【人物】数学家丘成桐

作者:丘成桐 数学与人文

今天,我想讲讲我自己做学问的经验。很多中国研究人员做研究的方法并不见得是最好的。我发现有些年轻人在国内做研究并不杰出,但在国外却做得很好,这是很值得思考的现象。所以,我想讲讲我自己的经验,包括我对数学的看法,让大家参考一下。

做学问最重要的是要有热忱,要有求真的精神,但这种精神是需要花功夫去培养的。我们在对自然界作深入的了解,或是寻找数学问题解答的时候,都会碰到不同的现象和观念,真和美却是始终如一的,发现大自然的真和美是做学问的终极目标。但是追求真与美却需要无比的热忱,我们在做学问的路上会碰到很多不同的困难,假如没有热忱的话,就没有办法继续走下去。知道自己追求的目标无误,热情才不会消减。所以要做大学问,一定要想办法培养自己追求真和美的热忱。
几天前我读父亲的遗作,其中提到屈原说的话:路曼曼其修远兮,吾将上下而求索。做大学问的路很长很远,我们一定要看得很远,才能够成功,因此我们要上下去求索,要想尽办法去求真。如何去寻找真与美,并且能够始终不断地坚持下去,是我们成功的一个重要因素。

一个活跃的科研团队,往往要和其他团队激烈竞争,尤其是实验科学的研究,可以说是分秒必争。当一个重要的科研题目出现的时候,大家都知道其他团队也在做同样的问题,研究团队会聚在一起,往往工作到深夜,甚至整个晚上不睡觉。他们一致的目标,就是比人家快一点,早一点将实验做出来,早一点发表文章,这样做固然是一个同行竞争的激烈场面。只要是光明正大的竞争,这是健康的,无可厚非的。另一方面这也是因为求真的热忱在鼓舞着他们,激励着他们不要松懈。否则的话,已经有终身教职的研究人员没有必要这样拼命,他们愿意这样做,热忱的求真求美的精神是其中一个重要的原因。
做研究的道路有时是很漫长的,我们需要在研究低潮的时候还能够坚持做下去。很多做研究的人,觉得自己若不在世界科研中心的地方,便做不出重要的研究。可是有些人在科研最负盛名的地方做研究,也不敢去碰困难的题目。这种现象有很多不同的原因,等一下我们再慢慢谈,可是我想最要紧的是基本功夫没做好。在我们上中学、大学或者在研究院做研究生的时候,基本功夫都要赶快培养好,很多学生在年轻的时候没有将基本功夫做好,以后做研究时就很吃力。

另一方面,现在大家都喜欢谈应用数学,其实大部分应用数学的主要工具和想法都是从基础数学来的。但是很多学生认为,他们既然是学应用数学就不用学基础数学,或者是学应用物理就不必学理论物理了,这是很大的错误。其实没有基础数学和理论物理的支持,应用科学不可能有重要的突破。

基本的功夫一定要在做学生的时候学好,为什么呢?在这一段时候,我们会愿意去做习题,并且会大量地去做,这是学习基本功夫的必要过程。

我相信很多本科毕了业或是拿了博士学位的学生,读书时不会再去做习题,遇到一些比较复杂计算时,也不愿意仔细地去计算,殊不知很多基本的想法就是从复杂的计算里面领悟出来的。一项研究,最终只看到很简单、很漂亮的结果,但是中间可能经过大量的计算。好的研究不是一朝一夕得来的,往往做了一百次的计算,九十九次都是错的,最后一次才是成功的。但作者只会宣布成功的结果,不会告诉你他九十九次失败的经验。

错误的经验往往是很好笑的,很多错误要在做完题目的时候才发现。有些错误其实是很明显的,可是当作者描述自己的结果给别人听的时候,不会讨论错误的那部分,一方面作者可能不知道自己的错误在什么地方,一方面发生错误的地方可能很模糊,讲不清楚。其实了解到自己如何犯错后,我们的眼睛会更加明亮,犯错的经验反而会帮助我们了解问题,让我们找到新的方向向前走。其实能够得到错的结果,已经是很不错了,因为很多初学者连怎么着手做题目都不知道。譬如说,你给我一个化学题目,该从什么地方入手我都没有头绪,因为我没有掌握任何化学的基本功夫。

一个好的数学家至少要掌握两门以上很基本的功夫。数学有很多分支,如代数、分析、几何等种种不同的方法,我们在中学的时候就开始学。有些人喜欢几何,觉得代数没有什么意思不想学,或者是学代数的人不想学几何,各种想法都有,可是最后我们发现,真正做数学研究的时候全部方法都需要用到。

有些人做了数学中某个特殊方向的题目后,就把全部精力,去继续做这方面的工作,不去做其他题目了。少数学者能够精益求精的做出深入的工作,但是大部分人却只能在同一个方向做一些琐碎的工作,连原来那方面的问题也不见得做得好。数学不停地发展,不断地改变,自然界提供给我们的问题,不会因为你是几何学家就持续不断地提供几何方面的问题,而往往是与几何结合在一起的。这些题目需要用到其他工具,如果我没办法去了解,就比其他人吃亏了。

例如,数学中有一门很重要的学科叫“群表示理论”,很多高校不教这门课,可是它在许多应用科学与理论科学中都要用到。很多著名数学家和物理学家都能够熟练地运用“群表示理论”来分析问题。假如我们没有学过这些办法,就吃亏了,这是基本功夫没有做好的缘故。在中国,“群表示理论”大概是进了研究院或者大学后半期的时候才开始学习的。中国数学家在这方面的训练不够,因此在应用群表示论时不如国外学者,由此可见基本学科一定要学好,同时要很早就学。

我们学数学的不单要学数学上的基本功夫,也要学物理上的基本功夫,同时在大学时就要学。力学、电磁学和量子力学我们都要有一定的了解,近几十年物理跟数学越走越近,很多数学问题是物理学提供的。假如对这些基本的观念完全不了解的话,我们看题目就比不上懂得这方面的学者,他们能够很快地融会贯通。理论物理、应用数学或其他的科学引发出很多数学问题,它们甚至提供了这些问题的直观看法和解决方法。数学中有很多悬而未决的问题,往往因为其他科学带来的想法而得到解决。假使我们从来都不接触其他科学的话,就完全落伍了。

举个例子,代数几何学这七十年来有了长足的发展。可是到了近三十年,一些古典方法无法解决的问题,理论物理却帮助我们看到以前看不到的地方。由于本身知识的局限,很多代数几何学家遇到这些困难的时候,没有办法接受这些专家的看法。可是物理学家却确实指明解决一些代数几何问题的方向,代数几何学家又觉得很难为情,因为他们不懂物理学,没有办法去了解他们的想法,这是一个很令人困扰的现象。假使我们年轻时不肯学物理学上的基本功夫,就没有能力接受这些新的挑战。

记得我看过一本 Joseph Wolf 写的书,在序言里,作者感谢芝加哥大学的代数学 Adrian Albert,为什么感激他呢?作者说:“Albert 教我代数,使得我坐下来的时候,看到代数的问题不会恐慌,使我能够有信心地去解决这些代数上的问题”。我们的基本功夫能不能做到如此,就是当看到数学的问题时,能不能够坐下来有信心地去想办法对付它,我想这是做学问很重要的过程。我们往往看到数学问题时,恐慌得不晓得怎么办,因此就放弃了,我想大家都有这个经验。做基本功夫一定要做到看一个题目时,即使是历史上未解决过的问题,你还是可以坐下来,花工夫想办法去解决它。即使你不能够解决它,你至少要有一定的想法去对付这个问题,不会恐慌或放弃它,我想这种训练是最重要的。往往我们因为基本功夫没做好,当一个深奥的题目出现的时候,我们拒绝去接受它,认为这些题目不重要,这是能力有缺陷的学者解释自己为什么不能去做某些问题时最常见的想法。结果是“重要的问题来了,却眼睁睁地看着别人解决它,自己却无能为力!”。著名的物理学家泡利(Wolfgang Pauli)就曾经说过这样的话。爱因斯坦是个伟大的物理学家,但是他不懂得几何的想法,他找同学 Marcel Grossmann 帮忙,才知道黎曼的重要工作,否则广义相对论发展不出来。

训练基本功夫要在中学生、大学生或研究生的时候。怎样学好基本功夫呢?有时看完一本书后,就将书放在一边,看了两三本书后就以为懂了,其实单看书是不够的,重要的是做习题,因为只有在做习题的时候,你才能知道什么命题你不懂,也理解到前人遇到的困难在哪里。习题不单在课本里找,在上课和听讲座时也可以找得到。

很多学生上课的时候不愿意做笔记,三十年前不做笔记的话根本不可能去念任何学科。尤其是有时候讲者讲的题目根本不在书本里,又或者是还没有发表的。现在有了电脑方便多了,但是笔记还是重要的。通过手写的经验比看电脑来得扎实。我常觉得很奇怪,为什么学生不做笔记?他认为他懂了,其实明明不懂。因为可能连讲课的人自己都还没搞懂。听讲的人不愿意去做笔记,也不愿去跟演讲的人谈,或去跟其他老师讨论,这是很可惜的事情。

基本功夫的另一个训练就是要找出自己最不行的地方在哪里。我们在学习“群表示理论”的时候,会遇到一大套抽象的理论。单看抽象的理论是不够的,在应用时往往要知道群表示是怎么分解的,你不能够将它写下来,漂亮而抽象的理论对你一点好处都没有。又例如,在研究微分方程时,往往会遇到方程式的估值问题,你有没有真正了解其中的方法,就全靠你的实际计算经验,不是光念一两本书就足够的。

记得我的儿子在中学时学多项式的因式分解的问题,老师教了他一大堆怎么分解整数方程的方法。他学得很好,也学了怎么找根的方法。可是有一次考试时他就是不知道怎么做因式分解。我跟他说,你明明晓得怎么找根,为什么不能够做因式分解?主要是他学的时候没想到找根与因式分解是同一件事情。问题就在于训练基本功夫的时候,要去想清楚数学命题间的关系,以及为什么要解这些命题。

我们去看很多人写的前人的历史,写了很多很漂亮的介绍和批评。可是你自己没有经历过这一条路的话,事实上很难了解困难在什么地方,为什么人家会这样子想。要得到这个经验,不单要做习题,还要做比较困难的习题。做困难的习题有什么好处呢?困难的习题往往是几个比较基本的问题的组合。我自己看书的时候,常常会一本书一下子就看完了,觉得很高兴,因为看完了。可是重新再看,还是觉得什么都不懂。我想大家都有这个经验,主要的原因是什么呢?我们没有学好这学科,做比较困难的题目的时候,就会束手无策。

我们做一些题目的时候,往往觉得似是而非,在脑子里面想,以为已经懂了,可以解决了,就一厢情愿地想这个问题已经解决了,于是很快地看完那一本书,事实上这是欺骗自己,也不是训练基本功夫的方法。一个好的题目,你应当坐下来,用笔写下来,一步一步地想,结果你会发现很多基本的步骤你根本没有弄清楚。当你弄清楚的时候,你去看你以前需要的定理在哪里,怎么证的,我想你就会慢慢了解整个学问的精义在哪里。

所以说,动笔去做题目是很重要的,我们做大学生的时候还愿意做这个事,往往做研究生的时候,就不会动手去做了,毕业以后更不用讲。一个题目在书本里,我们以为自己懂了,有些是很明显,但有些是似是而非的,好像差不多了,事实上不是,里面有很多巧妙的东西。我们一定要动手去做,才知道这些巧妙的内容在什么地方,我们把基本功夫搞得很扎实以后,就会发现书里面很多是错的。能够发现书本里的错误时,你的基本功夫就不错了。我们这个时代的学生不看课外书,连本学科的教科书也不看,很令人失望。

做研究时,自己要去找自己的思路。单单上课听听,听完以后不看书,做几个习题就算了,怎么做都做不好。因为你没有想自己的思路要怎样走。我念大一到了一半时,刚开始了解到数学严格化的过程,觉得很兴奋。从逻辑去看,所有数学命题都可以一点一点地推导,从前有些几何或分析上的问题,我发觉都可以将它们用逻辑的方法连接起来,所以很高兴。

我讲这个事情是什么原因呢?我觉得现在很多大学生或研究生对于宏观的数学看法并不热情,只是看到课本上有些题目,能够做完它,就觉得很滿足,而没有去想整体数学,整体几何,或者整体代数的内容。我们需要研究的是什么事情?我们需要追求的是什么对象?考虑这些事情其实并不会花你太多时间,可是你要有一个整体性的想法。整体性的想法是非要有基本功夫不可的,就算很琐碎的事情,你都要晓得,以后才能对整个科学有一个基本的看法,一个宏观的看法。

现在谈谈我个人的经验,记得念中学的时候我学了平面几何。大家都知道平面几何很漂亮,我也觉得很有意思。书本上的平面几何的问题,大概我都懂得怎么做,可是我觉得还是不太够,所以我将很多基本的几何问题连在一起,之后开始慢慢想,去发现一些书本没有的问题,去想书本的方法能够有什么用处,是不是大部分平面几何上的问题都可以用我知道的定理去解决?

上初中的时候,我想过一个问题,我发觉自己没有办法去解决它。我花了很多工夫去想,看了很多课外书,最后在一间书局里很高兴地找到一本书,指出那个问题不可能用圆规和直尺来解决,这事实可以用代数的方法来证明。对这个问题,我花了一年的工夫,有过很多不同的想法,但完全不晓得圆规和直尺解决不了这个问题,因此看到人家将这个问题解释得很清楚,就觉得很高兴。那时候我还是初中学生,并不了解伽罗瓦理论,所以不太搞得很清楚它是怎么证明的。可是我至少晓得有些问题是不能用圆规和直尺来解决的。也因为经过很长的思考,所以我对这类问题有所了解,也开始欣赏到做数学的精义。

我想,做习题或研究,最好花些工夫去想想这些问题的来龙去脉,也多看一些参考书,这对你的帮助很大,因为数学无非是很多方法放在一起去解决很多不同的问题,我们需要很多数学作工具。了解到已知方法的局限性后,对学习新的基本功夫有很大的帮忙。基本功夫是工具,不是终点而是起步。基本功夫没搞清楚的话,没有办法去判断某种学问好,某种学问不好。即使大物理学家批评数学的发展时,也会产生错误的结论。最近看到海报上某个数学院士在基本的线性代数上做了一些小文章,却大言不惭地说他改变了量子力学百年来的大问题,真叫人啼笑皆非。

记得我从前在香港念大学的时候,当时的环境比现在差很多,图书馆根本没有什么书,也没有什么很好的导师,但是还是看了很多课外书,也看了很多不重要的文章。但现在看来浪费了一些精力,这是眼界太浅,坐井观天,不知数学的发展与方向的缘故。以后我到伯克利,也看了很多文章,得益良多。但是我不后悔当年的努力,毕竟我可以做一个对比,知道什么叫做好文章,什么叫做不好的文章。总之,开卷有益,总是至理名言。

伯克利实在是一个好地方。一方面当地图书馆收藏丰富,一方面有良师益友的交往,心中开始建立对数学的看法。我念中学的时候,有一位中文老师说:好的书要看,不好的书也要看。数学里面不好的书我也看,你可能奇怪为什么不好的书我也看。我是觉得,你一定要晓得什么是好的书,什么是不好的书,所以你看文章的时候,一定要搞清楚这个作者写的文章并不见得是了不起的。有些作者,你晓得他的著作是了不起的可以多看,可是从不好的文章里面,你也可以看到许多现代的发展。因为有时候从简单的写法里面,反而会看得比较容易一点,可是一定要记住他里面讲的命题并不见得是有意思的,我们要运用自己的大脑去深入思考。可是这些文章的组织还是有的,它们往往也会引用有名的文章,介绍它们的内容,所以还是有一定的好处的。这是我自己的经验,我的建议是大部分的时间看大数学家的作品,小部分时间浏览一般作品,并作比较。

我读研究生的时候,从早到晚都在图书馆里面看期刊、图书。当时伯克利的研究生没有办公室,这很好,整天在图书馆里面坐。几乎主要期刊的文章我都看过,看过并不表示仔细地看,但至少有些主要的定理都看过。当时大部分都看不懂,看不懂没有什么关系。往往你要花很多工夫才能够在细节的部分搞清楚一篇好的文章,因为你第一眼看得懂的文章并不见得太好。并不是讲一定不好,简单的文章有时也有创见,多看文章让你晓得当时的人对于哪一个方向的问题有兴趣,这对你有很大的帮助。

很多学生跑来问我问题,我跟他讲某某年有谁做过、做到什么阶段。他们听了很惊讶,为什么我晓得?没有谁讲给我听,是我自己在文章上看到的。这很重要,因为你做研究的时候,你要晓得什么人做过、解过哪些问题,这对你的帮助很大。因为往往做研究的时候,你需要晓得的只是谁做过,和在什么地方可以找到这个方面的文献,有了这个以后,你可以跑回去找这个文献。甚至你只要晓得哪一年代谁碰过这个问题,对你也有很大的好处。

有很多名家的文章往往比人家做快一步,就是因为他晓得谁做过这件事情,他可以去找这方面的文章,或者去找某人帮忙。否则的话,做数学研究的有几万人,你根本不晓得谁做过这个方面的问题,谁没有做过。所以在这方面多看一些人家做过的问题,无论出名的文章也好,差的文章也好,都看一看。我当然是建议你多看一些出名的文章,因为差的文章等于是消遣性的,像看武侠小说一样,看完就放在一边。等你有追求的热情以后,慢慢地再将不同的看法放在一起。到了这一步以后,我觉得你可以开始找自己的题目,因为你开始晓得整个数学界主要在考虑什么问题。

一个好的数学家怎么找自己的问题是很重要的,当然有不同的找法。有些人要发展一套理论,有些人要解决难题,理论的目标最后还是要解决问题的,所以解决重要问题是发展一般理论中一个很重要的一环。

举例来说,像庞加莱猜想,它是三维拓扑中最主要的猜想,我们晓得前人花了很多心血去解决它,有很多不同的尝试方法,各自形成一个气候。这个命题已经变成一门学科而不再是一个独立的问题。这是三维空间的结构问题,需要彻底解决此猜想才算圆满。另一方面为什么有些人对庞加莱猜想有兴趣,对其他问题兴趣不大,那是因为它是公认的难题。我想选题方面每个人有不同的看法。我有很多朋友是很出名的数学家,他们只想解决出名的问题,我认为这不见得是最佳的选题方法。在数学上,我们应该有宏观想法,思考整体数学的目的在哪里,应当解决什么样的问题。

你们可能都念过王国维讲的做大学问的三个阶段,第一阶段是晏殊说的:“昨夜西风凋碧树,独上西楼,望尽天涯路。”这是王国维讲做大学问的第一个阶段,要解释这一段话,我要再说明基本功夫的重要性。

如果基本功夫没有做好,你根本望不远。你叫中学生去望尽天涯路,根本是不可能的事,最后只能是讲一些空话。对数学或者科学的历史不了解的话,你根本没有资格去谈以后的事。否则,得出来的结果一般来说不会太过深入。

有些研究生,我觉得比较头痛,教他做一个小题目,做了以后,他一辈子不愿意放弃原来的想法,不停地写小文章,写了文章当然可以发表,对某些年轻人来说,他认为这样子很好,不想重要的问题,今天能够写一篇小文章,明天能够写另一篇小文章,就可以升级,假如写不出来的话,生活上会受到困扰。这都是对的,可是你真要做一个好的题目,其实也不见得那么难。一些研究生的论文是历史上有名的著作。为什么他们能够花三四年的工夫,做出那么出色的工作?他们也是从不懂到懂,然后还要再向前进。

所以真要做好的题目,并不是像你想象的要花很多很多的时间才能够做到,问题是你的决心怎么样。昨夜西风凋碧树,就是说你要望很远的话,要将前面小的树去掉,才能看得远。假如我们眼界里面看的都是小题目,永远都看不远。我们要懂得怎么放弃这些渣滓,才能够做一些好的题目,我想这是一个很重要的事情。你不愿意放弃你明明晓得不会有前途的问题,就永远做不到好的问题。这是一个困难的选择,如果你觉得要毕业、升级,而不愿放弃你明明晓得不会有前途的问题,那你永远不会成就一个大学问。

我记得刚学几何学的时候,当时流行度量几何,所有工具都是从三角比较定理来的,我始终觉得对几何的刻画不够深刻。后来我和我的朋友以及学生开始做一系列用微分方程做工具的几何研究,我也很庆幸当时愿意放弃一

我们选题的时候,可以跟出名的数学家、导师讨论或者从书上去看,可是最后的思考一定要有自己的想法才能做成大有规模的学问。没有自己的想法,始终跟着人家走,是没有办法做好学问的。我讲了这么一大堆,就是希望你们把基本功夫做好,要晓得这一门学问里的不同命题。就像你去买货,你要晓得百货公司里面有可能出现什么东西,然后才去挑。

我记得我父亲批评五四运动的健将们,提出的口号是要打倒孔家店,其实他们还没有搞清楚店里卖的是什么货色。这一点和很多批评基本科学的学者,有异曲同工之妙:有些人从来没有搞清楚什么是基本科学,有些人认识的基本科学已经过了时,五十年前的学问了。

王国维谈学问的第二阶段是柳永的诗:“衣带渐宽终不悔,为伊消得人憔悴。”寻找真理的热情就如同年轻的恋人对自己对象的追慕,那是很重要的事。

在追求一个好的命题的时候,中间要花很多工夫,有时候甚至是很痛苦的。可是我们只要晓得,最后的成果是值得的,我们就会花很多工夫去做,就像爱情一样。很多年轻人找对象时,朝思暮想,但做学问却没有这种态度。假如你对做学问没有热情、没有持久力的话,你就不可能做成大学问。战国时屈原的楚辞也说过:“亦余心之所善兮,虽九死其犹未悔”,他的话比柳永说的更来得彻底。

王国维讲的第三阶段是:“梦里寻他千百度,蓦然回首,那人却在灯火阑珊处。”这是辛弃疾的词句,基本上我们做学问时都有这种感觉。我们完成一篇好文章的时候,总会有这种感觉。我们花很多工夫做一个好的命题,有想法的时候,总会考虑这个想法对不对。有时候晚上睡不好,想得很辛苦。有时候想得辛苦了,就一睡睡很久。假如做学问有这样的热情,就会解决很多意想不到的问题。

我们做学问跟一般人谈恋爱一样,有时候不一定看到一个固定目标,而是看到其他。就像我刚才说的,我们要解决庞加莱猜想,即使最后还没解决它,可是解决了其他的命题,这是数学历史上常常有的。每一个人都有这个经验,你明明是想要解决这个问题,结果却解决了其他的问题。这是因为我们做这个题目的时候,不晓得走法对不对,可是将工具全部搞清楚以后,基本的想法、有意思的想法搞熟以后,就可以解决很重要的问题。

在这条路上走的时候,思想不要太顽固,你要知道还有其他有意思的问题。你发展了一套想法以后,往往有其他的问题你刚好可以解决。因此你要知道,你在整个做研究的过程中,眼睛要睁开。眼睛怎么睁开呢?很多学生不愿意去上讨论班,也不愿意去听别人的讲座。不听讲座就不晓得人家在做什么东西。明明你的方法可以解决他们在做的问题,但你眼睛闭起来,看不到,这是一个很大的问题。很多学生尤其是中国学生,说这个讲座与我的论文无关,不愿意去听、不愿意去看、不愿意去跟人家来往、不愿意去跟人家谈。结果你做的论文可能不是你能解决的问题,可能你的方法刚好可以解决人家的问题。因为你不愿意去听、去看,你就解决不了任何问题。

一个人的思维有限、能力有限,你不可能不靠人家的帮忙。什么是人家的帮忙呢?一方面是看文章,听讲座,一方面就是请教名家。你自己去请教别人的时候,百分之九十五的时候人家不晓得你在做什么,也不可能提供给你直接的意见。假如能够直接提供给你意见,帮你直接地解决问题的话,那么你的这个问题不见得是很重要的问题。可见你刚开始没有搞清楚这个问题有多重要。但不要紧,多请教别人总是有好处,至少晓得这个问题有多好,还是不好。假如你怕发问,就在讲座或讨论班的时候要多听,多听对你的好处多得不得了。因为即使你听不懂,至少也晓得最近人家在做什么问题。你可能觉得莫名其妙,可是事实上却开阔了眼界,这是很要紧的。所以能够有机会尽量去听不同的课,对你是有很大的好处的。念纯数学的也应当去听应用数学或物理方面的课。听讲座时,即使放松一些,也没有什么关系,反正总比在家里面无聊或看电视好。

下面谈谈现在学者做学问的三个阶段。

中国的小孩子,受到父母的影响,中学以前以得到奥数金奖为人生目的,事实上奥数并不全面,我从前训练过一位两次奥数金牌并且满分的学生,基础不够全面,终究不能成才。

现在的学生进入名校以后,不是想出国,就是想走一条会赚钱的道路,真正有志于做学问的学生其实不多。毕业以后在学校工作的学者希望弄个帽子,没有帽子就以为天塌下来,一生没有前途了。有了帽子,剩下来的目标就是竞选院士,院士是中国学者的终极目标。做了院士,就真的有学问了,坐在台上高人一等。谁都得对院士鞠躬,何等快意。

我发现不少中国学生在老师的带领下,有极为不良的风气。他们认为去听课是给讲课老师的面子,而很多学者又不愿意为学生上课。一些学问还未成熟的学者,居然认为自己是天王巨星,为学生上课,是二流的工作,他们不需要去做,甚至师范大学的教授也忘记了他们成为教师的责任!其实大部分中国名校教授负责教书的责任已经比美国名校教授的负担轻松得多。有一部分名教授的薪资亦不比美国教授的薪资逊色,而且开公司,腰缠万贯的名教授亦不算小数,但是抱怨要上课的却是不少。

在美国,大部分教授被邀请做数学讨论班的讲者,除了旅费外,很少再去收取大量的演讲费,这是因为讨论学术的目标是互相交流,大家都会得到科学研究交流的好处,不用过分地计较钱财。中国则不然,不单单要收费,还往往讨价还价,即使没有内容的演讲也在收费上作不合理的要求。这种不以学问为主,以名利为主轴的做法,已经对于学生学习的态度造成了极为不好的负面影响。

由于社会和国家对于院士,和有帽子的学者特别尊重,学者一辈子的志愿也不过如此,在这样背景下长大的孩子要成为一代宗师恐怕比登天还难。

我记得我做学生的时候,为了听一个一小时的演讲(不一定是名学者的演讲),我走路、乘车、乘船花两个钟头,从来不觉得浪费时间。可是现在有些学生往往睡在床上,打开手机,听网络上的演讲,但也还是心不甘,情不愿,有时连网课都不听。这样不良的风气,没有办法孕育一流的学者!当然还是有学者带着学生一起去参加讨论班的,希望他们能够坚持下去,毋忘初心,努力向前。学术气氛自然浓厚得多。

很多家长花尽全力要孩子进入美国名校,殊不知,名校的优势,除了学习最前沿的知识以外,就是学习研究和做人的态度。有些富豪却不重视后者,甚至鼓励孩子炫耀自己家中的富贵权势。

其实,古人读书的态度还是有很多值得学习的地方。唐朝韩愈说:“将蕲至于古之立言者,则毋望其速成,毋诱于势利,养其根而俟其实,加其膏而希其光。根之茂者其实遂,膏之沃者其光晔。仁义之人,其言蔼如也。”这确是做大学问的基本态度。

如何养其根?除了上述要多看多读外,还要多问。中国家长一般不喜欢孩子没有礼貌,不许随便发问。上课时,有如一潭死水,和美国名校的态度刚好相反。我听说犹太人教育小孩,从两三岁开始,每日必须要问一个问题。有了这个习惯后,才能够寻根到底,找到事物的根源。我想我在数学上比较成功的原因是因为我从小就习惯于问问题,问题支持我的好奇心,有了强烈的好奇心,做学问会无往而不利。加其膏则是不断地多读书,多和学者交流。

至于创新,我们可以参考韩愈的说法:

当其取于心而注于手也,汩汩然来矣。其观于人也,笑之则以为喜,誉之则以为忧,以其犹有人之说者存也。如是者亦有年,然后浩乎其沞然后矣。吾又惧其杂也,迎而距之,平心而察之。其皆醇也,然后肆焉。”

要创新,必定能够专心于学问本身而不是处处关心别人的评论,多拿两顶帽子而已。就如酿酒,其皆醇也,才能够见到新的境界。

爱因斯坦在 1934 年他发表的题为《Notes on the origin of the general theory of relativity》的论文中,回顾了广义相对论的发展。

他曾说:“I was of course acquainted with Mach’s view, according to which it appeared conceivable that what inertial resistance counteracts is not acceleration as such but acceleration with respect to the masses of the other bodies existing in the world. There was something fascinating about this idea to me, but it provided no workable basis for a new theory.

爱因斯坦认为有些哲学的观点对他有帮助,也很有趣,但对于发展他的引力的新理论没有提供可操作的基础。在建立一个有实际用途的理论时,没有具体有效的基本工夫是不行的。事实上,爱因斯坦在建立广义相对论时,他知道的数学工具远远不足!只有找他的同学 Grossmann 帮忙。挣扎了好几年,以后还找来当时最伟大的数学家希尔伯特(David Hilbert),才完成了引力场的方程。

空谈哲学是不够的,最终还是需要脚踏实地才能完成深厚的学问。很多学术界的大人物年纪大了,不去参加讨论班,知识慢慢淡薄,没有办法做出有意义的学问了,我们可以尊敬他们,但是不见得要走他们建议的研究路线。

举例来说,爱因斯坦一直怀疑量子力学,花了不少工夫去找量子力学的毛病,他还算年轻时,深思熟虑,结果做出了量子纠缠的伟大贡献。但是当他年纪大了以后,和他直接交流的年轻科学家已经不多,他既没有加入量子场论的研究,也没有去了解当时在高等研究所做研究的陈省身先生发展出来的规范场理论,所以他没有足够的工具去完成他晚年梦寐以求的统一场论。

直到今天,统一场论还是物理学上最重要的难题。大家的共识是,统一场论需要大量的物理和数学的工具,不可能是一时一人能够完成。但是很多年纪大的物理学家,忘记了现代物理学已经进步到了一个境界,需要大量的现代数学而并非是普通的组合数学就足够应付的学科,但是他们往往凭着自己几十年前的知识来论断一些崭新的学问。有人认为,西方大学很注重通识教育。望得远,看得深,确是重要的事情!

但是有意义的通识教育需要在前沿工作的教授指导下,才有意义。在哈佛大学一年级有个 freshman seminar,总共有一百多班,每班十二个同学,指导的教授都是在前沿工作的学者。内容多姿多彩,对学生确有益处。但是坦白说,中国目前的高校没有足够的师资来做这件事。我认为不在前沿工作的教师强加在年轻学子自己过时的观念,非但无益,而又害之!一般来说,年纪老迈的学者喜欢空谈,正如爱因斯坦说的,马赫(Ernst Mach)对于引力的观念确是很漂亮,但是要完成一个完整的引力理论,这种哲学概念没有具体的好处!

最近有人建议减弱基础科学的学习,转型去学习一些科学哲学,他们认为这样做才能培养学生做大学问,是一流大学的重要关键。但是细细推敲后,我发觉这是削足就履的做法。事实上,中国缺乏真正有能力的科学哲学家,过分强调某人的特别观点,恐怕会产生香港通识教育这二十多年来不教历史而只学一点模糊不清的通识的灾难性错误!我看在现在的阶段,年轻人还是脚踏实地去学好基础,由自己去摸索科学的哲学观点比较重要得多。有结实的基础以后,再互相讨论,一同摸索会产生更好的结果。

在中国现阶段的情形下。如何去培养好数学家的胸襟,确是重要的。一般的中国数学家缺乏宏观的科学观,他们的心灵已经被种种帽子和院士的荣誉束缚,对于大自然赐予我们的真和美,已经模糊不清。从哲学,文学,音乐等都可以启发我们,让我们的心灵和对大自然的真和美的直觉发生共鸣。能够引起共鸣的作品水平必须要高尚,中国古代文学水平极高,诗词歌赋,古文小说史书都能摇荡人心,都可以学习。数学史积聚了先贤的想法,尤其是文艺复兴以来的数学家,值得我们学习的极多,不幸的是中国谈数学史的不懂近四百年来数学的发展,他们谈的历史对于我们研究近代数学毫无裨益。我们要花更多时间去组织研究近代大学者的历史和思想源流。

我本人受到我父亲的影响,在心情绷紧时,喜欢用中国文学和中国历史来陶冶轻松一下。父亲在他的一本书《西洋哲学史》引了文心雕龙中一段话:“嗟夫,身与时舛,志共道申,标心于万古之上,而送怀于千载之下”。古文学、古代史让我与古人神交,吸收到了他们的风骨气概,比较登高楼看得更远、更阔。古人的成就激励了我的志向,衷心地希望学业会有成就,能够送怀于千载之后。我读诗经、楚辞、汉赋、五言、秦汉古文,朗朗上口,往往情不能自己。自然之美,慷慨之情,油然而生。读左丘明国语,读太史公书,彷佛与古人游乐,凛凛有生气,不会觉得自己是吴下阿蒙,与日月并驰矣。

现在来谈谈个人做研究的经验。

我的专业虽是数学,但是影响我学问取向的不单只是数学家。先父早逝,我十四岁丧父,但自念一生为学做人,受他的教诲最深。他早岁研习经济学,后转中国历史、文学和哲学。为了更深入了解中国哲学,他曾花了十多年去研究西方和印度的哲学。他的学生每星期都来我家聚会,围绕着他讨论学问,天南地北,无所不谈,兴高采烈。年幼的我一知半解之余,深深地感觉到做学问的乐趣。印象最深刻的要算是古希腊的哲学家,他们在自然科学和数学的成就对后世的影响巨大。这些先贤对学问看得透彻,每每从哲学层面提问,并且通过逻辑推论,得出重要的结果。我虽然对其中详情不大了解,但却认为古今伟人功业,莫过于此矣。

父亲教我古文,读叔孙豹说的“立德,立功,立言”三不朽,又读到史记孔子世家赞:“天下君王至于贤人众矣,当时则荣,没则己焉。孔子布衣,传十余世,学者宗之。自天子王侯,中国言六艺者,皆折中于夫子,可谓至圣矣。”我想这样子的人生才堪称伟大,“虽不能至,然心向往之”!

志向大则大矣,但要通济彼岸谈何容易!想我父亲为了研究中国哲学,花了十多年光阴研究西方和印度哲学。可见要干大事,必须要花工夫,做好严谨的准备工作。成长后从事数学研究,采取的就是这种态度。我对卡拉比猜想一见钟情,觉得能够完成这项工作,“死且不朽”!姑不论它真确与否,这种激情支撑着我,前后花了六年工夫去攻克它。

在这里,我需要指出,我选择卡拉比猜想这个问题,不是因为它有名气。事实上,我“泥足深陷“于这个问题时,我的老师陈省身先生说,数学上的猜测多如牛毛,你为什么要去做这个问题?陈省身先生是二十世纪伟大的几何学家。他在一九四五年建立的陈类是规范理论中最重要的概念,在理论物理中也举足轻重。即使到了今天,陈类仍然在科学论文中屡见不鲜,可谓流芳百世了。

陈省身陈先生研究几何从拓扑学入手,我则是从几何分析即偏微分方程的角度来看问题。陈类提供几何的不变量,卡拉比猜想则是通过偏微分方程来深究第一陈类,从而找到一类重要的几何物体,足以描述超对称空间中的物质分布。

为什么当时很多几何学者都对卡拉比猜想有兴趣?因为它使人们对空间的里奇曲率(Ricci curvature)有深刻的理解。曲率这概念在几何中至为重要,广义相对论在描述时空时就得用到它。我下了决心,无论卡拉比猜测是对是错,非解决它不可。

这猜想对空间的描述简洁得令人难以置信,很多人心生疑惑,认为猜想不可能成立。他们反对的理由是:假如这些空间存在的话,为什么这么多年来没有人找到它?开始时,我也是他们中的一员,只有几经挫折后,我才大彻大悟,对它深信不疑。正如孟子所说“自反而缩,虽千万人,吾往矣”。

坦白说,形成这样的信念不是容易的事。为什么呢?首先,我比大部分几何学家更熟悉非线性微分方程,我在研究院时曾经跟随摩里教授(C.B. Morrey)学习,他是这方面的大师。一九七三年我已经开始在这方向探索,做了一个梯度估值,得到另外一位大师尼伦伯格(L. Nirenberg)的赏识,因此有了信心。一九七三年我在石溪(Stony Brook)任教,当时石溪是度量几何的世界中心,很多人认为学习几何非要在石溪不可。但就如父亲对于哲学有自己的看法,我对数学也有自己的想法,度量几何虽说有趣,但稍嫌深度不足,要深入了解微分几何,必须另辟蹊径。当时学者热衷讨论空间的各种性质,但是几乎没有人研究这些空间的存在性。正如我们可以巨细无遗地描述一所房子如何华丽,但是最彻底的做法却是了解它的结构。为了盖好房子,我们既需要有一个整体的概念,又要研究各项细节,过程并不简单。

不久,我离开石溪大学到了斯坦福(Stanford),当时斯坦福没有几何学家,但是数学分析很强。我很幸运,在那里碰到两个年轻人,一个是李安(Leon Simon),另外一个是孙理察(Richard Schoen),他们成为我一辈子的朋友。我们互相交流,我从他们学到了很多有用的数学工具。我的老朋友郑绍远也从伯克利跑来,参与研究几何分析这门新兴的学问。

开始研究卡拉比猜想时,总是试图证明它不对,经过三年时间,才发现走了冤枉路。纵然如此,但我仍旧坚持将问题做下去。重大挫折后的反省,使我看到成功的曙光。正如韩愈所说:“苟余行之不迷,虽颠沛其何伤!”

成功不是一蹴而就的,校正了方向后,还要花上三年的努力,终于在新婚两个星期后,完整地解决了这个问题。有些媒体问我当时的感觉,我用两句宋词答复:“落花人独立,微雨燕双飞”。后来,我填了一首叫临江仙的词,描述我当时的心情。

临江仙(记七六年事)

宇形雾笼烟锁,
遍寻缱绻难持。
灵犀一点倩谁知?
落花人独立,
微雨燕双飞。
记得好事新谐,
笙调心印人依。
弦琴天籁寄相思,
大钧玄秘在,
物数竟同归。

注:余弱冠读书柏城,受业于嘉兴陈氏。少年气盛,意有所作为。遂不自量力,欲解宇宙之形,究天地之变。然而六年辛勤,终无所成。学然后知不足,思而后知殆。浩浩乎虽存大志,惘惘乎不知其所以。俟七六年秋,友云来归,夙愿得偿,心旷神怡。不旬日竟得灵犀,解估值之迷,见时空之雅致。仿若天人合一,抑亦精诚所至,金石为开乎?心结既解,诸学为通!分析几何,送怀于千载之后矣。今日情怀依旧,当年伴侣犹在。唯愿薪传有人,家国双兴,慰我平生也。

二零一四年七月十三日


我从研究生开始,就准备发展几何分析这门学问,也对基本物理学产生兴趣。我有一个信念,即自然界的大部分现象都可以由几何来描述,而几何图形,无论抽象或具体,都是弯曲的和非线性的。描述自然现象的关键在见微知著。古典的物理现象可以由微分方程描述。同样地,广义相对论认为时空的曲率决定引力场的变化,而爱因斯坦方程可以看作曲率的波动方程。因此我意识到非线性微分方程才是研究几何学的钥匙。我和才华超卓的同行、弟子一起努力,在前人的基础上发展几何分析,为数学开拓了一个新的领域。我们解决了一大批数学和物理学上的难题,卡拉比猜想仅仅是个开端。七八十年代,孙理察、Simon、Uhlenbeck、Hamilton、Taubes、Donaldson 等人的工作都可说是划时代的,大家载欣载奔,群策群力,促进了代数几何、数学物理、拓扑学的进展,可以说是无愧于先哲矣!

卡拉比猜想的解决,让人们对第一陈类的几何有了更深入的认识。那时我在 UCLA 数学系访问,刚好哈佛大学的 David Mumford 到了南加州访问,他是菲尔兹奖得主,当代几何学大师。他要给两个演讲,最后一个在加州大学尔湾分校,离我家两个半小时的车程。我当时正在想如何把卡拉比猜想用到代数几何上去,于是老远的驾了我的老爷车去听课。没有想到 Mumford 在讨论班中,指出俄罗斯代数几何学家的一个突破,并由此提出一个猜想,而这猜想竟是我给卡拉比猜想找反例时推导过的一个不等式!

我把结果告诉 Mumford,他很惊讶。当时我虽在微分几何已经崭露头角,在代数几何圈子却藉藉无名。回家后,我将想法写出来寄给 Mumford,并且指出同样的方法可以解决代数几何另外一个老问题,那是意大利数学家 Severi 提出的重要猜想。Mumford 找了专家验证无误,宣布以后,震惊了数学界。

这方法建立了一道由非线性微分方程到微分几何再到代数几何的桥梁。全新的观点解决了一连串数学上的难题,促使“核心数学家“对分析学另眼相看,这次成功使我士气大振。

我想,数学上有两个重要分枝也可以通过分析学结合起来,它们一个是拓扑学,一个是数学物理。

在那一年,我和伯克利的老同学 William Meeks 合作,用三维拓扑空间的方法解决了一个古典的极小子流形的奇异点问题。然后反过来,用极小子流形来解决三维空间的拓扑问题。紧接着我和孙理察用几何分析解决了广义相对论中一个古老问题:正质量猜想。

那是一九七七年的事。正质量猜想在爱因斯坦创造广义相对论时就出现了。爱因斯坦和希尔伯特都曾讨论在广义相对论中如何定义能量。这个问题的出现有很多原因,基本是由于引力场的方程式是非线性的,同时在一般的引力场中,没有任何的对称群作用。结果是古典物理学中定义能量的方法不能用到广义相对论上。

爱因斯坦花了不少工夫,在孤立的引力系统下,构造了大家都觉得满意的能量的定义。紧跟着的一个重要问题:是否一如其他物理系统,这个能量是正的?为什么爱因斯坦问这个问题呢?因为负能量的引力系统会导致整个系统倒塌,这样一来,广义相对论就不能够描述现实世界了。这个问题困扰物理学家多年,在很长的时间里,广义相对论每年的年会中,都有一组学者专门讨论这问题。一九五七年,某著名广义相对论学者宣称物理学家要正视引力场出现负能量的可能性!一九七三年斯坦福的国际几何学大会,邀请了芝加哥大学物理系的名教授 Robert Geroch 作报告,在演讲中他呼吁几何学家帮忙物理学家解决这个问题。

我就是在这场演讲中第一次听到这个问题的,然而苦思其中关键毫无头绪,直到一九七七年的秋天,和理察在伯克利校园散步时,才找到所需的一个重要不等式,从而建立了正质量猜想中的第一个重要情形。我们都很年轻,解决难题的门户稍开,就勇往直前,一年内引进了新的方法,彻底地解决了这个问题。当时广义相对论学家,其中包括我的中学同学,毫不相信,他率直地说:两个无聊的数学家,居然跑到我们地头大言不惭,你们究竟搞清楚了问题没有? 不久,相对论权威霍金说我们的结果有道理,他邀请我到剑桥去访问,见面交流,得益良多,而物理学家也不再轻视我们了。

一九七九年普林斯顿高等研究所聘请我当教授时,我年方三十,初生牛犊不畏虎,和年轻的伙伴在科学的广袤原野上奔驰,倍觉兴奋。“金弋铁马,气吞万里如虎”。很幸运的,遇见了两位年轻的博士后,一个叫 Gary Horowitz,他成为我的助理,另外一个叫 Andy Strominger,以后他们都成为美国科学院的院士。我也带领了一批出色的博士生,其中佼佼者叫 Robert Bartnik。以后他们在广义相对论的贡献,都是出类拔萃的。

英国科学家彭罗斯(Roger Penrose)和霍金的著名工作以前,古典广义相对论並没有完好的数学基础。当时新西兰相对论学者找到可以旋转的黑洞方程的解,他们随即证明在这些解中出现的奇异点是稳定的,从而奠定了黑洞理论的基础。但是黑洞如何形成,除了一般的猜测外,问题并没有解决。理察和我利用证明正质量猜想的办法,第一次严格地证明了当物质的密度在某个半径内足够大时,黑洞就会形成。

为了更仔细地描述这些深入的引力问题,一九八零年彭罗斯指出核心是找到拟局部质量的合理定义。几乎所有广义相对论的学者都考虑过这问题。Bartnik 首先提出一个很好的定义。直到十多年前,王慕道与我在 Brown–York 和刘秋菊及我的定义上完成了这项工作。这工作可以说是几何分析的重要成果。由一九七三年第一次接触到广义相对论的前沿,到如今差不多五十年了,跟着我们这个方向走下去的学者不在少数。近几年来,我和几位物理学和天文学教授在哈佛大学成立了黑洞研究所,参加者甚众,讨论极为踊跃。

二零二零年的诺贝尔物理学奖颁给三位研究黑洞的学者,其中一人为彭罗斯。主要是他了解黑洞形成的机制。一般讨论黑洞的文章都会说当物质密度太大时,星球会倒塌成为黑洞。彭罗斯虽然在黑洞理论有伟大的贡献。事实上,他并没有证明这个机制,这个机制是由理察和我在一九八三年首度完成的。

我和理察的工作吸引了很多物理学家的注意。一九八零年我在普林斯敦高等研究所当教授时,和大批物理学家来往,开讨论班。数学学院的同事说:“丘成桐忘记了我们正在和物理学院吵大架呢!”我不以为然。有一次,我告诉杨振宁先生说:“André Weil 是一个伟大数学家,脾气虽然很大,也会骂人,但是还是很可爱的。”杨先生说他看不到 Weil 有什么可爱的地方。

一九八零年,我和 Horowitz、Strominger 和 Witten 等人讨论时都说过,由卡拉比猜想构造出来的空间自然而又漂亮,又满足爱因斯坦的场方程,它们在物理上应该占有重要的位置,但是他们坚决不信。直到一九八四年,弦理论在理论物理中炙手可热,他们遂把这个空间命名为卡拉比-丘空间,一大批物理学家参与这个空间的研究,硕果累累,甚至反过来影响到数学主流的发展了。

刚开始时,建立弦理论的真空模型是当务之急。他们写下了一些条件,但是不知道满足这些条件的时空存不存在。他们记起了我四年前讲的话, Strominger 很兴奋地打电话给我。当时我正在圣地亚哥看望家人,在太太的办公室里欣赏 La Jolla 的蓝天碧海,听到这个消息,也兴奋莫名。紧接着 Witten 的电话也来了,他从东岸飞到圣地亚哥,和我谈了一整天。我向他解释这些空间的特征,及如何利用代数方法去构造它们,同时纠正了他的一些想法。

临走前,Witten 意味深长地提议我多花一些时间去研究这些空间。他说,六十年前量子力学刚刚起步,天下群雄并起,争相研究这门新学问,沾上边的都留名青史。言下之意,当前正是数学和物理千载一时难逢的时机,我们都未过四十,宝刀未老,当可大展拳脚!

一九八五年理论物理学家在芝加哥的阿贡国家实验室(Argonne National Laboratory)召开大会,很多杰出物理学者与会,我也被邀作一小时报告,解释卡丘流形的性质和构造方法。我指出,现在已经能够构造出十万个以上的卡丘空间,听众很是惊讶。为了满足物理的要求,我构造了一个刚好有三簇费米子(leptons and quarks)的空间。直到如今,这样的卡丘空间并不多。

就在这个时候,我和 Uhlenbeck 刚刚完成建造复流形纤维束上规范场的重要工作,我跟 Witten 说它应该和弦论有关,可他不以为然。过了一年,他和他的学生才发现这些规范场的重要性。

卡丘空间吸引了大批物理学家当然是很有意思的事情。他们从不同角度切入,和数学家互补互动,往往先行一步。他们从物理的观点得到一些全新的看法,甚至能解决逾百年悬而未破的数学难题

物理学家的研究手法与数学家有别。他们不在乎解题的严格性。在二流物理学家手上,这样做往往只能得出似是而非的结论。然而一流物理学家具有非凡的洞察力,结论却使人拍案叫绝,甚至能带出数学上崭新的方向。不过,他们的工作往往不甚严格,需要数学家去修正和完成。

一个重要的例子是卡丘流形中的镜对称理论。

一九八七年后有一段日子,不少弦理论学家由于没有很快达到他们的目标,开始灰心动摇。我却不这样看,反正这理论既有深度,又很漂亮,我就和学生及博士后继续推进。

一九八八年秋某天,我的博士后 Brian Greene 突然跑进我的办公室,跟我讲述他和另一个研究生的工作。他们发现每个卡丘空间都有另外一个卡丘空间与之对偶,两者的拓扑性质虽然不一样,但是产生出来的物理现象却是完全一样的。当时我极为惊讶,并不相信这大胆的看法。但是,物理同行开始做计算,很快相信它是可能的。更有甚者,他们给出一条漂亮的公式,足以解决代数几何学中一个古老问题。

他们的想法是利用量子场论。在推导的过程中,有很多地方都是凭直觉,并不严格,我提醒他们要谨慎从事。一九九零年一月,我在伯克利召开了一次大会,数学家和物理学家都来了。两位挪威数学家通过严格的计算得到一个结果,和物理学家利用上述公式得到的结果并不一致。我算了一次也没有头绪。数学家不相信物理学家,物理学家倒没有坚持,只是大家都找不出错在那儿。三个月后,挪威的朋友来信,说他们编的电脑程序有误,修正后得出的答案和公式得出的一模一样,大家都松了一口气。数学家开始大量地从事这方向的研究,其中一个重要的转折点是连文豪、刘克峰和我在一九九五年给出这条公式的严格数学证明,它有力地说明了弦理论的价值,足以解决了代数几何中的一个古老问题。同年,Strominger、Zaslow(我的博士后)和我提出了如何建构镜对称空间的方法。现在大家叫它做 SYZ construction,这个看法影响至今。

这二十年来,我和几个年轻学者在弦论有关的理论都很重要,一个和 Yamaguchi 合作,一个和傅吉祥做的工作,一个是和 Adam Jacobs、Tristan Collins 的工作。这些工作都有深度,对于几何学本身有重要影响。

这二十五年来,弦理论和数学的关系愈来愈密切,它们融合在一起,使得数学中表面上分枝的几个学科汇合,得到非凡的结果。我认为数学中最古典的数论也会和这些理论挂钩,数学和理论物理将会产生更多的火花!

但是一个极为重要的学问,是如何结合量子力学和广义相对论。这是个古老的问题了,它的发展途径还是极为艰苦,只要成功,就会大放光芒,我们拭目以待!

除了上述基础科学的研究外,这三十年来我也花了不少工夫研究应用数学,约在八零年代,我想研究一个膜在激烈振动时,不动的地方有多长。我发现计算高频率振动的膜并不容易,没有准确的算法。当时美国政府的基金希望我搞一些应用的工作。于是,我用政府经费聘请了一位从麻省理工学院(MIT)来的博士后,叫陆雅言的,开始做这种计算。在二维空间的结果还不错。以后有些人用我们的方法做计算,但是他们不大愿意提我们的工作。由于我们需要大型矩阵的计算,我们也在这方面做了研究。

在九十年代中叶,我弟弟丘成栋对于非线性控制理论有很大兴趣,我们合作解决了一个重要的计算问题。我认为这是一个有实用的工作。在差不多时间,在 Bellcore 的金芳蓉休假,到哈佛大学访问,和我开始长时间合作研究图论的问题,我们的观点仍然是利用几何分析的方法,参加的朋友有林勇、Alexander Grigoryan、Gabor Lippner、Paul Horn 等人。图论比我从前想象得有意思。由于近代计算机的发展,图论中出现不少有意义的理念,我们期待它有更多重要的理论。

在九七年时,哈佛大学念计算机的顾险峰原来的导师离开哈佛大学,他跑来找我做研究图像处理的问题,我建议利用古典的共形几何方法到图像学,这个观点以后成为图像学中重要的分枝。罗锋、雷乐铭、林文伟等人都有重要的贡献,可以用在医学和其他应用科学。这几年顾险峰和我又发现从前郑绍远和我在七十年代做的几何方法可以用到人工智能理论上。

总的来说,数学是理论和应用科学之母,在研究数学、及数学和其他科学的关系时,可以窥见天地做物之美,科技之用。当政者不可不知,为人父母者不可不见。

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【书籍】《皇帝的新脑》作者:罗杰.彭罗斯
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【文摘】阿尔法狗的上帝
【文摘】大学数学竞赛题汇编(10)
【人物】Conway: 游戏人生
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【人物】凯利:真正成功的医生,不是为了赚钱
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【文摘】数学趣题汇编(16)

1.有偶数个人围着一张圆桌讨论问题,休息后,他们按不同的顺序重新坐下,证明至少有两个人,他们中间的人数在休息后和休息前是相等的。

2. 在一群数学家中,每一个人都有一些朋友。证明:存在一个数学家,他的所有朋友的朋友的平均数不小于这群人的朋友的平均数。

3. 一个岛上的游客试图得到宝藏。为此他们要按照如下的规则打开漆有 n 种不同颜色的一系列的门,规则如下:
1)每个游客有 n 把钥匙,每种颜色各一把;
2)每把钥匙一旦用了,则必须一直用到损坏为止,中间不能更换;
3)每把钥匙可以打开与它颜色不同的门,在开与它同色的门时损坏。
求解:门的序列的长度至少是多少时,每一位游客都不能得到财宝?

4. 10个地区之间有两个国际航空公司服务,在任意两个地区之间都有一个直达航线(中间不停),所有航线都是可往返的。
证明:至少有一个国家航空公司可以提供两条互不相交的环形旅行航线,其中每条线上的站数是奇数。

5.证明:在一个 10×10 的正方形棋盘内,任意 46 个互不相邻(即没有公共边)的小方格中,至少有30个小方格同色(注:棋盘小方格的颜色是黑白相间)。

6. 求所有正整数k,使得集合
X=\{1994,1997,2000,...,1994+3k\}
能分解为两个子集合A,B(A\cup B=X , A\cap B=\oslash ),A内的全部正整数之和是B内的全部正整数之和的9倍。

7.设0\le a\le b\le c\le d\le e,且a+b+c+d+e=1
求证:ad+dc+cb+be+ea\le\frac15

8.已知正数量a_1,a_2,a_3,...,满足:
a_{n+1}=\frac 1{a_1+a_2+...+a_n}(n\in N)
\lim_{n \to \infty} \sqrt na_n

9. 已知a_1\lt a_2\lt a_3\lt ... \lt a_n \lt ...是一个正整数的无穷序列。求证:从集合S=\{a_i+a_j|i\in N,j\in N \}中,一点能够找到一个无穷正整数组成的子列,在这个子列中,每个正整数都不是其他任意正整数的倍数。

10. 在一个光滑的桌面上,放有半径分别是1,2,4的3个木球,每个木球与桌面相切,每个木球都与其余两个木球外切。另外,在桌面上还有一个半径小于1的小木球,与桌面相切,而且与三个木球都相切,求这个小木球的半径。

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【文摘】大学数学竞赛题汇编(14)

1.对于任一自然数 n,证明:
[\sqrt n+\sqrt {n+1}]=[\sqrt{4n+1}]=[\sqrt{4n+2}]=[\sqrt{4n+3}]

2. 空间中 n 个不共面的点,求证:必存在一个圆,它恰好只经过其中的三个点。

3. 求出所有连续有界的函数 f:R\to R, 对于一切 x,y\in R,
f^2(x)-f^2(y)=f(x+y)f(x-y)

4.设集合\left \{ a_1,a_2,…,a_n \right \}=\left \{1,2,…,n \right \}
请证明:\frac 1{2}+\frac 2{3}+…+\frac {n-1}n\le \frac {a_1}{a_2}+\frac {a_2}{a_3}+…+\frac {a_{n-1}}{a_n}

5. 证明恒等式:sin^3\frac \alpha{3}+3sin^3\frac \alpha{3^2}+…+3^{n-1}sin^3\frac \alpha{3^n}=\frac 14\left (3^nsin\frac \alpha{3^n}-sin\alpha \right )

6.求适合以下条件的所有函数 f:[1,\infty )\to [1,\infty),
(1) f(x)\le2(x+1)
(2)f(x+1)=\frac 1x[(f(x))^2-1]

7.对任意的正整数 n,
求证:\sum_{k=0}^{n}C_n^k2^kC_{n-k}^{[\frac{n-k}2]}=C_{2n+1}^n,其中C_n^0=1[\frac{n-k}2]表示\frac{n-k}2的整数部分。

8.设M为平面上坐标为(p×1994,7p×1994)的点,其中p是素数。求满足下述条件的直角三角形的个数:
(1) 三角形的 三个顶点都是整数,而且M是直角顶点
(2) 三角形的内心是坐标原点

9. 在[-1,1]内给定n个不同点x_1,x_2,...,x_n(n\ge 2),记t_k(1\le k\le n)为点x_k到其他所有点x_i(i\ne k)的距离的乘积。
求证:\sum_{k=1}^{n}\frac1{t_k}\ge2^{n-2}

10.给定正整数n\ge3\lambda是一个给定的实数,确定下列函数
x_1^2+x_2^2+...+x_n^2+\lambda x_1x_2...x_n的最大值和最小值。这里x_1,x_2,...,x_n是非负实数,满足条件x_1+x_2+...+x_n=1

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【文摘】数学难题汇编(17)

1.Q^+是全体有理数构成的集合,请构造一个函数 f:Q^+ \to Q^+,
使得对任意x,y \in Q^+,均有f(xf(y))=\frac {f(x)}y

2.证明:在坐标平面上不存在一条具有奇数个顶点,每段的长度是1的闭折线,它的每个顶点的坐标是有理数。

3. n元集合X的子集A_1,A_2,…,A_m,互不包含,证明:m\le C_n^{[\frac n2]}

4. 集合N=\left \{ 1,2,…,n \right \} ,A_i\subset N (i=1,2,…,n+1),满足 |A_i|是奇数,证明:\exists A_i,A_j\Rightarrow \left | A_i\cap A_j \right | 是奇数。

5. 设ABCD是一个梯形(AB//CD),E是线段AB上一点,F是线段CD上一点,线段CE与BF相交于点H,线段ED与AF相交于点G。
求证: S_{EHFG}\le\frac14S_{ABCD}
如果ABCD是一个任意凸四边形,结论是否成立?

6. 已知f(x)=C_0z^n+C_1z^{n-1}+…+C_{n-1}z+C_n是一个 n 次复系数多项式。求证:一定存在一个复数z_0|z_0|\le1,并且满足|f(z_0)|\ge|C_0|+|C_n|

7. 已知是平面上一个正2n+1边形,O是这正2n+1边形内部任意一点。求证:一定存在一个\angle A_iOA_j,满足\pi (1-\frac1{2n+1})\le\angle A_iOA_j\le\pi

8. 在[-1,1]内取 n 个实数x_1,x_2,…,x_n(n>=2),
f_n(x)=(x-x_1)(x-x_2)…(x-x_n)。问:是否存在一对实数 a,b,同时满足以下两个条件:
(1)-1<a<0<b<1
(2)|f_n(a)|\ge 1,|f_n(b)|\ge 1

9. 已知正整数 n,问平面上最少要适当选取多少不同的点才可能具有如下性质:
对每一个给定k(1\le k \le n),平面上总存在一条直线,使之恰好通过所选取的k个点。

10. 设a是一个非零实数,给定正整数n\ge 2,求满足下述方程
f(x^2)=f(x)f(x+a)的所有n次实系数多项式f(x)

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【人物】罗杰·彭罗斯

作者 | 彭罗斯,霍奇斯 来源 | 数学与人文

访谈者简介:彭罗斯(Roger Penrose),英国数学物理学家,牛津大学数学系 W.W. Rouse Ball 名誉教授。以其在数学物理方面的工作而闻名,特别是对广义相对论和宇宙学的贡献。获得了多个奖项,其中包括 1988 年与霍金(Stephen Hawking)共同获得的沃尔夫物理学奖,2020 年与 Andrea Ghez 和 Reinhard Genzel 共同获得了诺贝尔物理学奖。霍奇斯(Andrew Hodges),英国牛津大学瓦德汉学院高级研究员、数学导师。

罗杰·彭罗斯

本文根据访谈视频 Oxford Mathematics Interviews “Extra Time: Professor Sir Roger Penrose in conversation with Andrew Hodges” (http://www.maths.ox.ac.uk/node/910) 整理翻译而成(译者:黄双林),刊登于“数学与人文”丛书第 25 辑《百年广义相对论》(2018 年)。媒体或机构如需转载,请联系《数学与人文》(订阅号:math-humanity)或《数理人文》(订阅号:math_hmat)。

第一部分

Andrew Hodges(以下简称 H):Roger,非常高兴能以这样一个正式访谈的形式跟你对话,特别是,我跟你认识都有四十二年了吧?

Roger Penrose(以下简称 P):是啊,好长的一段时间了。

H:回顾这段时期内发生的事情,我脑海里出现的第一个念头就是时间。我想说,你做的所有事情似乎都以某种方式击败了时间。

P:通常来讲,应该是被时间击败了吧。

H:我不这么认为。我认为你胜利的次数超过了绝大多数人。

P:我不清楚你是否还记得,我的办公室里曾经有一个倒着走的时钟。

H:我认为那是个很不错的装饰品,每人都该买一个。由此我们自然会联想到热力学第二定律,时间方向之谜,我们的意识和对过去的知觉,等等。不幸的是,过去只能谈论,真是很大的一个缺憾啊。但首先,兴许你可以就你的初期数学工作说几句。很抱歉要从这么早开始,不过我觉得,你的很多工作都源于 20 世纪 50 年代在剑桥的这段时期,而且那时困扰你的谜团,有些到现在也没有消失。

P:好的。我在剑桥圣约翰学院做研究生时,一开始做的是代数几何。我想我当时是被误导了,以为代数几何是很几何的。很快我就认识到它基本上是代数的,而几何才是我很享受而且做起来最轻松的。

我做的其中一件事就是发展了一套记号。一开始霍奇(William Hodge)是我的导师,Michael Atiyah 跟我是同时期的。我发展的那套记号最初是用来应对 霍奇所教授的微分几何课程的,这课并不容易,满黑板都是他写下的指标记号。部分由于这个原因,我发展了这套记号,使得张量都由带有“手臂”和“腿”的东西来表示。你可以通过它们进行缩并等运算,将张量代数问题转化成了容易理解得多的图像进行处理。

H:事实上,这有关于另一个主题,我本打算待会儿再问你的。你发展了好些在纸上以及在脑海中看某些东西的方式,它们都跟通常的正式记号很不一样。而且你也给了我一个印象,那就是你没有追随更抽象的代数几何,它从那个时候起已经开始变得非常广阔。抽象数学领域在发生大量惊人的事情,但你一直持一个几何的观点,这在当时的剑桥肯定算是有些跟不上潮流的吧。

P:我想我确实是不追赶潮流的。虽然你去看我的论文的话,里面可是一个图都没有,但它们都是利用图像完成的,我是说,在处理代数运算的时候,我使用张量图画,画各种线条,使用对称和反称操作的记号,进行各种各样的操作。这些本来是很代数的东西,但我都是用很几何的方式去做的。我想,这也是对我后来的研究起重要作用的事情之一。我发展出的张量的更一般形式,超越了张量通常的含义,包括了负数维度的张量,后来发现跟量子力学中的自旋有关联。旋量让我觉得很神秘,因为它似乎是某种“部分”的东西,大概来讲它是向量的开平方,而我当时搞不懂怎么才能做到这一点。

Dennis Sciama 是我在剑桥时的一位很好的朋友,或者应该说,我们在更早的时候就是好朋友了。他是位宇宙学家,追随的是当时流行于剑桥的稳恒态宇宙学模型。Bondi 和 Hoyle 作为这个模型的提出者,当时也在剑桥。Dennis 非常推崇这个模型,而我也觉得它非常有趣、激动人心和哲学上令人满意:宇宙一直存在着,没有什么开端,而它的膨胀则被持续不断产生的新物质所补偿。后来我开始不满意这一模型,因为这些规则很难跟广义相对论相融合,而要让我在广义相对论跟静态宇宙学模型中二选一的话,我肯定是选广义相对论的。不管怎么说,Dennis 跟我的友谊对我是十分重要的,我从他那里学了好多物理知识。

你看,作为一个纯数学的研究生,我起码去上了三个非纯数学的讲座课程。当然,我去听的很多纯数学课程对我都是很重要的,我记得有 Philip Hall 的课,还有 Shawn Wiley 讲得非常好的拓扑课程,等等。但我也参加了一些跟我的研究计划没什么明显关联的课,其中就有 Hermann Bondi 的“宇宙学中的广义相对论”,讲得非常流畅,非常精彩。狄拉克(Dirac)的量子力学课同样令人赞叹,但其原因则完全不同,他是将所有东西按逻辑组织得井井有条。很多同事告诉我说,这不就是他书里写的那些吗?但你看,我还没看过他的书呢,所以他所做的工作之优雅是我在上课时领略到的。这课对我很重要还有一个原因。第一学期讲的是标准的量子力学,第二学期讲的是量子场论,然后在讲量子场论的时候,不知道出于什么原因,兴许是 Dennis 找狄拉克谈过,他用了一个星期专门讲二分量旋量。我那时一直在试图理解二分量旋量,看了一些书,可我觉得里面写的都说不通。但狄拉克给的那两次讲座真是堪称完美,让整个问题变得一目了然。这事说起来还有点讽刺,因为大家通常认为狄拉克是四分量旋量的代言人,但事实上他不仅理解二分量旋量,他还用这个形式发展了他的方程的更高旋量版本。在我看来他的方法绝对是正确的。

H:你已经提到过,而且我认为我在剑桥时看见的也是这样,那就是纯理论和应用之间的分界十分明显,两边的人很少有交流。他们属于相互分离的不同院系,作为本科生,你本该选择好自己的归属,然后就坚持下去。可以说,那里真的是有“文化隔离”存在,但你无视了它。

P:我想我是忽视了它。是这样的,Dennis 一直想让我对物理感兴趣。在进剑桥之前,在 Fred Hoyle 的一个关于稳恒态理论的精彩讲座上,我就跟 Dennis 有过交流。我没太听懂这个讲座,但我得以跟 Dennis 聊天,他是我哥哥 Oliver 的朋友,在我去之前很多年他也在剑桥。从那时起我跟 Dennis 之间建立了友谊,他一直想让我去做物理,发展对物理学的兴趣甚至将专业改成物理。

当然我并没有这么做,因为那时有太多的数学问题是我所参与和感兴趣的:一般的张量系统,几何的想法,等等。还有很多数学理念是我当时本该学到的,其中有一个就是层的上同调。以前它们被称作 Stacks,但那时逐渐被称作 sheaves(层),整件事情让我感到迷糊。直到好多年以后,当 Michael Atiyah 把所有这些事情都梳理清楚了,我才意识到我要是给予了这个问题足够多关注的话,里面有些东西本可以对我非常有用的。

H:霍奇对你学这些完全不同的东西是怎么想的?我估计对现在的很多研究生来讲,学这么多完全不同的课是很吓人的想法,这可不是能让你发表足够多文章的做法。

P:那时的情况也许有所不同。你看,我一开始是跟随霍奇,而霍奇还有另外几个学生,其中一个很早就放弃了,另一个是 Michael Hoskin ,他后来获得了博士学位但转向了科学史领域。还有一个是 Michael Atiyah。霍奇曾经建议说,既然我对他给我的非常代数的问题有点不喜欢,那我也许可以去旁听另一个学生的课。结果我一点也没听懂,但那就是 Michael Atiyah 的风格。我后来跟他成了很好的朋友。

在我去上狄拉克和 Bondi 的课的同时,我还上了另外一门课,老师是一个叫 Steen 的逻辑学家。这门课深深地影响了我后来所做的事情,因为我在课上学到了哥德尔(Gödel)定理。在那之前,我只是大略地听说过这个定理,而我觉得它挺让人不安的。在去剑桥之前,我以为思维就是计算,因为我也想不出别的解释。我模糊地知道哥德尔定理,它基本是宣称,在数学中有些东西是无法证明的,Steen 的课则清楚地告诉我,虽然你没法用某个特定的系统来证明它们,但你信任该系统这个事实却令你可以从系统中导出可信赖的结论。对系统的信念使得你超越了这个系统——你可以找到一些陈述,你没法用系统来证明,但根据你对系统的信任,它们必须是真的。这令我非常惊讶。

H:你是不是在那时就想到了,这应该跟大脑的物理刻画这些事有些关系?

P:是这样的,但那还不是个很确切的构想。你看,在 Steen 的课上我也学到了图灵(Turing)机,它和哥德尔定理一样,也是这门课的内容之一。由于“理解”这件事似乎超越了任何特别的形式体系,这个课使我产生了这样的看法:大脑的运转里肯定有非计算性质的别的什么东西。

我从狄拉克的量子力学课里学到了另外一点。说起来又有点讽刺。那是我第一次去上他的课,他把一节粉笔掰成了两半,谈论着量子叠加。你知道的,在量子力学里如果你能实现两件事的话,你还能把两件事叠加起来。我当时觉得很惊奇,我记得他说着能量之类的事情,但我没法理解这怎么能解释得通。我当时肯定在怀疑自己根本就没抓住要领。这个问题从此一直困扰着我,我也确实形成了这样的想法,那就是:我们对世界的认识还有巨大的缺口,具体来说是在量子力学中,而且有可能跟我们在意识和思考时发生的过程有一些关联。但这想法是很模糊的,直到很久以后我从电台中听到了 Marvin Minsky 和 Edward Vitkin 的谈话。他们采取的是非常计算机学家的视角,从这个角度,我明白他们为何会持那样的观点,但我觉得做出他们那种程度的推断是很荒谬的。这件事使我意识到自己对于这个话题有一些话想说,而且跟其他人所说过的都不太一样。我本来就有写一本书的想法,目的是激起大家对数学和物理的热情,不过这书并没有一个中心的议题。但这件事告诉我,我应该试着阐述一下我对大脑中所发生的事情的看法。

H:补充一下,以防观众不熟悉我们涉及的时间跨度。刚才所讲的书是指《皇帝新脑》,你是从 20 世纪 80 年代中期开始准备出版这本书的。接下来,也许你可以讲讲从 Dennis Sciama 那里获得的宇宙学图像。那时候,人们对宇宙还所知甚少,只知道相对于邻近星系的局部的膨胀。

P:我觉得人们把宇宙学当作仅仅是哲学或类似的东西,我的意思是,没有理由去选择相信这个理论或是那个理论。直到微波背景辐射的发现。

H:那是后来的事了。

P:是非常后来的事了。

H:你初次接触宇宙学的时候,它还处于完全空白的状态吧。哈勃(Hubble)定律虽然已经存在,但其他方面的数据完全不能跟今天相比。

P:我想我确实是有些思维跳跃了,你说的没错。

H:是 Hermann Bondi 给相对论带来很多现代的思想。

P:我认为 Bondi 的影响非常巨大。他做过一些极好的电台谈话,无比清晰。他对我的影响无疑也是很大的。他讲东西的方式非常物理,但又清楚明了。我想我从其他同事,特别是 Phenix Pirani 那里也学到了很多,主要是相对论的数学方面的东西。

H:正是这些因素,让你能将对类光几何以及旋量表示的理解与广义相对论结合在一起吧。

P:是的。我试着来弄清这些事情的顺序。我先是对物理发生了兴趣。你看,Dannis 知道物理学领域发生的所有事情,尤其是宇宙学和天体物理学方面的,但他也对基础理论很有兴趣。有时在我们去 Stretford 的路上,他开着漂亮的小汽车,以很快的速度驶过道路转角,然后说道“这就是静止的星星的作用”。Mach 原理强烈地影响着他,这原理是说决定局域惯性的是遥远的星系的作用,所以你转动 Newton 的旋转水桶,引起水向边缘靠近的原因是星星向四周的拉扯。在往返的路上,我们还讨论过这样一个想法:如果我们能让星星们一个个消失掉,惯性会变成什么样子?将这个考虑到极端,当所有东西都消失了,只剩下车子时,你还会感觉到什么吗?根据 Mach 的观点,这时候惯性只由车子本身来决定。我继续想下去,类似地,单个的电子并不知道它自旋的方向。因此我开始考虑单个的自旋系统,它们没有方向的概念,将它们结合到一起时只能谈论总自旋,比如自旋是升高了还是降低了,规则是怎么样的,等等。我基本上就是从这个念头发展出自旋网络的。

H:我还不知道自旋网络那么早就有了,所以它与你的负维张量以及图计算等有关。

P:是的,这些都很早就出现了。你看,这之间的联系还包括不同维度之间的。我十分着迷于自旋的性质。现在,假设你有一个电子或者一个自旋为二分之一的粒子,它只能给你两个自旋的方向,但你明明有整个球面那么多的方向。这是因为在量子力学中,自旋有上下两个方向,其他自旋都是它们的组合,你会看到这两个态的复线性组合其实就是一个球面,这个球面就给了你所有的空间方向。这样,就有了空间的三维性和量子力学的复数之间的紧密联系。这类事情从某种很深的层面上触动了我。当我开始更多地思考相对论的图景,那里有光锥结构,有沿着光锥的方向;当你望向天空,那是个二维球面,不同方向对应于球面上不同的点,这时将这些方向表示为黎曼(Riemann)球面上的点是很有好处的。黎曼球面就是复平面加上无穷远点,这个球面是考虑空间方向的很自然的一种方式。

H:是啊,无时无刻都能看到它。当然,其实你看到的是过去。

P:你会看到一点点的过去。将它看作复球面这点是很关键的,加上选定时空的维度,也就是三维空间和一维时间,这时你才会得到一个具有复结构的光锥,一个复流形。

H:你前面提到,你是从狄拉克那里学到的二分量旋量,而他通常被认为是与四分量旋量密不可分的。你从中得到的联系量子力学和时空的洞察,可不是谁都能自然想到的。

P:我只是继续向前,倾向于走自己的路。我想我总是如此。我记得,当战争期间我在加拿大上学的时候,我十分迟钝。你如果看我的数学试卷,我的分数不会很好,还曾经因为心算很差而被降到低年级。但我记得有一个非常优秀而且很有洞察力的老师,他发现只要给我足够的时间,我就能考得相当好。因此他会说:“好的,我们今天会有一场考试,通常是要求在这个时间段里完成,但你想要多长时间我都给你。”因而我就可以坚持不懈地做下去。下一个时间段是游戏时间,同学们都在外边儿玩,我还在坚持着,有时甚至到了下一个时间段我还在继续。最终我会完成得很不错,得到像 98 分之类的分数。这产生了巨大的差别。我想原因在于我不善于记忆东西,不管是在课桌旁或是别的什么地方。我总是试图自己找到解答,这当然对在学校参加考试是没什么好处的。但后来,这一点却正好有了用处,它让我得以用自己的方式去思考那些事情,而不是从书本或其他什么地方直接学过来。

H:说回刚才的话题,我想粒子物理学家那个时期恐怕不会对二分量旋量以及它们跟  的关系感兴趣,而你切入相对论的角度,很大程度上源自量子力学以及经典几何,对吧?

P:量子力学对我的影响显然是很大的。我确信,量子力学还不完善,某些层面的规则还需要改进。我很早就这么认为,虽然具体时间无法确定。但不管怎么说,在微小的层面,非常基础性的量子的特性,这观念本身是极其重要的。

H:是从什么时候开始,你开始理解共形结构中的类光标架、光线以及此时度规不是第一位的这些事呢?你 1959 年关于移动的球面论文,仅用两页就纠正了一个常见的错误说法:如果物体相对于我们以相对论的速度移动,它一定看起来像是被压扁了。

P:那是在我去美国之前,而我是 1959 年去的美国吧。在 1958 年,就在我开始思考相对论里的旋量后不久,我去巴黎附近参加了一个广义相对论的会议。Dennis Sciama 也在,他很热衷于把他认为互相有话可谈的人聚集到一起。

H:如果我记得没错,1955 年是第一届,所以 1958 年肯定是第二届。这是现代相对论的发端时期。

P:是的,1955 年是第一届。是有两届,我记不清哪届是第一届了,在教堂山举办的是第一届吧,所以巴黎应该是第二届。

H:人数相对比较少吧,毕竟感兴趣的人不算特别多。

P:相对来说是的,但有好多我后来得以熟知的人,比如 Ted Newman。这次会议深深地影响了我,对我十分重要。不过我们得先说回去一点。应该是 1957 年吧,我不是很确定,Dennis 说服我去伦敦国王大学参加 David Finkelstein 的一个讲座,是关于 Schwarzschild 解以及怎么样去掉其奇性,听起来还挺有趣。我那时并没有研究广义相对论,而是在思考旋量等问题。他在报告里展示了如何将 Schwarzschild 解延拓到视界以内,当然那时候还不叫视界,人们还认为那是 Schwarzschild 的奇点。Finkelstein 得到了我们现在所讲的 Kruskal 延拓,我对此印象深刻。还有一点很有意思,Finkelstein 那时候的主要兴趣在广义相对论,我的则是旋量、微观量子力学、组合时空这些问题。所以我向他解释了自旋网络的想法,他从那时起开始了对组合时空问题的研究,我则进入了广义相对论领域。所以我们可以说是互换了角色。

H:我明白为什么那会触动了你,因为正好可以使用类光标架。

P:历史发展大概是这样:我去听了这个报告,给我印象很深的是你能去掉所谓的 Schwarzschild 奇点,但中心的奇点还是存在。我想到这就像是你能把它从一个地方赶走,但它始终还在。所以我开始想,有没有可能一般性地证明奇点一定是会存在的。我没有什么机制,没有什么方法来尝试这件事情,仅有的就是一直在研究的旋量。我想好吧,让我来看看怎么用旋量来描述相对论。我就这么做了,然后得到的东西是如此美妙,例如 Weyl 曲率是个全对称旋量,等等。

H:没有其他人做过这些吗?比如 Phenix Pirani?

P:Ed Witten 的父亲 Lou Witten 做过,我一开始并不知道。Phenix Pirani 提到 Lou Witten 的一篇运用旋量的论文,我仔细看了,发现里面有些不太对的地方,我纠正了这些错误然后做了些他还没做的,包括正则地表示四个主类光方向等很多东西。不知怎的它们以比我设想的美妙得多的方式融合在了一起。这件事就跟 Finkelstein 的讲座一样,强烈地将我引向对广义相对论的严肃研究中。之前我也对此感兴趣,但那时才有了足够的兴致。除了我哥哥 Oliver 向我模糊地介绍过以外,我第一次遇到广义相对论是通过薛定谔(Schrödinger)的一本书,叫作《时空结构》。这是本很不错的小书,除最后一章包含了他个人的一些有些可笑的想法外,大部分都是很精彩的对张量计算的解说等内容。所以说我在去剑桥之前就学了这些,后来则是跟 Phenix Pirani 和 Dennis 学的。我去参加 1958 年的罗马会议时,Dennis 是会议主讲人之一,他对我说,“我有一个小时的报告时间,你可以用其中的一半”。他真是太慷慨了,所以我就做了一个关于旋量的小型报告。具体是 40 分钟还是 20 分钟,我已经记不清了,总之是一个相当仓促的报告,展示了如何将张量转变成旋量,然后美妙地融入到广义相对论的思想里。

H:你做的这些,最终就成了 20 世纪 60 年代中期的奇点定理。但此时,你还没有开始发表你的工作吧。

P:是的,关于旋量的这些工作是 1960 年发表的。然后,我去了普林斯顿,在那里待了两年,准确说应该是一年半在普林斯顿,然后是去了雪城大学。在这期间,或者更晚一点,我受到了 John Wheeler 的影响。在 20 世纪 60 年代早期,Maarten Schmidt 做出了最早的对类星体的观测,我记得 Wheeler 为此非常兴奋,他说“这告诉我们确实有小到 Schwarzschild 奇点那个尺度的东西存在”。在这之前,人们觉得所谓的 Schwarzschild 奇点跟物理学是没有任何关系的,但这下很清楚了,确实有些奇特的事情发生:它们肯定足够大,因为这巨大的能量;它们又必定足够小,因为它们在几周或几天之内就能发生改变。所以它们必须大致是其 Schwarzschild 半径的尺寸。这就是我们现在所说的黑洞,只是黑洞这个名字那时还没出现。Wheeler 同时还对奇点是不是普遍存在的这个问题感兴趣。

H:当时你知道奥本海默(Oppenheimer)在 1939 年提出的那个坍缩模型吗?

P:是的,没错,Wheeler 很郑重其事地谈起这个。奥本海默参与的一系列论文,特别是二战前夕 Oppenheimer-Snyder 那篇,里面讨论了坍缩。这个坍缩模型考虑的物质是具有严格对称性的尘埃,它们最终会坍缩成一个点。很多人认为这太过匠气,用到的理想化条件都是没法一般化的,而且俄国的 Lipschitz 和 Khalatnikov 好像还证明了奇点是很特殊的,通常不会出现。我看了一下他们的证明,觉得很难想象用他们的方法可以证明什么。所以我开始用其他方式思考这个问题,几何上去想象坍缩恒星内部是什么样的,说服了自己必须要用非局部的论证,单纯考虑局部的话是什么也证明不了的。后来就有了所谓的俘获面(trapped surface)的概念,其来历还挺有趣:它是我跟 Ivor Robinson 聊天时想到的。

那时我在伦敦大学伯贝克学院,Ivor Robinson 是我的好友,从他那里我学到了有关于旋量以及自对偶等很多后来在 扭量理论中很重要的东西。他跟我聊着一些很无关的东西,大概是政治之类的,然后我们要穿过一条街道,谈话 就中断了,穿过街道后他又开始接着说。后来他回家去了,我却在那里思索着,觉得自己受到了某种启示,但又 不确定为什么有这种感觉。于是我把那一天所思考的事情都想了一遍,然后记起了我们过马路时,在走到一半的时候 我脑海里出现了一个想法:采用这样一个对坍缩的刻画,也就是现在所说的俘获面,它是一个整体的条件,会告诉你 恒星已经无法回头了。想到这里,我便着手去证明,基本上在同一天,我就给出了奇点一定会存在的证明轮廓。不过,相关的 技术其实是我更早之前发展的,部分地来自于一个从没发表过的论证,这个论证与稳恒态模型有关。那时我对稳恒态模型和 广义相对论都感兴趣,所以想试试看可不可以有与广义相对论相容的稳恒态模型。如果要求严格对称的话,你会碰到 能量方面的麻烦;只要求一定的规则性,或许能摆脱这些麻烦。但我论证了一番后发现这是没用的,问题依然存在。我为 之发展了一些技术,本以为是浪费了大把的时间,但后来在研究坍缩黑洞时却发现这些技术正是我所需要的。

H:我明白了。你需要的这些微分几何和拓扑的办法,是在 20 世纪 50 年代研究稳恒态模型时发展的,虽然这个模型本身在 大爆炸理论成功后就逐渐淡出视野了。黑洞在 50 年代还差不多是天方夜谭,但现在则完全不是了。

P:确实如此,事情的发展真是挺奇妙的。被称为 Texas 会议的相对论天体物理会议,早期我经常参加,第一届我也去了。那一届 有很多有关类星体的内容,包括Wheeler为之兴奋的由Maarten Schmidt所做的对类星体的观测等。Roy Kerr 那时发现了广义相对论场 方程的一个解,就是可以被解释为旋转黑洞的 Kerr 解,当然一开始并不清楚这点。对此的理解是很重要的,后来发现在极一般的情况下 也会有奇点出现。不用假设对称性,也不用特殊的物态方程,比如奥本海默和 Snyder 所用的尘埃物质。只要不违背正能量条件,一般物质都是可以的。

H:20 世纪 60 年代末,现代天文学和宇宙学开拓了广义相对论的新领域。但你呢?你却开始转向思考基本粒子物理学。

P:是的,扭量理论就是在那个时期做的,但其实这是些纠缠了我很长时间的问题。应该说,很大程度上要 归功于 Engelbert Schücking。在我第一次到美国的时候,首先是去了 John Wheeler 所在的普林斯顿,然后 去了雪城大学,在那里是跟 Engelbert Schücking 共用一个办公室。他总在谈论共形映射,强调共形变换的 重要性以及麦克斯韦(Maxwell)方程会如何相应地改变。不知什么原因,他还喜欢强调量子场论里正频率的重要性。这些东西 都影响了我,在我发展扭量理论时起了重要作用。用共形变换来将无穷远拉近,给时空一个共形的边界,以便 研究辐射,这只是其一。而正频率这件事对扭量理论的作用则是关键性的。我记得,我那时想要某种本质上是 复的几何,但实际又是想要描述我们所知的世界,那么,就必须包含量子理论。我做了很大一个表,包含 很多主题,它们之间有好多箭头来回交错。那时候做量子场论的人中,很少有人像 Engelbert 一样强调正频率这一点。

H:我觉得物理学家们在使用傅立叶(Fourier)分析时都会这样,都会认为这是个平凡的问题。因为无非只是取正负号的差别嘛。

P:是的,而我认为这要结合共形这件事来看。如果共形是重要的,傅立叶分析就是不合适的,因为它不是 共形不变的。不管怎样,你选择正的频率而不是负的,这件事确实是共形不变的。现在你有个黎曼球面,在赤道上 有实函数,也就是沿着赤道给定实数,如果你可以将这个函数全纯地延拓到北极或南极,就会得到正的或负的频率。我觉得 这真是美极了,那么有某种整体的办法将其延拓到整个时空上吗?这个问题纠缠着我。你将圆圈复化,得到黎曼球面,实轴 将其分成两半,也就是频率的正和负。我一直想着,如果是闵可夫斯基(Minkowski)空间呢?将它复化,并没有得到分成两部分的东西。然后 我记起了在美国得州奥斯汀时的一件事,时间应该是肯尼迪遇刺事件刚过去不久。朋友开车送我回家,他不是很健谈,所以 路上我们都比较安静。我开始思考 Ivor Robinson 说过的,用某种办法将光线复化然后你就能得到麦克斯韦方程的 一个很有趣的解,它没有奇性,而且是扭转的。我试图理解这件事,然后意识到这与 Clifford 平行有关:这个麦克斯韦方程的 解的类光方向是 Clifford 平行的。我那时对 Clifford 平行只有些模糊的了解,但我确信,得到的确实是曲线扭曲围绕着环面 这样的图像。当我到家之后,我将其转化成二分量旋量形式,几乎立刻就明确了:这就是扭量理论。你有实的光线 所组成的空间,将其复化,再分为右手和左手两部分,这可以类比于黎曼球面被分成两部分。我用了很长时间才弄明白 到底是怎么回事,原因是这其中需要上同调。

H:这挺惊人的。现在,物理学家经常使用扭量变量(twistor variable),但他们把它叫作半傅立叶变换,采用的 是完全线性的观点,没有任何几何的内容。但要超出闵可夫斯基时空的范畴来做事情,就必须对什么是粒子、反粒子 等有个更好的图像。你关心的这个问题到现在都还远未得到回答吧。

P:很有趣的。你知道,我们有一个发展扭量理论想法的小组,基本每周五都会有组会,讨论范围很广的 很多不同主题。你差不多孤身一人发展了扭量图(twistor diagram),我对此很是钦佩。你觉得这件事 值得去做,就专注地做下去了。

H:哈,其实这些图是你的,我只是使它们存活下去,直到它们与其他人的研究发现相结合。

P:但你发展它的方式是我完全没有想到过的。

H:你一直很关心波函数到底是什么这个问题,而多数人是不关心的,他们写下量子力学的公式,然后计算下去。但你 喜欢我们能在某种意义上“看见”,我认为这一点在你做的很多事情中都起重要作用。但你不认为我们能“看见”波方程,这不是 跟你通常的想法相抵触吗?

P:有件事很让我忧心,那就是人们总在说,量子力学告诉我们图像不再有用了,我们埋头计算就好,把图像 忘了吧。我从未对此感到满意过,因为我总是想尽力图像化一样东西。当然,对于自旋,旋量等想法对于 尽力发展几何观念是很有用的,但量子力学是有一些很古怪的地方的。我在“Shadows in the Mind”这本书里 讲过,我认为量子力学的神秘之处可以一分为二,而人们总是弄混这二者。第一种我称之为“谜题”性的神秘,它哪里 都对却又令人疑惑,但说到底是可以被人理解的。我是说,跟我们原本以为的世界确实不太一样:自旋的行为不像 一个小球绕着轴旋转,它是一种更精微的事物,但还是可以被我们理解,是前后一致,能够讲得通的。不仅讲得通,它还很 美妙。另外一种我称之为X型的神秘,X这里代表“悖论”,就像薛定谔的猫。量子力学告诉你,通过一个并不十分困难 的实验,你可以将猫置于死掉和活着的叠加态,虽然这对猫不太友好。所以薛定谔差不多是在说,看,根据 我的薛定谔方程,你可以有只既死又活的猫哦。这完全说不通嘛,你没见过这样的猫的。因此,尽管他从没明确 这么说过,但对我来讲他是想表明,我们肯定是漏掉了什么东西,理论中有些什么地方不对。爱因斯坦也这么 认为。令人惊讶的是,狄拉克也是。尽管狄拉克很少说起,但他对此其实是有更多的看法的。他在 讲座里就明确地说过,可以在网上找得到。对了,他针对玻尔-爱因斯坦争论说过,虽然玻尔(Bohr)通常被认为 赢得了争论,但时间也许会告诉我们,爱因斯坦的想法中正确的成分更多一些。

H:这种对量子力学的怀疑态度,是从他那里获得的吗?

P:不是的。我感觉,他很不愿意表达他内心私密的观点。我有过一次很有意思的经历。波士顿大学哲学系 有次邀请了我,你知道,哲学家们喜欢那种有人作个演讲,然后另外有人来反驳他这样的做法,他们问我 是否愿意参加,以及希望跟谁作对手。我刚好听闻狄拉克评价说射影几何对他的思考很有用,而他们 邀请了他,所以我马上说,好的,我会来作些评论。

H:你肯定不会拒绝的,这主意好极了。

P:绝对是的。因此他作了这个报告,一个非常优雅的狄拉克式的报告,内容是关于射影几何。然而他只讲了 纯粹的几何,没有物理,没有谈及对他个人的思考方式的影响或任何其他东西。于是我对他说“其实我们是 希望你能透露一些你的个人想法的”。之后我作了一个关于旋量的报告,也就是阐述我在物理学中所使用的 射影几何。这整件事情都挺有趣的。另外我想说一下,射影几何对我也有很大影响。

H:我们说回去一点。射影几何在你的时代不是也算有些过时了吗?听起来就像是维多利亚时代的东西,应该差不多 从课程设置中消失了,最多这里一点、那里一点地出现一下。

P:基本上是消失了,但我赶上了它的末期。我本科时期是在伦敦大学学院,而事实上几何在当时的课表里占 很大一块。课表里有应用数学和分析,以及代数跟几何,我想是这样的,但几何所占比重非常大。举个例子,有一个人,是个 纯粹主义者,他只从两个简单的几何公理出发,看看能证明些什么。当然有时候你还需要其他公理。总体上 我喜欢这个课程,虽然不是天天如此。我觉得,看着这些原始的想法发展成几何,是件挺愉快的事。我在那里也 学了一些射影几何,深深地影响了我对很多东西的理解。我们说到哪儿了?

H:你在关于狄拉克的事情里讲到了射影几何,而我认为这应该是来源于你早年的经历吧。而这挺不寻常的,对吗?

P:是的,我抓住了它的尾巴。它们几乎完全从课表中消失了,后来又重新出现过,但已经被当作是非常过时 的东西了。即使是去做所谓的代数几何,里面也没有多少你能看见的那种意义上的几何了,所以我并没有 深入进去。几何对我来说一直很重要,但更多的是其与物理学有关的方面,比如量子力学和广义相对论里的几何。

第二部分

H:Roger,我们已经谈到,在早期人们还对宇宙学一无所知的时候,你就开始对其进行思考了。现在则 完全不同了,这个领域出现了海量的数据,大量的人以各种方式在进行研究。但我感到,你还是认为 有些根本性的问题完全没有得到解答,比如宇宙学常数在其中扮演的角色等。那么,讲讲你目前的看法吧。

P:是的,我确实这么认为。我想我思考问题的方式肯定跟别人有些不同吧,因为这些年来我认为 很重要的问题,获得的关注都很少。热力学第二定律以及时间的方向这些问题一直令我费解。最主要的是,在考虑 大爆炸,就是宇宙的开端的时候,有一个非常显然但又几乎被完全忽视的问题。根据第二定律,熵是随时间 增加的,但你反过来逆着时间方向描述的话,事物会变得越来越有序,熵越来越低,最终你会得到什么呢?你当然 会得到大爆炸。大爆炸最强有力的证据是什么?当然是来自所有方向的微波背景辐射。很早的时候,COBE 的结果就 显示了微波背景的一个特别的性质。你看到的这个漂亮的辐射谱,也就是所谓的 Planck 谱,它意味着你观察的东西 处于热平衡态。当然,实际上并不是平衡态,因为宇宙在膨胀,不过就算将这点考虑在内,这个膨胀 也不是熵增的,而是绝热的。这就导致了一个悖论,因为当你沿时间回溯,熵应该越来越小,最终 会非常小,但实际上,你看到的东西却告诉你熵处于最大值。没有人指出过这是一个巨大的谜团。当然,我倒是 说过,但几乎没有其他人了。不仅如此,他们反而说这正是大家所期望的:在标准宇宙学模型中,如果你从完全球形 的初始条件出发,就会得到这样的结果。当 Penzias 和 Wilson 看到微波背景辐射后,Dicke 以及其他很多人都说,这正是 我们所希望看到的,是大爆炸的闪光。好的,那么熵如何解释?如何说得通?

这情形是有些讽刺意味的。宇宙学上,人们是怎么解爱因斯坦方程的呢?自然,你要假设对称性,否则方程太难了 没法求解。Friedmann 就是这么做的,他假设宇宙是非常均匀又各向同性的,然后就能解出场方程了。爱因斯坦起初 对此是不太满意的,但不管怎么说,结果是对的。爱因斯坦虽然同意这其中的数学,但他认为肯定有其他 什么地方不对。奇怪的是,这个模型从此就被人们接受了,成了宇宙学的基础。其中用到的惊人的对称性 假设不怎么引人注意,但它正是熵为何会处于最低的原因,因为时空中本来可以有的波浪起伏都没出现,而是一开始 就被设定为不存在了,否则就没法解方程。人们习惯了根据模型它们就不应该出现的说法,但真是这样吗?所有这些引力场的 自由度都本该是可以存在的。为了看出这个假设是多么不一般,你可以想象一个坍缩的宇宙,它具有所有可能的 不规则性,所有黑洞凝结在一起,熵升高到令人难以想象的程度。用黑洞熵的 Bekinstein-Hawking 公式,我们 可以做出估算。结果会告诉你,我们所置身的宇宙是多么不可思议。

H:我认为,你在微波背景辐射发现之前就有这个困惑了吧,因为你被 Hoyle 的稳恒态模型吸引的原因就是 它可以避开 Friedmann 奇点。

P:你知道,我确实认为第二定律与稳恒态模型联系很紧密。我主要关心的问题似乎可以靠这样的 图像来解决:氢原子开始均一地分布,然后一块块地坍缩成恒星,导致能量的增长。这主意 是对的,但却用在了错误的模型里。均一分布的氢原子在引力的作用下坍缩就产生了炽热 的区域。太阳是黑暗天空中的炽热的点,这才带来了地球上的生命。如果整个天空是均一 温度的,太阳就没什么用处了,是炽热的太阳与暗冷的天空的结合,才导致了低熵的存在。终归是 通过引力造就的。这是关键的一点,我在思考稳恒态模型的时候肯定就想过这个,虽然还不是很具体。

H:Dennis Sciama 考虑过这个问题吗?

P:我不太记得了,但他应该会想到的。我为霍金(Hawking)和 Isral 主编的爱因斯坦纪念文集写了 一篇长文,内容是关于热力学第二定律的,我不记得在这之前跟 Dennis 讨论过相关问题。那时我 还没有后来的一些想法,例如我还不知道用什么来表征大爆炸的特殊性之所在。

H:那来自于你对共形结构的研究吧。这是你早期工作中十分重要的一项,你认为跟后面很多工作一样重要,对吧?

P:有几件事情很早就引起了我的注意,到后来也起了很重要的作用,但我没能早一点看清楚。其中一个是 数学方面的。我们谈论四维时空,一维时间和三维空间的时候,会谈到 Weyl 曲率。Weyl 曲率是共形曲率,共形结构 告诉你角度或者光锥结构,但不能告诉你怎么区分大小。曲率的这些性质都在Weyl 曲率里了。除了用来 度量共形曲率,Weyl 曲率在某种程度上还可以度量引力的自由度。

当我在考虑如何用旋量写出不同自旋的无质量场的方程时,参考了狄拉克的做法。他研究无质量场 的时候,出于某些原因,采用了很不寻常的做法,我也一直没能完全理解。如果你追随他早年关于 无质量场的论文,你会得到以一种特别的方式写出的、包含不同自旋情形的方程。麦克斯韦方程 需要两个指标,而如果你要考虑引力子方程的话,则要四个指标。都是同一个方程,中微子方程 也是其中一个,还有引力场传播的波方程等。

狄拉克话不多,难得能跟他聊上几句。有段时间我跟他同在圣约翰学院,我知道他对广义相对论的 量子化感兴趣,就问他可不可以跟他聊一聊。他同意了,我就跟他说了些旋量的东西,给他看一个 自旋为  的场的波动方程。

H:用的是他教给你的二分量旋量。

P:是的,一点没错,确实是他让我接触到这个的。狄拉克考虑着这个方程,问我这方程从哪里来的,我告诉 他是来自 Bianchi 恒等式。他就问我什么是 Bianchi 恒等式。我很惊讶地说“什么,你竟然不知道 Bianchi 恒等式?”我听说 他那时正在研究量子化,他显然应该是了解 Bianchi 恒等式的,只是不知道它叫这个名字。

我要说的重点是,在这之后,我发觉这个传播方程使得引力的方程看起来就像是麦克斯韦方程,不过是 自旋为 2 或者  的。这一点虽然泡利(Pauli)和其他人发现过,但他们的做法不同,看起来非常复杂。而如果 你用 -旋量的方式写出来,这一点就很明显了。然后我开始担心这个方程的共形不变性。我惊讶于 这个方程的一个奇怪性质,那就是它在特别的旋量权重(weighting)下的共形不变性。我们已经 将 Weyl 曲率解释为共形曲率,所以这就有了另外一个共形的解释。它是共形的量,但权重不一样。这一点 引起了我的注意,我感觉到这里应该有些重要的东西,但完全不明白具体是什么。直到好长 时间之后,我才意识到这对于世代更迭的宇宙学设想是非常关键的。

H:是的,那我们就来谈谈你近期的想法。

P:好。对大爆炸这个重大问题,在很长时间里我跟其他人一样,认为我们需要量子引力理论才能理解它。这是通常 的看法。我们需要量子引力理论,可能是弦论量子引力,或者圈量子引力,这种或那种量子引力,甚至扭量 量子引力。但总之都是量子引力。对我来讲,奇点的存在意味着量子引力必须是个有些古怪的理论。你看,研究量子 引力理论的原因之一便是要解释大爆炸奇点或是其他的奇点,例如黑洞。但它们本身是完全不同的。人们常说,黑洞 有奇点,那么大爆炸也有奇点;反之也是。二者是同一回事,只不过改变了时间的方向。但是不对,它们 完全不一样。考虑熵的话,黑洞处的奇点是极其混乱狂野的。Weyl 曲率完全占了主导,狂暴地四处起伏着,全然地 疯狂一般。大爆炸则是你想象它有多平静,它就有多平静。我们总感觉大爆炸是很剧烈的一件事,但它其实 是十分规矩的,引力的自由度根本就没有被激发。那么什么样的量子引力理论会同时给出这两种完全不同的 极端呢:Weyl 曲率在黑洞中占主导,在大爆炸时却似乎为 ,或者至少是可忽略的。那么好了,我的看法就是 量子引力理论必须是一个有些古怪的理论,它没有时间的对称性。如果你要寻找一个量子引力理论,你就必须 在某些地方引入时间的不对称。

我持有这样的看法,直到大概 9 年前,我有了新的想法。Perlmutter 和 Schmidt 对超新星的距离的观测令人信服地 证实了宇宙正在加速膨胀,不过经过了很长时间我才接受了这一点,当然三年也可以说不算很长。宇宙加速膨胀 这件事被说得很神秘,被说成是没人理解而且完全出人意料。我要说,去宇宙学的书里找找看宇宙学常数吧,所有的 宇宙学的书都写着呢。我不明白他们为什么会认为它很神秘。

H:我想我们得解释一下,这里说的是暗能量,虽然我们认为它既不“黑暗”,也不是“能量”。

P:这是个很差的名字,非常差,但不管怎样人们已经这么叫了。现在很显然的是,它是存在的,完美地 契合了爱因斯坦 1917 年基于错误的理由(在场方程中)引入的项。错误是指,他想要的是静态的宇宙。

H:嗯,对了一半。这不是随便加入的一项,它是你能做的满足协变要求的唯一修正。

P:对,确实不是随便的一项。在不激烈地修改广义相对论的前提下,这差不多是这个理论所允许的唯一变化。在我考虑 渐进理论时,我通过将无穷远拉近,使之看起来像是有限的边界的方式来考察辐射,然后就可以利用麦克斯韦方程,或者是引力子 的传播方程的共形不变性。这告诉你如何通过观察无穷远来研究辐射场。同时 我知道,如果存在正的宇宙学常数,这个边界曲面应该是类空的;如果宇宙学常数为零,则边界曲面为类光;宇宙学 常数为负,则边界曲面为类时。幸好宇宙学常数不是负的,因为它会带来各种各样的困难,尽管这对弦理论来说 好像不要紧。正的宇宙学常数带来的则是完全不同类别的问题,我曾经也觉得是很坏的,但回想起来它们其实 只是很特别。现在看来宇宙学常数为正是十分关键的一点。我想象着遥远的未来会是多么无聊:所有的黑洞最终 都因为 Hawking 蒸发而消失了,没有任何有意思的东西留下,直到永远。但对我来说,永远并不是很长的时间,因为 我习惯于将它共形收缩了。

H:这就是我所说的,以不止一种方式打败了时间。

P:也对。有一个论证,我总是将它当玩笑一样讲,但它其实是个真正的论证:宇宙变得无比无趣,但也没有 任何人去感受这无趣了。剩下的主要光子,显然光子是不会感到无聊的,它们只是径自向前面说的边界冲过去。我脑海中 有这幅图像:如果只有无质量的东西,这个边界到处都一样。所以我想到,既然大爆炸也具有类空的边界,为何不将 它们捏在一起。这不是个严格的想法,所以我在报告中会小心地事先指出这一点,以免别人说这完全不可接受。一开始 我觉得,这个想法是正确的可能性还可以,可能不到百分之五十,但也还不错。

H:是跟Paul Todd的工作有关吗?

P:是的,Paul Todd。我有一个假说,仅仅是个假说,那就是 Weyl 曲率可以表征大爆炸。对于像大爆炸 一样的初始型的奇点,Weyl 曲率应该是零。但这个结论有点太快了,因为对于奇点,很多事情 都不明确。Paul 则用更巧妙的方式表达了这一点:用共形因子将大爆炸“扩张”开来。其实我们 经常对 Friedmann 模型这么做,是挺标准的做法,但我认为用在大爆炸上还是很重要的 一步跨越。Paul 最初的做法使得 Weyl 曲率有限,但不一定为零,但我已经知道,根据我前面 所讲的缩放,在无穷远处 Weyl 曲率必定被共形因子缩小到零。将它们接在一起,Weyl 张量 便保持为零不变,传播到下一个世代。我开始摆弄这些想法,它们初看完全是疯狂的,但思考 得足够多了以后,又显得可能是正确的。

H:这个想法使得我们在 CMB 天空中寻找圆环,它们是我们实际上可以看到的东西,与球面的莫比乌斯(Möbius)变换相联系。对于一个理论预测来讲,这真是再美妙不过了。

P:我不是一下就想到这些的。有人问过我,你怎么知道这是对的呢?后来我想,要发生 怎样特别剧烈的事件,才会产生能传播到下一个世代的信号?我就想到了超大质量黑洞 的碰撞。我们所在的银河系的中心黑洞大概是四百万太阳质量,而仙女座星系的黑洞还要 再大几十倍。当两个星系发生碰撞时,它们很可能会捕获到对方,互相绕转,然后“砰”地一下。它们的 互相吞没会导致几乎完全是引力波形式的大爆发,这些引力波会传播到我之前所说的 无穷远边界上。它们通过边界之后呢?因为标度的原因,在另一边它们不能仍以引力波形式 存在,而是必须标度收缩(scale down)成其他形式,方程告诉我们,它们成了新的 暗物质。再说一次,这不是个好名字。我在这里所讲的,就是“共形循环宇宙学”框架,或者 简称为 CCC,它告诉我们,引力波所含有的信息可以穿过边界,但是是以对原初暗物质的 扰动的形式。就是说,引力波会对生成的暗物质有一个“冲击”(kick)。

H:除了对于引力波的这些特征的预测,你还对暗物质究竟是什么也有一个预测,与其他人的很不一样。

P:不错,它们很不一样。我没有大肆宣扬过这些是有原因的。我想称其为暗物质的 原初形式,因为它一开始必须是无质量的。但方程也告诉你,它必须长出质量来,而不是 一直保持无质量,不然就会产生矛盾。质量必须出现,进而必须与希格斯(Higgs)机制等相联系。适当的 解释还没有出现,但我认为,我们必须更好地理解粒子物理学:希格斯机制是如何“知道”早期宇宙中 质量的产生与上述方程中质量的出现的关系。

H:这是你思想中的另一个大的领域了:共形对称性是如何以各种方式破缺的。它们可以用 扭量几何看得更清楚,更明确。但事情总是有很多不同的方面的。

P:我对此一直有些矛盾的想法。我对宇宙学常数的看法经历过一些变化。我原本以为 没有宇宙学常数,所以觉得有某种严格的序列,排列着庞加莱(Poincaré)群、上同调、旋量理论,等等。但现在 有宇宙学常数,就没有了这样的严格序列,而是一些可交换次序的东西。这会改变一个人的想法,对我来说 是个很大的转变,所以我花了不少工夫才接受了宇宙学常数。但其实对宇宙学来说,宇宙学常数是 至关重要的。没有宇宙学常数,你是没法研究宇宙学的。你必须引入所谓的暗能量,也必须引入所谓的 暗物质,因为在进入下一个世代的时候,必定有新的标量物质生成,它们要不至于累积起来,就必须 衰变。在宇宙历经每个世代的时候,暗物质都会衰变,这一点据我所知有一些比较弱的证据,但我不知道 在多大程度上该相信它们。

H:我明白,它们可以存在一段时间,但最终必须要衰变。

P:必须要衰变,否则它就会累积起来,然后一个世代接着一个世代地累积,作为波传播下去。有一些 不是很强的衰变证据,我听说过两个。其中一个来自 Steven Weinberg 的讲座,他似乎表示暗物质在早期宇宙中的 比例要高于现在的比例。这些都不一定是正确的,被我取用是因为它们有几分契合我的想法。我听到的 另外一个证据是,在星系中心附近观测到了正电子。

H:这些正电子是暗物质的衰变产物?

P:是有这种观点,或者说有好些观点,认为那可能是暗物质的衰变产物。我说不准。

H:它们没有直接变成光子。

P:对,不直接变成光子,但最终应该还是会的,我对此没有很强硬的观点。最近还有另外一件事,它或许 可以解释很多东西,更棒的是它还会跟稳恒态模型相抵触。Bondi 曾说过,稳恒态模型最棒的地方就在于 它是可以被违背的。它当然是可以被违背的,只是需要我们去寻找这样的例子。2014 年 3 月 BICEP2 发布了 观测结果,声称其中有暴涨的决定性证据。我还没提到暴涨,但我要说,我的 CCC 模型里是不能有暴涨的,因为 它会破坏很多东西。暴涨是宇宙极早期发生的指数性的增长,最初提出的理由是它事关宇宙的均匀性。我认为 这是不对的,因为只有当一开始均匀性就存在的时候,这办法才能奏效,但宇宙一开始并不是均匀的。通过一个 一般性的论证就能确信这一点。不过 Alan Guth 提出的理由支持了暴涨理论的发展,其中一点是有关微波背景辐射中 温度涨落的标量不变性。如果没有暴涨,就得另找理由解释这一点。因此对我来讲,在某种意义上暴涨 是存在的,不过它是指宇宙前一个世代的指数性的增长。在多年之前,有人提出过类似的想法。我想这不是个坏主意。

H:但是暴涨现在有了更强的证据支撑了,人们对其期望很高。

P:他们声称看见了光子的 B 模偏振,这也许真是正确的。结论的前提是,你看见的这些不能来自于 纯粹的电场,必须还要有磁场存在。Paul Todd 2014 年早些时候跟我谈起过原初磁场的生成问题,在通常的 宇宙学模型里它们从何而来是个难题。你很明显地看见,磁场存在于星系之间的空旷中,但它们到底是 怎么出现的呢?一般观点认为,它们肯定是从大爆炸一开始就在那里了,这样一来就有了 B 模偏振。这里的 关键不在于 B 模是暴涨的决定性证据,而在于说明了原初磁场的存在。根据 Paul 给我的建议,这些原初 磁场可以与 CCC 框架相容,因为本身有磁场附着在星系团上,世代交替界面上与星系团接触的位置 便会留下磁场。当我最近听到大家都在讲 B 模偏振似乎证实了暴涨理论时,我是有些惊慌的,因为 这会否定掉 CCC。由于诸多原因,暴涨理论跟 CCC 是不相容的。然后我就想,也许声称看到的这些东西确实就是该出现呢。

我的同事 Vahe Gurzadyan 最先发现了微波背景辐射中同心圆结构的证据。当星系团中发生黑洞碰撞 的时候,会“砰”地一下产生一个圆环,不久之后,又“砰”地一下产生另一个圆环。它们总是同心圆,原因是 它们的中心点肯定是星系团的最终位置。他看到了至少三个圆环,沿着圆环的温度变化与平均值相比 明显要平缓一些。他还声称观测到了圆环结构在整个天空范围内如何变化的迹象,有些位置很多,有些 位置则几乎没有。当我听到 B 模偏振被观测到的消息后,就给他发了 E-mail,问他“你所说的结构出现在 什么位置?能指出具体位置吗?”他在 Planck Map 上画了个圈,告诉我“就在这里”。我看着他的图,但什么 也没发现。我想,这太糟了。Planck 的数据是近期的,而他做出发现时用的是以前 WMAP 的图,所以 我回头去看 WMAP,在同样的位置,在正中间明白无误地有三个圆环。我给他发了 E-mail,问他我 为什么在 Planck 的数据里看不到。他让我在稍低一些的信号上去找,然后我就看见了,它们准确无误地 出现在那里。此外,如果 B 模真的是磁场,而且这些圆环的确来自上一个世代的星系团,根据几何考虑,它们 必须在边缘,在过去光锥与星系团的交汇处,进而它们的温度必须是平均值。离我们远的那些,信号 朝我们冲过来,所以温度高一些;近处的那些,信号在远离我们,所以温度低一些。刚好在边缘的 那些就会是平均温度。我看着这些圆环,它们的颜色是绿色,说明它们正在中间。这是件令人兴奋 的事情,看来我们可以对能看见 B 模的具体位置做出一些预测。当然,我们早就做出预测了,不过那时 还没有 Planck 的数据。如果这是正确的,该算是 CCC 构想的第二个可观测的性质了,但连第一个都几乎 没有人注意到,它差不多是完全被忽视了。

H:2013 年 9 月这一点又得到了令人兴奋的证实。

P:是的。Krzysztof Meissner 作了一个精彩的报告,他也发现了这些圆环的显著证据。给出的分析和 解释与 Vahe Gurzadyan 的很不一样,但看到的是同样特征的东西。但是又一次地,这些也没有得到什么关注。

H:进入下一个话题吧,关于你的预测。你对大脑的生物学结构对量子力学的依赖的证据是怎么看的?

P:最近是有不少有趣的事情出现。首先,我说明一下,在我写《皇帝新脑》这本书的时候,是希望在书的 最后部分,我能对量子力学如何与大脑活动相关有所领悟,但并未如愿。我算是挖下了一个大坑,不过 它还是产生了一些有益的结果。我原本是想让这本书激发年轻人去做物理,但给我来信的却多是年长退休 人士,或是处于这个话题的另外一端的人,比如 Stuart Hameroff。他看了我的书,然后在信中说:“你可能 不知道微管这种东西吧!”出于我的无知,我那时还真没听说过微管。它们一般在细胞中起着 各种各样作用,在染色体分离的时候,就是微管在进行牵引。但至少据 Stuart Hameroff 所说,它们在大脑意识 方面扮演特殊角色。作为麻醉师,Stuart 的专业工作是使人入睡。但跟他的多数同事不同,他不只关心 让人睡着,他还关心自己归根结底是做了什么才让人睡着的。他告诉我现在有很好的证据表明,通常的麻醉剂 会直接作用于微管,证实了他一直持有的猜测。

这些纳米尺度的微管存在于几乎所有的身体细胞,包括神经元里。我们的论断是,它们在神经元中所起的 作用有所不同,并且对意识的存在有至关重要的作用。有一些实验可以追踪意识出现的位置,也就是脑部的 哪些部位参与了意识活动。对于从计算角度对意识的解释,有一个问题困扰了我很长时间,那就是小脑占有 着脑部大概一半的神经元,而且其中神经元的连接远多于大脑皮层,但小脑似乎全无意识,大脑才是意识的 源头。新的发现跟锥体细胞(Pyramidal Cell)有关,这名字大概是因为其金字塔状的外形。它们不存在 于小脑中,而是存在于脑部其他位置,并且所在位置被确认为意识的主要源头。另外,它们含有丰富的 微管。这个有趣的进展,某种程度上改变了整个图景。小脑为何不是意识的源头是我一直关心的问题,而它不含锥体 细胞可能就是问题的关键。另外一个重要的进展来自于印度学者 Anirban Bandyopadhyay 与同事在日本所 做的实验。实验内容是测量单个微管对特定频率的阻抗。他们发现,微管在某些特殊频率下的 导电性极好,与经典情况下的导电性很不一样。

你看,我认为不仅量子力学在这个问题中扮演了某个角色,还得有超越量子力学的过程的参与。我这观点的 来源是挺复杂迂回的。人们通常认为大脑里湿乎乎乱糟糟的,量子力学相干性怎么在其中存在呢?但我说 不仅有这个层次的过程,还有更深层次的,对标准量子力学的偏离。这简直耸人听闻嘛。但我的理由来自哥德尔定理,它似乎表明 我们的理解能力并不是某种纯粹的计算性质。这是很有趣的,图灵早年似乎也关心过。

H:我想他会很关心这些问题,比那些追随他的计算模型的人要关心得多。

P:他写过关于序逻辑(ordinal logics)的论文,想要超越系统的限制。

H:我觉得很难说。在战时,他的心思主要在对计算的方法的研究上,他要探索其极限。但物理学是量子力学的 这一事实确实烦扰过他。

P:通常认为,你可以将计算精确到任意程度,用类似图灵给出的那个论证就可以证明。但在量子力学中,薛定谔方程 只能提供概率性的结果。你必须要进行测量。

现在,更有趣的是,不仅有 Bandyopadhyay 的实验表明微管中有显然是非经典的过程存在,还有其他一些类似的 生物学上的发现。如何用量子力学解释它们?人们甚至都还不知道怎么合理解释高温超导,所以说需要理解的 东西还多得很。我们发现了光合作用涉及了纠缠,本质上的量子力学效应,还有鸟类利用磁场进行导航。这些 事情似乎提醒我们,有更多生物学上的现象是不能单单用经典理论解释的。当然生物上用到的化学已经是量子力学化的了。

我认为,要在足够多的神经元中存在量子力学相干,以允许足够的质量偏移(mass displacement)。理由是 Diósi 和我 基于不同的动机分别提出的:在处于量子叠加态时,如果有足够的质量偏移,就会回到 经典情形。大多数研究量子力学的人都很不赞成这一点,因为他们认为量子力学是在所有层面都成立的。不过,迄今为止的 实验都还没能探索到我们所谈到的这个方面,所以还有很多实验可以期待。

H:Roger,非常感谢你能参加这次谈话。时间,时间又一次显示了它是主宰者。

P:不必谢我,谈论这些东西对我来说总是很愉快的事情,可以回顾很多的想法。

H:也能启发一些看了这个访谈的人的思考吧。

P:那样的话就太好了。

H:谁知道呢 ……  

【数学】彭罗斯镶嵌
【书籍】《皇帝的新脑》作者:罗杰.彭罗斯
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【数学】天才之旅

作者 |  余文卿   好玩的数学 《数学传播》

《天才引导的历程:数学中的伟大定理》
作者:[美] William Dunham
出版社:机械工业出版社

这是一本历史性的数学书籍,谈论数学上的伟大定理及其幕后的数学天才。涵盖的年代从西元前440年的希波克拉底到西元1874年的康托。透过对数学上一些天才的生平传记,而引导出一系列的伟大数学定理,这些定理散布在古典平面几何学、立体几何学、三角学、数论以及集合论,提到的伟大数学家共11位,依年代次序是希波克拉底、欧几里得、阿基米德、海伦、卡尔达诺、牛顿、伯努利兄弟、欧拉与康托。而谈到的伟大定理即是这些天才数学家的呕心沥血的传世代表作。

一、希波克拉底,欧几里得与阿基米德

希波克拉底在几何学上有两大主要贡献;一是由几个简单的公式出发而正确地且有逻辑地发展出有系统的几何学定理,是欧几里得的巨著《几何原本》的前身。另一贡献是他建构一正方形,使其面积等于一给定新月形的面积,当然他考虑的新月形非常特殊,是圆内接正方形边上之半圆与这圆所围的弧形区域,如下图所示:

注意到:

半圆 AEC 的面积 = 四分之一圆AFCO的面积,
故新月形AECF的面积=△ACO的面积。

又三角形很容易平方化,故得出新月形AECF可平方化。
欧几得得有系统地整理出现今所称的欧氏几何学,在《几何原本》的开头,他甚至对点、线下了意义不甚明确的定义。

定义1:点没有面积。
定义2:线没有宽度。
定义3:线上的点均匀分佈。

以现代的观点,这些定义无法被完全接受。在一逻辑系统中,最后总有一些无法用其他名词来定义的“无定义名词”,而点、线与面是欧氏几何中的无定义名词。虽然如此,欧几里得提出之毕氏定理的证明却流传至今。另外他所提出关于质数有无穷多个的证明也非常简洁漂亮。
阿基米得利用圆内接与外切正多边形而算出圆面积的近似值,这也相当于计算圆周率的近似值。另外他算出球的表面积是其内接最大圆(赤道圆)之面积的四倍。
阿基米德最得意的杰作是导出圆柱内切球体之体积与圆柱体积之间的关系:

圆柱体积=2\pi r^3=\frac 32球体的体积

这定理刻在他的墓碑上,也成为他永垂千古的一大注记。

二、海伦与卡尔达诺

三角形的面积是底乘高的一半。而海伦公式则将三角形的面积表成三边长的对称式。以 a,b,c 表示一三角形的三边长,s=\frac 12(a+b+c)是半周长,则三角形的面积是

\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

这式子在现代,运用余弦定理很容易导出,亦即

但在古老的几何学上,没有这些定理可运用,仰赖的只是比例与相似的定理,这也是这定理伟大的原因。
三次方程式的解法秘方在16世纪的意大利数学界被当成是挑战对手的筹码,而卡尔达诺从塔尔塔利亚学到这秘方,但在神前发誓不公开,而他的学生费拉里更能解出一般的四次方程式。但囿于誓言,无法把解法公诸于世。
但在1543年,卡尔达诺与费拉里旅行到博洛尼亚,在希皮奥内·德尔·费罗(Scipione del Ferro)的早三十年的文献中,发现已有三次方程式的解法,因而卡尔达诺没有理由再继续遵守诺言,而将解法在1545年出版。
解决了三次与四次方程式未能使人们满足,有的人更探求五次与五次以上方程式的解法,但都没有具体的结果。1824年挪威的年轻数学家阿贝尔提出惊人的看法,五次与五次以上方程式没有根式解。这也终结了人们对多项方程式之根式解的进一步探求。

三、牛顿,伯努利兄弟与欧拉

牛顿与莱布尼茨被公认是微积分的发明人。牛顿除了创立古典力学外,在数学上的贡献更无可抹灭。这书上提到他发现的二项式定理,亦即|x|<1时

(1+x)^r=\sum_{k=0}^{\infty } {r \choose k}x^k

这里r是一般的实数,而二项系数

{r \choose k}=\frac {r\times (r-1)…\times(r-k+1) }{1\times 2…\times k}

当r是正整数时,这是一般的二项式定理。利用这展开式,牛顿计算圆周率的近似值为3.141592668。
伯努利家族有两位兄弟数学家,一是哥哥雅各布·伯努利(Jakob Bernoulli,1654-1705),另一是弟弟约翰·伯努利(Johann Bernoulli),这也是欧拉的启蒙老师。约翰证明调和级数

1+  \frac 12+\frac 13+…+\frac 1n+…

的发散性,并向全欧洲数学家提出一挑战性的问题:求从一定点到另一定点,在重力作用下,质点运动的最便捷路径。当然这解不是一般的直线,他们把这类曲线称为最速降线(brachistochrone),是由希腊文“最短的”与“时间”的合成。

这问题在期限到时共收到五个答案,一是他本身提供,另一是莱布尼茨提供,他哥哥提供了第三个解法,而洛必达加上第四个,最后一个来自英国,约翰打开一看,答案完美无瑕,但信末没有署名,这正是牛顿的一贯作风,毫无疑问地,这是出自牛顿的手法。约翰不禁惊叹:从它的爪子,我就认出它是狮子

四、欧拉与康托

欧拉在数学上论文的质与量都空前绝后,他的全集超过70巨册,这里举出只是他在数论方面的两大工作。1734年,欧拉提出级数

1+  \frac 1{2^2}+\frac 1{3^2}+…+\frac 1{n^2}+…

的和是\frac {\pi ^2}6,而他运用的手法是把根与系数的关系用在正弦函数上,这方法在当代引起很大的争议,也让他费了往后十多年的时间去说服别人相信。
欧拉在数论上的另一贡献是重证费马的结果并加以推广,如他证明了 费马小定理:

若p是质数且(a,p)=1,则 a^{p-1}\equiv 1(\mod p)

他并加以推广:

若 n是正整数且(a,n)=1,则a^{\varphi (n)}\equiv 1(\mod n)。这里的\varphi (n)表示1 到n中与n互质的正整数个数,也是现称的欧拉\varphi-函数。
费马所提出的数论结果不见得都是对的,如他对质数的猜测:2^{2^n}+1是质数。这对n=1,2,3,4 确实没错,但n=5时,欧拉发现

232+1=641×6 700 417

数学上有很多抽象的基本概念到19世纪尚有待澄清,其中之一是分析学上的极限,另一是基础学上的无穷大。1821年法国数学家对极限下了如下的定义:

当 x 趋近某一特定 a 时,f(x)L 的误差值可小到任意小,则称 L 是 x 趋近于 a 时,f(x) 的极限。

这定义经由魏尔斯特拉斯修正为:

给定\varepsilon > 0,存在有一 \delta >0,使得0< \left | x-a \right |< \delta 时,则 \left | f(x)-L  \right | < \delta 。 这也成为分析学上的\varepsilon -\delta 语言。

基础数学中的一重要议题是计数理论。凡是可与正整数 N 或其子集做一一对应的集合称为可数集。如整数与有理数都是可数集。康托证明实数是不可数集,而运用的手法即现称的对角化步骤。他假设介于0与1之间的实数是可数集而表为小数,即

康托的方法是选取b=0.b_1b_2…b_n…使得b_1\ne a_{11},b_2\ne a_{22},…,b_n\ne a_{nn},…,如此得出另一实数b不在这可数系列中,而证出实数是不可数。
\overline{A}表示集合 A 的基数(cardinal number),康托证明\overline{A} < \overline{p\left | A \right | }。这里 P[A]表示 A之所有部分集合所成的集合。这定理引起广大的议论。例如以 U 表示所有集合所成的集合,即宇集,如此的 U无所不包,已没有拓展的空间,但 康托的定理告诉我们\overline{U} < \overline{p\left | U \right | }。这表示 P(U) 比宇集U 包含更多。Cantor在1895年体认到这反常现象,在往后十年间,他尝试弥补这空 白。这要等待公设化集合论出现才弥补过来。在公设化集合论中,宇集U不存在,而把这诡辩化为乌有。

五、结语

这本书的趣味性非常浓厚,我们在书上见到的不只是定理的精彩证明,更见到背后数学天才的不同处境,有的活跃於数学界,有的却失意於非数学界,有的受宠于君王侧,有的却流浪在偏远地区,我们见到的是一部活生生的数学历史,是有志于数学工作者不可不看的好书。

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