【文摘】数学难题汇编(5)

1.Simson线:
四点P,A,B,C共圆,则P关于三角形ABC的三条边的三个垂足(称为P关于
三角形ABC的1阶垂足三角形)共线,此直线称为Simson线。
推广的问题是:
设P点和一个n边形的所有顶点共圆,那么,P点关于此n边形的n-2阶垂足
n边形的n个顶点必在一条直线上。
也就是说,n-1阶垂足只有一个点。
所谓的n-2阶垂足多边形,是递归得到的:
由P点分别作n边形n条边的垂线,得到n个垂足,依次相连便得到1阶垂足
n边形,接着分别作1阶垂足n边形n条边的垂线,得到n个垂足,依次相连
便得到2阶垂足n边形,依次类推,…最后便得到n-2阶垂足n边形
参考答案

2.The Coin in Three Fountains
Draw three intersecting circles and place a coin, heads up, in each
of the seven enclosed regions. Two operations are allowed: a FLIP
turns over all four of the coins within a single circle, whereas a
CLEAR turns all four coins in a single circle heads up. Is it
possible to reach a condition in which the coin in the central
region (contained within all three of the circles) is tails while
all the rest are heads?
answer

2.三个喷泉中的硬币
画三个互相相交的圆,在分割出的七个区域中,每个分别放入一个硬币,并且正面都朝上。
可以进行两种操作:【翻转】-可以同时将一个圆里面的四个硬币同时翻转,【清理】-可以同时将一个圆里面的四个硬币都翻到正面向上。
问题:能否通过一系列的操作,达到中间公共区域中的硬币背面朝上,其余硬币全部正面朝上?

3.杜塞(E.Ducci)问题:
对有序数组(a1,a2,…,an)定义变换T:
T(a1,a2,…an)=(|a1-a2|,|a2-a3|,…,|an-a1|),
其中|x|表示绝对值,当n=2^k时,
证明:对于任意整数数组(a1,a2,…,an),经过有限次的T变换,必得到全部为0的数组(0,0,…0)。

4.在一个无限大的方格形棋盘上,玩下面的一个游戏:
开始,在相邻的一块a×b的矩形区域内放ab枚棋子,每个小方格内放一枚;
每一步可水平或垂直方向移动一枚棋子,方法是将其跳过另一枚相邻的
棋子,而到达相邻的一个空格内,同时要将被跳过的棋子拿掉;下图所示
是2×2的一个合法的游戏过程,

* *        *
* * *
*

请问,对于什么样的a和b,可以通过一系列的合理移动,使得棋盘上最终
只剩下一枚棋子?
参考答案

5.证明: 存在一个正整数k,使得 N=k×2^n+1对于每一个正整数n都是合数.
参考答案

6.莱默(Lehmer)猜想:
考虑同余式 MM’≡ 1 (mod p) ——– (1) 其中p为奇素数,
对于满足同余式的M与M’的奇偶性相反的解,将其解的个数记为Np.例如,N13=6,即(2,7),(5,8),(6,11),(7,2),(8,5),(11,6).
证明:
当p=4n-1时,Np能被4整除,即Np≡0 (mod 4);
当p=4n+1时,Np被4除余2,即Np≡2 (mod 4).
参考答案

7.用圆规画一个圆。现在要求你只用圆规把这个圆周四等分。注意,
这与一般的规尺作图不同。我们这里没有直尺,只有圆规。圆规的功
能就是做圆,求交点。这道题就是要求你在已知圆半径的情况下,只
用圆规在圆周上找出四个等距点来。

8. 一只老鼠困在一个圆湖中心。岸边一只猫对其虎视眈眈。猫不会
游泳,只能在岸边跟据老鼠的动向而运动,老鼠也不会潜水,所以老
鼠的一切行动都在猫的监视之内。已知猫的速度是老鼠在水中游泳的
速度的四倍。假设岸边到处是老鼠洞。一旦老鼠在没猫处靠岸,即可
进洞得生。现在请你为老鼠设计一条游泳路线,使其能安全靠岸。也
就是说使其能先于猫到达岸边某点。

9.在一个具有2002个居民的村镇中,每天每一个居民都要把
他所知道的所有消息告诉给他的全部朋友,已经知道任何消息在若干
天后都要传遍全镇,如果要想让一条新消息至多在10天内传遍
全镇,那么第一天至少要将此消息同时告诉多少个居民?

10.一个10×10×10的立方体由1000块1×1×1的小立方体组成,
请问:
1,空间中的一条直线,最多同时穿过多少个小立方体的内部?
2。空间中的一个平面,最多同时可以切开多少个小立方体?

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