【人物】数学大师格罗腾迪克

作者:阿林‧杰克逊(Allyn Jackson)
译者:翁秉仁 数理人文

数学家格罗腾迪克(Alexandre Grothendieck)对于与数学有关的事物非常敏锐,能够深刻感受到数学建筑结构中精巧与优雅的面向。以他生平的一些高峰为例,他是法国科学高等研究院(IHÉS)的创办人之一,1966 年又获得菲尔兹奖,光这些就足以保证他跻身二十世纪数学的万神殿。不过这些细节并不足以掌握格罗腾迪克研究的本质,他的成就根源植于更有生机、更质朴的地方。正如他在长篇回忆录《收割与播种》(Récoltes et Semailles)中所述:“聆听事物之声的专注品质,陶冶出研究者创造力与想像力的品质。”(黑体为原作者所加,p.27)。如今格罗腾迪克自己的声音,体现在他的著作里,也彷彿得透过空无,才能传到我们的耳中。高龄七十六岁【编注:本文写作时间为 2004 年】的他,住在法国南部一处偏远的小村落里,已经遁世隐居十余年。

1965 年左右的格罗腾迪克

依据密西根大学巴斯(Hyman Bass)的看法,格罗腾迪克的数学观点,以“宇宙般的广度”改变了数学的风貌。他的观点直接被数学所吸收,以致于现在的数学新手很难再想像这个领域以前的模样。格罗腾迪克留下最深刻印记的领域是代数几何,他强调发现数学对象之间的关系,可以做为理解数学对象的一种途径。格罗腾迪克具有极强、甚至可说是超凡绝世的抽象能力,让他可以从十分广义的脉络里看待问题,而且他能很灵敏精确的运用这份抽象能力。事实上,从二十世纪中叶起,整个代数几何领域愈来愈抽象和普遍的研究倾向,大部分得归诸格罗腾迪克的影响。但是,单纯为普遍而普遍,可能发展出贫瘠与乏味数学理论的危险,格罗腾迪克却从未涉身其中。

格罗腾迪克在二次大战时的早年生活,充满混乱和创伤,他也缺乏良好的教育背景。格罗腾迪克如何从这样困蹇不足的起点脱颖而出,将自己淬炼成当世顶尖数学家的历程,是一个充满戏剧性的故事,就如同他在 1970 年时突然决定离开数学界一样,当时他的伟大成就正开花结果,而其非凡人格也深深影响这个社群。

早年生活

在我们(高中)的数学书籍里,我最不满意的是缺乏(曲线)长度、(曲面)面积、(立体)体积的严格定义。我立誓如果有机会,我将填补这个罅隙。  ──《收割与播种》 p.3

普林斯顿高等研究院的伯瑞尔(Armand Borel)于 2003 年 8 月过世,享年 80 岁。他回忆第一次见到格罗腾迪克,是在 1949 年 11 月巴黎的布巴基(Bourbaki)讨论班。当时在演讲空档,20 几岁的伯瑞尔正与法国数学界领导人物 45 岁的厄瑞斯曼(Charles Ehresmann)聊天。伯瑞尔回忆说,当时有一个年轻人大步走近厄瑞斯曼,没有任何寒暄,就开门见山问说:“你是拓扑群的专家吗?”厄瑞斯曼不想显得傲慢,回答说是的,他了解一点拓扑群。但是这位年轻人坚持:“但我需要真正的专家!”这就是当时的格罗腾迪克,21 岁的年纪,鲁直而强势,虽然不完全无礼,但是对社交仪节却懵然无知。伯瑞尔还记得格罗腾迪克当时的疑问:“是不是所有的局部拓扑群都是大域拓扑群的芽(germ)?”结果伯瑞尔恰巧知道一个反例。格罗腾迪克的疑问显示,当时他已经以非常普遍的方式在思考数学。

1940 年代末的巴黎时光,是格罗腾迪克真正接触数学研究的开始。在此之前,从他的人生事历(至少就我们所知),并没有什么线索,看得出他注定将成为数学界的支配人物。格罗腾迪克的家世背景或童年时期的细节,许多都还未知,已知的部分也很粗略。德国明斯特大学的萨尔劳(Winfried Scharlau)正在撰写格罗腾迪克的传记,并且已经仔细研究过格罗腾迪克这段时期的经历。底下格罗腾迪克生平的许多资讯,都来自我与萨尔劳的访谈,以及他为了撰写这本传记所搜集的资料[Sch]。

格罗腾迪克父亲的姓名可能是亚历山大‧沙比罗(Alexander Shapiro),1889 年 10 月 11 日,出生于乌克兰诺弗兹博克夫(Novozybkov)的一个犹太家庭。他是一位无政府主义者,曾经参与二十世纪初沙皇时期的许多起义事件。十七岁被捕后,他设法躲过死刑,却又多次的逃逸和被捕,最后总共在狱中待了约十年。由于同名同姓,格罗腾迪克的父亲经常被误认为是这些事件中,另一个更知名的激进份子。里德(John Reed)的《震撼世界的十天》曾经描写后者的事迹,他最后移居纽约,死于 1946 年,当时格罗腾迪克的父亲已经死了四年。另一桩值得注意的事情是,格罗腾迪克的父亲是一个独臂人。曾于 1970 年代与格罗腾迪克同居并生下一子的班碧(Justine Bumby)说,格罗腾迪克的父亲为了逃避警察追捕,在试图自杀时失去这条手臂。或许格罗腾迪克自己也无意之间让有两位沙比罗的事实更加混淆,举例来说,IHÉS 的卡迪耶(Pierre Cartier)曾在[cartier2]中提到,格罗腾迪克坚持里德书里有一个角色是他的父亲。

1921 年,沙比罗离开俄罗斯,终生没有任何国籍。为了隐藏他的政治过往,他取得一份名为亚历山大‧塔纳洛夫(Alexander Tanaroff)的身份证明,余生都以此为名。他曾经待过法国、德国、比利时,并且和无政府主义者以及其他革命团体常有过往。1920 年代中期,他在柏林的激进份子圈认识了格罗腾迪克的母亲——韩卡(Johanna(Hanka) Grothendieck)。韩卡 1900 年 8 月 21 日出生于汉堡,家中是路德教派的中产家庭。为了反抗传统的教养,她前往当时前卫文化与革命社会运动温床的柏林。韩卡和沙比罗都想成为作家,沙比罗终生未发表只字片语,不过韩卡倒是写过一些报纸的文章,尤其在 1920 到 1922 年间,她曾为一份名为《刑枷》(Der Pranger)的左翼周报写稿,那是为在汉堡社会边缘生存的娼妓阶层伸张权益的报纸。更久之后,韩卡在 1940 年代晚期写过一本自传体的小说《一个女人》(Eine Frau),但从未出版。

沙比罗大半生都是一位街头摄影师,这份工作让他可以自立更生,避免陷入有违他无政府信仰的雇佣关系。他和韩卡都结过婚,各有一个前婚小孩,她的是女儿,他的则是儿子。格罗腾迪克在 1928 年 3 月 28 日生于柏林,家中除了他的父母,还有韩卡前次婚姻的女儿麦蒂(Maidi),她大格罗腾迪克四岁。家人以及格罗腾迪克后来的亲近朋友都称他为舒利克(Schrik),他父亲的小名则是沙夏(Sascha)。虽然格罗腾迪克从未见过他的异母哥哥,但他将自己 1980 年代的手稿《寻堆》(A La Poursuite des Champs)献给哥哥。

1933 年纳粹掌权后,沙比罗从柏林逃亡到巴黎,该年十二月,韩卡决定跟随丈夫,因此将儿子托付给汉堡附近布兰肯奈西(Blankenese)的一个寄养家庭,女儿麦蒂则留在一个照顾残障儿童的机构,虽然麦蒂并非残障(《 收割与播种》 pp.427-473)。寄养家庭的家长名叫亥东(Whihelm Heydorn),其精彩一生可以从他的传记《我只是一个人》(Nur Mensch Sein!)[Heydorn]上看出来。书中有一张格罗腾迪克 1934 年时的照片,而且简短的提到他。亥东曾经是路德教派的牧师,也当过军官。他后来离开教职,转任小学老师与Heilpraktiker(在今天可大略译成另类疗法治疗师)。1930 年,亥东建立一个具有理想色彩的政党——“人性党”(Menschheitspartei),被纳粹视为非法政党。亥东自己有四个小孩,而且在这个日后导致二次大战的混乱时期里,他和太太达格玛(Dagmar)依循基督教的理念,还另外收容了好几位被迫和家人分开的寄养小孩。

童年的格罗腾迪克

格罗腾迪克从五岁到 11 岁,在亥东家待了五年,而且还上过学。在达格玛的回忆录中,提到小格罗腾迪克的个性十分随性、绝对诚实,但缺乏自制。在这段时期,格罗腾迪克很少收到母亲的来信,父亲更无只字片语。虽然韩卡在汉堡还有亲戚,但是从来没有人探访过她的儿子。格罗腾迪克在《收割与播种》(p.473)中提到,和父母的遽然分离造成他莫大的创伤。萨尔劳怀疑小格罗腾迪克在亥东家里过得并不快乐,由于他从小生长在无政府主义家长建立的自由家庭,亥东家比较严格的气氛也许会造成双方的摩擦。事实上,格罗腾迪克和亥东家附近的几个家庭反而比较亲近,即使成年之后,他还长年与他们通信。格罗腾迪克也曾给亥东家写过信,并曾经造访汉堡数次,最近的一次是在 1980 年代中期。

1939 年的战争迫在眉睫,亥东家受到的政治压力愈来愈大,他们无法再收容寄养小孩。格罗腾迪克的情形更麻烦,因为他长得就像犹太人。当时他父母的确切地址不详,但达格玛写信给汉堡的法国领事馆,设法将消息传达给在巴黎的沙比罗,以及在尼姆(Nîmes)的韩卡。一旦联络上后,11 岁的格罗腾迪克立刻被送上从汉堡开往巴黎的火车。他在 1939 年五月他和父母重聚,在战争之前共度了一段很短的时光。

我们并不很清楚格罗腾迪克留在汉堡的期间,他父母的工作是什么。不过他们在政治上仍然很活跃,曾经一起到西班牙参与西班牙内战,并在佛朗哥获胜后,随众人一起逃回法国。由于他们的政治活动,韩卡和她先生在法国被视为危险的外国人。格罗腾迪克和他的父母重聚后不久,沙比罗就被送到勒凡内(Le Vernet)的集中营,这是当时法国情况最粗劣的集中营,他可能从此就没再见过妻儿。1942 年八月,沙比罗被法国当局递解到奥斯威辛(Auschwitz)集中营,并在该地遇害。至于格罗腾迪克的姊姊麦蒂在这段时间的情况不明,不过她最后嫁给一位美国军人,移民美国,几年前才过世。

1940 年,韩卡和儿子被送入曼德(Mende)附近的里奥克罗(Lieucros)集中营,就集中营而言,这里算是情况比较好的,他们允许格罗腾迪克到曼德上中学。尽管如此,这仍然是一段精神被剥夺又不确定的岁月。格罗腾迪克曾经告诉班碧,他和母亲有时会受到法国人的漠然回避,他们不知道韩卡也反纳粹。格罗腾迪克曾经逃离集中营,想要刺杀希特勒,不过很快就被抓回去。班碧说:“这很可能要了他的命。”格罗腾迪克身强体壮,也是一名拳击好手,在这段时遭欺凌的时光里非常有用。

两年后,这对母子被迫分离。韩卡被送到另一个集中营,她的儿子最后流落到法国的尚邦(Le Chambon-sur-Lignon)。当地的新教牧师楚洛克密(André Trocmé)将这个山区度假小镇,变成抵抗纳粹的顽强据点,成为保护犹太人与其他战乱受害者的避风港[Hallie]。格罗腾迪克住在当地一个瑞士机构支持的儿童之家,他就读于当地教育年轻人的赛佛诺(Cévenol)中学,并且通过法国高中会考(baccalauréat)。虽然尚邦人的英雄行径保障了流亡者的安全,但是当时的生活仍然不很稳定。在《收割与播种》中,格罗腾迪克提到由于当局定期搜捕犹太人,他和同学常要疏散到森林中躲几天。

格罗腾迪克也谈过他在曼德和尚邦的学校生活。尽管他的年轻岁月颠沛流离,生活困顿,格罗腾迪克显然从小就有强烈的内在方向感。在数学课中他从不依赖老师,学会自行分辨深浅与对错。他觉得课本中的习题太多重复,呈现的方式又孤立于其真正的意义。格罗腾迪克写道:“这是书本的问题,不是我的问题”。不过一旦有个问题攫取他的注意,他还是会完全投入,废寝忘食。(《收割与播种》 p.3)

从蒙贝里耶、巴黎到南锡

舒拉先生[我的微积分老师]确定的告诉我,二十或三十年之前,数学最后的问题已经被某个叫勒贝格(Lebesgue)的人给解决了。他发展了一门测度与积分的理论(多么有趣的巧合!),为数学划下了句点。 ──《收割与播种》 p.4

1945 年五月,欧洲的战事结束了,当时格罗腾迪克 17 岁。他和母亲搬到麦沙革(Maisargues),这是蒙贝里耶(Montpellier)城外产酒区的一处小村庄。格罗腾迪克进入蒙贝里耶大学就读,两人靠着大学奖学金以及葡萄丰收期的季节零工来维生,韩卡也有一份打扫的工作。格罗腾迪克上课的时间愈来愈短,因为他发现老师总是照本宣科,重复教科书上的说法。根据丢东涅(Jean Dieudonné)的说法,当时的蒙贝里耶“在数学教学上,是法国最落后的大学之一。”[D1]

在这个沉闷的环境里,格罗腾迪克三年的蒙贝里耶大学生活,都花在填补高中教科书的缺陷上,想要补足长度、面积、体积的恰当定义。基本上,他一个人重建了整个测度论与勒贝格积分的概念。这段故事是格罗腾迪克和爱因斯坦的众多相似处之一。爱因斯坦年轻时,也曾自行发展统计物理的概念,后来他才知道吉布斯(Josiah Gibbs)已经先发现了。

1948 年,格罗腾迪克拿到蒙贝里耶大学的理学士学位,随后前往法国数学的中心——巴黎。1995 年,在一篇谈论格罗腾迪克的法国杂志文章中[Ikonicoff],一位名为马尼(Andre Magnier)的法国教育官员回忆,当时格罗腾迪克申请前往巴黎的奖学金的情形。马尼要求格罗腾迪克描述他在蒙贝里耶的研究课题。杂志引述马尼的话说:“我十分震惊。结果本来二十分钟的会面,他用了两个钟头,不停跟我说明他如何用‘手边仅有的工具’,重建别人花几十年发展的理论,他展现了非凡的聪慧。”马尼补充说:“格罗腾迪克除了给人卓越青年的印象外,也显露出因为受苦与匮乏而较不平衡的一面。”马尼随即推荐格罗腾迪克取得奖学金。

格罗腾迪克的微积分老师舒拉(Soula)推荐格罗腾迪克前往巴黎,并和他的老师卡当联络。至于这位“卡当”,是当时年近八十的埃里‧卡当(Élie Cartan),还是他四十几岁的儿子昂利‧卡当(Henri Cartan),格罗腾迪克并不清楚(《收割与播种》 p.19)。当他 1948 年秋天到达巴黎后,格罗腾迪克向数学家解释他在蒙贝里耶的研究。正如舒拉已经告诉他的,这些都是已知的结果,但是格罗腾迪克并不失望。事实上这段年轻孤立的努力经验,对他成为数学家似乎颇为关键。在《收割与播种》中,格罗腾迪克谈起这段期间说:“不知不觉的,我从孤独中已经学习到成为数学家的根本要素,这不是任何老师可以教出来的。没有人告诉我,但我就是‘全心’知道自己是数学家,是‘做’数学的人,就和‘做’爱的‘做’意义十足相当。”(《收割与播种》 p.5)

格罗腾迪克开始参加昂利‧卡当在法国高等师范学院的著名讨论班。这个讨论班承袭了一种格罗腾迪克日后也将衷心奉行的模式,参与者在全年课程中检视一个主题,然后再将课程内容有系统的整理出版。1948-1949 年的主题是单体(simplicial)代数拓扑和层论(sheaf theory),这是当时最前沿的课题,在法国还没有其他地方可以学习到[D1]。事实上,当时离勒黑(Jean Leray)建立层的概念还没多久。在卡当讨论班,格罗腾迪克首次认识了许多当代最杰出的数学家,包括薛瓦雷(Claude Chevalley)、德沙特(Jean Delsarte)、丢东涅、古德蒙(Roger Godement)、史瓦茨(Laurent Schwartz)、韦伊(André Weil),其中也包括了卡当的学生塞尔(Jean-Pierre Serre)。另外,除了卡当讨论班,格罗腾迪克还上了勒黑在法兰西学院开的课程,内容是当时很新颖的局部凸空间(locally convex space)。

昂利‧卡当既是几何学家埃里‧卡当的儿子,本身又是杰出的数学家,再加上身任高等师范学院的教授,他无疑是巴黎菁英数学家圈的中心人物。昂利‧卡当也是战后愿意向德国同僚伸出友谊之手的少数法国数学家,尽管他对战争的恐怖其实有着切身之痛,因为他参与抵抗运动的弟弟,被纳粹逮捕斩首。昂利‧卡当和当时的许多顶尖数学家享有共同的背景,就像厄瑞斯曼、勒黑、薛瓦雷、德沙特、丢东涅、韦伊一样,都是“师范人”,他们都毕业于法国高等师范学院,这是法国高等教育中声望最高的学府。

在卡当讨论班中,格罗腾迪克就像是一个局外人。他说德语却住在战后的法国,而且他贫乏的教育背景和这群人形成尖锐的对比。不过在《收割与播种》中,格罗腾迪克说,他在这种环境中并没有感觉像陌生人,并对他获得的“善意欢迎”充满温暖的回忆(pp.19-20)。他直言无讳的个性很引人侧目,在塞夫(Jean Cerf)为卡当百年大寿写的纪念文章中,他回忆当时的卡当讨论班里,“有一个陌生人(就是格罗腾迪克)从教室后方和卡当自由交谈,就像是同辈一样。”[Cerf] 格罗腾迪克写说他可以任意发问,但也发觉自己必须辛苦学习的东西,旁人却好像瞬间就能掌握运用,“好像他们在摇篮中就已经知道了似的。”(《收割与播种》,p.6)可能部分出自这个原因,在卡当和韦伊的忠告下,格罗腾迪克 1949 年 10 月离开了巴黎的菁英圈,前往步调比较缓慢的南锡(Nancy)。另外,根据丢东涅的说法,格罗腾迪克当时对拓扑向量空间的兴趣多过代数几何,因此前往南锡是再自然不过了。[D1]

南锡的学徒生涯

⋯⋯关爱之情到处洋溢着⋯⋯1949 年在南锡,当我第一刻踏入洛宏(Laurent)与海伦(Hélène)的史瓦茨家时,我就感受到这份关爱(就像他们的家人一样),还有丢东涅家,还有古德蒙家(那也是我当时经常逗留的地方)。当我第一步踏入数学世界时,围绕着我的这些关心温暖,虽然我时而想忘却,对我的数学家生涯却很重要。 ──《 收割与播种》 p.42

1940 年代晚期,南锡是法国最优秀的数学中心之一。事实上,虚构数学家“布巴基”(Nicolas Bourbaki)据说出身于“南加哥”(Nancago)大学,这个名称的组合,一方面表示韦伊的芝加哥(Chicago)时期,同时也对应到布巴基其他成员所在的南锡大学。这些南锡的教授包括了德沙特、古德蒙、丢东涅与史瓦茨,格罗腾迪克的南锡同学则有里翁(Jacques-Louis Lions)和马卢格宏日(Bernard Malgrange),他们和格罗腾迪克一样都是史瓦茨的学生。另外还有 22 岁来自巴西的黎宾波因(Paulo Ribenboim),他和格罗腾迪克几乎同时到达南锡。

黎宾波因现在是加拿大安大略女王大学的退休教授,根据他的说法,当时南锡的研究步调不像巴黎那么激昂,教授也可以有更多时间和学生相处。黎宾波因说他的印象中,格罗腾迪克是因为缺乏背景,无法跟上要求甚高的卡当讨论班,才来到南锡。这并不是格罗腾迪克自己说的,黎宾波因评论:“他不是会承认自己不懂的家伙!” 不过,格罗腾迪克卓越的天分十分明显,黎宾波因记得自己把他当作理想的典范。虽然格罗腾迪克的情绪可能非常激切,言行有时更是粗鲁。黎宾波因回忆说:“但他不是苛刻,而是对自己和他人都要求甚高。”格罗腾迪克身边几乎没有书,比起透过阅读学习,他宁愿自己把理论重建起来。同时,格罗腾迪克工作十分勤奋,黎宾波因记得史瓦茨有次告诉他,你看起来像是善良又平衡的年轻人,你应该跟格罗腾迪克交交朋友,试着不要让他只知道用功。

当时丢东涅和史瓦茨在南锡主持拓扑向量空间的讨论班。丢东涅在[D1]里解释说,当时巴拿赫空间(Banach space)与其对偶空间的理论已经很清楚,但是局部凸空间则是一个新概念,关于其对偶性的一般理论还付之阙如。丢东涅和史瓦茨在这个领域的研究上,遇到一系列的问题,他们决定把这些难题转交给格罗腾迪克。结果让他们大吃一惊,因为几个月之后,格罗腾迪克就将所有问题都解决了,还有余裕去继续研究其他泛函分析的问题。丢东涅写着:“1953 年,到了要授予他博士学位的时候,我们必须从他的六篇论文中选择一篇,他的每篇文章都足以当做一篇好博士论文。”结果被选出来的博士论文是《拓扑张量积与核空间》(Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires),这篇论文首次显示了格罗腾迪克一般性思考的迹象,这是他全部作品的特征。核空间的概念首次出现在这篇论文中,日后有着广泛的应用。1954年,史瓦茨在巴黎一次名为“格罗腾迪克张量积”(Les produits tensoriels d’ après Grothendieck)的讨论班中介绍了格罗腾迪克的新结果[Schwartz]。至于格罗腾迪克的论文,则于 1955 年在美国数学学会的《纪要丛书》(Memoirs)出版,到了 1990 年,已经重印了七次。[Gthesis]

格罗腾迪克的泛函分析研究“真的非常杰出。”美国加州大学洛杉矶分校的艾夫罗斯(Edward Effros)说:“他也许是第一位意识到,二次大战后才茁壮的代数/范畴方法,可以运用到这个非常解析性的泛函分支的人。”格罗腾迪克在某种意义上是领先于他的时代。艾夫罗斯特别指出,主流巴拿赫空间理论花了至少 15 年的时间,才充分吸收格罗腾迪克的研究内容,部分原因是大家对他较为代数的观点有所迟疑。不过艾夫罗斯说,格罗腾迪克的影响在近年来开始发酵,这是因为格罗腾迪克的范畴论观点非常适合讨论巴拿赫空间的“量子化”。

虽然格罗腾迪克的数学研究蓄势待发,前景颇为看好,但他的私人生活并不安定。在南锡,他和母亲住在一起,黎宾波因记得她常常因为结核病发而卧病在床,这是她在集中营时感染的疾病。大约就是在这个时候,格罗腾迪克的母亲正撰写她的自传性小说《一个女人》。格罗腾迪克与母亲租住公寓的房东是一个年纪比他稍长的女人,两人发生关系,并生下格罗腾迪克的第一个小孩,这个男孩名叫赛格(Serge),大半都由母亲抚养。即使格罗腾迪克已经拿到博士学位,他想找到终身职的希望仍然很渺茫,因为格罗腾迪克没有任何国籍,在当时的法国,非公民想找到终身职十分困难。但想取得法国国籍,又必须服兵役,这是格罗腾迪克绝对排斥的事情。1950 年后,格罗腾迪克透过法国国家科学研究中心(CNRS)找到一份工作,不过这个工作比较像是奖助金,而不是终身职。有段时间,格罗腾迪克甚至还考虑学习木工来赚钱。(《收割与播种》 p.1246 注)

1952 年,史瓦茨访问巴西,告诉当地人他有一位聪颖的年轻学生,在法国找不到工作。于是巴西圣保罗大学提供格罗腾迪克访问教授职,格罗腾迪克在 1953 到 1954 年间赴任。美国罗格斯大学的退休教授巴洛斯奈托(José Barros-Neto),当时在圣保罗大学还是学生,根据他的说法,格罗腾迪克当时还做了特别的安排,好让他在秋季可以回到巴黎参加讨论班。巴西数学社群的第二外国语是法语,因此格罗腾迪克教书以及和同事交谈都没有问题。格罗腾迪克的圣保罗之行,其实是法国和巴西科学合作传统的一环。除了史瓦茨之外,韦伊、丢东涅,以及德沙特都曾经在 1940 年代或 1950 年代访问巴西。例如韦伊曾经在 1945 年一月访问圣保罗,直到 1947 年秋季才离开,前往芝加哥大学。法国和巴西的数学联结直到今天仍然持续。里约热内卢的巴西纯粹与应用数学院(IMPA)有一份法巴合作协议,让许多法国数学家可以到该院访问。

在《收割与播种》中,格罗腾迪克将 1954 年称“疲累的一年”(p.163)。他一整年都没办法在拓扑向量空间的逼近问题上取得任何进展,这个问题要在大约二十年后才被解决,而且方法和格罗腾迪克试图采取的办法不一样。格罗腾迪克写道,这是“我一生中,研究数学变得如此沉重的唯一时刻。”他从这个挫折学到一个教训,“别将鸡蛋摆在一个篮子里。”在脑袋中要多放几个数学问题,如果有个问题冥顽不灵,还有别的问题可以做。

圣保罗大学的教授宏尼戈(Chaim Honig)在格罗腾迪克来访时,还是数学系的研究助理,他们后来成为好友。宏尼戈说格罗腾迪克过的几乎是斯巴达式的孤独生活,仅靠牛奶和香蕉为食,整天浸淫在数学之中。宏尼戈曾经问格罗腾迪克为什么要做数学,格罗腾迪克回答说,自己特别热爱的是数学和钢琴,他选择数学是因为他以为这样谋生比较容易。由于格罗腾迪克的数学天赋极为明显,宏尼戈说:“知道他曾经在数学和音乐间迟疑过,我还真是吃了一惊。”格罗腾迪克本来计划与当时在里约热内卢的纳区宾(Leopoldo Nachbin)合写一本拓扑向量空间的书,这个计划后来胎死腹中。不过,格罗腾迪克在圣保罗大学曾经教过拓扑向量空间,并且后来写成讲义,由圣保罗大学出版。巴洛斯奈托当时是课上的学生,他为这个讲义写了介绍的章节,并补充了一些基本的先备知识。巴洛斯奈托记得格罗腾迪克在巴西时,就已经考虑要转换领域,他说格罗腾迪克“非常非常有野心,你可以感受到他强烈的决心,他要做的是基础的、重要的、根本的研究。”

明星崛起

最重要的是,书页上那些无疑让我不痛不痒的叙述,塞尔却每次都能够强烈感受到它背后的丰饶意义,而且他还能“传递”出对这一丰富、明确又神祕的实体的感受,让这份感受激起你想要理解、穿透这个实体的欲望。 ——《收割与播种》 p.556

任职于法国格赫诺布尔大学的马卢格宏日回忆说,当格罗腾迪克写完毕业论文后,他就断言格罗腾迪克将不再对拓扑向量空间感兴趣。马卢格宏日说:“他告诉我再没有什么可以做,这个主题已经死了。”在当时,博士生还得准备不必有原创观点,但必须和主论文无涉的“第二论文”,藉以展现学生对另一个数学领域的理解深度。格罗腾迪克的第二论文主题是层论,这份研究埋下了他对代数几何感兴趣的种子,日后成为他最伟大的研究领域。格罗腾迪克的博士论文口试地点在巴黎,马卢格宏日还记得口试后,他和格罗腾迪克、昂利‧卡当一起搭计程车到史瓦茨家吃饭。他们之所以搭计程车,是因为马卢格宏日滑雪时把腿摔断了。马卢格宏日回忆说:“在车上,卡当向格罗腾迪克说明,他有些层论的东西说错了。”

离开巴西后,1955 年格罗腾迪克待在美国堪萨斯大学,这也许是出自阿隆沙因(Nachman Aronszajn)的邀请[Corr]。在堪萨斯,格罗腾迪克沉迷于同调代数的研究,在那里他写下了日后被专家私下昵称为“东北论文”的《关于同调代数的几个问题》(Sur quelques points d’ algèbre homologique),这是因为该论文发表于日本的《东北数学杂志》[To]。这篇论文是同调代数的经典之作,扩展了昂利‧卡当和艾林伯格的模(module)观点。此外,格罗腾迪克在堪萨斯时还写下《具结构层的纤维空间的一般理论》(A general theory of fiber spaces with structure sheaf),这是给美国国科会的报告。在这篇报告里,格罗腾迪克发展了他非交换上同调理论的初步概念,日后他将在代数几何的脉络下再回到这个主题。

就在这段期间,格罗腾迪克开始与法兰西学院的塞尔通信,他在巴黎时曾经见过塞尔,后来又在南锡碰面。他们部分信件的结集在 2001 年以原来的法文出版,2003 年又出了英法对照的版本[Corr]。这是一段长久又丰饶的互动的开端,这些信函显示出这两位十分不同的数学家,有着深厚又充满活力的联系。格罗腾迪克具有绝尘逸世的想像力,而塞尔总是能以他犀利的理解力与广博的知识,将格罗腾迪克拉回到现实世界来。在信件中,有时格罗腾迪克会显露出惊人的无知,例如他曾经问过塞尔,黎曼 ζ 函数是否有无穷多个零根([Corr], p.204)。塞尔回忆:“他对古典代数几何的知识基本上等于零,我稍微多知道一些,但也不很多,我能帮就帮。不过⋯⋯反正未解的问题那么多,其实也没有关系。”格罗腾迪克不是持续留意最新文献的人,大部分时候他都得依赖塞尔告诉他最新的进展。在《收割与播种》中格罗腾迪克写道,除了他自学的部分,他绝大部分的几何知识,都是从塞尔那儿学到的(pp.555-556)。不过塞尔并不是单纯教格罗腾迪克新知,而是先充分消化新的概念后,再以特别能让格罗腾迪克信服的方式进行讨论。格罗腾迪克称塞尔是一枚“雷管”,提供的火花足以点燃引线,引爆出各式各样的概念。

事实上,格罗腾迪克将他研究的许多中心主题上溯到塞尔的影响。例如在 1955 年左右,塞尔从上同调理论的脉络向格罗腾迪克描述韦伊猜想。这在韦伊本来的猜想表述中,只是隐藏的脉络而已,但这样的说法却能诱使格罗腾迪克上钩(《收割与播种》 p.840)。另外,透过塞尔对韦伊猜想的“凯勒”(Kählerian)类比,也启发格罗腾迪克提出所谓的“标准猜想”(Standard Conjecture),这是一个更广泛的猜想,而韦伊猜想则是它的推论。(《收割与播种》 p.210)

1956 年,格罗腾迪克从堪萨斯回到法国,他获得法国国家科学研究中心的职位,大部分时间都留在巴黎。他和塞尔继续通信,也定期和他通电话。这是格罗腾迪克更深入研究拓扑与代数几何的时候,伯瑞尔回忆说:“格罗腾迪克的灵思源源不绝,我很确定他一定会做出第一流的工作,但是最后呈现的成果还是远超过我的期待。那就是他自己的黎曼/罗赫定理(Riemann-Roch Theorem),这是一个绝妙的定理,数学的大师之作。”

黎曼/罗赫定理的古典形式完成于 19 世纪中叶。如果在紧致黎曼面上给定有限个点,考虑以这些点为极点(pole)且不超出指定阶数的半纯(meromorphic)函数所成的空间,这个定理想讨论的是这个空间的维度,答案就是黎曼/罗赫公式,其中此维度可以用黎曼面的不变量来表示,于是建立了曲面的分析性质与拓扑性质的深刻连结。1953 年,德国数学家贺茨布鲁赫(Friedrich Hirzebruch)更往前踏出一大步,将黎曼/罗赫定理从黎曼面推广到高维复数射影非奇解形(projective nonsingular varieties)【译注:variety 旧译为“曲体”、大陆译为“簇”,现译为“解形”,取其为多项式之解所构成的形体】的情况。数学界为这个精心力作兴奋不已,因为这个结果似乎是这个课题的最终解答。

普林斯顿大学的卡兹(Nicholas Katz)说:“结果格罗腾迪克走过来说,‘不,黎曼/罗赫定理不是代数解形的定理,而是关于两解形之间映射的定理。’这是一个崭新的根本观点⋯⋯定理的叙述方式整个改变了。”当时范畴论(category theory)的基本哲学——该研究的是对象之间的箭头,而不是对象本身——正方兴未艾。伯瑞尔说:“重点是[格罗腾迪克]把这个哲学,应用到十分困难的数学领域。它的确具有范畴和函子(functor)的精神,但从来没有人想过可以在这么困难的课题上运用它⋯⋯。如果有人目睹过这种叙述方式并且能理解,那么或许还有别人也可以证明出来,问题是这种叙述本身,已经超前其他人十年之久。”

格罗腾迪克与阿提雅

1959 年瓦许尼泽(Gerard Washnitzer)也独立证明出这个定理[Washnitzer],它还可以推广到任何基本域的真光滑代数解形。而贺茨布鲁赫/黎曼/罗赫定理则变成这个定理的特殊情况。黎曼/罗赫定理另一个深远的推广出现于 1963 年,乃是由阿提雅(Michael Atiyah)和辛格(Isadore Singer)证明的阿提雅/辛格指标定理。在格罗腾迪克的证明过程里,他引入现在称为格罗腾迪克群的概念,本质上提供了一种新拓扑不变量。格罗腾迪克自己称这个群为 K 群,成为促进阿提雅和贺茨布鲁赫发展拓扑 K 理论的起点。然后,拓扑 K 理论又启发了代数 K 理论的观点,此后这两个领域都蓬勃发展至今。

当时贺茨布鲁赫在德国波昂大学启动了所谓的 Arbeitstagung(字面上就是“工作会议”的意思),四十余年来都是数学前沿研究的论坛。1957 年七月第一次的论坛,就是由格罗腾迪克讲演他的黎曼/罗赫研究。不过由于某个令人好奇的转折缘由,这个结果最后并不是用他的名字发表,而是出现在塞尔与伯瑞尔的论文中[BS](证明后来也出现在 1966-1967 年的《代数几何论丛》(Séminaire de Géometrie Algébrique du Bois Marie,简称 SGA)的第六册中) 。1957 年秋季,当塞尔访问美国高等研究院时,收到格罗腾迪克一封概述其证明的信(1957 年十一月一日信函[Corr]),于是塞尔和伯瑞尔组织了一个理解这个证明的讨论班。由于格罗腾迪克忙于许多事务,他建议这些朋友们撰写并出版讨论班的纪录。不过伯瑞尔猜测,格罗腾迪克不想自己写下结果还有别的原因,“格罗腾迪克的主要哲学思想是,数学应该要拆解成一步步自然的小步骤,做不到这一点,就表示其中还有你不了解的地方⋯⋯但是他证明黎曼/罗赫定理时,用到一个取巧的方法(une astuce)。所以他自己不满意,不想发表⋯⋯他还有很多别的事情要处理,所以没兴趣写下这个技巧。”

此后,格罗腾迪克持续为不同的数学主题提出革命性的观点。卡兹说:“这样的情形不断发生。当他遇到某个别人深思过的问题,包括某些上百年的问题⋯⋯他会完全转变别人原先所认定的主要题旨。”格罗腾迪克不仅要解决悬宕未解的问题,他还重构了别人所提出的问题。

开启新世界

我终于理解到“我们──这些宏伟又高贵的灵魂”,这一意识型态某种特别极端又狠戾的形式,从我母亲幼年起,就狂烈的充塞着她的心灵,宰制了她对别人的关系。我母亲喜欢以悲悯的态度,从自己的高度俯视他人,经常带着轻蔑,甚至鄙视。 ──《收割与播种》 p.30

根据宏尼戈的回忆,格罗腾迪克的母亲至少有一段时间和他同住在巴西,尽管宏尼戈说自己并没有见过她。至于她是否曾和格罗腾迪克同住在堪萨斯则不很清楚。当格罗腾迪克 1965 年回到法国时,他们可能已经没有继续住在一起。1957 年十一月,在一封从巴黎写给塞尔的信里,格罗腾迪克提到他是否可以租下塞尔正准备搬出的巴黎公寓。格罗腾迪克解释说:“我对房子感兴趣是为了我母亲,她在白鸽林(Bois-Colombes)住得并不愉快,她非常孤立。”[Corr]。事实上,格罗腾迪克的母亲在该年年底就过世了。

格罗腾迪克的朋友和同事都说,当他谈到父母时总是充满赞扬,几乎到了阿谀的程度。在《收割与播种》中,格罗腾迪克对父母也表露出深厚而根本的爱。多年以来,格罗腾迪克在研究室里,总挂着一幅令人印象深刻的父亲肖像,这是与他父亲同时被拘留在勒凡内集中营的友人画的。按卡迪耶的描述,画中的男人剃着大光头,眼中闪烁着“热切的神情”[Cartier1]。格罗腾迪克自己也长期理着光头。另外根据黎宾波因的说法,韩卡对她聪颖的小孩非常骄傲,而格罗腾迪克也回报以非常浓厚的孺慕之情。

在母亲死后,格罗腾迪克经历了一段心灵反思的历程,停止了所有的数学活动,而且还考虑成为作家。几个月之后,他决定重返数学,完成他已经开始发展的一些想法。当时是 1958 年,依格罗腾迪克的说法,这“可能是我数学生涯里收获最丰盛的一年。”(《收割与播种》 p.24)在这段期间,他和一位名叫米荷莉(Mireille)的女人同居,并在几年后和她结婚,生下三个小孩,乔安娜(Johanna)、马修(Mathieu)和亚历山德(Alexandre)。米荷莉和格罗腾迪克的母亲很亲近,而且根据好几位认识他们的人士,米荷莉的年纪比格罗腾迪克年长很多。

哈佛大学退休教授泰特(John Tate)与他当时的太太凯琳(Karin Tate),在 1957-1958 年期间在巴黎访问,初次和格罗腾迪克见面。格罗腾迪克完全没有显示他描述母亲所具有的傲慢。“他真的很友善,同时很天真,很孩子气。许多数学家像小孩子,多少都不懂世事,但格罗腾迪克却是箇中之尤。”泰特回忆说:“格罗腾迪克看起来很单纯,不晓世故,不矫情,也不虚假。他的思虑清澈,解释事情很有耐性,看不出任何优越感。他没有受到文明、权力、争胜之见的污染。”凯琳记得格罗腾迪克很有欢乐娱人的能力,很吸引人,喜欢笑。但是有时情绪会太过激动,因为他看待事情非黑即白,没有灰色地带。而且格罗腾迪克很诚实,她说:“和他在一起,你总是能安心自处。他从不伪装,人很直接。”凯琳和她的弟弟麻省理工学院的迈克尔‧阿廷(Michael Artin),都看出格罗腾迪克的性格和他们父亲艾米尔‧阿廷(Emil Artin)颇有相似之处。

凯琳记得格罗腾迪克有“令人难以置信的理想主义倾向”。例如,格罗腾迪克的屋里从不摆地毯,因为他认为地毯只是装饰用的奢侈品。她也记得格罗腾迪克脚上穿着轮胎皮製的凉鞋,“他觉得这非常棒,这双鞋子是他所敬重事物的象征——充分利用手边之物。”但因为格罗腾迪克的理想主义,有时他也十分昧于现实。在 1958 年格罗腾迪克和米荷莉首次访问哈佛大学之前,他给她一本自己最喜欢的英文小说,好改进她自己贫乏的英文知识。这本小说竟然是《白鲸记》(Moby Dick)。

新几何学的诞生

以三十年后的后见之明,随着两项几何学重要工具的出现,我现在可以说[1958 年]是新几何学观点真正诞生的一年。一是概形(这是旧概念“代数解形”的变形),另一是拓扑范(这是空间概念更深刻的变形)。 ——《收割与播种》 p.23

1958 年八月,格罗腾迪克在英国艾丁堡国际数学家大会(ICM)中给大会演讲[Edin]。这个演讲以卓越的预见,描述了许多他接下来 12 年的研究主题。很显然,他当时的目标是要证明韦伊所提出的知名猜想,这个猜想暗示了代数解形的离散世界与拓扑的连续世界之间,有着更深刻的统一性。

在那个时代,代数几何正经历快速的演变,许多未解的问题并不需要大量的背景知识。最开始,大家研究的对象是复数解形。二十世纪初期,这个领域的专家是意大利数学家,如卡斯特努沃(Guido Castelnuovo)、恩利奎斯(Federigo Enriques)与赛韦利(Francesco Severi)。虽然他们发展了许多极具巧思的想法,但其中许多论点还缺乏严格的证明。而在 1930 与 1940 年代,其他数学家如范德瓦尔登(Bartel L. van der Waerden)、韦伊、查利斯基(Oscar Zariski)则想研究任意体的代数解形,尤其是对数论很重要的特征 p 体代数解形。不过由于义大利学派的代数几何论述不够严格,因此数学家必须为这个领域建立新基础,这就是韦伊在 1946 年的《代数几何之基础》(Foundations of Algebraic Geometry)[Weil1]书中所达成的。

韦伊的猜想出现于他 1949 年的论文[Weil2]。基于来自数论的动机,韦伊研究一类艾米尔‧阿廷在特殊情况已经讨论过的 ζ 函数,之所以称为 ζ 函数是因为它的定义类似黎曼 ζ 函数。给定一在特征 p 有限体上定义之代数解形 V ,我们可以计算 V 上此体以及其有限体扩张之有理点数目,将这些数目合写入一生成函数,就是 V 的 ζ 函数。韦伊证明在曲线或一般阿贝尔解形(abelian variety)的情况时,此 ζ 函数满足三个性质:它是有理函数;它满足一泛函方程;其零点与极点具备特殊的形式,一旦引入恰当的变数变换,这个形式将对应到黎曼假说。而且韦伊还观察到,如果 V 是由一特征 0 代数解形 W 所同余 p 而得,则我们可以由 V 的 ζ 函数(表成有理函数)读出 W 的贝堤数(Betti number)。而韦伊猜想就是问上述事实是不是对一般射影非奇异代数解形都正确,尤其贝堤数是不是真的都潜藏在 ζ 函数中。这个猜想连结了代数几何和拓扑,暗示当时正在拓扑空间发展的新工具如上同调理论,也许可以修改并应用到代数解形的情况。更因为和古典黎曼假说类似,韦伊猜想的第三部分有时被称为“同余黎曼假说”,这是韦伊猜想中最难证明的部分。

卡兹说:“当[韦伊]猜想一出现,大家就很清楚它一定会扮演某种核心角色,一方面这些‘黑箱式’的叙述让人难以置信,另一方面,想要解决这个问题,看来显然需要发展出全新的工具,而且这项工具本身将具有惊人的价值。最后果然完全正确。”目前在高等研究院的德利涅(Pierre Deligne)说,就是这个代数几何与拓扑之间猜测的连结吸引了格罗腾迪克,他喜欢“将韦伊的梦想转变成有威力的工具”的想法。

格罗腾迪克之所以对韦伊猜想感兴趣,并不是因为它的名气,也不是因为别人认为它很困难。事实上,格罗腾迪克一向对困难问题的挑战没有兴趣。他感兴趣的是那种指向更宏大的隐藏结构的问题。德利涅注意到:“他的目标是为这个问题寻找或创造一个自然的栖身之所,这远比解决问题更让他感兴趣。”这种看法,和当时另一个伟大数学家纳什(John Nash)正好形成对比。纳什在他的数学全盛时期,寻找的是被他的同僚认为最重要与最富挑战性的特定问题[Nasar]。密西根大学的巴斯说:“纳什就像奥运选手,他感兴趣的是巨大的个人挑战。”如果纳什是问题解决者的典型代表,那格罗腾迪克就是理论建构者的理想范例。巴斯说格罗腾迪克“对于数学的可能性有种全面性的观照。”

1958 年秋天格罗腾迪克第一次造访哈佛大学数学系时,泰特是哈佛的教授,而系主任则是查利斯基。当时格罗腾迪克运用新发展的上同调方法,重证了查利斯基最重要成果之一的连通性定理,这是查利斯基在 1940 年代的研究。根据当时查利斯基的学生,现在布朗大学的曼弗德(David Mumford)的说法,查利斯基从来没有接受这个新方法,但他了解它的威力,并要求他的学生去接触,这正是他邀请格罗腾迪克到哈佛的原因。

曼弗德说,虽然查利斯基和格罗腾迪克的数学家风格很不相同,但两人相处融洽。传说当查利斯基在证明卡住时,会在黑板上画一条自交的曲线图形,让他能重新厘清一些概念。“谣言说他在黑板的角落画图,然后擦掉,再回来继续他的代数计算。”曼弗德解释:“他必须藉由几何图形来厘清思绪,重新建立从几何到代数的连结。”格罗腾迪克永远不会这样做,他似乎从来不从实例开始,除非是非常简单、几近无聊的例子。而且除了同调图式之外,格罗腾迪克也绝少画图。

曼弗德回忆说,格罗腾迪克第一次访问哈佛时,行前曾经和查利斯基联系。由于当时美国众院非美活动委员会的高潮期才刚过,想要获得美国签证的外国人,必须发誓不会从事推翻美国政府的活动。格罗腾迪克告诉查利斯基他拒绝发誓。当别人告诉他这样可能会入狱时,格罗腾迪克说只要学生能够来访,而且允许他阅读无碍,入狱他可以接受。

在格罗腾迪克的哈佛课堂里,曼弗德发现课程内容的抽象高度令人屏息震慑。有一次,他问格罗腾迪克某个引理要怎么证明,结果格罗腾迪克用一个非常抽象的论证来回答。曼弗德起先并不相信这种抽象论证可以证明这么具体的引理。“我离开后,想了好几天,发现这个论证真的很正确。”曼弗德回忆说:“他比起我见过的任何人都更有能力,能够以惊人之姿一跃而入更高度的抽象世界⋯⋯他永远在寻找形塑问题的各种方法,明显地剥除所有的东西,你根本不觉得还会剩下什么。但是就是有些东西还留下来,他就从近乎虚空之处找到真正的结构。”

英雄年代

在 IHÉS 的英雄年代里,丢东涅和我是仅有的成员,也是唯一能在科学界中赋予它声誉与听众的人。⋯⋯身为研究员,我觉得自己和丢东涅就像是这个机构的共同“科学”创始人,希望能在此鞠躬尽瘁!我最终强烈地感觉自己与 IHÉS 合而为一⋯⋯ ──《收割与播种》 p.169

1958 年六月,IHÉS 在旧巴黎大学一些赞助者的会议中正式成立。创办人莫特肯恩(Léon Motchane)是具有物理博士学位的商人,他希望能在法国建立一个独立的研究机构,就像美国普林斯顿的高等研究院一样。IHÉS 原初计划聚焦于三个领域的基础研究:数学、理论物理、人文科学方法。虽然第三个领域始终没有成形,但在十年之内,IHÉS 已经成为数学和理论物理领域的世界级尖端研究中心,研究员人数虽少但出类拔萃,还有十分活跃的访问学者活动。

根据科学史家奥邦(David Aubin)的博士论文[Aubin],莫特肯恩是在 1958 年艾丁堡数学家大会中或更早之前,就说服丢东涅和格罗腾迪克出任将成立的 IHÉS 研究员。卡迪耶在[Cartier2]中写着,莫特肯恩原先想要聘请的是丢东涅,而丢东涅以同时聘请格罗腾迪克为答应的条件。由于 IHÉS 从一开始就独立于国家运作,所以尽管格罗腾迪克无国籍,聘用他并不会产生问题。这两位研究员在 1959 年三月正式就任,格罗腾迪克的代数几何讨论班则从该年五月开始。1963 年十月,在 1958 年数学家大会获得菲尔兹奖的托姆(René Thom)也加入研究员的阵容。至于 IHÉS 的理论物理组,在 1962 年聘任米歇尔(Louis Michel)为研究员,之后是 1964 年的卢埃勒(David Ruelle)。于是在 1960 年代中期,莫特肯恩已经为他的新研究院集合了一组杰出的研究人才。

在 1962 年之前,IHÉS 并没有永久的院址。当时的研究室是向提耶赫基金会租用的,讨论班就在那里或者巴黎大学进行。奥邦文中也提到,IHÉS 的早期访问学者外特曼(Arthur Wightman)曾被要求在旅馆中工作。据说曾有访问学者提到图书馆馆藏不足,格罗腾迪克的回答却是“我们不读书,我们写书!”在初期,学院的活动的确聚焦在《IHÉS 数学集刊》(Publications mathématiques de l’IHÉS)的出版上,前几册就包括格罗腾迪克的《代数几何原理》(Éléments de Géométrie Algébrique,一般缩写为 EGA)。事实上,EGA 的起草比丢东涅和格罗腾迪克正式就任 IHÉS 研究员还早半年,根据[Corr],那是在 1958 年的秋季。

EGA 的公认作者是格罗腾迪克,再“加上与丢东涅的合作”。格罗腾迪克先写下讲义和书稿,丢东涅再补充细节与润色。伯瑞尔解释说,格罗腾迪克对 EGA 有整体观点,而丢东涅则只能逐行理解。他说:“丢东涅将它呈现的很密实,”不过同时,“当然丢东涅的效率惊人,没有人可以边做这件事情,还能不损及自己的研究。”对于当时想要踏入这个领域的人,从 EGA 开始学习是令人怯步的挑战。在今天,很少有人把这套书做为入门的书籍,现在已经有更多比较简单的教科书可以选择。但是这些教科书的目标不同,不像 EGA 想要完备又有系统的解释研究概形(scheme)时所需要的工具。现在任职于德国波昂普朗克数学研究所的法亭斯(Gerd Faltings),当年在普林斯顿大学时就鼓励他的博士生阅读 EGA。今日许多数学家仍然认为 EGA 是有用且全面的参考书。现任 IHÉS 院长的布居农(Jean-Pierre Bourguignon)说,EGA 现在每年的销量仍然超过 100 套。

格罗腾迪克的 EGA 写作计划范围宏大。在 1959 年八月给塞尔的信里,格罗腾迪克给出简要的概述,其中包括基本群、范畴论、留数(residues)、对偶性、相交理论、韦伊上同调群,以及“顺利的话,再加进一点点同伦论(homotopy)。”格罗腾迪克很乐观的写道:“除非遇到意外的困难,或者我陷入困顿,不然这个 multiplodocus 应该在三年内能完成,最多四年。”(multiplodocus 是格罗腾迪克和塞尔常用的玩笑用语,表示很长的论文。)格罗腾迪克沾沾自喜说:“这样我们就可以开始研究代数几何了!”不过后来 EGA 因为篇幅指数性的成长而气消力竭,该书的第一章和第二章各占了《IHÉS 数学集刊》一整册的篇幅,第三章占两册,最后的第四章用了四册,全部合起来共有 1800 页。尽管格罗腾迪克原来的计划没有完成,EGA 仍然是里程碑的巨著。

EGA 的书名显然是在呼应布巴基的丛书《数学原理》(Éléments de Mathématique),而后者又与欧几里得的经典之作《原本》(Elements)相映。格罗腾迪克在 1950 年代末之后,曾经有好几年是布巴基的成员,和许多其他成员很亲近。

所谓“布巴基”是一群数学家的假名,其中大部分是法国人,他们合作撰写一系列关于数学的基础专著。丢东涅还有昂利‧卡当、薛瓦雷、德沙特以及韦伊都是布巴基的元老。这个群体经常维持在十个人的大小,但成员组合则因时更迭。布巴基的第一本书出版于 1939 年,到了 1950 和 1960 年代,影响力更达到颠峰。他们的丛书旨在为数学核心领域提供公设法的重新处理,其一般化的程度希望可以让最多数的数学家受惠。由于布巴基的大部分成员都有强势的个性以及非常特殊的个人观点,因此这些专著都是在成员活跃的、甚至火爆的讨论中撰写出来的。伯瑞尔是布巴基为时 25 年的成员,他说这样的合作可能是“数学史上绝无仅有的事件”[Borel]。布巴基聚集了当时一些最顶尖的数学家,无私匿名的奉献许多个人时间和精力,让许多数学领域得以整理呈现。布巴基这套丛书造成很大的衝击。不过到了 1970 和 1980 年代,开始出现布巴基影响过大的杂音,有些数学家批评这套书的风格太过抽象化和一般化。

布巴基和格罗腾迪克的工作,在一般性与抽象性的层级上有一定的相似性,也都希望能达成根本的、彻底的,以及系统性的目标。他们主要的分野在于,布巴基的涵盖面遍及数学许多领域,而格罗腾迪克只集中于发展代数几何的新概念,以韦伊猜想当作首要目标。另外,格罗腾迪克的著作几乎全是以他个人的内在观点为核心,而布巴基则是集体的贡献,是从所有成员的观点冶炼出来的综合体。

伯瑞尔在[Borel]中记载了 1957 年三月,后来被戏称为“僵固函子大会”(Congress of the inflexible functor)的布巴基聚会,当时格罗腾迪克建议将布巴基关于层论的草稿,以更接近范畴论的观点重写。布巴基放弃这个想法,他们认为这样做可能会导致基础重建无止境的循环。塞尔回忆说,格罗腾迪克“无法真的和布巴基合作,因为他有他自己的庞大机器,对他来说,布巴基的一般性还是不够。”另外塞尔还附带说:“我不认为他喜欢布巴基的系统,因为我们要真的讨论并批评草稿的细节。⋯⋯这不是他做数学的方式,他想要自己来。”格罗腾迪克在 1960 年离开布巴基,虽然他仍然和其中许多成员很亲近。

谣传格罗腾迪克之所以离开布巴基,是因为和韦伊起冲突。不过事实上,他们两人在布巴基的重叠时间很短暂,根据布巴基的会规,成员必须在 50 岁后退出,因此韦伊在 1956 年离开。不过,格罗腾迪克和韦伊的确是很不同的数学家,就像德利涅说的“韦伊觉得格罗腾迪克对意大利几何学家的成果以及过去的文献太过无知,韦伊也不喜欢他炮制巨大机器的数学作风。⋯⋯他们的风格差异很大。”

除了 EGA 之外,格罗腾迪克的代数几何著作里,另一个主要部分是简称为 SGA 的《代数几何论丛》,其中包括了他在 IHÉS 讨论班讲演的文字稿。这套书最初由 IHÉS 发行,SGA2 是由北荷兰与曼森(North-Holland and Masson)两出版社共同出版,剩下的册次则由司普林格出版社(Springer Verlag)出版。SGA1 包含了 1960-1961 年的讨论班讲演,而最后一册 SGA7 则是 1967-1969年 的部分。EGA 的目标是为代数几何奠定基础,对照之下,SGA 则记录了呈现在格罗腾迪克讨论班中持续发展的代数几何研究。另外,格罗腾迪克曾经在布巴基巴黎讨论班中发表许多他的研究,后来被汇集成《代数几何基础》一书(Fondements de la Géométrie Algébrique,简称为 FGA),印行于 1962 年。EGA、SGA 与 FGA 合起来的总页数达到 7500 页。

神奇的扇叶

如果数学中有种东西,远比其他任何事物更吸引我(而且无疑地永远如此),它既不会是“数”,也不是“量”,永远是形式。而在形式藉以显现的一千零一种面貌中,最令我神驰,而且一直如此着迷的,是隐藏于数学对象中的结构。 ──《收割与播种》 p.27

在《收割与播种》的第一册里,格罗腾迪克为非数学家提供了他研究工作的说明性概述(pp.25-48)。他写道,在最根本的层次,他的工作想要统一两个世界:“算术世界,其中的(所谓)‘空间’并没有连续性的概念,另一个是连续世界,其中的‘空间’和日常的理解相当,可以用分析的方法来处理。”韦伊猜想之所以那么吸引人,正是因为它提供了一统这两个世界的线索。不过与其尝试直接解决韦伊猜想,格罗腾迪克宁可将其中整个理路脉络加以大幅度的推广。这样的广度可以让格罗腾迪克感受到,韦伊猜想所存身、但却只能藉由猜想惊鸿一瞥的更广阔结构。在《收割与播种》的这一节里,格罗腾迪克解释了他研究中的一些关键概念,例如概形拓扑范(topos)。

基本上,概形就是代数解形概念的推广。给定一系列不同质数特征的有限体,概形可以因此产生一系列的代数解形,每一个都拥有自己独特的几何性质。“这一系列因不同特征数而得的不同代数解形,可以视为‘无穷的解形扇叶’(每一特征数对应到一叶)。”格罗腾迪克继续写着:“所谓‘概形’就这个神奇的风扇,连结所有可能特征数的‘分支’、‘分身’或者‘轮回化身’。” 这个推广到概形的概念,容许我们以统一的方法来研究代数解形的不同“化身”。迈克尔‧阿廷评述说,在格罗腾迪克之前,“我不认为人们真的相信可以这样做,这太激进了。从来都没有人敢想像这是可能的方法,敢想像在完全的一般性中进行研究,这真是非常惊人。”

从 19 世纪意大利数学家贝堤(Enrico Betti)开始,同调理论以及其对偶的上同调理论被发展成研究拓扑空间的工具。基本上,上同调所提供的不变量,可以做为度量某个空间向度的“量杆”。由韦伊猜想潜藏的洞见所闪烁出的火花,让人们强烈希望改造拓扑空间的上同调方法,应用于代数解形与概形。这个希望在格罗腾迪克与其合作者的研究中相当程度的实现了。曼弗德说,为代数几何“引入上同调方法,就像黑夜与白天,它将整个领域颠覆了。这就像出现傅立叶分析之前与之后的分析学,一旦掌握了傅立叶分析的技术,突然之间你对函数就有了一种整体又深刻的洞识,上同调理论也类似这样。”

层的概念是勒黑的创见,后来更由昂利‧卡当与塞尔深入发展其理论。在塞尔被称为 FAC 的突破性论文《代数连贯层》(Faisceaux algébriques cohérents)[FAC],塞尔展示了如何在代数几何中运用层论。格罗腾迪克在《收割与播种》中没有明确的说明层的概念,但他描述这个概念如何改变了理论的风貌。当层论的概念上场后,情况就像原来美好古老的上同调标准“量杆”,突然繁衍出无穷多的崭新“量杆”,具有不同的尺度和形式,每一种都完美的适用于各自特定的测量目标。更重要的是,一个空间所有层所形成的范畴,其资讯丰富到我们基本上可以“忘掉”原来的空间。所有的空间资讯都藏在层当中,格罗腾迪克称之为“沉默又可靠的引路人”,带领他走上发现的道路。

格罗腾迪克写着,拓扑范是“空间概念的变形”。透过层的概念,我们可以将空间所存身的拓扑架构,转译为层范畴所存身的范畴论架构。于是,一个拓扑范可以被描述成一个范畴,它并不需要出自正常的空间,但却具备层范畴所有的“好”性质。格罗腾迪克写道,拓扑范的概念强调了一个事实,“在拓扑空间中,真正重要的不是‘点’或点构成的子集,也不是邻近的关系等等,而是空间上的,以及其所构成的范畴”。

德利涅说,为了建立拓扑范的概念,格罗腾迪克“对空间观念做了很深刻的思考。”德利涅解释说:“他为了理解韦伊猜想所发明的理论,首先就是发展拓扑范的概念,这是空间观念的推广,然后再为这个问题定义适用的拓扑范。”格罗腾迪克也展示出“事情真的行得通,我们关于正常空间的直觉,[在拓扑范]上也成立⋯⋯这是非常深刻的想法。”

在《收割与播种》中格罗腾迪克曾评论说,从技术观点,他的数学研究都是在发展当时正缺乏的上同调理论。譬如格罗腾迪克、迈克尔‧阿廷,还有其他人所发展平展上同调(étale cohomology)理论就是一例,这是为了应用于韦伊猜想而发展的理论,也正是他们证明的关键要素之一。不过格罗腾迪克前进得更为深入,他后来发展出模谛(motive)的概念,格罗腾迪克将模谛描述成一个“终极的上同调不变量”,其他的上同调不变量都是它的不同体现或化身。虽然完整的模谛理论至今还未成形,但是这个概念已经产生很重要的数学成果。例如在 1970 年代,高等研究院的德利涅和朗兰兹(Robert Langlands)猜测模谛与自守表示(automorphic representation)之间的确切关系,这项猜想首见于 1977 年朗兰兹的文章[Langlands],现在是所谓朗兰兹纲领的一部份。多伦多大学的亚瑟(James Arthur)说,想要证明这项猜想最广义的形式还需要几十年。不过他指出,怀尔斯(Andrew Wiles)对费马最后定理的证明,基本上就是这项猜想在椭圆曲线二维模谛的情况。另一个例子,则是美国高等研究院渥伊沃茨基(Vladimir Voevodsky)的模谛上同调理论研究,他以这项成就获得 2002 年的菲尔兹奖,而这正是奠基于格罗腾迪克对模谛的原创想法。

在这段回顾自己数学研究的简短反思中,格罗腾迪克写道,构成他研究的本质与威力的,不是成果或大定理,而是“观念,甚至梦想。”(p.51)

格罗腾迪克学派

一直到 1970 年的第一次“觉醒”,我和学生的关系,就像我和自己研究的关系一样,都是我满足和欢乐的泉源,是我生命和谐的某种实质与无可置疑的基础,而且仍然持续赋予它意义⋯⋯  ──《收割与播种》 p.63

在 1961 年秋季的一次哈佛之行中,格罗腾迪克写信给塞尔说:“哈佛的数学气氛十分美好,比起逐年阴郁的巴黎,在这里可以闻到真正新鲜的空气。此处有相当多的聪明学生,正开始熟悉概形的语言,专心致志于研究源源不绝的有趣问题。”[Corr]。当时迈克尔‧阿廷刚在 1960 年完成查利斯基指导的博士论文,并成为哈佛的普尔斯(Benjamin Peirce)讲师。一完成论文,阿廷就开始学习概形的新语言,也开始对平展上同调理论产生兴趣。阿廷笑着回忆说,当格罗腾迪克 1961 年来到哈佛时,“我请他告诉我平展上同调群的定义”,但是当时这个概念根本还没有清楚的定义,他说:“事实上为了这个定义,我们争论了整个秋天。”

1962 年,阿廷转职到麻省理工学院后,带领一个讨论平展上同调的讨论班,在接下来的两年,他大部分时间都待在 IHÉS 和格罗腾迪克一起工作。因为即使平展上同调的定义已经完成,仍然还要花许多功夫整饬,才能让它变成真正实用的工具。曼弗德说:“定义看起来美妙极了,但不保证它是有限的,或可以计算,或任何事。”这项阿廷和格罗腾迪克投入的研究,成果之一是阿廷可表示定理(Artin representability theorem)。阿廷和维杰尔(Jean-Louis Verdier)一起主持 1963-1964 年的讨论班,专注于平展上同调理论的探讨。这个讨论班的成果,最后写成 SGA4 的三巨册,篇幅多达1600页。

有些人也许不同意格罗腾迪克对 1960 年代早期巴黎数学圈的“阴郁”评价。不过他 1961 年回到 IHÉS 并重启讨论班,无疑为学界注入了一剂强心针。阿廷说讨论班的气氛真是“棒极了”,其中尽是巴黎数学家的领导菁英,同时又有从各地来访的数学家。一群聪颖又热情的学生开始围绕在格罗腾迪克身边,在他的指导下撰写学位论文(IHÉS 并不颁授学位,因此这些学生形式上仍然是巴黎与其周边大学的学生)。1962 年,IHÉS 已经搬到巴黎近郊毕悠(Bures-sur-Yvette)的永久院址,座落在宁静、充满树木的玛丽森林(Bois-Marie)公园中间。讨论班所在的建筑形似观景厅,有着大片的景观窗户,开阔而气韵流动的氛围,提供了一个非比寻常、戏剧性的场所。而格罗腾迪克则是所有活动的灵魂人物。1960 年代访问 IHÉS 的巴斯回忆说:“讨论班的进行互动频繁,不过不管谁是主讲人,格罗腾迪克都主宰了全场。”格罗腾迪克非常严格,有时对人很强势,“他并不是不友善,但也不会包容。”

格罗腾迪克发展出一种和学生相处的模式。典型的例子是现任职于南巴黎大学(巴黎第十一大学)的易路齐(Luc Illusie),他在 1964 年成为格罗腾迪克的学生。易路齐曾经参加昂利‧卡当和史瓦茨的巴黎讨论班,卡当建议他跟格罗腾迪克做博士论文。易路齐当时只学过拓扑学,因此要面对这位代数几何之“神”时,觉得很担心,结果格罗腾迪克很亲切和友善,要易路齐解释他当时进行的研究课题。不过在易路齐短短讲了一些之后,格罗腾迪克就走向黑板,开始了一段关于层、有限性条件、拟连贯性(pseudocoherence),以及类似概念的讨论。易路齐回忆说:“那就像汪洋大海一样,黑板上不停地流动着数学的概念。”结束时,格罗腾迪克说他明年的讨论班将讨论 L 函数和 l 进上同调群,而且将由易路齐来撰写讨论班讲义。当易路齐抗议他根本不懂代数几何时,格罗腾迪克说那无所谓,“你会学得很快。”

结果易路齐做到了。他说:“格罗腾迪克的演讲非常清楚,而且他花了很多力气回顾必要的材料,以及所有的预备知识。”格罗腾迪克是位很好的老师,既有耐性,又善于清晰阐释。易路齐也说:“他会花很多时间解释非常简单的例子,展示其中机转的运作方式。”格罗腾迪克会去讨论形式化的性质,这类性质经常被人用“平凡的”(trivial)为理由而漠视,被视为太过显然因此不需解释。易路齐说:“大家不想特别去讨论,不想浪费时间。”但是这类性质在教学上十分有用。“虽然过程有时候略显冗长,但是对于概念的理解却非常有好处。”

格罗腾迪克指定易路齐撰写讨论班某些讲题的笔记,亦即 SGA5 的第一、二、三章。易路齐回忆当他写完,“交给他时,我浑身颤抖。”几个星期后,格罗腾迪克请易路齐到他家讨论笔记(他经常在家里和同僚或学生工作)。当格罗腾迪克拿出笔记摊在桌面上时,易路齐看到上面都是铅笔写的评注。格罗腾迪克逐条讨论每项评注,两个人就这样对坐几个小时。易路齐说:“他可能对逗号有意见、对句号有意见,他也批评表音记号的标记,但是他也深刻批评某些东西的实质部分,并建议另一种整理的方式──他有各式各样的意见,但他所有的评论都切入要点。”这种对笔记逐行评论的方式,是格罗腾迪克和学生一起工作的典型方式。易路齐还记得有些学生无法承受这么近距离的批评,最后找了别人当论文指导老师。有人甚至在和格罗腾迪克会面后几乎要哭出来。易路齐说:“我记得有些人非常不喜欢这种方式,你得要顺服⋯⋯[但是]这些不是无的放矢的意见。”

卡兹在 1968 年访问 IHÉS 做博士后时,格罗腾迪克也指派他工作。格罗腾迪克建议卡兹在讨论班中做一次关于列夫谢兹束(Lefschetz pencils)的演讲。“我听过列夫谢兹束,但除了听过之外,我其实一无所知。”卡兹回忆说:“结果在那一年年底,我已经在讨论班上做过几次讲演,其内容就是现在 SGA7 的一部份。我学到很多东西,对我的未来影响很大。”卡兹说格罗腾迪克在 IHÉS,大约一周会花一天和访客会谈。“令人非常惊讶的是,他不知怎么就可以让他们对某个东西产生兴趣,给他们工作做。”卡兹继续解释说:“对我来说就像是,他对于该给这个特定的人思考什么样的好问题,有种惊人的洞察力。而且格罗腾迪克在数学方面有种难以置信的神采魅力,让人觉得能参与他未来的宏远愿景,几乎是一种殊荣。”

哈佛大学的梅哲(Barry Mazur)在 1960 年代早期访问 IHÉS,他到今天都还记得格罗腾迪克在他们前几次会面时给他的问题。那最先是瓦许尼泽问格罗腾迪克的问题:定义在某个体的代数解形,在不同的复数嵌入方式下,有没有可能得到拓扑互异的流形?塞尔早期已经给过例子,显示两个流形可能不同。受到这个问题的启发,梅哲曾经和阿廷继续做过某些同伦论方向的研究。不过到了格罗腾迪克向他提出这个问题时,梅哲已经是专业的微分拓扑学家,不会再回头想这类问题。梅哲说:“对[格罗腾迪克]来说,这是自然的问题。但对我来说,这正好是最适切的动机,让我开始思考代数的问题。”梅哲说格罗腾迪克具有一种真正的才能“为人和问题配对,他会量身打造适合你的问题,这个问题将会照亮你的世界。这种特别的感知能力,非常美妙,而且很罕见。”

除了在 IHÉS 和学生、同僚一起工作之外,格罗腾迪克也和巴黎以外的许多数学家保持通信联络,其中有些人是在别的地方进行他的计划。例如加州大学柏克莱分校的哈特敻(Robin Hartshorne)1961 年时人在哈佛,从格罗腾迪克在哈佛的演讲中,找到他博士论文主题的想法,那是关于希尔伯特概形的问题。博士论文一完成,他就寄了一份给已经回到巴黎的格罗腾迪克。在 1961 年 9 月 17 日的回信中,格罗腾迪克先对论文做了简短的正面评价,“[信里]接下来的三到四页,是更多未来我或许可以发展的定理的想法,以及针对这个主题大家可能想知道的事情。”哈特敻说信中建议的想法有些“极端困难”,但其他则展现了他卓越的先见之明。在格罗腾迪克倾倒出这些想法之后,他才又回到哈特敻的论文,提供三页详细的意见。

在 1958 年艾丁堡数学家大会上,格罗腾迪克概述了他关于对偶性理论的想法,但因为他在 IHÉS 的讨论班忙于其他课题,所以并没有处理这个问题。于是哈特敻自愿在哈佛举办对偶性的讨论班,并且撰写笔记。1963 年夏季,格罗腾迪克提供哈特敻大概 250 页的“前期讲义”,做为讨论班的基础架构。哈特敻在 1963 年秋季开始进行讨论班,听众提出的问题协助他发展并精炼这个理论,而哈特敻也开始有系统的将它整理出来。他将每章寄给格罗腾迪克征询意见,哈特敻回忆:“稿件回来时,上面充满了红色墨水的评注,我照他说的每项订正,再将新版本再寄给他,结果回来时上面又覆满了更多的红色意见。”当哈特敻意识到这样的来来回回可能没完没了时,有一天他决定将文稿送印发行;在 1966 年的司普林格的“数学讲义丛书”(Lecture Notes in Mathematics)中出版[Hartshorne]。

据哈特敻的观察,格罗腾迪克“点子非常多,在那段时间,他几乎让全世界认真研究代数几何的人都忙碌不休。”他如何持续推动这整个大业呢?阿廷说:“我不觉得有简单的答案。”当然格罗腾迪克的精力与广度一定是个中原因。阿廷继续说:“他精力充沛,而且他的研究确实覆盖了许多领地。惊人的是,他完全主导这个领域大约 12 年,没有让任何无能之辈参与其中。”

在格罗腾迪克的 IHÉS 岁月里,他全心全意投入数学。格罗腾迪克做研究的庞大精力与能力,再加上他对内心愿景的执着忠诚,产生源源不绝的想法,将许多人卷入洪流之中。格罗腾迪克对于他为自己规划而令人畏惧的计划从不退缩,他坦然投身其中,事无大小勇于承担。巴斯说:“他对数学的规划远超出一个人的能力。”他将许多工作分配给他的学生和合作者,当然他自己也负责很大的部分。就如他在《收割与播种》中解释的,他的动机单纯就只是一种想要理解的欲望。事实上,当时认识他的人都肯定,格罗腾迪克完全不是被任何意义的竞争想法所驱策。塞尔说:“那个时候,完全没有要比什么人先证明什么东西的想法。”而且退一步说,“在某种意义下,他根本不可能去和别人竞争,因为他想用自己的方法做研究。基本上没有人愿意做类似的事情,那太繁重了。”

格罗腾迪克学派的强势地位也造成一些不好的影响,即使是格罗腾迪克杰出的 IHÉS 同事托姆也感受到压力。在[Fields]中托姆说,比起其他 IHÉS 的同事,他和格罗腾迪克的关系“比较不融洽”。托姆写着:“他有压倒性的技术优势,他的讨论班吸引了整个巴黎数学界,而我却拿不出什么新东西,这让我离开纯粹的数学界,转而处理更一般的观念。例如型态发生学(morphogenesis),这是更吸引我的主题,引导我到一种非常广义形式的‘哲学’生物学。”

1988 年教科书《大学代数几何》的作者李德(Miles Reid)在书后的历史评注写道:“对格罗腾迪克的个人崇拜有严重的副作用。许多奉献一生大部分时间,去熟悉韦伊[代数几何]基础观点的人,受到排斥与羞辱。⋯⋯一整个世代的(主要是法国)学生受到洗脑,愚蠢的相信如果一个问题不能用高度的抽象形式盛装打扮,就不值得研究。”就当时的潮流,这样的“洗脑”也许是不可避免的副作用,但是格罗腾迪克本人倒是从不寻求为抽象而抽象。李德也指出,除了格罗腾迪克一小部分可以“跟上脚步,生存下来”的学生,被他的想法影响而获益最大的是比较远距离的人,尤其是美国、日本,以及俄罗斯的数学家。卡迪耶就在俄罗斯数学家的研究中看到格罗腾迪克的传承,包括德林费尔德(Vladimir Drinfeld)、孔策维奇(Maxim Kontsevich)、马宁(Yuri Manin)、以及渥伊沃茨基。卡迪耶说:“他们不但掌握到格罗腾迪克的真精神,而且能够将它与其他东西结合起来。”

迥异的思路

在发现的过程中,这种强烈的专注与热切的挂念是最本质的力量。就像太阳能温暖沃壤内等待发芽的种子,让植作谦逊而奇迹般的在日光下绽放花朵。 ——《收割与播种》 p.49

格罗腾迪克有个人独具的数学风格。就像麻省理工学院的阿廷(Michael Artin)指出的,在 1950 年代晚期与 1960 年代时,“整个世界必须习惯他,顺应他的抽象能力。”今日的代数几何,格罗腾迪克的观点已经被彻底吸收,成为该领域新研究生的标准学习内容,很多人根本不知道过去曾经颇不相同。当普林斯顿大学的卡兹(Nicholas Katz)还是年轻数学家,第一次接触格罗腾迪克的思考方式时,觉得似乎和传统全然不同而新颖。但要清楚表达差异何在,并非易事。正如卡兹所说,其中的观点变换是如此基本而深刻,一旦採纳了却又显得完全自然,“你很难再去想像还未这样思考之前的光景。”

虽然格罗腾迪克是从非常普遍的视角思考问题,但他并不是为普遍而普遍,而是以非常丰富的手法来运用普遍性。卡兹说:“这种想法一旦落入庸手,就会沦为多数人认为的那种贫乏的普遍性。但他就是知道该挑选哪些普遍的对象。”格罗腾迪克总在寻找精准的抽象层次,足以提供正确的支点,勘破问题的天机。德州大学奥斯丁分校的泰特(John Tate)说:“他似乎掌握了一种诀窍,能够一次又一次的褪去无谓的条件,让剩下的既非特例,却也不是空无一物,简洁俐落,没有额外的冗物,一切恰到好处。”

格罗腾迪克思考模式的惊人特色之一,是他似乎很少依赖实例,这可以从所谓的“格罗腾迪克质数”的传说看出来。在某次讨论数学的场合,有人建议格罗腾迪克应该考虑某个特殊的质数。格罗腾迪克问:“你是说真正的数吗?”对方答是,要找一个真正的质数。格罗腾迪克于是建议:“好啊,那就取 57 吧。”

但是格罗腾迪克应该知道 57 不是质数,对吧?布朗大学的曼弗德(David Mumford)说绝非如此,“他从不具体思考。”如果以印度数学家拉马努金(Ramanujan)做对比,拉马努金熟谙许多数的性质,其中有些还是很大的数。这种思考方式体现了一种和格罗腾迪克截然对立的世界。曼弗德观察说:“他真的从不研究实例。我只能透过实例来理解,然后再慢慢抽象。我不认为检视实例对格罗腾迪克有任何帮助,他真的只需要透过绝对的、最抽象的可能方式来思考,就能掌握整个情况。真的很奇特,但这就是格罗腾迪克心灵运作的方式。”瑞士巴塞尔大学的阿坎波(Nobert A’campo)有次问格罗腾迪克某个和柏拉图物体(Platonic solids)有关的问题,格罗腾迪克建议他要小心,因为柏拉图物体是如此美丽与罕见,我们不能假设在更普遍的情况中,还存在这么特殊之美。

格罗腾迪克曾经说过,绝不要试图证明不是几乎自明的东西,当然这不表示选择研究课题时不应该有野心。相反的,加州大学柏克莱分校的欧格斯(Arthur Ogus)解释说:“如果你研究的课题对你不是几乎自明的,那你就还没准备好从事这项研究。预作准备与铺陈就是他研究数学的方式,要让所有东西看起来十分自然,似乎根本就是显而易见的。”许多数学家选择已经能清楚描述的问题,然后持续对付该问题,但这不是格罗腾迪克偏好的研究方式。在《收割与播种》(Récoltes et Semailles)中有段知名的文字,描述这种方法就像拿槌子和凿子敲开坚果一样。格罗腾迪克喜欢的方法,是在水中慢慢把果壳泡软或者任它日曝雨淋,等到适当的时机来临,坚果自然就会打开来(pp.552-553)。欧格斯特别说:“因此许多格罗腾迪克的工作,看来就像自然的风物,因为它就像自己生长起来的一样。”

格罗腾迪克在 IHÉS 讲课

格罗腾迪克对命名天生敏锐,可以为新概念选择醒目又启发联想的名称。事实上,格罗腾迪克认为替数学概念命名,是发现该概念不可或缺的一环,是掌握这个概念的一种方式,有时甚至还在全面理解此概念之前(《收割与播种》p.24)。例如 étale 一词,在法文中用来描述平潮时的海水,潮水不流入也不流出。平潮时的海面平滑如镜,召唤出人们对覆盖空间(covering space)的意象。又如格罗腾迪克在《收割与播种》中解释,他之所以选择在希腊文中表示“场所”的 topos,是要指陈一种“能让拓扑直觉运用其上的‘完美客体’”(object par excellence,pp.40-41)。配比这样的概念,topos 这个词就描述了最基本、最原初的空间观念。另外像 motif(也就是英文中的 motive)也是要唤起这个词的双重意义——一再出现的主题与触发行动的始因。

格罗腾迪克既然这么在意命名,意味着他也贬斥那些看似不恰当的词汇。在《收割与播种》中,他提到首次听到 perverse sheaf(逆反层)这个词时,他感受到一种“内在的退拒”。他写道:“是怎样的心态才会为数学对象取这种名称?就连对其他物事或生命体也不能这样命名。除非是严厉的针对某个人,因为在宇宙万‘物’中,很显然只有人类才有可能适用这个字眼。”

虽然格罗腾迪克拥有卓越的技术能力,但这些都是次要,只是他实现更宏大愿景的工具。他的确因为某些成果,或发展某些工具而闻名于世,不过他为数学界留下的最伟大的财富,是他为数学创造出一个全新的观点。在这方面,格罗腾迪克和伽罗瓦(Évariste Galois)很相似。事实上在《收割与播种》中,他数度表示自己强烈认同伽罗瓦。格罗腾迪克也提过他年轻时曾经读过茵费尔德(Leopold Infeld)写的迦罗瓦传记[Infeld](p.63)。

总之,格罗腾迪克数学成就的源头是种很谦逊的信念:他热爱他研究的数学对象。

蹇滞的灵魂

从 1945 年(我 17 岁)到 1969 年(我已经 42 岁)的这 25 年,我投入全部的精力到数学研究,当然这是过度的投资,付出的代价是长期的精神蹇滞,愈来愈严重的“迟钝”,在写作《收割与播种》的过程里,我曾不止一次察觉这个问题。 ——《收割与播种》 p.17

1960 年代,哈佛大学的梅哲(Barry Mazur)与妻子到法国科学高等研究院(IHÉS)访问。虽然当时格罗腾迪克已成家且有了自己的房子,但他仍然在梅哲居住的大楼保留了一间公寓,经常在那里工作到深夜。由于大楼外边的大门在深夜十一点上锁,而公寓房间的钥匙又开不了大门,因此从巴黎夜归的人可能进不了公寓。梅哲回忆,但是“我记得我们从来没有这种困扰,我们搭最后一班火车,十分确定格罗腾迪克一定还在工作,他的书桌就在窗边,向窗户扔几颗石头,他就会替我们打开大门。”格罗腾迪克的公寓几乎没有家具。梅哲记得有座山羊模样的线状雕塑,还有一个装满西班牙橄榄的瓮。

一个人在斯巴达式的公寓一直工作到深夜,这份带着几分落寞的形象,捕捉到格罗腾迪克在 1960 年代生活的一面。这段时间,他无时不休的做数学。他和同事交谈、指导学生研究、上课、与法国之外的数学家大量通信,撰写着似乎永无止境的《代数几何原理》(EGA)和《代数几何论丛》(SGA)。说他只手领导世界代数几何研究的一支庞大又繁盛的部门,实在一点都不夸张。除了数学之外,他几乎没有其他兴趣,格罗腾迪克的同事说他从不看报纸。就算在同样专心又高度奉献的数学家中,格罗腾迪克仍然是个极端的案例。他的 IHÉS 同事卢埃勒(David Ruelle)说:“格罗腾迪克当时研究代数几何的基础,每周七天,每天十二小时,持续十年。他完成了第-1层,正在研究第 1 层,一共大概有 10 层⋯⋯到了某个年纪,你就会看清楚,自己永远完成不了这栋建筑。”

格罗腾迪克全神聚焦于数学的极端表现,正是他在《收割与播种》中自称“精神蹇滞”的理由之一,同时这也局部说明了,1970 年他为何离开他曾经是领导人物的数学界。促使格罗腾迪克离开的一小步,源自 IHÉS 的内部危机,导致他的辞职。从 1969 年终起,格罗腾迪克卷入和 IHÉS 创建者与院长莫特肯恩(Léon Motchane)的冲突,导火线则是研究院的军方赞助。根据科学史家奥邦(David Aubin)的说明[Aubin],IHÉS 在 1960 年代的财务状况一直非常不稳定。某些年度里,有一小部分的研究院经费来自法国军方,比率从未超过 5%,IHÉS 的终身研究员都对军方资金有所疑虑。1969 年终,他们坚持莫特肯恩不能再接受军方资金,莫特肯恩表示同意,但奥邦说莫特肯恩几个月后就食言了,当 IHÉS 的经费愈来愈吃紧时,他接受了一笔来自国防部长的补助。格罗腾迪克十分愤怒,他试图说服其他研究员与他一同辞职却失败了,没有人同意。不到一年前在格罗腾迪克的大力推荐下,德利涅(Pierre Deligne)刚加入 IHÉS 成为终身研究员,现在格罗腾迪克却催促这位新聘同事跟他一起辞职,德利涅也拒绝了。德利涅回忆说:“由于我在数学上和格罗腾迪克格外亲近,他十分惊讶,也对数学理念的相近却无法延伸到数学以外的事务,而失望透顶。”格罗腾迪克辞职函上的日期是 1970 年 5 月 25 日。

格罗腾迪克和 IHÉS 的决裂,是他生命将发生根本转变最明显的征兆。接近 1960 年代晚期时,其实还有别的征兆。有些很微小,例如梅哲记得他 1968 年访问 IHÉS 时,格罗腾迪克告诉梅哲他去看了一场电影,这大概是十年来的第一次。有些征兆比较明显,1966 年格罗腾迪克获得费尔兹奖,因为当年世界数学家大会(ICM)在莫斯科举行,格罗腾迪克拒绝出席领奖以示对苏维埃政府的抗议。1967 年,格罗腾迪克曾经到北越旅行三周,留下鲜明的印象。他的旅行手札里[Vietnam],记载旅程中有许多次空袭警报,炸弹炸死了两名数学教师,还有越南人如何在他们国家培育数学文化的英勇努力事迹。基于和罗马尼亚医师杜密崔斯库(Mircea Dumitrescu)的友情,格罗腾迪克曾在 1960 年代晚期短暂而积极的涉猎过一些生物学。另外,格罗腾迪克还与卢埃勒讨论过物理学。

格罗腾迪克(左)和伯瑞尔(坐向照相机)于印度塔塔基础研究所国际会议。1968 年(塔塔基础研究所提供)

1968 年这个非常年代发生的事件,一定也对格罗腾迪克造成冲击。那一年,学生抗议和社会动乱席卷全世界,还发生了苏联镇压“布拉格之春”的血腥事件。在法国,1968 年 5 月,学生反对大学当局和政府的政策,举行了大规模的示威,迅即导致暴动,社会动荡达到沸点。在巴黎,成千上万的学生、教师、工人涌上街头,抗议警察的野蛮暴力。法国政府因为担心发生革命,竟然在巴黎周围环城部署坦克。上百万的工人罢工,整个国家瘫痪了两个星期。凯伦.泰特(Karin Tate)和她当时的丈夫泰特正住在巴黎,她回忆这段混乱充斥的时光说:“当时路上的铺石、棍棒、所有能丢的东西,都在空中飞来飞去。突然之间,整个国家陷入停顿,没有汽油(卡车司机罢工),没有火车(铁路工人罢工)、巴黎的垃圾堆积如山(清洁工人罢工)、商店架上几乎没有任何食物。”她和先生躲到毕悠(Bures-sur-Yvette)去,因为她弟弟阿廷正在 IHÉS 访问。当时许多巴黎数学家在冲突中和学生站在同一边。凯伦说示威抗议主导了她认识的数学家的话题,虽然她不记得是否曾和格罗腾迪克讨论过这个话题。

格罗腾迪克从 IHÉS 辞职后不久,一头栽进了对他而言全新的世界,那就是异议政治的世界。1970 年 6 月 26 日,格罗腾迪克在巴黎大学奥赛分校演讲,他不谈数学,只谈核子扩散对人类生存的威胁,他呼吁科学家和数学家不要与军方有任何形式的合作。当时刚到 IHÉS 访问的卡兹,听到格罗腾迪克辞职非常惊讶。卡兹参加了这场演讲,据他说,当时拥挤的演讲厅里,吸引了几百名听众。卡兹记得在演讲中,格罗腾迪克竟然措辞强烈到说,在人类即将受到威胁之际,研究数学其实是“有害的”(nuisible)。

这个演讲的书面版本《今日世界学者的责任:学者与军事机器》(Responsabilite du savant dans le monde d’aujourd’hui: Le savant et l’appareil militaire)以未出版的文件格式广为流传。在附录中记载着听讲学生的不友善反应,他们散发传单嘲笑格罗腾迪克。有一份传单重印在附录中,上头写着典型的口号:“成功、僵化、自我毁灭:成为由格罗腾迪克遥控的小计划”(Reussissez, ossifiezvous, detruisez-vous vous-memes: devenez un petit schema telecommande par Grothendieck)【注:schema 计划,也是概形】。 显然他被视为既有体制中惹人嫌恶的一员。

在这份文件的另一个附录中,格罗腾迪克呼吁成立一个团体,对抗环境恶化与军事冲突的危险,为谋求人类的生存而战。这个名为“生存”(Survivre,后改名为“生存与生活”,Survivre et Vivre)的团体,于 1970 年 7 月在加拿大蒙特娄大学的代数几何夏季讲习会上成立,格罗腾迪克在那里再次发表奥赛演讲的内容。“生存”的主要活动是发行同名的会讯,第一期会讯由格罗腾迪克执笔,以英文印行,时间是 1970 年 8 月。这份会讯提出一个很有野心的计划,包括出版科学书籍,筹办给大众学习科学的公开课程,并抵制接受军方经费的科学机构。

第一期会讯中,有当时 25 名成员的名单,列出他们的姓名、职业与地址。名单上有好几位数学家、格罗腾迪克的岳母、儿子赛格(Serge)。团体的领导人除了格罗腾迪克,还有三位数学家:薛瓦雷(Claude Chevalley)、圭哲(Denis Guedj)与萨姆耶(Pierre Samuel)(《收割与播种》 p.758)。“生存”是踵继动荡的 1960 年代而出现的许多左派团体中的一支,类似的团体在美国有“数学行动团”(Mathematics Action Group)。由于“生存”成员太少又分散,难以集中影响力,比起美国与加拿大,这个组织在巴黎最为活跃,这大部分归功于格罗腾迪克在场。当他 1973 年搬离巴黎后,组织就慢慢解散了。

1970 年 ICM 在法国尼斯举行,格罗腾迪克试图为“生存”招募成员。他写道:“我本来期待会有很多人加入,结果我没记错的话,只有两、三人。”(《收割与播种》 p.758)。然而他的改弦易帜受到许多瞩目,IHÉS 的卡迪亚(Pierre Cartier)也参加了会议,他说:“首先,他是当时世界级的数学明星;同时,你也要记得那段时间的政治氛围。”当时许多数学家都反对越战,并且同情“生存”的反军事立场。卡迪亚说开会期间,格罗腾迪克在儿子赛格的协助下,偷偷在展示区的两家出版社摊位之间放了张桌子,散发“生存“的会讯。这让格罗腾迪克与老同事兼老友丢东涅(Jean Dieudonné)爆发激烈的口角。丢东涅是尼斯大学 1964 年创立时的首任理学院院长,也是这一届 ICM 的负责人。卡迪亚说他和其他人试图说服丢东涅容忍这个“非正式的摊位”,但都失败了。最后格罗腾迪克将桌子搬到街边,就在大会会场的门口。但是另一个问题来了,大会的筹备委员在会前透过复杂的协商,向尼斯市长承诺会期中不会有街头示威活动。因此警察开始质疑格罗腾迪克,最后警察局长来到现场,要求格罗腾迪克把桌子往回搬几公尺,不要占用人行道。卡迪亚回忆:“格罗腾迪克拒绝,他想进监狱,他是真的想要进监狱!”最后,卡迪亚和一些人把桌子往回搬,直到符合警方的要求。

虽然格罗腾迪克跳入政治显得突兀,但他绝不孤单。他的好友卡迪亚是资深的政治运动人士,他和一些数学家曾经以支持 1983 年 ICM 在华沙举行为条件,要求波兰政府释放 150 名政治犯。卡迪亚则将自己的政治运动因缘,溯及他的良师益友史瓦茨(Laurent Schwartz)所建立的典范。在政治上,史瓦茨是法国最敢言与活跃的学术人士,而史瓦茨正是格罗腾迪克的指导教授。另一位格罗腾迪克熟识的数学家萨姆耶,则是法国绿党的发起人。在法国之外,也有许多政治上活跃的数学家。例如在北美最知名的例子有戴维斯(Chandler Davis)与史梅尔(Stephen Smale),他们都曾深入参与反越战的抗议活动。

尽管格罗腾迪克拥有坚强的信念,但在政治现实世界中却根本起不了作用。卡迪亚的观察是,“格罗腾迪克的内心永远是个无政府主义者。在许多议题上,我的基本立场和他相去不远,但是他太天真了,要和他一起在政治行动上有所作为毫无可能。”格罗腾迪克也非常无知,卡迪亚回想起,1965 年法国总统大选第一轮无人过半数时,报纸的头条说戴高乐没有当选。格罗腾迪克竟然问这是否表示法国从此再也没有总统了,卡迪亚只好向他解释何谓二轮选举制(runoff election)。卡迪亚说:“格罗腾迪克是个政治文盲。”但他的确想要帮助他人。对格罗腾迪克来说,为流浪汉或其他有需要的人提供几周的住宿是常有的事。卡迪亚说:“格罗腾迪克很慷慨,他总是非常慷慨。他记得自己的年少时光,困顿的年少时光,当时他母亲一贫如洗。因此他随时都愿意助人,用一种非政治的方式。”

疯狂的七十年代

[1970 年]我离开一个场域,进入另一个,其中充斥着擅于适应“沼泽”的“一流”人士。突然间,我绝大部分的新朋友是一年多前在这个区域里我还沉默以对,既没有姓名、也没有形貌的人。所谓的沼泽就这样突然到处移动、活了起来,席卷了我紧密朋友的脸孔,我们共同冒险,这是另一段冒险。 ——《收割与播种》 p.38

“军团勋章!军团勋章!”格罗腾迪克从演讲厅后面大声咆哮,手上挥动着法国政府颁授的荣誉军团大十字勋章的纸制样张。这个场面发生在 1972 年夏天,这是由北大西洋公约组织(NATO)资助,在比利时安特卫普举行的模函数(modular function)夏季讲习会的开幕日。格罗腾迪克的老友,法兰西学院(Collège de France)的塞尔(Jean-Pierre Serre)刚获得荣誉军团勋章不久,正在发表大会开幕演讲。格罗腾迪克趋前问塞尔:“你介意我到黑板前讲点话吗?”塞尔回答说:“是的,我介意。”然后就离开演讲厅。于是格罗腾迪克登上讲台,开始他反对 NATO 资助这个会议的演讲。有些数学家很能体谅这个观点,例如古德蒙(Roger Godement)早在 1971 年 4 月就已发表公开信,解释他拒绝参加会议的理由。

但格罗腾迪克有所不知,卡迪亚与一些数学家由于对 NATO 的资助感到不妥,早已透过大量协商,要求 NATO 派出代表到会场举行公开辩论。卡迪亚和其他人安抚格罗腾迪克走下讲台,但是已经造成伤害,卡迪亚很快就接到 NATO 代表的愤怒电话,他已经听到会场爆发的争执,认为已经没有理性辩论的空间,因此拒绝与会。卡迪亚说:“我很感慨,因为就我记忆所及,会场上大部分人的政治立场,都和格罗腾迪克相同。但是即使是政治或社会观点与他很接近的人,都被他的行为所激怒⋯⋯他的行为就像任性的青少年一样。”

安特卫普会议的时期,格罗腾迪克已经切断许多让他得以正常生活并专注于数学研究的联系,其中之一是他已经没有终身职位。1970 年他离开 IHÉS 之后,塞尔为他在法兰西学院安排了一个两年期的访问职位。这个菁英机构的运作方式,和法国其他大学(或全世界其他单位)都很不一样。每位学院的教授必须提交一份一年期的讲演计划,并由全体教授组成的全会认可。塞尔记得格罗腾迪克提了两份讲演计划,一份是数学,另一份是“生存”组织所倡议的政治主题。委员会通过数学的计划,否绝了另一个。于是格罗腾迪克进行他的数学演讲,但以一段冗长的政治论述做为前言。两年后,格罗腾迪克申请法兰西学院的终身职位,当时由于曼德布洛特(Szolem Mandelbrojt)退休,正好有一席空缺。在格罗腾迪克送出的履历中,他明确声明他想放弃数学,集中精神从事他相信更为紧急的事务:“生存的必要,以及在地球上推动稳定与人道的秩序。”法兰西学院怎么可能将数学教席给予一位声称不再做数学的人呢?塞尔说:“学院很正确的回绝他了。”

1971 年,格罗腾迪克在比利费德大学演讲时,写下要放入演讲手册,他的转变与行动倾向已很明显。

翻译:想给出 f:X → Y 相关叙述近似的意思 ,我必须花约两个小时折磨听众的耐性;白纸黑字(印在司普林格的《数学讲义丛书》上)约莫需要四、五百页。这是个有趣的例子,显示我们对知识和发现的渴求,日益自我耽溺于远离生活的逻辑错乱,而实际的生活则以千百种方式走向地狱,受到最终灭绝的威胁。该是我们转换道路的时候了!

就在格罗腾迪克离开 IHÉS 的同一段时间里,他的家庭生活破碎,与太太分居了。格罗腾迪克离开 IHÉS 的两年里,花了许多时间在北美的数学系演讲。他到处宣扬“生存”的福音,因为他坚持每给一场数学演讲必须搭配另一场政治演讲。1972 年 5 月,在这样的旅程中,他在罗格斯大学结识了贾斯汀‧邦比(Justine Bumby,原姓 Skalba),她当时是郭伦斯坦(Daniel Gorenstein)的博士生。邦比着迷于格罗腾迪克人格的神采魅力,放弃了研究生的生活,决定跟随他,先是伴他走完美国的行程,再跟他回法国,两人在法国住了两年。邦比说:“他是我碰过最有智慧的人,我非常敬畏他。”

他们两人一起的生活,某种意义上是 1970 年代反文化运动的象征。有一次在亚维农(Avignon)举行的和平示威中,警察强行介入,骚扰并推开示威者。当警察开始为难格罗腾迪克时,他生气了,邦比回忆:“他是很优秀的拳击手,出拳非常快。当我们见到警察靠近正在害怕时,下个画面,就是两个警察倒在地上了。”格罗腾迪克一人就摆平了两名警察。在其他警察终于制服格罗腾迪克后,邦比和他被送上警车带到警察局。当警方由格罗腾迪克的身份证件发现他是法兰西学院的教授时,带他们去见警察局长,由于邦比不会说法文,局长还跟他们说英文。短暂交谈后,警察局长表示他想避免警察和教授之间的纠纷,于是释放他们,不予追究。

在邦比跟格罗腾迪克到法国后不久,他在巴黎南方的沙特奈马拉布里(Châtenay-Malabry)租了一个大房子,两人住在一起,在此开始了公社生活。邦比说格罗腾迪克在房子的地下室贩售有机蔬菜与海盐。公社的生活很吵杂,她说当格罗腾迪克开会讨论“生存”倡导的议题时,可以吸引近百人来参加,因此也获得媒体的注意,但是因为成员间的私人关系太复杂,公社很快就解散了。大概就在这时,格罗腾迪克在法兰西学院的职位也结束了。1972 年秋天,他在巴黎大学奥赛分校找到一年的短期教职。此后,格罗腾迪克取得名为“个人名义教授”(professeur à titre personnel)的职位,这是属于个人可以在法国各大学任职的职位。于是格罗腾迪克将他的职位带到蒙贝里耶大学(Université de Montpellier),一直到 1988 年退休为止。

1973 年初,格罗腾迪克和邦比搬到法国南部的小农村奥梅(Olmet-le-sec)。当时这个地方吸引了许多嬉皮与反文化运动人士汇集,他们希望能回归亲近土地的简约生活。格罗腾迪克再次试图建立公社,但因为个性冲突,结果又失败了。在不同的时间里,格罗腾迪克的三个小孩曾与他住在巴黎与奥梅的公社。后者解散后,他又带着邦比与小孩搬到不远的维莱坎(Villecun)。邦比说,格罗腾迪克为了适应反文化运动人士的生活方式,那段时间过得很辛苦。她说:“他的数学学生十分严谨,他们都是紧守纪律、工作勤快的人。然而在反文化圈,他遇到的是些整天閒晃听音乐的人。”曾经是数学界无庸置疑的领袖人物,格罗腾迪克如今发现自己置身于非常不同的文化环境,在这里他的意见别人并不都那么在乎。邦比说:“以前他做代数几何,很习惯别人同意他的意见。但当格罗腾迪克转换到政治轨道,所有以前认同他意见的人,突然全都反对⋯⋯这让他一时难以适应。”

虽然大部分时间,格罗腾迪克是个非常温暖亲切的人,但邦比说他有时候会情绪激烈爆发,随后则陷入沉默的孤僻期。格罗腾迪克有些时候也很令人不安,他会发表德语的长篇大论,即使邦比完全不懂德文。她说:“他就当我根本不存在似的继续说下去,这时我多少会感到害怕。”另外,格罗腾迪克很节俭,有时带着强迫性。有次为了不倒掉三夸脱喝剩的咖啡,他硬是全喝了,后果可想而知,他后来觉得很不舒服。邦比相信格罗腾迪克的德语独白与极端节俭,都与他坚忍度过的艰困童年有心理的关连,尤其是他和母亲住在集中营的那段时光。

格罗腾迪克或许有过某种程度的心理崩溃,邦比现在回想,当时或许应该为他寻求医疗,至于格罗腾迪克是否愿意接受这种治疗就不清楚了。1973 年秋天,在儿子约翰出生后不久两人分手,邦比在巴黎待了一段时间后搬回美国,后来和鳏居的罗格斯大学数学家理查‧邦比(Richard Bumby)结婚,抚养约翰以及理查的两个女儿长大。约翰后来显现出优秀的数学天分,进入哈佛大学数学系,最近他刚拿到罗格斯大学的统计学博士。格罗腾迪克从来没有与这个儿子联络过。

1970 年代早期,格罗腾迪克的兴趣和被他抛弃的数学世界十分疏远。但在 1973 年夏天,数学忽然又闯入他的生活。当时德利涅在英国剑桥大学为表彰赫吉(William Hodge)而举办的会议中发表一系列演讲,解说他为解决威伊猜想(Weil conjecture)最后也最顽固的部分的证明。格罗腾迪克以前的学生易路齐(Luc Illusie)参加了会议,并写信告知格罗腾迪克这项消息。1973 年 7 月,格罗腾迪克为了想知道更多细节,在邦比的陪伴下访问了 IHÉS。

1959 年,德沃克(Bernard Dwork)用 p 进(p-adic)方法证明了第一个威伊猜想,也就是有限体解形(variety over a finite field)的 ζ 函数是有理函数。1964 年,格罗腾迪克对此猜想的 l 进证明更加普遍,并引介了他的“六项运算的形式系统”。1960 年代,格罗腾迪克证出第二项威伊猜想,也就是解形的 ζ 函数满足某项泛函方程。找出方法证明最后的威伊猜想(有时称为“同余黎曼假说”),成了格罗腾迪克研究的主要灵感源头。格罗腾迪克构造了他所谓的“标准猜想”(standard conjectures),如果能证明这些标准猜想,就可以证明整个威伊猜想。差不多同一时期,邦比耶里(Enrico Bombieri)也独立提出标准猜想的构想。但是直到今天,标准猜想仍未解决。德利涅则是找出一个聪明的方法,绕过标准猜想,证明了威伊的最后猜想。关键概念之一来自蓝津(R.A. Rankin)的论文[Rankin],其中讨论的是格罗腾迪克不知道的古典模形式(modular form)理论。正如泰特所言:“为了证明最后的威伊猜想,你还需要更古典的素材,而这正是格罗腾迪克的盲点。”

邦比与格罗腾迪克出现在 IHÉS 的那年夏天,明尼苏达大学的梅辛(William Messing)正访问 IHÉS,梅辛第一次见到格罗腾迪克是在 1966 年,当时他还是普林斯顿大学的博士生,参加了格罗腾迪克在宾州哈沃福学院(Haverford College)的系列演讲。这些演讲让梅辛印象深刻,于是格罗腾迪克成为他非正式的论文指导老师。1970 年当“生存”在蒙特娄成立时,梅辛也加入组织。隔年,当格罗腾迪克访问安大略省的京斯顿大学(Kingston University)时,梅辛和他还曾同车访视印地安运动的活跃份子詹姆森(Alex Jameson),他住在纽约州水牛城附近的印地安保留区。当时格罗腾迪克有一个不实际的幻想,希望协助印地安人解决一项土地条约的纷争。

1973 年夏天,梅辛住在奥玛宜(Ormaille)的小套房里,这是 IHÉS 的访客宿舍。当时数学家为德利涅的突破而情绪沸腾。梅辛说:“格罗腾迪克那时和贾斯汀一起,他们过来吃晚餐,卡兹和我整晚为格罗腾迪克解释德利涅最后威伊猜想的证明,说明其中新颖与不同的主要想法,他非常兴奋。”但同时格罗腾迪克也表示失望,因为这个证明回避了标准猜想正确与否的问题。卡兹说:“我想如果格罗腾迪克能自己证明[所有威伊猜想],他当然会很高兴。不过在他心里,威伊猜想之所以重要,是因为它是冰山的一角,反映出他想要发现与发展的基本数学结构。”如果能证明标准猜想,就能更深刻的揭露这层结构。

在这段旅程的后来,格罗腾迪克也和德利涅讨论了这项证明。德利涅回想当时格罗腾迪克对证明本身并不太感兴趣,因为他的证明并没有用到模缔论(theory of motives)。德利涅说:“如果我用到模缔,格罗腾迪克将会非常感兴趣,因为这表示模缔论有了进展。但因为我的证明用了讨巧的手法,所以他并不以为意。”格罗腾迪克在发展模缔论时,遇到很大的技术困难。德利涅解释说:“最严重的问题是,想要达成格罗腾迪克的模缔想法,必须要构造出足够多的代数闭链(algebraic cycle),我想这消耗了格罗腾迪克许多心神却依旧失败。而且从那时起,就还没有人成功过。”根据德利涅的说法,格罗腾迪克无法证明威伊最后猜想的挫折感,可能还远不如他发展模缔论所遇到的技术瓶颈。

遥远的声音

我 1970 年离开数学的“伟大世界”……过了几年反战与生态运动的战斗生活、带着那种“文化大革命”的风格,无疑的你们零零星星听到一些传言,说我即将从潮流中隐逝,失落在某个省城的大学里,上帝才知道是哪里,还有谣言说我镇日养羊挖井。但实情是,虽然另有许多事务,我还是像其他人一样,好好的在数学系里教书(这是我原先赖以糊口的方式,现在也没什么不同) ——《收割与播种》 p.L3

当格罗腾迪克 1973 年来到蒙贝里耶大学时,拉迪格耶利(Yves Ladegaillerie)25 岁,是数学系的讲师(maitre des conferences)【译注:maître des conferences 法国学制中的讲师,必须通过博士论文考试,终身职,但没有资格指导研究生。虽然大致相当于台湾之助理教授 / 副教授,仍译为原意之讲师】,他三年之前在巴黎的庞加莱研究所(Institut Henri Poincaré)拿到博士学位。格罗腾迪克建议拉迪格耶利跟他做拓扑方向的特许论文(these d’etat)【译注:thèse d’état 暂译“特许论文”,与博士论文不同,在法国通过此论文,才有资格申请教授职,也才能指导研究生。现在称为 Habilitation à diriger des recherches,简称 HDR】,并且花了很多时间,启迪这位年轻数学家的眼界与方法能力。在一篇回忆格罗腾迪克的短文中,拉迪格耶利写道:“谈到教授,我在巴黎也曾受教于一些当代的伟大数学家——从史瓦茨到卡当,但是格罗腾迪克完全不一样,他就像是个外星人。格罗腾迪克对现代数学结构的建立贡献极大,他所思所言都直接采用这种结构的语言,而不再转译成另一种语言。”[Ladegaillerie]。有一次,拉迪格耶利为了验证一项牵涉到辫带(braid)的代数计算,他用绳子和挖洞的木条做了一个辫带的小模型,逗得格罗腾迪克开怀大笑。拉迪格耶利说:“在那一刻,他就像看到巫师表演魔法的小孩,然后他告诉我: ‘我绝对想不到可以这么做。’”

格罗腾迪克住在离蒙贝里耶约 56 公里的维莱坎,在一间没有电的老房子里过着苦行僧般的生活。拉迪格耶利记得他在那里见过邦比与她的小婴儿,但不久之后她就离开了。许多朋友、熟人、学生到这里拜访他,其中包括生态运动的人士。1974 年,一位日本佛教僧团的领导人拜访格罗腾迪克,此后也有许多佛教徒曾落脚在他的住处(《收割与播种》 p.759)。有一次,格罗腾迪克接待一位旅行证件不齐备的日本和尚,结果格罗腾迪克成为法国以一条 1949 年的模糊法律所起诉的第一人,这条法律反对“在不正常的情境下,无故让陌生人住宿与饮食。”(《收割与播种》 p.53)。由于格罗腾迪克终身是个无国籍的人,这项指控把他激怒了,于是他想发起运动来抵制,甚至跑到巴黎的布巴基(Bourbaki)讨论班宣传,结果这项运动还上了法国全国性报纸的头条。最后他付罚锾获得缓刑。

大概在这个时候,格罗腾迪克学会开车,他有一辆古典雪铁龙 2CV,非正式的名称是 deux chevaux(双马力)。格罗腾迪克的学生、现在是蒙贝里耶讲师的马尔瓜(Jean Malgoire),想起有次格罗腾迪克在暴风雨中开车载他的恐怖旅行。马尔瓜说格罗腾迪克不仅开车技术不佳,而且比起注意路况,他更专心和同行者讲话,“我很确定,我们没办法活着到达目的地!在那个时刻,我领悟到格罗腾迪克和真实世界有种很特别的关系⋯⋯他相信现实世界会适应他,而不是他去适应现实世界。”有次格罗腾迪克骑一辆轻型机踏车迎面撞上一辆汽车。根据拉迪格耶利的说法,他当时根本没有看路,正回过头想拿出背后袋中的杏仁。结果虽然格罗腾迪克大腿严重骨折需要动手术,他竟然要求只用针灸麻醉,而且直到医师说除了截肢别无他法后,他才愿意服用抗生素。

格罗腾迪克在蒙贝里耶大学有一个正常的教职,所有年级他都教。虽然这里的学生比不上巴黎,格罗腾迪克教书还是竭尽精力、热情与耐性。他的教书风格大异于常人,有次考试牵涉到多面体,他要求学生缴交用纸黏的模型,这让阅卷期间保管试卷的人苦不堪言。现在任职于斯坦福大学统计系的荷姆斯(Susan Holmes),是格罗腾迪克在蒙贝里耶的大学部学生,她回忆:“我觉得他上课很有启发性,因为他既不羁常规,对学生又和蔼,他们根本不知道他是一位伟大的数学家。”格罗腾迪克上课穿的是磨破的嬉皮打扮,在班上分发自己种的有机苹果。荷姆斯说:“他上课绝不按部就班解释,或许不适合大学生学习,但是内容颇能启发人,给学生一种美妙、神秘、‘全面’的印象。”

格罗腾迪克向来就不是靠阅读来学习和理解数学的人,他主要透过和别人交谈来得知数学的进展。离开 IHÉS 强烈、刺激的学术气氛,格罗腾迪克不能再靠交谈讨论数学,带给他很大的转变。比起他在 1960 年代所维持的研究步调,格罗腾迪克后来的数学成果就比较零散。虽然他在蒙贝里耶也有好几名博士生,但格罗腾迪克没有再建立类似他在 IHÉS 所领导的兴旺学派。有一些格罗腾迪克巴黎时期的学生或同事会到蒙贝里耶拜访他,最常到访的人是德利涅,在 1970 年代这段期间,他是让格罗腾迪克还能掌握数学最新发展的主要人物。

在蒙贝里耶,格罗腾迪克没有定期聚会的讨论班,虽然他曾和拉迪格耶利、马尔瓜以及其他学生组过一个研究小组,但根据拉迪格耶利的说法,这个小组从来没有真的启动。在 1980-1981 年,他开了一个成员只有马尔瓜的讨论班,讨论伽罗瓦群和基本群之间的关系。这是格罗腾迪克在 1981 年完成、长达 1300 页手稿《伽罗瓦理论的长征》(La Longue Marche à Travers la Théorie de Galois,简称《长征》)的研究主题。格罗腾迪克没有印行这份手稿,直到 1995 年在马尔瓜的努力下,才由蒙贝里耶大学出版了其中的一部分[Marche]。另外还有一个小讨论班,由拉迪格耶利报告瑟斯顿(William Thurston)在泰希缪勒空间(Teichmüller space)的研究成果,燃起了格罗腾迪克对这个主题的兴趣。

到了 1980 年代,格罗腾迪克觉得他已竭尽所能,无法再启迪较无学习热情的蒙贝里耶学生,他决定向法国国家科学研究中心(Centre National de la Recherche Scientifique, CNRS)申请研究职位。CNRS 是法国政府的机构,以大学或研究机构为基地,聘用数学家与科学家进行研究,提供通常不需要教书的职位。1950 年代在格罗腾迪克还没进入 IHÉS 之前,他就为 CNRS 工作过。1970 年代格罗腾迪克曾经申请回到 CNRS,但是被拒绝了。巴黎大学奥赛分校的雷诺(Michel Raynaud)是当时数学委员会的委员,负责审查 CNRS 的申请案。雷诺说 CNRS 的行政部门很迟疑要不要让格罗腾迪克通过,辩称他们不清楚格罗腾迪克是否还会继续做数学。委员会无法反驳这种论点,所以拒绝了格罗腾迪克的申请。

当格罗腾迪克 1984 年向 CNRS 重提申请时,他的申请案再度引起争议。如今 IHÉS 的院长布居农(Jean-Pierre Bourguignon)【注:布居农于 2013 年卸职,转任欧洲科学委员会主委】当时是数学委员会的召集人,按布居农的说法,格罗腾迪克在申请的手书信函中,条列了好几项他不愿意做的工作,像是指导研究生。因为 CNRS 的契约要求研究员有义务执行其中几项,这封信被 CNRS 行政当局视为格罗腾迪克资格不符的证据。布居农说他曾试图说服格罗腾迪克修改申请书,不要将他拒绝执行的那些事情写得那么清楚,但是格罗腾迪克不愿让步。结果在一些人的大力奔走下,终于让格罗腾迪克取得某种特殊职位(position asterisquée),可以让他和 CNRS 双方都接受。CNRS 并不真的聘用格罗腾迪克,只负责付他薪水,而他则维持和大学的关系。所以格罗腾迪克留在蒙贝里耶直到 1988 年退休,最后几年他没有再教过书,也愈来愈少在学校出现。

1984 年格罗腾迪克 CNRS 申请案中的数学部分,就是如今知名的《计划要览》(Esquisse d’un Programme,简称《要览》)。在申请案中,格罗腾迪克概述了某种神秘但又具有洞识与远见的崭新数学领域,称为“远交换代数几何”(anabelian algebraic geometry)。格罗腾迪克也深刻反省点集拓扑(general topology 或 point-set topology)的缺失,并提出一种称为“善拓扑”(tame topology)的革新想法。在《要览》中也包含了格罗腾迪克对童画(dessins d’enfants)的思考,本来这是他为了向学生简单解释某些代数几何观念时所发展的想法,结果繁衍出许多研究。格罗腾迪克将《要览》寄给许多他认为可能有兴趣的数学家,这份文件在未付印的情况下流通了许多年。

巴黎第六大学的史涅普(Leila Schneps)在 1991 年读到《要览》,在此之前她将格罗腾迪克与他的基础研究 EGA 和 SGA 视为一体,但她发现《要览》大为不同。她回忆:“这是数学想像的狂野表现。我爱上它,我大为倾倒,我想马上开始研究它。”于是史涅普成为推动《要览》数学研究的热情传道士,而且她和其他人在这个方向上有许多研究进展。她说:“其中有些部分,刚看到觉得简直没有道理,但在研究两年之后回顾,你会说:‘他老早知道了。’”史涅普编辑了一本关于童画的书,1994 年出版[Schneps1]。1995 年,她和同在巴黎第六大学的同事洛卡克(Pierre Lochak)筹备了一场以《要览》为核心的会议,最后《要览》终于在会议的结集上首次印行面世[Schneps2]。

除了《要览》和《长征》之外,格罗腾迪克在 1980 年代至少还写过一部数学著作《寻堆》(À la Poursuite des Champs),篇幅达 1500 页,书的一开头是他写给牛津大学奎伦(Daniel Quillen)的书信。《寻堆》完成于 1983 年,描绘了格罗腾迪克对于同伦代数(homotopical algebra)、同调代数(homological algebra)与拓扑范理论(topos theory)的融合愿景。《寻堆》在数学家之间广为流传,但从未印行。虽然《寻堆》的主题是数学,但是写作风格和格罗腾迪克早期的数学作品却大异其趣。《寻堆》是一趟数学发现之旅的某种“日志”,其中包含种种错误的起步、误入的歧途,以及突发的灵感,这些都是数学发现的特征,但在既有的数学著作里一向被省略。而在写作时,如果有非数学的事物引起格罗腾迪克的注意,也会被他纪录在日志中,例如书中包含了他岔开主题谈到孙子的诞生。1990 年代格罗腾迪克又写了一本 2000 页的数学著作,讨论同伦论的基础,名为《导出子》(Les Dérivateurs)。格罗腾迪克在 1995 年将文稿给予马尔瓜,如今在网路上可以找到[Deriv]。

当格罗腾迪克在蒙贝里耶时,他不容妥协的“反体制”倾向变得更明显。当拉迪格耶利写完论文后,格罗腾迪克写信给司普林格出版社,建议将拉迪格耶利的论文放在《数学讲义丛书》(Lecture Note in Mathematics)中出版。出版社回信说,他们已经不在这个系列中出版博士论文,激怒了格罗腾迪克。他还是将论文寄过去,也可预见的被拒绝了。据拉迪格耶利说,格罗腾迪克写信给同事告诉他们这件事,试图发起一场反司普林格的运动。拉迪格耶利决定与其一体出版,不如将论文分割成几小篇出版,论文的主要部分最后发表在《拓扑》(Topology)期刊。格罗腾迪克斥责他将论文分割出版,拉迪格耶利说格罗腾迪克想要招募他加入“反体制抗争”,但是他没有依从,因为拉迪格耶利相信这样的斗争,既不合理也没意义。

拉迪格耶利说:“尽管有这些不合,但我们始终是朋友,只是过程起起伏伏。”至于他和格罗腾迪克一起做的研究,他说:“能够和天才一起工作非常神奇,我并不喜欢天才这个字眼,但对于格罗腾迪克,实在没有其他更适当的措辞⋯⋯很神奇,但也很吓人,因为他不是凡人。”思及和格罗腾迪克一起研究数学,伴着煤油灯直到深夜,拉迪格耶利说:“这是我做为数学家最美好的回忆。”

收割与播种

《收割与播种》里谈了很多东西,无疑的,不同的人会看到许多不同的事:一趟探索往昔的发现旅程;对存在的沉思;对一种氛围或时代的道德描绘(或者,描绘从一个时代如何不知不觉又无情的滑落到下一时代);一次审理(有时几乎是推理小说,有时又近乎数学大都会地下暗流尔虞我诈的间谍小说);大幅度的数学漫步(会把不少人远抛在后……);应用心理学的实务专著(或者,你喜欢的话,一本心理分析小说);自觉的颂歌;《忏悔录》;私人日记;发现与创造的心理学;一段(不留情面但恰如其份的)控诉,甚至是“数学菁英界”的旧怨厘清(不附赠任何礼物)。 ——《收割与播种》 p.L2

格罗腾迪克在 1983 年 6 月到 1986 年 2 月之间,写作《收割与播种:反思与见证一位数学家的往昔》(Recoltes et Semailles: Reflexions et temoignage sur un passe de mathematicien)。这是一部难以分类的作品,书名显示它是回忆录,但是《收割与播种》的内容既比一般回忆录丰富,却也有不足之处。说它更丰富,是因为书中不仅记录生命的事件,还有针对这些事件的道德与心理意义的分析,通常很深刻细密,同时又有格罗腾迪克尝试将这些意义与他对自己以及对世界的观点所做的调解,这些分析引领他走入哲学性的默想,更全面的思考发现和创造力在数学以及生命中的角色。在此同时,《收割与播种》当做回忆录则有所不足,因为其中并未试图系统性与全面性的说明格罗腾迪克生命中发生的事件。他不是为日后传者或史家而写,毋宁是为自己而写。《收割与播种》是格罗腾迪克对自己心里最亲近物事的深刻检视。他赋予这本著作求索的好奇心,想要追根究底的动力,一如他做数学的态度。结果就是这部高密度又多层次的著作,显示了一个伟大有时又令人骇异的心智,如何贯彻试图理解自身与世界的艰难挑战。

不消说,阅读《收割与播种》并不容易,格罗腾迪克对他的读者要求很高。很多地方显得平淡无奇,但有些部分他显然是记录下他自身逐日演变的各路思绪。结果单单一页之内,在心境与主题上就可能有很突兀甚至令人困惑的转折。书的组织很复杂,主文被分割成编号的章节,分别标上仔细挑选又吸引人的标题。章节之间彼此互引,并附带大量的注释,有些注释篇幅很长也很紧要,有时甚至注释本身还有注释。书的用词博杂,对于母语不是法语的读者构成莫大的挑战,更何况格罗腾迪克喜欢使用俚语,有些甚至十分粗鄙。通篇读来,格罗腾迪克行文用心、充满洞识、理路清晰,文章的风格辛辣又迷人。他尤其擅长描述那些初看觉得无法言喻的事物。

《收割与播种》之所以结构这么复杂,而且具有自发性,部分是因为格罗腾迪克撰写时心中并没有确定的写作计划。格罗腾迪克最初是想要以此做为《寻堆》的导言,该书将标示他的回归,投入许多时间与精力重新研究数学并出版著作。而这篇导言的目的是想解释他研究的新旨趣,他将不再专注于精确且详尽的数学基础建构,一如他早期的著作,而是要带领读者一起走向新数学世界的“发现之旅”。格罗腾迪克的构想是要撰写一系列的《反思》(Réflexions),以表达他对数学与其他事物的思考与反省,《收割与播种》是其中的第一部,《寻堆》是第二部,《长征》与《要览》也将纳入这个系列。

《收割与播种》的内容
主题的呈现——四个乐章的前奏曲
   – 以前言的方式(1986 年 1 月:pp.A1-A6)
   – 作品漫步——孩子与母亲(1986 年 1 月:pp.P1-P65)
   – 跋与附笔——一场辩论的脉络与先备要件(1986年 2月:pp.L44-156)
信与引言
   – 一封信(1985 年 5-6 月:pp.L1-L43)
   – 目录(pp.T1-T10)
   – 序(1984 年 3 月:1-5 节,pp.i-xi)
   – 引言(1985 年 5-6 月:6-10 节,pp.xi-xxii)
第一部:自满与革新(1983 年 6 月、1984 年 2 月:pp.1-171)
第二部:埋葬一——中国皇帝的新衣(1984 年 4-6 月:pp.173-420)
第三部:埋葬二——阴阳之钥(1984 年 9 月至 1985 年 1 月:pp.421-774)
第四部:埋葬三——四项运算(1985 年 2 月至 1985 年 6 月:pp.775-1252)
宇宙之门(阴阳之钥之附录)(1986 年 3-4 月:pp.PU1-PU127)

在《收割与播种》的第一部〈自满与革新〉(Fatuite et Renouvellement)中,格罗腾迪克对他曾相处工作过的数学社群做了许多深挚的反省。当他 1948 年以一个新鲜人加入这个社群时,所感受到的那种愉悦氛围已经开始消失,格罗腾迪克说因为数学家开始运用声誉来获取优越的地位。数学成了攫取权力的工具,菁英数学家变成沾沾自喜、令人生畏的人物,当事关利益时,不惜运用权力去吓阻或蔑视别人。格罗腾迪克带着悔恨,陈述几个自己自负与傲慢的例子,他意识到这些心思最后会结合成一种对数学才取“运动式”或竞争性的态度,妨碍自己对数学之美敞开胸怀。

完成〈自满与革新〉后,格罗腾迪克突然被一种想法攫袭,“潜藏的事实是有人想要埋葬我的全部著作与我这个人,[1984 年 4 月 19 日],这个念头合着‘埋葬’这个字眼,突如其来以不可抗拒之势盘据不去。”(《收割与播种》 p.L8)。从那天开始,格罗腾迪克开始撰写一系列日后分成三篇的〈埋葬〉(L’Enterrement),篇幅长达千页。格罗腾迪克强烈谴责一些他先前的学生与同事,相信他们正试图“埋葬”他的研究以及他的数学风格,而且他们还剽窃他的想法,没有给予他适当的学术评誉。格罗腾迪克盛赞莫伯考(Zoghman Mebkhout)的研究,莫伯考在 1970 年代发展了格罗腾迪克的一些想法,格罗腾迪克相信这些研究被不公平的忽略与边缘化。在〈埋葬〉中,格罗腾迪克列出六个数学领域(原书称为“工地”),他认为他的学生应该要继续发展,但这些在 1970 年他离开 IHÉS 后就被抛弃了。在通篇〈埋葬〉之中,格罗腾迪克细密的分析他与德利涅的关系,德利涅是他所有学生中最聪慧,也是在数学上与他最亲近的人。

〈埋葬〉系列的第二篇〈埋葬二——阴阳之钥〉(L’Enterrement (II) ou La Clef du Yin et du Yang)和其他两篇颇为不同,和检视“埋葬”比较无关。格罗腾迪克认为第二篇是《收割与播种》中最私人与最深刻的部分,其中包括了他对各式各样主题的各种沉思,像是原创性、直觉、暴力、冲突、自我等。他使用“阴阳”的辩证去分析做数学的不同风格,归结自己的风格属“阴”或女性的。在“升起的海⋯⋯”(La mer qui monte⋯)这个特别动人的篇节里,他描述了这种风格。格罗腾迪克将他做数学的方式比做大海:“大海的推进无声无息,平静无波,水体如此遥远,无从听聆。然而最后大海包围顽固的大地,一点一点的让它成为半岛,成为岛屿,再化为沙诸,大地就此淹没,看来彷彿销溶在一望无际的茫洋大海中。”(《收割与播种》 p.553)

在〈埋葬〉中,格罗腾迪克也继续探讨一些在〈自满与革新〉中谈过的主题,像是数学界上层的竞争与势利的态度。譬如,格罗腾迪克指出他的许多数学著作具有“服务态度”的特质。为了服务数学社群,他撰写清晰与完备的作品,让根本与基础的数学概念能广为人知。虽然格罗腾迪克坦承自己也有自满的时刻,因而不免也有菁英的态度,但他说自己从未丧失这种自发性的服务意识,“服务所有奋身和我共同探险的人”(《收割与播种》 p.630(*))。但他相信数学社群已经丧失这种服务意识,因为自誉自夸与成为排他菁英的态度已经蔚然成风。他也谴责独厚纯熟的技术,贬低洞察力与直观的想法。

除了〈自满与革新〉以及〈埋葬〉三篇之外,《收割与播种》还有两篇引言性的篇章,〈埋葬二——阴阳之钥〉另有一篇附录。写完《收割与播种》后,格罗腾迪克送出两百部给他的数学同僚。尽管格罗腾迪克的本意想要出版,但《收割与播种》的原始法文版从未面世,因为其中包含的强烈攻击可能被视为诽谤。不过这部书流传甚广,可以在全世界数学家(尤其是法国)的研究室书架上见到,也有些出现在大学图书馆或数学研究院。赫恩大学(Université de Rennes)的科学史者哈瑞曼(Alain Herreman)则在网路放上《收割与播种》的法文版全文,以及英文、俄文、西班牙文的部分译文[R&S]。大部分的《收割与播种》也出过日文版,由透过“生存”结识格罗腾迪克的辻雄一翻译,并在 1989 年由日本现代数学社出版。巴黎第六大学的瓦德史密特(Michel Waldschmidt)在 2001-2004 年间任法国数学学会会长,据他所言,在其任内法国数学学会曾经考虑要出版《收割与播种》。瓦德史密特说这个提案引起赞成与反对双方非常强烈的意见,最后法国数学学会决定不出版。

许多数学家,尤其是格罗腾迪克先前的学生,对《收割与播种》中的指控感到震惊与受伤。其中之一是巴黎大学奥赛分校的易路齐,他记得曾和另一个学生维杰尔(Jean-Louis Verdier)谈过,是不是该试着跟格罗腾迪克讨论他的指控。易路齐说,1989 年过世的维杰尔认为格罗腾迪克当时的心理状态并不适合讨论。但是易路齐说:“我认为‘格罗腾迪克不可能已经变成这样,我会试着与他说理与讨论,也许我会同意他的某些论点是对的,但有些则是错的。’结果,我们解决了关键的要点,但是并没有实质的改变,他仍然认定大家都与他作对。”

格罗腾迪克在《收割与播种》 中说,1970 年他离开数学界之后,他的数学风格受到蔑视,许多他开辟的道路没有继续发展。这是事实,在那之后代数几何的研究开始转移,将格罗腾迪克研究的特色亦即高度普遍的方法,与特殊问题的检视结合起来。德利涅的威伊猜想证明,在本质上与格罗腾迪克极为一致,但也加入许多新想法,这是 1970 年代最伟大的数学进展之一。伴随着 D 模(D-module)与德利涅的混合赫吉理论(mixed Hodge theory)的发展,大家开始把更多心力放在特殊的问题,像是解形的分类理论与低维解形的问题。同时,在 1972 年的安特卫普会议之后,代数几何与表现论两个领域也开始结合,导致自守形式论(theory of automorphic form)与朗兰兹纲领(Langlands program)的进展。就像易路齐说的,所有这些发展显示了“普遍理论与具体特例研究之间非常自然与深刻的平衡发展,让整个理论本身更为丰富。”

《收割与播种》中也指控格罗腾迪克的研究未获得适当的引用评誉。说实在的,格罗腾迪克的研究太广为人知又基本,因此不可能每次都特别提到他的贡献。塞尔评论说:“真的,每一个人都知道,举例来说,他发明了模缔或 l 进上同调群(l-adic cohomology),因此实在不需要每次用到时,都要提到他的名字,就是基于这个原因大家很少提他的名字。再说,大家都知道这是他的功劳,没有人会说这是其他人的结果。”塞尔指出格罗腾迪克对缺乏评誉的抱怨,和他 1960 年代的作风形成强烈的对比,当时格罗腾迪克非常大方的分享他的想法,某些时候甚至把别人的名字也联系到他自己得到的想法。塞尔说:“这就是为什么阅读《收割与播种》令人感伤的原因。”

数学的走向偏离了格罗腾迪克的风格,有时大家没有特别提到他的工作,就算承认这些说法都是事实,但这和格罗腾迪克断言有人蓄意“埋葬”他的研究还是有太大的落差。易路齐说:“现在回顾起来,很少数学家的想法能这么广泛的被人运用,当今任何人研究代数几何或算术几何所使用的都是格罗腾迪克的语言、想法、定理等等。根本不用想就知道,他说他被埋葬是何等荒唐的事。”无疑的,在格罗腾迪克 1970 年突然中止他的研究生涯后,数学界蒙受了极大的损失。但是数学并未停止脚步,其他人继续依照他们自己的想法与兴趣进行研究。1986 年 2 月,当塞尔收到一部《收割与播种》之后,他去信格罗腾迪克说:“你说你很惊讶、很愤慨,你的学生没有继续研究你所发展并大略完成的工作,但是你却没有问一个最显然的问题,一个所有读者都希望你回答的问题:你,为什么你自己放弃了这项工作?”[Corr]

虽然书中的“埋葬”指控为《收割与播种》招来许多恶名,但这本书并不局限于此。阅读范围不限于这些部分的读者,都会被这部作品的优美与洞识深深感动。格罗腾迪克对数学界高度竞争的气氛导致扼杀原创与革新的批评,赢得许多人的共鸣。在《收割与播种》中,格罗腾迪克给予天真、孩童般的好奇心最高的评价,是足以孕育出创造性的火花,他哀叹这种特质已经被竞争心态以及对权力和名声的欲求所践踏。

梅辛说:“我很可能是认为《收割与播种》是部奇书的少数派。当然这不表示书中没有失之偏颇的部分,某种角度还可能被视为是偏执妄想。但是创作出 EGA 和 SGA 的人,竟然能用这样的风格写作,实在非常令人惊叹。书中系统性与自我探索的观点,和他做数学的理路如出一辙。真正读过本书,而非只读了五页负面意见的人,想必会认定这是一部非凡的著作。”

沉落的轻盈

今天我不再像以前,被永无止境的任务所禁锢,因而无法跃入未知的世界,不论是数学世界或是其他世界。我属于任务的时刻已经结束,如果年龄的增长有任何好事,那就是轻盈。 ——《计划要览》

1988 年 4 月 19 日,在一封致瑞典皇家科学院的信中,格罗腾迪克写道:“科学专业(尤其数学家之间)的伦理已经低落到一种程度,同僚之间不折不扣的剽窃(尤其是针对无力保护自己的人)几乎已经成为普通规则,发生任何情况大家都能容忍,就算是明目张胆或恶形恶状的情况也不例外。”他在信中回绝了 1988 年的克拉福德奖(Crafoord Prize),他同时还附上《收割与播种》的引言卷给瑞典皇家科学院。当时科学院正准备颁赠二十万美元的奖金给格罗腾迪克和德利涅。1988 年 5 月 4 日,格罗腾迪克的信函在法国《世界报》(Le Monde)刊登[LeMonde],因此广为人知。格罗腾迪克写着,如果他参与得奖沽名的游戏,就等于承认“科学界的这种风潮与演变,我认为这事非常不健康,恨不得它赶紧消失,因为在精神、智识与实质上,这都是一种自杀。”很显然,这样的情怀获得《世界报》许多读者的共鸣。一名报纸编辑告诉布居农,格罗腾迪克的文章引发的回应远多于先前其他文章,大部分读者回应都表示认同,认为终于有一位科学家承认科学环境已经变得多么腐败。关于这封信的新闻也出现在其他杂志与报纸上,并在数学社群中引起热烈的讨论。英文翻译随后出现在《数学信使》(Mathematical Intelligencer)上[Intell],《美国数学学会会讯》也做了短幅报导[Notices]。

格罗腾迪克为何拒绝克拉福德奖

我的教授薪水及十月份退休后的退休金足够生活所需,没有金钱上的需要。有关于我过去奠基的工作,我认为唯有时间能确然证明新想法或新见地的涵义。它们是否有深远的影响,应由继起延续的工作来肯定而非由奖誉。

能得到大奖如克拉福德奖的高等科学研究者多半已有很高的社会地位,同时在物质上或研究环境上都已很优裕,为这些人锦上添的“花”,必然是由剥削另一些人之所必需而来,这难道不是很明显吗?

(最主要的原因)这次瑞典皇家科学院是因为我在 25 年前的工作颁奖给我,当时我仍处于科学界中并共享其精神与其价值观。自 1970 年我退出这个圈子,但仍继续研究工作,不过我内心与科学界越离越远。在这 20 年中科学界(至少数学界)的风气江河日下,已到了剽窃他人(尤其是那些没有自卫能力的人)成为一般性的规则。更糟的是这些劣行竟为科学界众人所容忍,即便是最明显卑劣的情形。

在这个情形下,加入奖金授受这种游戏,无异是表示我对目前科学界的精神与演变的支持,而这种精神与演变,我从内心认为它们是极不健康的、短促的,不仅是精神的自毁,同时也是智性的及物质的自毁。(节译自法国《世界报》原文)

在格罗腾迪克回绝克拉福德奖的同一年,他以 60 岁的年龄从蒙贝里耶大学退休。有六位数学家在当年决定编纂一系列的文章结集,做为向格罗腾迪克 60 大寿致意的“纪念文集”[Festschrift](《K 理论》(K-Theory)期刊也推出专刊向格罗腾迪克致敬)。这本纪念文集似乎是修补与格罗腾迪克关系的尝试,显示他并不像《收割与播种》所断言的已被“埋葬”。为这本文集贡献文章的部分作者,正是格罗腾迪克严词批评最力的对象。纪念文集在 1990 年出版时,编辑者之一的易路齐送了一套给格罗腾迪克,但他的回应极为难堪。在一封给易路齐的信中,他强烈否定文集的简短序言,也谴责他们没有事先告知将有这套书的事实。格罗腾迪克说他的研究被当作“缤纷的彩纸”(confetti),宛如明亮却无价值的小片,抛向天空伪装欢乐和庆祝的气氛,却无视底下的不快。格罗腾迪克将这封信送往法国数学学会的《集刊》(Bulletin de la Société Mathématique de France)发表。学会告知他《集刊》只发表纯粹的数学论文,他的信可以改在学会的《数学家报》(SMF Gazette)发表,但格罗腾迪克拒绝了,这封信因而从未印行。

格罗腾迪克退休后很少在蒙贝里耶大学出现,但继续住在邻近的小村勒奥美地(Les Aumettes)。拉迪格耶利说,这段期间格罗腾迪克似乎正陷入严重的精神危机并写些奇怪的信,“让我们很担心他的情况已经走到最坏的地步。”在 1987-1988 年间,格罗腾迪克撰写《梦之要旨,或与上帝的对话》(La Clef des Songes ou Dialogue avec le Bon Dieu),表示他确信上帝存在,而且祂在人们的梦中对他们说话,书中也包括格罗腾迪克早年生活的许多素材。这部作品篇幅有 300 页,另外附上 500 页的注释。根据德国明斯特大学的夏劳(Winfried Scharlau)2004 年夏天的演讲,格罗腾迪克将这本著作纳入一套称为《沉思集》(Méditations)的作品。其中不但包括构成《反思》的材料,还有另一部充满诗意的作品《乱伦祷词》(Eloge de l’Inceste)。这些作品很少流传。

在收到格罗腾迪克写于 1990 年 1 月 26 日的《佳音书》(La Lettre de la Bonne Nouvelle)后,他的许多朋友与同僚才开始意识到他已经日益沉浸于宗教性的事物。格罗腾迪克将这封信寄给大约 250 人。信中说:“你隶属于我个人所认识的两千至三千人的群体,上帝指定我执行一项伟大的任务,宣告并为‘新时代’(或解放时代⋯⋯)的到来做准备,时间是从 1996 年 10 月 14 日的‘真理之日’开始。”他说上帝在 1986 年第一次对他示现,并在梦中和他交谈。格罗腾迪克也描述他遇见女神芙萝拉(Flora),她传授格罗腾迪克上天的启示,但也残忍的试炼他的信仰。虽然这封信的内容令人费解,但是文笔却十分流畅。三个月后,格罗腾迪克又送出一封“更正函”,说他不再确定《佳音书》中的启示是否为真。他写道:“我是被一个或更多‘精灵’戏弄的受害者(我有限的能力无法区辨),他们被授予巨大的威能,掌握了我的肉体与心灵。现在我确定绝对是这样。”综而言之,这两封信令人感受到作者陷于深层精神障碍和折磨。

1990 年 7 月,格罗腾迪克要求马尔瓜保有他的数学论文,包括书籍、预印本、通信,还有完成度不一的各种手稿。马尔瓜说,格罗腾迪克想要让自己从诸多事务中脱身,可以“轻松”一点。格罗腾迪克烧掉非常大量的材料,大部分是非数学的东西,其中包括他父母在 1930 年代的信件。他带马尔瓜看一个 200 公升的油桶,里面满满的灰烬,估计销毁了总共约 25000 页的文件。格罗腾迪克也将许多文章与物品,包括他母亲的死亡面具,赠送给一位近十年很亲密的朋友李汶(Yolande Levine),然后就消失在比利牛斯山区,过着完全离群索居的生活。只有很少数人知道他的行踪,格罗腾迪克要求他们不要将送到大学的信件转给他。马尔瓜说即使是今天【编注:本文发表时间是 2004 年】,在格罗腾迪克隐居大概快 15 年后,还是经常有很多指名给他的信件寄到蒙贝里耶大学。1995 年,格罗腾迪克正式将他数学文章的法律权利授予马尔瓜。

格罗腾迪克在过去 15 年和数学家鲜有接触。少数见过他的人包括史涅普和洛卡克,时间是 1990 年代中期。他们告诉格罗腾迪克《要览》中所勾画的纲领最近的进展,格罗腾迪克很惊讶还有人对他的研究感兴趣。当时格罗腾迪克对物理学有强烈的兴趣,但也表示对这个领域缺乏严格性感到挫折。他们两人与格罗腾迪克通过几次信,并且送了几本他要求的物理书。在一封信中他问了一个令人松了口气的简单问题:“公尺是什么?”但他的通信先是摆荡在温暖的友谊与冷淡的猜忌之间,最终中断了所有和他们的接触。虽然和格罗腾迪克的友谊无法维持,洛卡克和史涅普对于这个人与他的工作,仍然保有热烈的仰慕与深刻的情感。他们一起竭力将大部分的《长征》手写稿打成 TeX 格式。他们也建立了一个称为“格罗腾迪克圈”(Grothendieck Circle)的网站,放上大量关于格罗腾迪克的材料,包括他的生平以及他的研究[Circle]。

舞动的星星

我告诉你们:人必须内心有混沌,才能孕育出舞动的星星。我告诉你们:你们心中仍有混沌。 ——尼采《查拉图斯特拉如是说》

格罗腾迪克的成就对现代数学影响深远,而且更宏观来看,也足以列名二十世纪人类知识最重大的演进之一。格罗腾迪克的地位足以与爱因斯坦并比。他们都开启了革命性的观点,转变了智识探险的领域,他们都追寻现象间根本而统一的连结。格罗腾迪克倾向于考究数学对象彼此之间的关系,呼应了爱因斯坦提出的相对性观点。格罗腾迪克的成就也可与另一项二十世纪的伟大成就——量子力学并比,量子力学将习以为常的概念翻转,以“概率云”取代了点状粒子的概念。格罗腾迪克写道:“‘概率云’取代了过去令人安心的物质粒子观点,奇特的点醒了我,在拓扑范中那难以捉摸的‘开邻域’(open neighborhood),也像是瞬间即逝的幽灵,围绕在想像的‘点’旁边。”(《收割与播种》 p.90)

但纵使格罗腾迪克的成就如此超卓,他却认为自己的原创力源自某种谦逊的东西——童稚般的天真又渴求的好奇心。他在《收割与播种》的首页写着:“发现是儿童的特权,儿童不怕重复犯错,不怕看起来像笨蛋,不怕不规矩,不怕和别人不同。”针对发现与创造的作为,格罗腾迪克认为天赋与专业技能都比不上儿童那种单纯想知道与理解的渴望。每个人心中都有个这样的小孩,只是可能后来被边缘化、忽视或埋没了。“我们每个人都可以再度发现什么是发现与创造,但没有人可以发明它们。”(《收割与播种》 p.2)

儿童般好奇心的一个面向,是对真理一丝不苟的忠实。格罗腾迪克曾教导他的学生数学写作的重要纪律是,绝对不说错误的东西,不能容许差不多正确或基本上正确的叙述。模糊不明的描述可以接受,但当要给出确切的细节时,就必须只说真确的结果。事实上,格罗腾迪克的一生是对真理从不间断的追索。从他的数学研究到《收割与播种》,甚至《佳音书》,格罗腾迪克的书写都是如小孩一样的无畏坦诚。他所谈的是真理,他所感受到的他的真理。即使他犯了事实的错误或者被不正确的假设所误导,他仍然直抒胸臆。格罗腾迪克从来不曾试着隐藏他的为人与他的思想。

格罗腾迪克对真理的追求,引领他到达数学概念的最深根源,以及人类心灵感知的幽远境地。这趟旅程他已经走得十分久长。拉迪格耶利说:“格罗腾迪克孤独引退于比利牛斯山,在经历过这一切之后,他有权休息。格罗腾迪克值得我们给予赞誉与尊崇,但是最重要的是,思及我们所亏欠他的这一切,我们应该还他平静的生活。”

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