【数学】选举中的数学智慧

作者:万精油

每到大选,美国社会各界就全体总动员。政治家当然是到处拉选票,各大媒体更是评论加民意调查加八卦候选人,各种招数都使出来吸引眼球。连不食人间烟火的数学家也不例外。2008年的美国数学年会就有一个关于选举中的数学问题的报告,临近大选的那一期数学会刊又有一篇相关文章。文章中的一些例子很容易对大众讲清楚,我这里就把它们整理出来与大家分享。

主要结论是:在竞选者实力接近的时候(各方支持者数量差不多),选举结果只是对选举规则的反映,而不一定是对选民意见的反映。

什么叫对选举规则的反映?这结论听起来怎么有点违背常理。要说清楚这个问题,我们先来看一个例子。

假设有三个候选人 A,B,C。11个人来投票,每个投票人列出他们对这三个人的支持程度,也就是给这三个人排一个从支持到不支持的序。结果如下:

如果选举规则是每人只选一个人,根据上面列出的表我们可以看出 A 会赢。只选一个人的结果是 A>C>B(得票依次是5,4,2)。

如果选举规则是每人可以选两人,然后再从前两名中挑出得票最多的(相当于初选加复选),我们可以看到其结果是 B>C>A(得票依次是9,8,5)。

这个例子说明,同样的选民,同样的意向,因为选举规则的不同可以得出完全相反的结论。还有一些地方(比如欧洲一些地方的选举)对意向采用 Borda 加权(起始于1770年)。对每个意向表,第一名得两分,第二名得一分。最后把每个人的得分加起来看谁的分多谁当选。如果对上面的意向表采用这个 Borda 加权,我们得出另一个不同的结果 C>B>A(依次得分是12,11,10)。如果用另外的加权方法,我们还可以得出别的不同结果。

同样的意向表,不同的加权,到底会产生多少个不同的结果?有定理说:

对N个候选人,存在一个意向表使得不同的加权会产生 (N-1)×(N-1)! 个不同的结果。

显然,对加权的限制是前面的权要大于等于后面的权。另外还要求最后一名的权是0。在这种条件下,如果有10个候选人(比如美国的总统初选),同样的意向表可以产生超过三百万种不同的结果。

有人说数学上证明的存在例子都是人为造出来的特殊情况,实际选举出现这种特例的机会是不多的。对这些怀疑者正好有另一个定理等在那里回答。该定理说:

如果有三个候选人,他们的支持度差不多(没有人有特别大的优势),则有大于三分之二的可能性(实际数是69%)选举规则会改变选举结果。

三分之二可不是一个小数,比一半大多了。也就是说当各方实力接近的时候,选举规则会改变选举结果的时候比不会改变结果的时候多一倍。

以2008年的大选为例,如果把全体美国人的意向列一个意向表,我们几乎可以肯定不同的规则会产生不同的结果。也就是说对这个意向表不同的加权可以产生希拉里赢,或者奥巴马赢,或者麦凯恩赢。

这种现象并不只在选总统的时候出现,在日常生活中也会冒出来,甚至影响到你自己。

比如你去面试一个工作,总共四个面试者,A,B,C,D。四个人每个人做一个报告。听报告的一共30个人。听完报告后这30个给出每人的意向表,结果如下:

假设你是 D,根据这个意向表,你就没有戏了。因为只有一个位置,所以只有一个人能得到。按第一票算,其次序是 A>B>C>D(得票依次是9,8,7,6)。显然 A 胜。正当他们准备打电话通知A面试成功的时候,C 打电话来说他弃权,因为他已经接受了另一个工作。初看起来,C 排第三,他的弃权对只选一个人的结果不会有影响。其实不然,如果你把上面的意向表中的 C 都去掉,你会发现结果完全不同了。因为 C 的7票有2票给了 B,5票给了你(D)。最后的结果是 D>B>A(得票依次是11,10,9)。

如此的例子还有很多,单就上面的这个例子看,任何一个人弃权都会改变结果的次序。对这样的混乱现象有人用混沌来形容。

最后再回到开始的那句话:在竞选人实力差不多的情况下,选举结果是对选举规则的反映,而不一定是对选民意向的反映。

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