【数学】伽罗华Galois理论之美

作者:赵昊彤 科学网博客

伽罗华(ÉvaristeGalois,1811~1832),一个21岁就去世了的年轻人,开创了现代代数学的先河。他创建的群论、域论,优美奥妙,已经成为现代代数学的基本工具。我花了两个月的时间研读伽罗华理论,随着理解的深入,我内心不断感受到震撼,心底油然而生对伽罗华的钦佩与崇拜。这种感觉就像终于看懂了世界上最美妙的画作、听懂了世界上最优雅的旋律一样,不由自主的希望与别人共享。遗憾的是,数学之美只能是那些真正研读并理解了它的人们才能感受得到。伽罗华理论虽然优美,但是却足够深奥,除了数学专业人士和肯于钻研的数学爱好者之外,尚不能被普通大众所理解。

可是我不甘心,我期望着尽自己的努力,用最简明通俗的语言,尽量不涉及复杂的数学公式和逻辑推导,而把伽罗华理论的优美展现在大众面前。伽罗华是一个200年前有故事的年轻人,伽罗华理论是一座险峻的高峰。让我们一边阅读伽罗华的人生故事,一边尝试着攀登这座高峰吧。

首先,我们来引用伽罗华的一段话“Jump above calculations, group the operations, classify themaccording to their complexities rather than their appearance; this, I believe,is the mission of future mathematicians; this is the road I’m embarking in thiswork.”(跳出计算,群化运算,按照它们的复杂度而不是表象来分类;我相信,这是未来数学的任务;这也正是我的工作所揭示出来的道路。)

当21岁的伽罗华在临死前一天晚上把他主要的研究成果以极其精简、跳跃的思维写在草稿纸上的时候,没有人知道当代最伟大的数学工具和数学研究方向已经在伽罗华的头脑中存在了1年多的时间了。甚至是在伽罗华第二天参与一个愚蠢的决斗而死后的14年内,都没有人彻底弄明白伽罗华写的到底是什么,他头脑中那伟大而天才的数学结构是怎样的?看看这些霸气的名字吧,高斯、柯西、傅立叶、拉格朗日、雅可比、泊松、……,这些在那个时代、同时也是人类历史上的伟大的数学家、物理学家都没有理解伽罗华的理论,从这个意义上讲,伽罗华恐怕是人类历史上最具天才的数学家了。

让我们先来看一些对比:

(1)1824年,挪威数学家阿贝尔发表了《一元五次方程没有一般代数解》的论文,用了50多页的篇幅和大量的计算,论证了对于一般的一元五次方程是不可能根式求解的。当时阿贝尔的证明今天看来,充满着智慧和复杂的计算,但是仍不够严谨。当我们今天使用伽罗华理论来论证这一点的时候,论证过程为“一般一元五次方程的伽罗华群同构于全置换群S5,而S5不是可解群,因此一般一元五次方程不可根式求解。”

(2)1801年,年轻的24岁“数学王子”高斯通过复杂的计算推导,证明了xp-1=0(p为素数)是可根式求解的,证明过程使用了大量计算技巧,充分展示了高斯的数学计算天赋。今天我们使用伽罗华理论来论证这一点的时候,论证过程为“方程xp-1=0(p为素数)在有理数域Q上的伽罗华群同构于素数阶模p同余类乘群Zp,而Zp是循环群,必为可解群,因此方程xp-1=0可根式求解。”甚至我们可以类似的论证p不为素数时的方程xn-1=0在Q上的伽罗华群同构于模n同余类乘群Zn,为可换群(阿贝尔群),必为可解群,因此方程xn-1=0可根式求解。

伽罗华理论还可以轻松的解决正n边形的尺规作图问题,证明三等分角、倍立方、化圆为方(这个有赖于π是超越数的证明)的尺规作图不可能问题。今天,伽罗华的理论已经发展成叫做“近世代数”(又叫抽象代数)的一个专门数学分支,其应用拓展到了拓扑、微分几何、混沌等前沿数学研究领域以至于物理、化学等众多科学领域,成为了现代科学研究的重要基础工具。1994年英国数学家安德鲁·怀尔斯(AndrewWiles)证明著名的“费马大定理”的时候,就主要应用了伽罗华理论。

当看到一大批通过繁杂计算很难得到证明的问题,能够被使用精巧的数学结构来简洁而精准证明的时候,你也许开始感受到伽罗华理论的优美——但这仅仅是一个开始。从这个“开始”,我们会逐渐感受到伽罗华所说的“Jump above calculations, group the operations.”的含义。那么伽罗华到底发明了什么数学结构和工具,使得原来复杂的问题变得清晰起来了呢?

一、更高层次的抽象——群、环、域

有人说“数学也许只存在于数学家的头脑之中”,至少数学是发端于数学家头脑的。1823年,12岁的埃瓦里斯特伽罗华进入了他的第一所学校——路易·勒格兰皇家中学,一所声望很高但相当专制的学校,但是直到16岁,伽罗华才被准许读他的第一门数学课程。虽然12~16岁期间的伽罗华没有机会研究数学,但是这时期法国社会上和学校中发生的一些事件点燃了他的共和主义倾向,奠定了他日后参与政治的悲剧人生的基础。

原本成绩优秀的伽罗华一旦开始学数学,就像变了一个人,变得对其它课程都不重视,而只醉心于数学这一门课程。学校给他的评语是“该生只宜在数学的最高领域中工作,这个孩子完全陷入了对数学的狂热之中。”没有人知道16~18岁中学时期的伽罗华头脑中在想些什么,人们只能从表面上看到他所掌握的数学知识足以通过中学的考试要求,但是他对问题的解答往往让考官理解不了。更糟糕的是,他经常把大量的演算放在头脑中进行,使得平庸的考官们更为茫然和沮丧。

现有的材料表明,17岁的伽罗华已经开始研究一般的一元五次方程求解的问题了,他曾提交了2篇论文给法国科学院,当时的评审专家是著名数学家柯西。柯西显然被伽罗华的论文所震惊,他建议伽罗华重新以专题的形式提交这两篇论文,并参加数学大奖的评审。这期间正赶上伽罗华的父亲因政治原因而自杀,伽罗华在参加完父亲的葬礼后,把改好的专题论文提交给了法国科学院秘书、著名数学家傅立叶。可惜的是,傅立叶在评审前几个星期就去世了,在这个过程中伽罗华的论文也丢失了,从而失去了参加评奖的机会。天知道为什么这两篇很可能是那个时代最伟大的论文被丢失了?难道上帝都在嫉妒伽罗华么?

【伽罗华理论】

在我们已经全面了解并极大发展了伽罗华理论的今天,回想1828年伽罗华提交的那两篇论文,我们有理由猜测,伽罗华是站在更高的层次上来看待数和运算的。在伽罗华看来,“数和运算”组合在一起可以构成一种数学结构,这是一种更加本质、更加抽象的数学结构,当继续把这种结构脱离“数字和常规意义上的运算”而抽象出来的时候,就形成了新的数学概念——群。

(1):给一个集合中的元素定义一种运算“乘法”(这个“乘法”不是数字运算的乘法,而只是借用了这个名字,因此加上了引号),如果这个集合中的元素和这个“乘法”满足:

<1>封闭性:集合中任两个元素相“乘”的结果在这个集合之内;

<2>结合律:这个“乘法”满足(a*b)*c=a*(b*c);

<3>单位元:集合中存在某个元素e,对于任意集合中的其它元素a有e*a=a*e=a,e被称为单位元;

<4>逆元:对于集合中任意元素a,一定存在集合中的另外一个元素a-1,使得a*a-1=a-1*a=e,a与a-1互为逆元。

此时,这个集合与这个运算组合在一起被称为“群”。

我本不愿意罗列概念,但是如果要想感受到伽罗华理论之美,就必须弄清楚“群”的概念。就像一个人想要欣赏美妙的音乐,你总要能区分音调高低、节奏快慢一样,如果高音“1”和低音“1”在你听来是一样的,那么很难想象你可以欣赏美妙的交响乐。

“群”很显然是把数字及其运算关系抽象之后形成的一种数学结构。容易验证,整数集合在加法运算下成群(这里的加法就通常意义的数字加法,对应着群定义中的“乘法”),其单位元是数字0;但是整数集合在乘法运算下不成群,这是因为对于大部分整数,没有乘法的逆元。

其实群在日常生活中也会存在,常见的是魔方,它的全部操作构成一个集合,再定义任意两种操作的“乘法”为“先执行第一种操作、再执行第二种操作”,则容易验证魔方的全部操作在这种“乘法”下成群,叫做RUBIC群。

(2)环与域:在一个集合上定义两种运算“加法”和“乘法”,如果这个集合在这个“加法”下成群,而在这个“乘法”下只满足“封闭性”与“结合律”,则称这个集合与这两种运算构成一个“环”;如果这个集合去除“加法”群下的单位元后形成的新集合在“乘法”下成群,则称这个集合与这两种运算构成一个“域”。显然,“域”是一种特殊的“环”。

对不起了,伽罗华理论是够抽象的,对于完全没有接触过群论、域论的人来说,这几个概念就挺费琢磨。可是没有办法,伽罗华理论这座高峰就需要踩着这些概念的台阶来攀登,你想欣赏最美好的风光,就需要把这些“概念”踩在脚下,“无限风光在险峰”。

如果看懂了这三个概念,特别是看懂了“群”和“域”这两个概念,就会理解这些结构其实就是从基础的数字运算关系中抽象出来的。比如:有理数在加法和乘法运算下构成一个域,0是加法单位元,1是乘法单位元,不包含0的有理数在乘法运算下成群;实数、复数在加法和乘法下都构成域;无理数在加法和乘法下不能构成域,这是因为无理数之和可能是有理数,不满足封闭性。

下面用群和域的概念做一个思维体操,证明有理数是最小的数域(由数字和加法、乘法构成的域):

  • 数域必有加法单位元0和乘法单位元1;
  • 由加法封闭性得到n个1相加必然还在域内,于是任意自然数n在域内;
  • 再由加法存在逆元得到-n也在域内,这样全部整数必然在域内;
  • 再由乘法存在逆元得到,任意整数n(0除外)的倒数1/n必在域内;
  • 再由乘法成群(去除0后)得到,任意m/n(m和n是整数)也在域内。

这样,就证明了有理数必须在数域之内,而且构成了一个域。因此,有理数是最小数域。

做完这个思维体操我们可以知道,不要小看群、环、域这样一些基本概念,这些概念定义的是一种数学结构,只从基本概念出发,就可以得到很多复杂的结果。譬如直到上世纪80年代,数学家们才真正彻底解决了全部有限单群分类的问题,这是经过了近30年时间、由超过100位数学家在500多种期刊上写下的超过10000页的论文而最终解决的,其基础则是200年前伽罗华提出的概念——群。

(3)群和域的同构

群,不是随随便便就能构成的;域,或许更复杂一些。

伽罗华发现,有些表象不同的群之间,其实质是完全相同的。这样的群称为是“同构”的,也就是说,这样的群在结构和性质上都完全相同,只有表面符号上存在差别。同构的群在去掉表象之后,可以认为是同一个群。

比如,对某一向量进行旋转的操作构成一个集合A={逆时针转0度,逆时针120度,逆时针240度},定义这个集合中元素的“乘法”为先进行第一个操作、再进行第二个操作,于是A在此“乘法”下构成一个群;再定义另外一个集合B={1,e2πi/3,e4πi/3},定义其上的“乘法”为普通的复数乘法,则B在乘法下也构成一个群。简单分析即可发现,A和B这两个群结构是完全相同的。

群同构的严格定义是:存在两个群A、B之间的一个双射(即一一对应的映射)ϕ:A→B,满足ϕ(a*b)=ϕ(a)×ϕ(b),其中a、b∈A,ϕ(a)、ϕ(b)和ϕ(a*b)∈B,*和×分别是群A和B的“乘法”。

类似的,域也有同构的情况。简单说两个域的同构定义为:两个域上的“加法”群同构,并且去除“加法”单位元之后的两个域上的“乘法”群也要同构。

好了,先不再讲述数学概念了,一些不熟悉数学的人可能已经糊涂了。哪怕只看完最基本的概念,我们也会震惊于伽罗华的天才头脑。一个16岁才开始接触数学、21岁就因决斗而死去的年轻人,是如何在那短短5年的时间里面,想通如此复杂的数学构造、得到如此美妙的数学结论的呢?

二、巧妙的概念——扩域、根式可解、根式塔

【伽罗华的故事】

由于伽罗华的父亲死于政治事件,再加上伽罗华自身的共和主义政治倾向,导致他偏执的认定他的论文丢失事件是由于政治原因而被法国科学院故意制造的。特别是一年以后,伽罗华的另外一篇论文被科学院拒稿后,他更认定了这一点。

但是,今天再来分析这件事,可以比较确定的讲,伽罗华的这种判断完全是他的一厢情愿。事实上论文丢失很可能就是一个偶然事件(特别是由于傅立叶的去世),而第二次拒稿则是由于伽罗华的思维过于跳跃,论文中的论证过于简单,没有详细展开,导致论文评审者无法判定论文是否严密正确。事实上,以伽罗华的天才,在他眼里看来很简单、显然成立的论证过程,可能在别人眼里看来是需要复杂证明的。

于是,伽罗华开始放松了他的研究工作而主要来从事共和主义事业的斗争。这时的伽罗华就读于高等师范学校,他作为闹事者的名气已经超越了作为数学研究者的名声,大家已经不再把他当作是数学研究者了,而更多的把他看成是闹事学生。特别是在1830年的七月革命期间,他公开发表严厉攻击校长的言论,终于被校长基尼约特给开除。从此,伽罗华的正式数学生涯到此结束。

被开除后的伽罗华参加了国民警卫队的炮兵部队,试图成为一名职业反叛者。可是仅仅1个月后,新国王路易·菲利普取消了炮兵部队,伽罗华彻底失业了。索菲·热尔曼,一位当时的年长女数学家曾经在信件中记述伽罗华“他身无分文,他的母亲也几乎没有钱财,但他却不改变得罪人的习性”。

在1831年上半年的一次共和主义者聚会活动上,伽罗华表达了杀死国王的意图,于是被控“威胁国王生命罪”而受审。陪审团最终考虑到他年仅20岁,尚未完全成熟,判决无罪释放。一个月后,1831年7月14日的巴士底日,伽罗华身着已经被解散并查禁的炮兵警卫队制服在巴黎游行,从而被判处监禁。之后在监狱的几个月中,他学会了喝酒,在一次喝醉后还试图自杀。

1832年3月,由于霍乱的爆发,伽罗华被提前释放。之后的几个星期里,伽罗华和一位巴黎医生的女儿斯特凡妮发生了风流韵事。偏偏这个女人已经和一名叫做Pescheux d’Herbinville的绅士订婚了。这名绅士知道了自己未婚妻和伽罗华的事情后,十分愤怒,毫不犹豫向伽罗华提出挑战。这名绅士是当时法国一名最好的枪手,伽罗华深知决斗会给自己带来什么,但是他仍然接受了挑战。

挑战的前夜,伽罗华知道第二天将是自己生命的终结了,他唯一担心的是他被法国科学院拒绝的数学研究成果会永远消失,毕竟当时还没有人能够理解他的理论。他在这一个晚上力图写下他全部的数学思想,书写的字里行间不时的出现“斯特凡妮”或者“一个女人”等字样,还多次出现“我没有时间了”的感叹。在第二天凌晨,伽罗华写完了他的数学思想,并给他的朋友写了一封信。

伽罗华决斗前一晚所写的他的数学思想

信中,伽罗华自信的写到“在我的一生中,我常常敢于预言当时我还不十分有把握的一些命题。但是我写在这里的一切已经清清楚楚地在我脑海里形成1年多了,我不愿意使人怀疑我宣布了自己未完全证明的定理。请公开请求雅可比或者高斯对这些定理的重要性(而不是定理的正确与否)发表他们的看法。然后,我希望有人会发现将这一堆东西整理清楚会是很有益处的事。”。

第二天,1832年5月30日,伽罗华只身一人参与决斗,最终腹部中弹,无望地倒在地上,胜利者悄然离去。伽罗华的兄弟阿尔弗雷德在几个小时之后到达现场,把他送到医院,但是为时已晚,腹膜炎已经形成,5月31日,伽罗华离开了人世。

【伽罗华理论】

我无法想象1830年到1832年这段时间,伽罗华在食不果腹、不断入狱的条件下,在把主要精力都投入到政治斗争的情况下,是如何继续深入思考他的数学研究课题的。在我看来,即使衣食无忧的情况下想把伽罗华的理论全部学懂,都是不容易的,何况是创造出来。

由于伽罗华的研究成果是以上面提到的方式展现在世人面前的,因此没有人能够准确知道他到底是如何想到这些概念和证明的,先后顺序是怎么样的,思维总体上是怎样贯穿的?以下只是我个人的猜测。

(1)伽罗华可能首先从“域”的角度出发,思考了域的扩张。

我们知道,有理数域Q是最小的数域,实数R、复数C也都构成一个数域,那么是否存在数域,范围大于有理数Q但是小于实数R、或者大于R小于C呢?甚至是否存在数域,其范围大于Q小于C,同时又不完全包含或者包含于R呢?这要从最小数域的扩张开始,域的扩张称为扩域。

扩域:把某个域F中添加进一个或几个不属于这个域的元素,在不改变原来域的“加法”和“乘法”的条件下,按照域的定义形成的新域E被称为原来域的扩域,记为E/F。

比如,我们在有理数域Q上添加一个无理数√2,形成一个新的数域Q(√2),则Q(√2)/Q就是Q上的一个扩域。由域的定义知道,这个形成的新域不只是包含√2,还包含着任何通过有理数与√2进行加法和乘法得到的数。其实,除了加法和乘法,域里面还有着逆元,加法的逆元运算对应着减法,乘法的逆元运算对应着除法。也就是说,表面上域定义了加法和乘法,实质上确定了加减乘除四则运算。域是更高层次上抽象出来的结构,但是落实到我们日常的数字和运算上,与小学就开始学习的四则运算没有什么不同。

可以证明,任何可以表示为a+b√2(a,b∈Q)的数都属于Q(√2)这个域,而这个域里面的任何数也都可以表示成为a+b√2(a,b∈Q)的形式。显然,这个Q(√2)就是一个范围大于Q但是小于R的数域。有了扩域这个工具,我们可以构造出无穷多个数域。

(2)之后伽罗华考虑的应该是如何定义方程的根式可解

因为在伽罗华从事数学研究的那5年,人们已经在开始猜测一般的一元五次方程不可根式求解。可是,到底什么是根式求解?字面意思很容易理解,就是一个一元高次方程的解如果可以使用方程的系数经过加减乘除和开方以及它们的组合运算表达出来,就是可以根式求解的;如果不能以这种方式表达,那就是不可以根式求解的。可这样的定义虽然从语言和表达的角度来说没有歧义,但是从数学的角度来说,还不够清晰。

伽罗华通过自己的深入思考,给出了根式可解的更优美的定义。在了解这个优美定义之前,需要思考以下一些毫无疑问是正确的结论:

  • 一个数域里面的任何数,都可以通过这个数域中的其它数的加减乘除运算组合表达出来;
  • 除了个别特殊情况外,一般来讲,数域中某个数的开方运算的结果是不属于这个数域的(类似于√2∉Q);
  • 把数域中某个数开方运算的结果扩张进来成为一个扩域后,扩域中的数都可以使用原来数域中的数和这个开方运算的结果的加减乘除运算组合来表达,或者说这种扩域中的数一定可以使用原来数域之内的数的加减乘除和开方运算进行根式表达;

明白了上面这3条结论,就可以知道,能否根式表达与上面说的这种把数域中某个数的开方运算的结果扩张进来形成的扩域有着密切关系。我们把这种扩域定义为纯扩域。

纯扩域:B/F为扩域,B=F(d),d∈B,dm∈F,此时把B称为F的m型纯扩域。

显然,所谓m型纯扩域就是在域F中找一个数开m次方,然后把开方结果扩进来形成的扩域。可别小看这个纯扩域,根据前面的分析,纯扩域B中的任何数都可以通过域F中的数的加减乘除和开m次方运算得到。如果继续这样扩域下去,把F扩为F1,把F1扩为F2,…,无论多少次这种扩域,只要是有限次,最终的扩域Fn中的数都可以由域F中的数经过加减乘除和开方运算得到。由此,引出一个新概念,根式塔。

根式塔:不断扩域形成的域列,F=F1⊆F2⊆F3⊆…⊆Fr+1,如果每个扩域Fi+1/Fi(i=1,2, …,r)都是一个纯扩域,则称此域列为一个根式塔。

于是,数域F中的数通过加减乘除和开方运算所能得到的数,一定包括在某个根式塔的Fr+1之中。由此,伽罗华给出了根式可解的更清晰优美的定义。

根式可解:设一元多次方程f(x)的全部系数都包含在域F之内,此方程的全部根都包含在域E之内,且E是包含f(x)全部根的最小域(此时称E为F上多项式f(x)的根域),如果存在根式塔F=F1⊆F2⊆F3⊆…⊆Fr+1,且E⊆ Fr+1,称域F上的方程f(x)根式可解。

看到伽罗华给出的根式可解定义,我有一种感觉,也许伽罗华的脑子天生就是结构化的,他可以直接在一个大的范畴上进行思考和逻辑推导。本来通过语言描述的根式可解是一种模模糊糊的东西,但是经过伽罗华重新定义的根式可解变得清晰明确,有数学实体可以抓了。

三、“神来之笔”——域的自同构、伽罗华群与伽罗华对应

【伽罗华的故事】

伽罗华的葬礼因政治原因而变得混乱,政府认为伽罗华的葬礼将会造成一次政治集会,为了维护稳定,政府在葬礼之前的晚上逮捕了30名伽罗华的同志。尽管如此,还是有两千多个共和主义者参加了葬礼,从而与政府人员之间爆发了一场混战。这之后,不断有人怀疑伽罗华与斯特凡妮的风流韵事是一个阴谋,用来害死伽罗华的阴谋。直到今天,伽罗华到底是死于愚蠢的爱情还是政治阴谋仍然没有定论。但无论是哪种原因,这位研究数学才5年但是却被认为是最伟大的数学家之一的天才,在21岁的时候就离开了人世。这对数学界来说是一个重大的损失,只不过当时的人们还完全认识不到。

伽罗华虽然在决斗的前夜把他的数学思想写了出来,但是这种潦草的内容、跳跃的思维并不是立刻就被数学界所理解的。虽然伽罗华的兄弟和朋友把他写下的数学思想重新整理了一遍,并分送给了高斯、雅可比等人,但是伽罗华的伟大研究成果仍然没有得到理解和承认。直到14年后,法国数学家约瑟夫·刘维尔(JosephLiouville)重新整理并发表了伽罗华的著作,才使得伽罗华理论逐渐被世人所理解。

刘维尔本人也是一位著名的数学家,一生从事数学、力学和天文学的研究,涉足广泛,成果丰富,尤其对双周期椭圆函数、微分方程边值问题和数论中的超越数问题有深入研究。他是第一个证实超越数存在的人。

即使是这样一位著名数学家,仍然从1843年到1846年用了3年的时间来彻底研究伽罗华的理论,终于在1846年比较全面的理解了伽罗华的成就并发表出来。刘维尔虽然在数学领域有不小的贡献,但很可能他整理、理解并发表伽罗华理论是他在数学领域最大的贡献。代数学能够取得今天的成就,刘维尔功劳不小。

刘维尔在反思为什么伽罗华的理论在很长一段时间内不能得到理解的原因时,写下了这样一段话:

过分地追求简洁是导致这一缺憾的原因。人们在处理像纯粹代数这样抽象和神秘的事物时,应该首先尽力避免这样做。事实上,当你试图引导读者远离习以为常的思路进入较为困惑的领域时,清晰性是绝对必需的,就像笛卡尔说过的那样:“在讨论超前的问题时务必空前地清晰。”伽罗华太不把这条箴言放在心上,……

伽罗华再也回不来了!我们不要再过分地作无用的批评,让我们把缺憾抛开,找一找有价值的东西,……

我的热心得到了好报。在填补了一些细小的缺陷后,我看出了伽罗华用来证明这个美妙的定理的方法是完全正确的,在那个瞬间,我体验到一种强烈的愉悦 。

真心希望大家了解了伽罗华理论之后,能够像刘维尔一样有一种“强烈的愉悦感”。伽罗华的故事讲完了,伽罗华那天才的思想还需要继续。

【伽罗华理论】

从前面的介绍我们知道,根式可解需要找到一个根式塔,根式塔是一个域列。只知道这些,我们还是解决不了方程是否能够根式求解的问题,因为我们仍然不知道怎样判断是否存在这种根式塔?

伽罗华在思考这个问题的时候,发现或者说找到了一种对应关系——伽罗华对应。应该讲,这种对应关系是人类思维领域的“神来之笔”。我无法想象伽罗华到底是通过怎样的思考发现了这种对应关系,对我自己来说,能够较快理解伽罗华对应就已经谢天谢地了。

伽罗华对应的发现应该是从域的自同构映射开始的。

域的自同构映射:前面我们介绍了域的同构,知道了两个域同构意味着两个域之间存在着满足同构关系的映射。显然一个域一定是和自己同构的,我们把某个域E到自身的同构映射叫做自同构映射。事实上,这种自同构映射未必只有一个,我们把全部自同构映射组成的集合记为Aut(E)。

现在开始,我们的思维要在理解群、域的基础上再上一个台阶,开始思考域的自同构映射组成的集合了。记住,Aut(E)中的元素是E→E集合间的映射。

下面再做一个稍复杂点的思维体操,定义Aut(E)上两个元素σ1和σ2之间的“乘法”为σ12(a)=σ1(σ2(a)),证明Aut(E)在这个“乘法”下构成群。

<1> 构成群首先要满足封闭性,也就是对于σ1∈Aut(E)和σ2∈Aut(E),要证明σ12∈Aut(E)。证明如下:

请记住,Aut(E)中的σ都是自同构映射,必然满足σ(a+b)=σ(a)+σ(b),σ(a*b)=σ(a)*σ(b)。由此,我们可以得到

σ12(a+b)=σ1(σ2(a+b))=σ1(σ2(a)+σ2(b))=σ1(σ2(a))+σ1(σ2(b))=σ12(a)+σ12(b)

σ12(a*b)=σ1(σ2(a*b))=σ1(σ2(a)*σ2(b))=σ1(σ2(a))*σ1(σ2(b))=σ12(a)*σ12(b)

也即σ12也满足自同构映射的条件,于是σ12∈Aut(E)。封闭性得到了满足。

<2> 结合律:

(σ12)*σ3(a)=(σ12)(σ3(a))=(σ1(σ2(σ3(a)))=σ1*(σ23)(a)

也就是(σ12)*σ31*(σ23),满足结合律。

<3> 单位元:显然对于E→E上的恒等映射σe,满足σe(a)=a,∀a∈E,容易验证σe即为Aut(E)的单位元。

<4> 逆元:∀σ∈Aut(E),a∈E且a≠0,有

σ(0)=σ(a-a)=σ(a)-σ(a)=0;

σ(a)=σ(1*a)=σ(1)*σ(a)⇒σ(1)=1;

σ(1)=σ(a*a-1)=σ(a)*σ(a-1)=1⇒σ(a)≠0;即a≠0时σ(a)≠0。

于是得到,a≠b时,σ(a-b)=σ(a)-σ(b)≠0⇒σ(a)≠σ(b)。这说明σ是单射,单射必有逆映射,令其逆映射为σ-1,则必有σ*σ-1(a)=σ(σ-1(a))=a⇒σ*σ-1e,确定逆元必然存在。

综上,Aut(E)在上述“乘法”定义下构成群。

对群、域不熟悉的人来说,也许这个思维体操稍微有些“绕”,但是对于熟悉的人来说,这个关系是一眼就可以看出来的。我想,如果一个不熟悉的人把上述并不复杂的推导看明白后,也会感觉到愉悦的。

当然,我相信对于伽罗华来说,上述结论是瞬间就想到了的。不仅如此,伽罗华还进一步找到了群Aut(E)的一类子群——我们今天称之为伽罗华群。

伽罗华群:E/F是扩域,且E是系数在F内的某个多项式方程的根域(根域参见前面的说明,以后会将这种根域叫做F的正规扩域),E上全部自同构映射的集合Aut(E)中使F中元素不变的那些映射形成的子集构成Aut(E)的一个子群,称为E在F上的伽罗华群,记为G(E/F)。

概念越来越复杂了,解释一下,就是Aut(E)中的自同构映射,有一部分是在F上的恒等映射,也就是说F中的元素在这些映射的作用下是不变的,这类映射的全体组成的集合也构成一个群,是Aut(E)的子群,叫做E在F上的伽罗华群。

有人会问,为什么要搞出个伽罗华群的概念呢?下面就是见证奇迹的时刻了

设f(x)∈F[x](意思是f(x)的系数都在F内),则对于任意σ∈G(E/F),必然有σ(f(x))=f(x),这是因为σ作用在F上是恒等映射;同时,设方程f(x)=0有n个根,分别是a1、a2、…、an,那么f(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-an),于是σ(f(x))=(x-σ(a1))(x-σ(a2))…(x-σ(an))=f(x)= (x-a1)(x-a2)…(x-an)。这说明σ(a1)、σ(a2)、…、σ(an)只是a1、a2、…、an的一组置换(意思是,还是这n个数,只是位置发生了变化,如σ(a1)= a2、σ(a2)= a1之类的变换)!

看到了么,伽罗华群中的每个映射都对应着方程根的一组置换!要知道,从500年前的费尔洛解出了一般一元三次方程,到400年前的塔尔塔利亚、卡丹、费拉里解出一元四次方程,一直到200年前的拉格朗日创造出了方程的预解式,高斯得到了高斯定理,都是在大量的计算推导中,模模糊糊的察觉到方程的解与根的置换似乎有关系。直到伽罗华横空出世,清晰的告诉世人,一元高次方程是否可以根式求解的奥秘,就藏在这些根的置换当中。

当然,只知道宝藏的位置还不够,还需要有打开宝藏的钥匙。天才的伽罗华找到了这把钥匙,我把它称为“神来之笔”——伽罗华对应。

记得讨论根式可解的时候,我们说需要找到一个根式塔,根式塔是一个域列。假设存在一个域列F=F1⊆F2⊆F3⊆…⊆Fr+1=E(注意,这个域列不要求一定是根式塔),且E/F是正规扩域(参见上面描述),则可以证明任意E/Fi,i=1, …,r,也是正规扩域。于是存在一组伽罗华群G(E/Fi),这组伽罗华群都是G(E/F)的子群,而且可以证明每个G(E/F)的子群一定对应着一个E的子域,这种对应是一一对应,这个神奇的对应被称做伽罗华对应。

通过伽罗华对应,我们把对复杂的域列问题的研究转换到了对伽罗华群的子群列的研究上,这就是打开方程根式可解的金钥匙。

伽罗华那不到20岁的头脑中,可能就已经想通了这些问题。当我想到这一点的时候,心中对伽罗华的钦佩感无以复加。就像有人评论,欧拉作为数学史上最伟大的数学家之一,他对数学贡献的丰富程度可能远超伽罗华,但是如果考虑到欧拉专心研究数学60年,而伽罗华仅仅是残缺不全的5年,那么从天赋上讲,大数学家欧拉完败于伽罗华。

四、美妙结论——正规子群、可解群、正规扩域

继续深入写下去所涉及到的数学知识、逻辑复杂度都大大的提升了。考虑到这篇文章的目的是寄希望于数学爱好者之外的人也能尽量理解,就不再深入描述后面的理论了。我承诺大家,从现在开始,不再使用任何数学符号了。

前面说了,E是每个Fi的正规扩域,但是相邻Fi之间却不一定是正规扩域。要知道,纯扩域必然是正规扩域,域列想成为根式塔,或者说相邻域都是纯扩域,就必然要求相邻Fi之间都是正规扩域。伽罗华证明了,相邻Fi之间都是正规扩域等价于对应的相邻伽罗华群是正规子群。

正规子群意味着商集合成群,或者说相邻伽罗华群的商群存在,如果这个商群是可换群(群内的“乘法”满足交换律),那么这样的伽罗华群被称为可解群

通过进一步复杂的证明可以得到,域F上的方程f(x)的根域为E,如果伽罗华群G(E/F)是可解群,那么f(x)可根式求解;如果f(x)可根式求解,则伽罗华群G(E/F)必为可解群。即方程的根式可解等价于方程的伽罗华群为可解群

从此,困扰了人们数百年之久的多项式方程根式可解问题被伽罗华漂亮而彻底的解决了,以他名字命名的伽罗华理论从此诞生。在解决这个问题的过程中,群论、域论交相辉映,迂回曲折,难怪当时的那些审评大师们如堕五里雾中。“就伽罗华的概念和思想的独创性和深刻性而言,任何人都是不能与之相比的。”法国数学家毕卡(C..Picard,1856-1941)在1879年评述19世纪数学成就时如是说。

再回想本文开篇引用的伽罗华自己所写的话“Jump above calculations,group the operations, classify them according to their complexities rather thantheir appearance; this, I believe, is the mission of future mathematicians;this is the road I’m embarking in this work.”,相信每个了解了伽罗华理论的人都会有更深刻的认识。

总结一下伽罗华的思想,一是在更高的层次上看待数和计算,形成了群、域的概念;二是通过域和扩域的方法给出了方程根式可解的更准确的数学定义;三是发现了域的某类自同构映射对应着方程根的置换,找到了方程根式可解的奥秘;四是找到了伽罗华对应这把打开奥秘大门的钥匙,把域列和群列优美的对应了起来;五是基于深刻的逻辑推导形成了可解群的概念,并证明了根式可解与伽罗华群是可解群的等价关系。

转自科学网博客

链接地址:http://blog.sciencenet.cn/blog-409681-1048911.html

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【科学】逻辑入门

The sole function of logic is to sanction the conquests of intuition.
— Poincaré
(逻辑的唯一功能是制裁直觉的入侵。)

逻辑学是一门重要的学科。联合国教科文组织1974年编制的学科分类,把逻辑学同数学、天文学和天体物理学、地球科学和空间科学、物理学、化学、生命科学并列,列为七大基础学科之一。逻辑学的发源地一般被认为是两千多年前的古代中国、印度和希腊,国际学术界公认世界逻辑学有三大源流,即中国的名辩学、印度的正理因明学,和以古希腊为代表的西方逻辑学。它们在历史的长河中,都经历了自身的发生和发展的过程。

西方逻辑学在19世纪末、20世纪初经历了脱胎换骨的变化,分化为两大形式,一种形式是作为哲学的表述语言,称作哲学逻辑。哲学逻辑属于哲学的一个分支,主要研究推理形式、真值和意义等哲学命题。有些哲学家认为哲学逻辑的研究还包括了对同一性、必然性、存在、和论言(predication)的研究。

逻辑学的另一种形式是符号化,用字母和逻辑连接符表示命题。这种逻辑学作为数学和计算的表述语言,称作符号逻辑或数理逻辑,主要用来精确地描述数学理论,同时又是计算机语言的理论基础。符号逻辑的除了在数学领域,在电路设计等其他工程性学科、而且在语言学等传统的人文学科也找到了用武之地。

在国内,逻辑学作为一种教学体系,通常称作“普通逻辑”或“形式逻辑”。

We know that mathematicians care no more for logic than logicians for mathematics. The two eyes of science are mathematics and logic; the mathematical sect puts out the logical eye, the logical sect puts out the mathematical eye; each believing that it sees better with one eye than with two.
——De Morgan
(我们都知道数学家对逻辑的关心从未比逻辑学家对数学的关心更多。数学和逻辑学是精密科学的两只眼睛,但是数学家对逻辑视而不见,逻辑学家对数学视而不见。双方都相信自己只用一只眼比用两只眼视物更清楚。)

莱布尼兹曾经有两个梦想:
1. 创建一种“普遍语言”(universal language)使得任何问题都可以用这种语言表述;
2. 找到一种”判定方法”(decision method)以解决所有可以在“普遍语言”中所表述的问题。
这两个问题是上百年来数理逻辑、数学哲学和数学基础问题的核心、实质。对前一个问题的回答就是自弗雷格、罗素开始,经公理集合论运动的最终结果:以一阶谓词逻辑为语言所形式化阐述的集合论,现在已经成为数学的普遍语言,现代逻辑学、特别是将符号逻辑应用于数学领域所产生的数理逻辑,其最重要的目标就是为整个数学提供一个严格精确的语言。这是我们在学习数理逻辑时应当把握的方向。
而第二个问题则是现代哲学和计算机科学最关注的问题之一:是否可以解决用这个“普遍语言”所形式化描述的所有问题?这个问题就是所谓“可判定性问题”(Entscheidungsproblem,decision problem)。对这个问题的研究最终导致了理论计算机科学的诞生:阿隆佐·丘奇和阿兰·图灵分别以各自的方式对这个问题做出了否定的回答。他们在研究这个问题时首先对“可判定的”(decidable)这个直觉概念进行了深入研究并给出了形式化定义和解释,进一步把这个问题归结成“可计算的”(computable)问题,并最终将其定义为“可计算函数”(computable function)问题的研究。为此,丘奇和图灵分别提出了关于可计算函数的模型。图灵的模型就是著名的图灵机,它已经成为现代计算机科学的理论基础;而丘奇的模型则是lambda演算,这成为后来计算机语言Lisp和现代函数式程序语言的理论基础。其后图灵证明了这两个模型其实定义了同一类别的可计算函数。可以说,丘奇和图灵对数理逻辑的研究是从传统的解决数学基础问题出发开创了一个崭新的领域:计算科学。

与此同时,美国数理逻辑学家哈斯凯尔·克里(Haskell Curry,又称柯里)在研究怀特海/罗素的类型理论时发现了逻辑中的蕴含命题可以归结成类型问题,从而使得证明论研究可以转化为对类型理论的研究。对这个问题的更深入研究始于1969年威廉·霍华德(William Howard),他的研究表明,逻辑与类型论之间的对应关系可以从多个逻辑系统得到,从而将逻辑学的证明论与计算理论归结为同一理论的两个侧面,这就是著名的克里-霍华德同构(Curry-Howard isomorphism)。

由此来看,数理逻辑所研究的最本质主题有两个:形式系统的表述能力(the expressive power)和形式证明系统的演绎能力(the deductive power)。
对一阶谓词的语义学的研究导致了模型论的出现,而对逻辑的核心问题推理的形式化研究特别是20世纪初希尔伯特的公理化研究演化成证明论、而对自然数集合及其函数的研究催生了递归论的出现,而集合论则是所有数学分支的基础语言。从这些领域出发又可派生出和其它领域相关的子分支,例如从模型论派生出形式语义学,从证明论派生出以产生式系统为核心概念的形式句法,从递归论派生出可计算性和计算复杂性以及可计算函数的研究。从集合论出发,产生出了更抽象的范畴论,而集合论本身已经成为所有数学分支的基础。

因此,现代数理逻辑的学习,大致包括了两个方面:符号逻辑学基础:一阶逻辑(莱布尼兹第一问题,语言问题),逻辑应用(演绎推理问题):数学公理化和建构性数学(constructive mathematics)和理论计算机科学的核心问题:可计算函数的研究以及相关的可计算问题和计算复杂性问题。

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从惊讶到思考 ——数学悖论奇景

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【数学】从惊讶到思考 ——数学悖论奇景

《科学美国人》杂志社 马丁·加德纳

Paradox Box

这套书有五个主要目的:

1.激发学生对数学的兴趣;

2.向读者介绍重要的数学思路

3.发起丰富多彩的数学活动;

4.使人洞悉解题过程;

5.提高学生对现代数学所具有的美妙、多样、甚至幽默性质的鉴赏力。

第一章逻辑学悖论

如果你曾向学生介绍过逻辑学的基本概念,就会发现,没有什么比一个使人主意忽左忽右的悖论更能引起他们的兴趣了。他们被一步一步地引上繁花似锦的小道,遵循着一条无懈可击的推理思路往前走,结果他们忽然发现自己已陷入矛盾之中。到底是什么错了?难道就在演绎推理这一过程背后有可能隐伏着什么倒霉的缺陷吗?

这一章的主要目的,是尽可能用娱乐的方式,通过提出现代逻辑学中最重要的悖论来引起学生的兴趣。在这里,“悖论”这个词意思比其他部分要窄一点。在其他几章中,悖论是强烈违反我们直觉的问题。在这里,悖论只是直接导致彼此矛盾的结果,就像证明2+2又等于4,又不等于4一样。逻辑悖论是“不可解”的,除非能找到一种方法来完全消除这种恶性的矛盾。

尽管从古希腊起到今天,逻辑悖论一直人们带来很大乐趣,可是最伟大的数学家都总是极严肃地对待它。在发展现代逻辑学和集合论中一些巨大进展正是努力解决经典悖论的直接结果。在这里,你会看到引自伯特兰德·罗素的话,他谈到他花了好些年的时间研究悖论而没有成功,后来他和阿尔弗雷德·怀特里德合作,写了《数学原理》,这是一本奠基了现代形式逻辑的代表性论著。

作为一个数学教师,不用人提醒就懂得,逻辑学是一切演绎推理的基础,一个不懂基础逻辑的学数学的学生是没有能力来掌握数学基础的。对这些基础的理解往往是较困难的,它使初学学生丧失对数学的兴趣。幸好,这组故事可以帮助你使学生认识到,逻辑学并不像他们想象的那样枯燥无味,而是一个对数学很重要的、生动有趣的课题、其中有很多令人兴奋的问题尚待解决。

在这组故事中有三个中心问题。

1.在我们谈论语句的真实价值时,为什么需要以一种更高级的语言(称为“元语言”)来谈论它?

2.为什么现代集合论有一些规则禁止一个集合是此集合本身的元素?

3.在什么样的特殊情况下,预言未来在逻辑上是不可能的?

最好是在学习逻辑学、集合论或演绎(推理)证明的时候来认真阅读这一部分。现代几何学教科书,如雅可比的《几何学》,和很多代数以及普通数学教科书一样是以演绎推理开头的。如果你使用的是这类教科书.那末在教课(或学习)之前最好先看看这一章。

这一章的内容为展开演绎推理方面的讨论提供了丰富的背景知识,并预计到可能会提出的问题,还为较优秀的学生提供了很多精彩的补充材料。

1.克里特人伊壁孟德

伊:所有的克里特人都是撒谎者。 M:他说的是真的吗?如果他说的是实话,那么克里特人都是撒谎者,而伊壁孟德是克里特人, 他必然说了假话。他撒谎了吗?如果他确实撒了谎,那么克里特人就都不是说谎的人,因而伊壁孟德也必然说了真话。他怎么会既撒谎,同时又说真话呢?

伊壁孟德是个半传奇式的希腊人,他在公元前6世纪住在希腊。有一个神话说他曾经一下子睡了57年。

关于他的上面那段文字,如果我们假定撒谎者总是说假话,不撒谎的人总是说真话,那么就会出现逻辑的矛盾。按此假定,“所有的克里特人都是撒谎者”这句话不可能是真话,因为这说明伊壁孟德既是撒谎的人,因此他说的就不是真话。可是这又意味着克里特人是说真话的,那么伊壁孟德说的话也必定是真话,因此上面引的那句话也不可能是假话。

古希腊人曾为此大伤脑筋,怎么会一句话看上去完美无缺,自身没有矛盾,却既是真话又是假话呢!一个斯多噶派哲学家,克利西帕斯写了六篇关于“说谎者悖论”的论文,没有一篇成功。有一位希腊诗人叫菲勒特斯,他的身体十分瘦弱,据说他的鞋中常带着铅以免他被大风吹跑,他常常担心自己会因思索这些悖论而过早地丧命。在《新约》中,圣·保罗在他给占塔斯的书信中也引述过这段悖论(1:12 – 13)。

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Atiyah黎曼猜想的证明

数系

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【科学】小细菌,大智慧——再思微观世界的生物智能

小细菌,大智慧

在细菌被荷兰科学家列文虎克(1632-1723)从一位从未刷过牙的老人牙垢上发现之前,人们对它几乎一无所知。

谁能想到,它竟是所有生物中数量最多的一类?

谁能想到,在这些小到肉眼无法辨识的微小生物体体内,竟藏着高度智能与精细的分子机器?

例如,

大部分细菌的运动都需要借助细菌鞭毛的推动作用。

鞭毛是着生在细菌细胞表面的丝状运动器官。

(直径12~25nm,长3~12μm,柔软、波形。)

鞭毛不能直接用光学显微镜观察,需用鞭毛染色法使鞭毛与媒染剂结合加粗着色后,才可观察其形状和着生情况。[1] 

鞭毛的功能就相当于船的螺旋桨,在环境中可以高速旋转,从而推动菌体前行。

若是将细菌的内部结构放大五万倍,将发现在它旋转的背后有一个十分复杂的系统,类似一首船的发动机,有着类似转动轴、推进杆、钩状器等精美的机器零件。

这些部件都是为了整体的功能而有序地组装在一起,“每一个部件都名副其实起着应有的功能性作用,这种组合不是盲目的随机拼凑,而是一个精致的微观工程。40种各类蛋白分子机器担当了这些部件的角色,这些分子有的从环境获取能量,有的负责传感,有的如轴承一样负责转动,各司其职。”[2] 

细菌没有眼睛,但它的运动又非盲目随机,而是通过位于体表(细胞膜)的一些蛋白成分的感受器随时感知周围环境的变化。这些信号感测器被巧妙地连接到细菌鞭毛的“发动机”上,环境中营养物与有害物的浓度梯度、光强梯度、氧气浓度梯度等,都可能成为细菌需要捕捉的信息,被迅速、高效地传递给鞭毛基体,使得细菌可以决定其运动的方向。

这整个系统的运转,明显是一个高度智能的精致的微观工程。是无法用简单的达尔文进化机制来解释的。因为每一个零部件都是不可缺少的,这在生物学上被称作“不可简化的复杂性”。除非每个零部件都在同一个历史时刻进化出来完整的个体功能,同时又按照强烈的整体功能需求,精细地、有序地组装起来,否则整个鞭毛系统不可能产生。这明显是进化机制中随机、无序的进化原理无法驾驭的。




当我们放下先入为主的世界观,细心察看,不难发现其实全地都在宣扬上帝创造的大能。神的永能和神性“虽是眼不能见,但藉着所造之物就可以晓得,叫人无可推诿。”(罗 1:20)


参考:

蝴蝶,螺旋结构和中微子

[1] https://baike.baidu.com/item/细菌鞭毛

[1]“从一个细菌鞭毛的构造看进化论的困难”——《中信》月刊第659期(中国信徒布道会)

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【书籍】进化论的圣象

在这本令人震惊的书中,柏克莱生物学博士,作者约拿单.威尔斯,揭穿了只有他的少数同僚生物学家知道的一些可耻的秘密。最为人熟知的进化论“圣像”,从猿进化到人的图片、鱼和人的胚胎比较、到树干上的蛾,都是错误或误导人的,几十年来生物学的学生所学的进化论根本就不正确。

虽然科学的文献充斥证据,指出他们的错误,但这些进化论的“圣像”仍然出现在最新的教科书中。显然,把达尔文主义进化论变为教条的提倡者担忧没有了这些“圣像”,群众对他们的宣称将失去信心,所以他们故意给我们的孩子错误的知识,而压抑科学的证据。

进化论的众圣像就是「除了进化论的亮光外,没有其它东西能使你明白生物学」这武断信条逻辑的结论。本书中所有误导的声言都是从度布山斯基的深远的反科学起点而来。原始大气是强还原性的,所有生物都是从一个共同祖先而来;同源器官被定义为由于共同祖先而产生的相似性而来,脊椎动物的最早期胚胎是最为相似;鸟就是有羽毛的恐龙;胡椒蛾栖息在树干上,自然选择产生了十四个达尔文地雀种,变异提供了形态进化的原材料,而人类是盲目自然过程的偶然副产物。我们怎么会知道上述的是真确的呢?因为证据吗?不是的,这是因为度布山斯基说了:「除了进化论的亮光外,没有其它东西能使你明白生物学。」这不是科学。这不是在寻求真理,这是武断,不应该容许它来统治科学研究和教育。不应让学生接受进化论的圣像,把达尔文理论当作教条,相反的,应用它来教育学生,理论该如何被证据所纠正。我们不应以科学最坏的一面来教导学生,我们要以科学最好的一面来教导学生。科学的最好一面就是追求真理。度布山斯基的错是无可救药的,和他唱同一个反科学论调的人也是一样。对真科学家来说,「除了证据的亮光外,没有其它东西能使你明白生物学。」

科学进化论与创造论系列

鸟语花香

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【科学】ATP合成酶,上帝创造无可推诿

回想达尔文的时代,谁能预料到在肉眼看不见的细胞内部,居然还存在着许多精细的分子机器?若是达尔文在当年窥见了生物微观层面的神奇王国,他还会异想天开地提出进化的猜想吗?

本期将以

ATP合成酶作为例子,来探讨进化的困境及创造的证据

我们先来看一看ATP的结构:

以ATP为燃料的蛋白机器带动着活细胞内几乎所有的活动,包括制造DNA(脱氧核糖核酸)、RNA(核糖核酸)和蛋白质,清理废物,运输化学物质进出细胞,及细胞内运输。[1]

我们再以短片来了解ATP发挥这些功能的机制:

若是我们认为如此精密复杂的“旋转马达”是通过大自然盲目、随机的进化过程碰巧产生的,就如同相信某人宣称一台汽车发动引擎是从火山中喷发出来自然形成一样,是违背人的常识与经验的。

除此以外,正如人们无从回答究竟是先有鸡还是先有蛋的问题一样,ATP合成酶也给进化理论提出了一个类似的难以应对的挑战。

简单地来说,就是ATP的产生需要有ATP的参与。

制造ATP合成酶的一切过程都需要ATP,例如在基因转录之前用解旋酶对DNA双螺旋进行解旋,这就需要ATP;把转录后的编码信息翻译成ATP合成酶的结构蛋白,这也需要ATP。要完成这些过程,还需要大约100个酶和细胞器,而生产这些酶和细胞器也需要ATP!要制造ATP合成酶所坐落的膜也需要ATP;没有了膜,ATP合成酶便无法工作。这对于进化论来说确实是一个恶性循环。[2]

生命起源和遗传密码最令人不安的就是……倘若遗传密码不使用它翻译后的某样产物,它就无法进行翻译……这是一个令人感到困惑的怪圈,看起来真的是一个恶性循环。

Popper, K, in Philosophy of Biology, University of California Press, Berkeley, p. 270, 1974.


from 创造科学

参考:

[1]https://creation.com/atp-synthase-chinese-simplified

[2]https://creation.com/atp-synthase-chinese-simplified

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