【文摘】数学、音乐与弦

作者:Eli Maor  译者 : 张岭 

很久很久以前,也许是 5000 年前的某一天,一位不知名姓的猎人发现,当他拨动猎弓的弓弦时,弓弦发出的声音具有某种特定的音高。大约 2500 年前,萨摩斯的毕达哥拉斯发现,在琴弦长度和其音高之间存在着一个定量关系,这是人们将音乐与数学联系起来的首次尝试。但是,要想更为全面地理解两者之间的关系,则要等到 18 世纪,那时,将有四位伟大的数学家致力于解决这一问题——他们试图用新近创立的微积分来寻找答案。


《音乐是怎样算成的》

如果我们拨弄吉他的琴弦,或者用琴锤敲击钢琴的琴弦,琴弦的静止状态就会受到扰动,那么此时,问题的关键就是如何确定这条紧绷的、柔韧的琴弦的形状。在前一种情形下,琴弦被赋予初始的位移;而在后一种情形下,琴弦被赋予的则是初始的速度。总之,这两种情况均给出了琴弦的“初始状态”。原则上,根据初始状态就可以确定琴弦在未来任何时间的形状。

我们拨弄琴弦的时候,会瞬间扰动其静止状态,琴弦会形成一个三角形,尽管这个三角形又长又矮(肉眼很难确定高度)。在我们放开琴弦的一瞬间,这种干扰会分成两个脉冲,沿相反的方向顺着琴弦传播开来。它们传播的速度取决于琴弦的物理参数,即撑住琴弦的张力和琴弦材料的线密度(单位长度的质量)。实际上,琴弦所起的作用相当于一个一维的波导,使信号沿着该介质传输。

如果琴弦无限长,那么这两个脉冲将沿相反的方向永远行进下去—当然,这里有个假设条件,即不存在迟滞运动的摩擦力。但实际上,琴弦的长度是有限的;其两端被紧紧固定,导致两个脉冲在两个端点间来回运动,它们会周期性地组合成“驻波”(standing wave),即一种上下运动,而琴弦上的每一个点都参与其中。这种周期性运动只能是一种以琴弦的最低频率,即基频,振动的纯粹的正弦波,或者是若干频率为基频的2、3、4、…倍的正弦波的叠加组合。这就是我们在上一章中提到的谐波,它们将琴弦分解成单个的部分,其波长分别为基本波长的1/2、1/3、1/4、…,并且每一部分的振动都彼此独立。琴弦的实际运动则是所有这些波的总和或者叠加。

18世纪的数学家面临着一个困境:如何确定琴弦被拨弄时所形成的初始三角形的形状?该三角形有一个尖锐的顶角,它会演变成许多—也许是无数个—正弦波彼此叠加在一起,每个波的形状都异常平滑。这个问题成了一场激烈辩论的焦点,几乎每位数学家都不遗余力地参与其中。他们之中,有四个名字脱颖而出:丹尼尔·贝尔努利(Daniel Bernoulli, 1700-1782),莱昂哈德·欧拉,让·勒朗·达朗贝尔(Jeanle Rond D’Alembert,1717-1783)和约瑟夫·路易·拉格朗日(Joseph Louis Lagrange,1736-1813)。下面,我们先简单介绍一下这四位主角。

丹尼尔·贝尔努利是一个显赫家族的第二代,他的家族数学家和物理学家辈出。这个家族来自瑞士巴塞尔(Basel),一座安详宁静的大学城。经过五代的传承,贝尔努利家族至少出过八位杰出的成员。这些家族成员之间相互竞争,彼此嫉妒,他们做出了很多的发现,也不断卷入因这些发现而引起的诸多论战之中。他们会就工作中的技术细节激烈辩论,而家族成员之间的论战对此更是火上浇油。

丹尼尔的父亲约翰[Johann,也被称为让(Jeanne),1667-1748],及其兄长雅各布[Jakob,也被称为雅克(Jacques)或者詹姆斯(James),1654—1705]是贝尔努利家族在数学领域取得非凡成就的第一代成员。老贝尔努利们充分利用新近创立的微积分理论,在连续介质力学的几个领域做出了重要的贡献,其中包括弹性力学、流体力学以及振动理论等。雅各布还撰写了一篇关于概率理论的、具有里程碑意义的论文,即《推想的艺术》(Ars conjectandi,该书在雅各布去世后于 1713 年出版)。丹尼尔·贝尔努利继承了父辈的事业,他在 1738 年发表的论文《流体力学》(Hydrodynamica)中提出了一个以他的姓氏命名的著名定律(即“贝尔努利定律”),为飞行理论奠定了基础。丹尼尔和父亲经常投身于相同问题的研究工作,他们分享各自的见解,但会为某些细枝末节而争吵不休。有一次,约翰由于不得不和丹尼尔一起分享巴黎科学院(Paris Academy of Sciences)的一项殊荣而大为光火,最终将儿子永远逐出门墙。在家族中,丹尼尔是唯一一位在数学理论及实验物理学方面均取得不朽成就的人,而其他人的最主要成就都是成为数学家。

在四人当中,莱昂哈德·欧拉显然是成果最为丰硕的一位。他的成果如此繁多,以至于尽管尚未全部出版,就已经堆积了大约 70 卷专著,涉及当时已知的所有数学和物理学领域,包括数论、力学、流体力学、天体力学,以及他所开创的拓扑学。以欧拉命名的定理和公式比其他任何科学家都多,其中最著名的公式有两个。一个是方程 V – E + F = 2,数值 V 为任意简单多面体(由平面围成,且不存在任何孔洞的固体)的顶点数目,E 为边的数目,F为面的数目,该方程解释了这三个数值之间的关系。另一个是谜一般的 eπi + 1 = 0,它将数学中最重要的五个常数融为一体。该公式中的三个符号里,有两个,即 e 和 i,是因为欧拉才出现在数学表达式的。另外,他还引入了函数的表示方式 f(x) 。他所发表的影响力最大的专著是两卷本的《无穷小分析引论》(Introductio in analysin infinitorum,1748),被认为是现代数学分析的奠基之作。从广义上讲,此书探讨了连续性的问题。

欧拉出生在巴塞尔,他先师从约翰·贝尔努利,之后于 1720 年入读巴塞尔大学,仅用了两年便从大学毕业。1727年,欧拉移居到俄国圣彼得堡,并在那里待了 14 年。此后,他接受腓特烈大帝(Frederick the Great)的邀请加入柏林科学院 (Berlin Academy of Sciences)。但是,国王和他的这位学者相处得并不融洽,腓特烈更喜欢那种夸夸其谈的人,而不是性格羞怯的欧拉。因此,1766 年,年近六旬的欧拉又回到了俄国,并在那里度过余生。晚年的欧拉厄运不断:他先是失去了一只眼睛的视力,接着另一只眼睛也失明了;他的房子毁于火灾,许多手稿都因此遗失;但他的厄运远不止于此,5 年之后,他的妻子撒手人寰。百折不挠的欧拉再次走进婚姻的殿堂,失明也未能阻止他继续从事研究工作。他具有强大的专注力,这使他能够完全凭借心算进行最复杂的计算。在生活中,欧拉谦逊大度地赞扬他人的工作成果,这一特点使他与学界中的其他人迥然不同。

让·勒朗·达朗贝尔是巴黎城里一位玻璃匠收养的私生子;这个刚落地的婴儿是在圣·让·勒朗教堂(Church of St. Jean-le-Rond)被人发现的,于是长大以后,他就用教堂的名字为自己命名。像同时代的大多数数学物理学家一样,他在连续介质力学和天体力学领域涉猎广泛。1743 年,达朗贝尔发表了《动力学》(Traité de dynamique),在该书中,他提出了一条公式化的定理(“达朗贝尔原理”),即任何处于外力影响下的动态系统都可被视为处于静态平衡。达朗贝尔通过改写牛顿的第二运动定律得到了自己的定理,将广为人知的 Fma 改写成 F-ma = 0,并将该公式解释为作用于系统上的所有力的总和为零。凭借该定理,达朗贝尔顺利解决了当时困扰众人的诸多问题,包括流体力学以及地球的分点岁差问题。

达朗贝尔曾担任《德尼·狄德罗大百科全书》(the Great Encyclopedia of Denis Diderot)的编辑,这部作品旨在涵盖当时人类全部的知识。但天主教会显然对此书相当不满,也许主要原因在于它以理性而非灵性作为要旨。所以,他最终放弃了自己的编辑身份。后来,达朗贝尔设法陆续得到了法国国王路易十五(Louis XV)、普鲁士统治者腓特烈二世(Frederick II),以及俄国女皇叶卡捷琳娜二世(Catherine II)的青睐。从某种程度上讲,达朗贝尔的性格颇为傲慢,有着强烈的自我意识,这无疑与他和当权者之间的联系有着密切的关系。

约瑟夫·路易·拉格朗日伯爵是四人之中最年轻的一位;当他卷入到有关振动弦问题的论战时,还是个寂寂无闻之辈。尽管他拥有法国姓名,但是在意大利都灵出生和长大的。他是家里十一个孩子中年纪最小的,也是唯一活到成年的。拉格朗日很早就展示出对数学的浓厚兴趣,并在年仅 19 岁时便成为都灵皇家炮兵学校(Royal Artillery School of Turin)的教授。1766 年,他迁居德国,接替欧拉的位置成为柏林科学院的院 长。1794 年,他被任命为著名的巴黎综合理工学院(École Polytechnique of Paris)的教授。拉格朗日的暮年备受抑郁症困扰,还未及 50 岁,他的工作成果就直线下降。于是,他将工作重心转移到管理事务方面。1793 年,在法国大革命之后,拉格朗日被任命为一个委员会的主席,该委员会负责向全世界推广重量及测度的公制度量系统,这是法国对科学界最伟大的贡献之一。

拉格朗日的主要贡献是差分方程(differential equations),以及与离散介质和连续介质相关的力学领域。他在代数和数论方面也做出了卓越的贡献。他对牛顿的三大运动定律做了公式重构,即用差分方程以及变分法(calculus of variations)的形式重新构建。原有运动定律的关注点是作用于系统的力,拉格朗日却将焦点转移到系统的能量上。拉格朗日引入了 T-U 这个量(即系统的动能与其势能之间的差值),并使其成为力学的核心概念;它也因此被称为“拉格朗日函数”(Lagrangian)。凭借这一方法,力学定律被他用一种完全通用的方式进行公式构建,而与特定坐标系的选择无关。事实上,拉格朗日将牛顿力学变成了一个纯数学的分支。他从 19 岁起就开始动手撰写,直到 52 岁时才全部完成著作《分析力学》(Mécanique analytique,1788),这部作品在理论力学领域具有里程碑般的意义。此书的写作方式更像一本抽象的数学专著,全篇没有一幅插图。

在 18 世纪,这四个人代表着欧洲数学界的精英,他们围绕振动弦的问题发表了大量信件、回忆录、论文以及演讲,在学术界掀起阵阵波澜。这几个主角在论战过程中经常变换阵营,有时候会就某些技术细节达成一致,但下一次又会相互攻讦。与现代的、更尊重事实的学术话语风格形成鲜明对比的是,他们之间的交流火药味十足,充斥着人身攻击和相互抬杠,让人不由质疑这些绅士怎么会有如此多的时间和精力做这么无聊的事情。

第一个挑起论战的是丹尼尔·贝尔努利。早在 1732 年,他就认识到琴弦具有基础频率,除此之外,若干其他纯音的频率为该基频的2、3、4、…倍,它们均能通过琴弦的振动被弹奏出来;他甚至推测存在无穷多个这种纯音。1740 年,他写道:

有多种方式能让一根绷紧的琴弦发出许多同步产生的颤音,在理论上,其数量甚至可以是无穷多个……当[通过拨动]琴弦形成一个弧形时,第一个,也是最根本的模式就出现了;接下来,琴弦会呈现出最为缓慢的振动,并发出该琴弦能产生的最低沉的乐音,此音即为所有其他乐音的基础音。另一种模式是让该琴弦产生两个弧形,则振荡将加快两倍,琴弦会发出比基础音高出一个八度的乐音。

请注意,在解释这一问题的时候,贝尔努利是如何利用音乐术语的:“琴弦”“最低沉的乐音”以及“八度”。很明显,他的双手和双耳都与真实存在的琴弦亲密接触过,这种方式与欧拉以及达朗贝尔过于抽象的理论方法相比特点鲜明、大相径庭。在他的回忆录《关于弦振动的最新理论的思考和启示》(Reflections and Enlightenments on the New Vibrations of Strings,1747-1748)中,贝尔努利写道:“在我看来,只需要关注一下弦振动的本质,不必依靠任何计算,就足以推测出相关结论。而伟大的几何学家(即达朗贝尔和欧拉)经过分析思考极其复杂和抽象的计算方法,才最终得到这一结果。”1753年,贝尔努利重新加入战团,他指出,不同的振动模式可以同时存在,并同时保持相互独立;他由此发现了叠加原理(principle of superposition)。

丹尼尔·贝尔努利或许对同行们过度使用数学方法来解决这个问题颇为不屑,但是,问题的解决的确要用到数学方法。1727 年,约翰·贝尔努利(丹尼尔的父亲)曾研究过振动弦的问题,他将弦看作一串珠子,即弦的振动被视为 n 个点状物体的共同运动。这些点彼此相邻,并通过张力与两侧的相邻点接触。这种对真实的弦进行近似的方法要求人们必须同时求n个常微分方程,那是一个相当烦琐的过程。1746 年,达朗贝尔仅用一个偏微分方程对该问题进行重新表述,该方程就是从此以后为人所熟知的“一维波动方程”(one-dimensional wave equation)。他所做的就是让 n 趋向于无穷大,则单位质量相应变小,同时相邻质量点之间的距离趋近于零。在处理与连续介质相关的问题方面,这种从离散系统向连续系统的过渡是数学方法上的一个巨大进步。

达朗贝尔在发表于 1746 年的一篇论文中,发现了波动方程的解可以用两个波来代表,它们从初始扰动开始背向传播。这两个波的形状是由弦的初始状态,即在t = 0 时,弦上每个点的位移和速度决定的,但扰动自身可能具有任意形状。这随即就引发了一个矛盾:弹拨琴弦的时候,琴弦最初会呈现为一个三角形,即两条直线在一个尖点处(此处,曲线的斜率无法定义)连接在一起;而波动方程有一个最基本的假设,即琴弦的任何位置均处于光滑状态,那么该方程的解怎么能是一个三角形呢?很快,这一矛盾便将争论转移到更加宽泛的话题:到底应该如何定义一个方程。方程能否包含一个尖点,即斜率会从一个值瞬间变成另一个值的点?函数的图象是否必须连续变化?当然,方程的概念如今已经得到了清晰的阐释,但是在 18 世纪,人们对方程的了解还很贫乏,导致相关的解释众说纷纭。

针对这一问题,贝尔努利和欧拉给出了一种不同的答案:琴弦的形状是琴弦振动所包含的所有正弦波的总和。这就完全避免了尖角问题,也更加符合振动的物理性质:毕竟,当人们弹拨吉他时,可以听见乐音,但并没有看到波沿着琴弦传播。至此,这场争论引发了一个新的问题:达朗贝尔提出的波传播的理论,以及贝尔努利提出的正弦波观点,这一对截然不同的基本事实如何才能成为同一个方程的答案?此处,我们不必讨论具体的技术细节,这会让今天的读者失去耐心;我们只需要挑出这场争论的几个片段:

作为主编以及法国大百科全书的首席数学权威,达朗贝尔从未忘记自己的这个身份,他在《弦的振动》(Vibration of Chords,1745)一文中写道:“大体上……我坚信我是第一个解决该问题的人;在我之后,欧拉先生给出了几乎完全一样的解决方法,唯一的区别就是他的法似乎更冗长一点。”贝尔努利在一封寄给欧拉的信(1750)中写道:“我没法弄清达朗贝尔先生到底想说什么……除了摘要,他给不出任何一个具体的例子。依据他的观点,一根琴弦的基本声音[频率]为1,而其他的声音[频率]分别为[基频的]2、3、4等整数[倍],我很好奇他如何得出这样的结论。他在试图模仿你,但是在他的文章中,除了他的[这种行文]风格,我找不到一点事实。”

即使是一贯温文尔雅的欧拉也逐渐失去了耐性,没心思和达朗贝尔周旋下去。1757 年,在一封寄给法国数学家皮埃尔·莫佩尔蒂(Pierre Maupertuis)的信中,他写道:

达朗贝尔先生通过论战让我们火冒三丈……他对自己的观点确信不疑,还炫耀在当初和[丹尼尔·]贝尔努利先生就流体力学进行的论战中获得了最终的胜利,尽管每个人都同意实验结果站在贝尔努利先生这边。如果达朗贝尔先生有克莱罗先生[亚历克西斯·克莱罗(Alexis Clairaut),在差分方程方面有所贡献的法国数学家]那样的坦率,他就该立刻缴械投降。但就事情的发展来看,如果法国科学院公开表示会将他的观点记录下来,那么数学科(这一章节)在很多年内都将充斥着关于振动弦问题的争论,而这些东西没有丝毫意义,因此在最后的合集中最好还是将达朗贝尔先生就该话题发表的言论压制下来。他还要求我承认从他那里剽窃了很多东西。但是,我的耐心已经耗尽了,我要让他知道,我什么都不会做,他随便到什么地方去发表他的东西,我才不会出面阻止。在《百科全书》里,他有足够多的东西填满《声明》(Claims)那篇文章。

这之后,“达朗贝尔先生不再骚扰我了,我已经下定决心,无论他发表什么针对我的言论,我都不会和他兵戎相见。”

表面上,达朗贝尔和其他“几何学家”(这是他给予自己同行的称呼)之间的分歧并不完全与学术相关。由于达朗贝尔与普鲁士国王腓特烈大帝关系特殊,而且他是柏林科学院的院长,同行们或许都曾试图与他维持良好的关系。但是,当欧拉最终与达朗贝尔决裂时,出于打击报复,后者劝说腓特烈把身为科学院首席数学家的欧拉轰走,换上拉格朗日。

在论战的后期,拉格朗日也加入战团。尽管作为一名数学物理学家,拉格朗日的声誉日隆,但在其他人已经得到的成果之外,他几乎没有任何新的进展。有时,他的数学推理难以让人信服,特别是在那篇从离散介质谈到连续介质的有关弦的论文中,他使用的逻辑漏洞百出。为掩饰这些问题,他用了大段的冗词赘句[据数学历史学家莫里斯·克莱恩(Morris Kline)所言,“基本空洞无物”]。但是,我们或许还是可以稍微谅解一下他,因为当时,拉格朗日的精力主要放在他的代表著作《分析力学》(Mécanique analytique,1788)上面。

如果就辩论的激烈程度以及主角们各具特色的鲜明性格而言,这场发生在 18 世纪的关于弦问题的论战,似乎预兆着 20 世纪 20 年代那场关于“量子力学”(quantum mechanics,简称“QM”)本质的争论。和关于弦的论战非常类似,QM争论的焦点是物质在亚原子层面是离散还是连续的。电子是否应该被视为一种物质粒子或者一个波——抑或两者皆是?“波粒二象性”(wave-particle duality)让每一个勇于钻研的理论物理学家都深陷其中,维尔纳·海森伯(Werner Heisenberg)提出了矩阵力学(matrix mechanics),与他唱对台戏的是埃尔 温·薛定谔(Erwin Schrödinger)基于连续介质的“波动方程”(wave equation)[该方程的发现受到音乐的启发,路易斯·德布罗意(Luis de Broglie)将电子围绕原子核的运动描绘成具有不同频率的波的组合,与小提琴的琴弦相类似,后者的形状是琴弦振动包含的所有正弦波的总和]。

有意思的是,量子理论的好几位先驱者在其大半生中都钟爱音乐:阿尔伯特·爱因斯坦和他那把标志性的小提琴已经成为一个传奇(很少有人知道他还弹奏钢琴),马克斯·普朗克和保罗·埃伦费斯特(Paul Ehrenfest)都是不错的钢琴家,而维尔纳·海森伯最初是想投身音乐事业,之后才转入理论物理领域。他们与这些 18 世纪的数学家形成了鲜明对比,后者喋喋不休地争论着让他们着迷的弦问题,大概除了欧拉,无人对音乐保持着基于艺术的终身爱好。他们演奏着或可被称为“数学音乐”(mathematical music)的乐曲,将毕达哥拉斯学派对数值比例的痴迷带到了一个新的高度。青年时期的欧拉,年仅 23 岁时就撰写了一部关于音乐理论的长篇大作——《一种新的音乐理论》(Tentamen novae theoriae musicae,1730)。在文中,他尝试依据“愉悦”的程度给不同的和弦标定某个数字尺度。这是一项雄心勃勃的工作,不过,据他的助手和未来的女婿尼古拉·菲斯(Nicolas Fuss)所言,“这篇论文造成的影响非常有限,对音乐家来说,它包含的几何知识过于庞杂,而在几何学家看来,它囊括的音乐知识又太过繁复。”

最终,这场关于弦的伟大论战并没有完全解决引发这一讨论的问题:如何用数学公式来确定以及表征振动弦的形状?尽管四位数学家已经接近问题的答案,但是,人们不得不再等上半个世纪,直到另一位法国人给出了最终的解决方案。关于他的故事,我们将在下一章讲述。

毫无疑问,这场论战对微积分之后的数学发展产生了深远的影响:它探索了应对连续介质问题所要使用的技术手段,而振动弦正是这类问题最简单的范例。这场论战也起到了跳板的作用,人们由此开始研究其他诸多的连续系统问题,从质量分布不均的琴弦到振动的梁、膜、钟以及气柱。简而言之,这场论战导致了人们称之为理论声学(theoretical acoustics)的诞生。但是,它对音乐是否产生了影响?毕达哥拉斯主义者的梦想就是将音乐置于数学的规范之下,但是音乐遵循着自己的道路,特立而独行,尽管存在一些明显的例外,却对数学这位睿智伙伴的影响具有免疫力。两者之间存在的亲密关系为众人称道,但这种关系在很大程度上只是一厢情愿。

本文摘选自《音乐是怎样算成的》(北京联合出版公司)第四章 。

【文摘】负负得正的道理
【软件】超级圆周率π运算器
【文摘】数学趣题汇编(12)
【文摘】大学数学竞赛题汇编(15)
【人物】Conway: 游戏人生
【科学】趣味逻辑学
【人物】布朗:他的作品影响了牛顿,支持哥白尼、坚持真理却被谋杀
【文摘】在科学的局限之外 ——​采访张首晟(三)
【文摘】在科学的局限之外 ——​采访张首晟(一)
【数学】彭罗斯镶嵌

此条目发表在数学, 雅致小品分类目录,贴了, 标签。将固定链接加入收藏夹。