一大串。

站在高斯的角度,他说的确实没什么毛病。费马大定理或者别的任何丢番图方程可解,或者不可解,对其他的数学分支貌似产生不了什么影响。不过从高斯至今,我们对于数论的认识已经发生了翻天覆地的变化。数论的影响已经超出了“算数游戏”的范畴哦,成为了现代数学赖以生存的源泉。

下金蛋的鸡

据说曾有人问希尔伯特,为什么不去证明费马大定理。这位大数学家回答道:我可不想杀了这只生金蛋的母鸡。这句话足以证明费马的无用之学对于数学有多么巨大的影响。读者肯定会有疑问,明明这篇文章是想解释整数解的意义,为什么要谈那么多费马大定理?我们可以用希尔伯特的话来回答:

数学的艺术在于找到一个特例,其中隐含了所有推广的胚芽。

在挑战费马大定理(或者费马猜想)的过程中,人们发现了理想之于环论的中心地位,注意到亏格与有理点数量之间的神奇关系,还建立了模形式与椭圆曲线之间美妙联系。其任何一项成果,都比代数方程有没有解这个问题本身重要的多。算术几何整个学科都得感谢费马在几百年前兴趣使然开始的研究。这样我们就很难不去怀疑:这才仅仅是一个方程,如果我们能破解所有方程中隐藏的秘密,那岂不是能让整个代数的冰山浮出水面?(费马大定理只研究正解,所以严格来说不算丢番图方程;后来也发现其存在诸多特殊之处,而大量丢番图方程的重要性至今仍然未知)

梦 碎

希尔伯特是一位伟大的梦想家,他乐观期待着数学的发展。在1900年的巴黎会议上,他提出了那著名的23个问题,其中第十个,便是关于丢番图方程的:

任给一个丢番图方程,是否存在一个通用的算法可以判断其是否有整数解?

希尔伯特内心深处一定坚信这样的算法是存在的。1930年,他作为当时最伟大的数学家,在故乡柯尼斯堡接受了采访。访谈的最后,他铿锵有力地道出了最理想主义的口号:

我们必须知道,我们必将知道。(Wir müssen wissen,wir werden wissen)

他不仅认为丢番图方程全都能解,他还进一步猜想任何数学命题都是能被人类证明的。如同他的传记中写的那样,希尔伯特就像是数学界的亚历山大大帝,满怀着梦想,要征服到世界的尽头。可才过了一年,这个预言就被天才数学家哥德尔(Kurt Gödel)证明是错的:公理体系的完备性是未知的,相容性也是未知的。不是数学方法不够巧妙 ,也不是数学家不够努力,而是数学本身的鸿沟隔绝了逻辑。人们逐渐开始怀疑,丢番图方程也没有万能的解法,从而开始寻找算法不存在的证据。

希尔伯特到了晚年,也不忍离开纳粹统治下的祖国。法西斯主义者清除了大学中的犹太人及其亲属。无数学者不堪忍受疯狂的民族主义而选择背井离乡,其中就包括了与希尔伯特亦师亦友的外尔、柯朗等人。哥廷根不再是那个全世界学者憧憬的圣地,“哥廷根之外无生活”的豪言也仿佛隔世。希尔伯特在孤独中离开了人世,在他去世后的几年里,数学家们开始转向研究丢番图方程的不可解性。不过这项工作极其复杂,直到几十年后的1970年,希尔伯特第十问才得以宣告不可解。此时希尔伯特的故乡柯尼斯堡已经从地图上消失,原本的城市成为了苏联领土加里宁格勒;与地图的变化同时到来的,还有新的时代,新的技术,以及新的数学。

新的时代

非专业人士可能会问,为什么数学家们总是固执于黎曼猜想或者是哥德巴赫猜想?它们完全有可能是错的,那到时候所有的努力不就白费了吗?当然,除了“下金蛋”这样的理由之外,数学家们还有别的理由选择相信一条猜想为真,那就是实验。你可以这样认为:数学的实验就是计算;而理论则是证明。黎曼本人就曾提出过非常巧妙的方法来计算\zeta  函数的零点。

自计算机问世以来,通过计算来验证猜想的尝试就一直没有停止过。一方面,如果能找到任何一个反例,就能终结漫长的证明之路;另一方面,在没有任何证明思路的情况下,验证有限个数的情形似乎是数学家仅有的选择。近几十年来,验证黎曼猜想的算法已经相当先进,例如 ZetaGrid 计划,其使用分布式算法,一天可以检验十亿个零点。直到2005年计划终止,他们都没有找到任何一个反例。

同黎曼猜想一样, x^3+y^3+z^3=k是否一定有整数解这个问题,数学家们目前仍毫无头绪。用庞大的计算机群去搜寻某个特定  对应的解也实属无奈之举,但这在希尔伯特的年代是无法想象的。就连欧拉这种不嫌麻烦能口算五十位小数的人,都曾提出过不成立的猜想。例如他曾猜测费马大定理的推广:x_1^n+x_2^n+...+x_k^n=y^n 在n > 2  时没有正整数解。直到1986年,人们才找到了这么一个式子:

2682440^4+15365639^4+18796760^4=20615673^4

计算机的存在显然能大大减少数学家的无用功。

此次找到  x^3+y^3+z^3=3  的新解,显然大大增强了数学家们的信心。这个问题如此困难,即便使用最为先进的算法,也得将计算任务分配给超过 40 万台电脑,其中每台需要运行 3 小时!不过相比穷举法以及早先的计算方法而言,新算法还是快了不少。根据数学家 Roger Heath-Brown 早先的工作,我们其实可以简化原方程,减少独立变量(还进一步猜想,若k\neq9n+4  ,那三立方问题就有解);两位数学家Andrew R. Booker 和Andrew V. Sutherland 在此基础上使用筛法,让算法集中搜索那些最有可能是解的数字。即便对解一无所知,也能通过强大的解析数论工具计算解的密度,这样就能预测:我们大概还得算多久才能算出正确答案。不过此番求解之快大大出乎了他们二人的预料,在求出k=42  的解之后还没两年,k=3  的新解又找到了。据此,他们估计, k=3 要是还有下一组解的话,花费的计算力将是这次的一千万倍,以目前的算法和计算机性能还遥不可及。三立方问题是否就此告一段落?k\lt1000 的未解情况是否仍有希望?目前我们还暂未可知;不过只有一点是可以确定的:数学家的脚步不会停下。

如今正是数论及其相关学科发展迅猛的年代。数学家们对代数几何充满信心:近半个世纪的发现远超过以往任何时代之和,而且发展势头也不像是要停下来的样子。但即便如此,我们对于素数,丢番图方程以及它们背后蕴含的深刻数学的了解仍仅是冰山一角。

或许可以打一个不恰当的比方。在物理学中,带有“论”(Theory)的都是那些尚不完善的框架:广义相对论不能重整化;量子场论没有严格的数学基础;弦论得不到实证,甚至某些推论与实验还不相符;而”M理论”本身就是一个猜想。人类对宇宙的了解微乎其微,但正因如此,理论物理学家才会痴迷于其中的奥秘。对于整数论(Number Theory)而言也是相同的,它的未知等待着人们探索,它的美等待着人们发现。或许人类永远都无法对整数有足够多的了解,整数论也永远不可能改名叫整数力学(Number Mechanics),不过我相信任何有志于数学的人,都能像费马和丢番图一样,在数学中找到真正的快乐,以及自己人生的意义。

参考文献
[1] https://phys.org/news/2021-03-sum-cubes-puzzle-solution.html
[2] https://www.pnas.org/content/pnas/118/11/e2022377118.full.pdf
[3] https://www.famousscientists.org/diophantus/
[4] 康斯坦丝·瑞德, 希尔伯特数学世界的亚历山大.[5] https://www.britannica.com/biography/Pierre-de-Fermat.
[6] Timothy Gowers, The Princeton companion to mathematics.

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