【文摘】虚数不虚的秘密

作者 橘子老君 来源  橘子数学

虚数这个话题至今仍然带有些许神秘色彩。这完全要归咎与它糟糕的命名,如果我们把 i 与正向单位 +1 和负向单位 -1 一起被称作侧向单位而非虚数单位的话,这种神秘就不存在了。
 —— Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

对 x^2+1=0 求解,曾经有几千年的时间里,一直被回避或者忽视,就因为它被认为毫无意义. 直到大约500年前,才发现再也无法回避这个问题。

虽然关于卡尔丹诺方程的故事已经广为流传,但老君这里为了能让读者能够理解为什么我们会无法回避对\sqrt{-1}  的讨论,同时尽可能还原故事的全貌,特地写了两段故事。


主线剧情

意大利文艺复兴时期百科全书式的学者Cardan(1501-1576)在1545年出版的Ars Magna (《大术》)给出了对一般三次方程x^3+a_1x^2+a_2x+a_3=0  的求解方法。

即先通过换元得到 x^3=px+q 形式,然后可由求根公式得到

x=\sqrt[3]{\frac q2+\sqrt{\frac{q^2}4-\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{\frac q2-\sqrt{\frac{q^2}4-\frac{p^3}{27}}}

【问题】如何把任意三次方程,变形为   x^3=px+q   的形式?

在求解  x^3=15x+4    时,将p=15,q=4  代入上式得到:

x=\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}

而另一方面,可以得到x=4  是方程的解,利用长除法可得二次方程 x^2+4x+1=0 ,解得另两个实根为 -2\pm \sqrt3 。

虽然Cardan并没有惧怕负数开根,并设 \sqrt[3]{\frac q2+\sqrt{\frac{q^2}4-\frac{p^3}{27}}} =u+\sqrt{-v} ,但由于缺乏有效的复数域下开根的方法而陷入了一个循环代换,Cardan把这种情况称为”不可约”. 并把 \frac{q^2}4-\frac{p^3}{27} 作为判别式,认为只有判别式>0的情况下才适用他的公式。

【问题】如何在复数域求任意复数的n次方根?

【问题】如何证明出现“不可约”情形的三次方程,必有三个实根且两正一负?

文艺复兴时期欧洲著名的工程师Bombelli(1526-72),于1572年的《代数学》一书讨论了负数的平方根,并认为  \sqrt[3]{2+\sqrt{-121}},\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}  是一组共轭复数,于是把他们分别设成了:

\left\{\begin{matrix}\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}=a+b\sqrt{-1}\\\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}=a-b\sqrt{-1}\end{matrix}\right.

然后两边三次方,通过待定系数法,解(凑)出了a=2,b=1  ,获得了正实根 x=4 . 从而指出当判别式<0时,Cardan的公式仍然适用。

[注]:因为在那个时代负数根依旧被数学家们所无视, Bombelli并没有深入研究两个负实根。

【问题】如何证明不含平方项的三次方程,在复数域内所有根之和并为0?

之后的数学家们纷纷开始研究负数开根的问题,将其与三角、经典几何、解析几何、微积分等数学分支联系了起来,从而对复数有了更系统的研究。


支线剧情

一个叫Ferro(1465-1526)的意大利数学家,找到了求解以下形式三次方程的方法:

x^3+px=q,p>0,q>0

[注]: 注意与前者卡丹公式的区别,虽然在现代人看来只是  差了一个负号,但在那个时代一方面负数的运算规则尚未普及,另一方面两者解的情况也有明显不同。

他找到的求解公式是:

x=\sqrt[3]{\frac q2+\sqrt{\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{\frac q2-\sqrt{\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}}}

当然到此为止,这并没有跟 \sqrt{-1} 扯上任何关系,因为  为正数保证了根号里一定是大于零的数. 而且不难证明该形式的三次方程有且仅有一个实根。

【问题】如何证明  x^3+px=q,p>0,q>0  有且仅有一个实根?

在那个时代,数学家以相互挑战以收获名誉和奖金,所以他们往往对外宣称自己解决某一问题但对解决问题的方法秘而不宣.  所以Ferro直到临死前才把上述方法传给了他的学生Fior。

可惜Fior是个不自量力的学渣, 他其实只会套用老师传给的公式. 当另一位著名数学家Tartaglia(1500-1557) 宣称可以求解 x^3+px^2=q 时,Fior自大地认为Tartaglia就是个骗子,跑去向他发起了挑战. 结果可想而知,Fontana解决所有30个Fior给出的三次方程,而Fior一个都没解出来。

TartagliaFior
30
0

经此一役,Tartaglia随三次方程求解问题一起声名远播,从而吸引了意大利学者Cardan的注意. 在Cardan的一番软磨硬泡之下,Tartaglia最终还是把自己的解题方法传给了Cardan,并要求其保密。

很多故事版本认为Carden背信弃义,将Tartaglia的三次方程解法剽窃到了自己的《大术》一书中. 但笔者认为Cardan应该是当得知Ferro早于Tartaglia也独立解决了三次方程求解问题,所以才将之公之于众,并且将其推广给出了一般三次方程  x^3+a_1x^2+a_2x+a_3=0   的求解方法。

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