【文摘】数学趣题汇编(6)

1.In a certain commune of artists, it’s true that:
given any 2 artists, there is EXACTLY ONE artist who has slept with them both.
Must there necessarily be an artist who has slept with all the others? We
assume the number of artists is finite and nonzero.

1.在一次艺术家的聚会中,已知:任意两个艺术家都有并且只有一个共同的朋友在其中。
问题:是否肯定存在一位艺术家是全部艺术家的朋友?

2. 组合题:
任给平面上4n-3个整点,其中n=2^a*3^b(a,b是非负整数)
则其中存在n个点,它们的重心是整点。

3.四个人晚上过桥,只有一只手电筒,一次只能过1或2个人,要过桥必须有手电筒。且过桥的速度不等,分别为1,2,5, 7,如果两个人过桥,以速度慢的人为准。求最短的过桥时间?

4.Imagine an infinite tiling of the plane by squares, and suppose that
each square has been assigned a positive real number, in such a way
that the number at each square is equal to the average of the four
numbers at its four nearest neighbors.
Prove then that all the numbers must be the same.

4.无限大的方格棋盘铺满整个平面,假设每一个格子里面放入一个正实数,满足:每个格子中的数等于与其相邻最近的4个格子中的数的平均值。
证明:所有数都相等。

5.利用一个生锈的圆规(即圆规两脚的距离不能改变,定死了),不用直尺,完成以下作图:
1)已知平面上两点A,B,求作一点C使得三角形ABC是等边三角形;(A,B的距离当然不一定等于圆规两脚的距离)
2)已知平面上两点A,B,求作线段AB的中点。

6.是否存在四个不同的完全平方数,它们组成一个等差数列?

7.平面上有一个三角剖分,我们对顶点用黑白两种颜色染色,
证明:存在这样一种染色方式使得没有一个三角形的三个顶点都是同样的颜色。

8.Suppose C is a positive real number such that for all positive integers N it is true that( N raised to the C power) is a integer. Does C have to be a integer? Why or why not?

8.假设C是一个正实数,对于所有的正整数 N ,N^C都是一个整数,
问题:C是否一定是正整数?

9.把一个正方形分割为三角形,各三角形面积相等,则三角形的总数必为偶数。

10.一条蠕虫在橡皮绳的一端,橡皮绳长一米。
蠕虫以每秒一厘米的稳定速度沿橡皮绳向另一端爬行,在一秒钟后,橡皮绳就象橡皮筋一样拉长为两米,再过一秒钟,它又拉长为三米(橡皮绳是均匀的伸长)。
问题:蠕虫最后会不会到达终点呢?

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