【文摘】传奇数学家李天岩

作者 : 丁玖

来源 :《数学文化》杂志

2005 年是爱因斯坦狭义相对论发表一百周年,为此美国数学会专门设立了“爱因斯坦讲座”,每年请一位世界杰出科学家作公众演讲。2008 年 10 月,在位于加拿大西海岸美丽城市温哥华的不列颠哥伦比亚大学召开的美国数学会与加拿大数学会联合会议上,爱因斯坦讲座的讲者属于年逾八旬的美国普林斯顿高等研究院英国裔物理学家戴森(Freeman Dyson)教授,但他因故未能赴会,便在 2009 年 2 月的《美国数学会会刊》中发表了一篇题为“鸟与青蛙”的演讲稿。文中他描述了两类伟大的研究学者 :鸟瞰大地者与深入探索者,而杨振宁和冯 • 诺依曼分属为之。他又写道:“在混沌领域里,我仅知道一条有严格证明的定理,1975年由李天岩和詹姆斯•约克(James Yorke)在他们题为‘周期三意味着混沌’的短文中证明的。李 – 约克论文是数学文献中不朽的珍品之一。”(“In the fifield of chaos I know only one rigorous theorem, proved by Tien-Yien Li and Jim Yorke in 1975 and published in a short paper with the title‘Period Three Implies Chaos’. The Li-Yorke paper is one of the immortal gems in the literature of mathematics.”)

李天岩教授1976 年后一直在密西根州立大学数学系工作;目前是这所大学的杰出讲座教授
李天岩教授的博士导师James Yorke(左)

戴森提到的李天岩,是本文的主人公。他祖籍湖南,1945 年 6 月出生于福建省沙县。他的父亲李鼎勋早年留学日本东京帝国大学医学院,获医学博士,1934 年回国任教湖南湘雅医学院,1939 年起任福建省省立医院院长。李天岩三岁时随父母及全家定居台湾,在那里接受教育直至大学毕业。他 1968 年为台湾新竹清华大学数学系第一届毕业生,在按规定服兵役一年后,于 1969 年赴美国马里兰大学数学系攻读,1974 年获博士学位,其论文指导老师就是约克。李天岩 1976 年至今一直在美国密西根州立大学数学系任教,其中 1976 年至 1979 年为助理教授,1979 年至 1983 年为副教授,1983 年至今为正教授,1998 年起被赋予杰出讲座教授(University Distinguished Professor)头衔。他 1995 年荣获美国著名的哥根哈姆(Guggenheim)奖,1996 年获密西根州立大学杰出教授奖,同年又获数学系弗莱明杰出教学奖,2002 年获台湾清华大学理学院杰出校友奖,2006 年获密西根州立大学理学院杰出导师奖。

左图:著名科普作者Gleick 的关于混沌的畅销书;右图:混沌现象和理论的部分重要贡献者( 从上至下):Lorenz, May, Yorke, 李天岩

李天岩曾在应用数学与计算数学几个重要领域中作出了开创性工作,成就非凡。他与约克的上述论文在数学中第一次引人了“混沌”的概念 ;他对乌拉姆(Stanislaw Ulam)猜想的证明是动力系统不变测度计算理论与算法研究之奠基性工作 ;他与凯洛格(R. B. Kellogg)及约克关于计算布劳威尔(L. E. Brouwer)不动点的思想和数值方法,开辟了现代同伦延拓算法研究的新天地;他和他的合作者们以及学生们关于代数特征值问题以及一般多变量多项式系统的同伦方法之广泛与深入的研究,为他赢得此领域领袖人物之一的称号。2005 年 5 月,李天岩的母校台湾新竹清华大学主办了庆祝他六十周岁生日的“数值分析与动力系统国际研讨会”。约克用如下引人入胜的开场白开始了会议的第一个报告:“一百年前,爱因斯坦发表了划时代的四篇论文。三十年前,李天岩完成了三个杰出的工作 ;它们分别是混沌概念、乌拉姆猜想、同伦算法。”约克如此奇妙的比较,正是对他优秀弟子原创性贡献的绝妙概括。

混沌之父Lorenz 的著作《混沌及其基本原理》

Lorenz 蝴蝶效应现象

周期三意味着混沌

现今世界上稍微了解一点动力系统的人,无人不知李天岩与约克于 1975 年 12 月在《美国数学月刊》杂志上发表了一篇极其重要的论文“周期三意味着混沌”。该文首创了“混沌”的数学定义,开拓了整个数学界、科学界对混沌动力系统理论和应用研究的新纪元。在自然科学领域,混沌现象的发现与相对论、量子力学一起被誉称为二十世纪物理学上三大发现。约克对混沌概念有过形象的说明:“生命中充满着小改变导致大变化的情形。例如说车祸,假如人们早个或晚个十秒钟出门,或许就可避免一场车祸。所以小小的改变可以导致很大的变化。”这也是中国成语“差之毫厘谬以千里”之奥秘所在。早在十九世纪 末,1936 年 被 美 国 数 学 家贝尔(Temple Bell)在其名著《数学伟人传》中称为“最后的全能数学家”庞加莱(Henri Poincare)在研究天体运动的“三体问题”时已知道其牛顿运动微分方程组的解对初始条件的敏感性。二十世纪六十年代初,美国麻省理工学院气象学教授爱德华 • 洛伦茨(Edward N. Lorenz)用三个简单的常微分方程来计算可用于天气预报的对流扩散问题时意外发现了长期天气预报的不可行性,即俗称的所谓“蝴蝶效应”:北京的蝴蝶翅膀轻轻一拍,两周后可能导致纽约的一场风暴。七十年代初美国普林斯顿大学生物学教授罗伯特 • 梅(Robert M. May)在用“逻辑斯蒂模型”  S(x)=rx(1-x) 来研究生物种类的数量变化时惊讶地发现当参数  r  接近 4 时,其迭代序列将变得愈加复杂。在这些科学研究的背景下,混沌的数学概念在李天岩与约克的著名论文中应运而生。1961 年冬季的一天,具有数学学士学位并在第二次世界大战中为美国空军从事气象预报工作的洛伦茨教授在他麻省理工学院的办公室,与往常一样用 Royal McBee 型的一台简陋计算机计算与天气预报有关的三个简单非线性微分方程初值问题。算了一阵子之后,为了下楼喝咖啡,他暂停计算,只是把计算机终端上的数据抄了下来。一小时回来之后当他重新输入刚才的数据,却十分吃惊地看到与旧初始值仅仅相差约万分之一的新计算结果和原先预期的计算结果大相径庭,面貌全非。开始他以为这仅仅是计算过程中的舍入误差在作怪吧。但严谨而又细心的他经过反复试验、仔细推敲,终于领悟到这一异常现象根植于该微分方程组的内在特性:初值问题解对初始值的极端敏感性。他的发现随即发表在《大气科学杂志》上,成了十年后点燃“李 – 约克混沌”思想火花的火花塞。洛伦茨 2008 年 4 月以 90 高龄去世 , 他留给世人的“洛伦茨吸引子”成为混沌学领域中最有名的奇异吸引子。1972 年,美国马里兰大学气象学费勒(Allen Feller)教授将洛伦茨关于气象预测模型的那四篇在气象学家眼里理论性太强、数学味太浓的论文递给了同在流体力学及应用数学研究所的数学系约克教授,认为数学家们也许会感兴趣。约克一生致力于数学与科学的联姻,对英国纯粹数学家哈代(Godfrey H. Hardy)以“无用”引为自豪的纯之又纯“象牙塔”式研究颇不以为然。哥伦比亚大学本科一毕 业,他就直奔马里兰大学读数学博士,只因那里有一个流体力学及应用数学研究所这一巨大的“吸引子”。多亏了费勒的引见,约克和他的博士研究生李天岩才能接触到洛伦茨的论文。他们的确甚感兴趣,约克甚至将文章复印数份,四处寄出,这就是为何坊间曾经流传“约克‘发现’洛伦茨”。1973 年 3 月的一天下午,当李天岩来到约克的办公室时,约克对他说,“我有个好主意给你!”(I have a good idea for you)这个想法已在约克头脑中直观地凸现,但他未能予以证明。那时李天岩正在做微分方程方面的研究,以为他所谓的好主意是关于那方面的高深想法,就半开玩笑地 打 趣 道 :“Is your idea good enough for the Monthly?”Monthly 指的是《美国数学月刊》这个一般学生都能看懂的浅近杂志。当李天岩听完约克说完这个好主意后,马上感慨地说,“这将是《数学月刊》一个完美的工作。”因为它所牵涉的语言非常基本。两周后,运用他得心应手的微积分技巧,具体地说,巧妙不断地运用微分学的“介值定理”,李天岩完全证明了这个后来出了名的李 – 约克定理:若实数轴一区间到其自身的连续函数 f 有一个周期为三的点,即存在三个互不相等的数a,b,c   , 使得函数 f   在  a  的值为  b ,在 b   的值为 c  ,在  c  的值为 a  ,则对任意正整数  f ,函数  f  有一周期为  n  的点,即从该点起函数  f  迭代  n  次后又第一次返回到该点。更进一步,对“不可数”个的初始点,函数从这些点出发的“迭代点序列”之最终走向将是杂乱无章 的,无规律可循。当文章写好后,尽管李天岩心里想到的是投给令人尊敬的高等专门杂志,却按照约克的意图,他们寄给了具有大量读者的《美国数学月刊》。但不久文章被退回,理由是该文过于研究性,不太适合此期刊所重点面向的大学生读者群。但编辑同意若作者能改写文章到一般学生都能看懂的地步,可以投回《美国数学月刊》。但是,由于李天岩忙于微分方程等方面的博士论文研究,没功夫改它,也不知怎么改。于是乎,这篇文章就在他桌上被束之高阁将近一年。1974 年是马里兰大学数学系生物数学的“特殊年”。在这一年里,每星期都要请生物数学这个领域里最杰出的学者来校演讲。在五月的第一个星期,他们请来了普林斯顿大学的梅教授演讲一周。梅 1959 年在澳大利亚悉尼大学获得理论物理博士学位,两年博士后在哈佛大学从事应用数学的研究,回到母校做到理论物理正教授之后“心血来潮”地对生物学着迷,1973 年 成为普林斯顿大学动物学讲座教 授,硕果累累。在其最后一天在马里兰的演讲中,梅教授讲了逻辑斯蒂模型的迭代:当参数从小到大变化时其迭代点序列之性态将变得愈来愈复杂。他十分困惑于对这一现象的解释,想像中也许只是计算上的误差所造成的吧。约克听完梅的演讲后,在送他上飞机时,把李天岩桌上躺了将近一年的那篇关于李 – 约克定理的文章给他看。梅看了文章的结果之后,极为吃惊,并认定此定理大大解释了他的疑问。约克从机场回来后立即找到李天岩说,“我们应该马上改写这篇文章。”文章在两个星期内改写完毕,三个月后被《美国数学月刊》接受,并刊登在 1975 年 12 月份的那一期上。

李天岩( 奶奶怀抱者) 及母亲( 最左边);前左是哥哥李灵峰,现为台湾清华大学物理教授著名
李天岩1970 年全家照:前面中间是父母,后排右一为李天岩,后排左一为哥哥李灵峰

1985 年夏,李天岩第一次来祖国大陆学术访问,南至中山大学、北至吉林大学,东到杭州、西临西安,中达北京中科院理论物理研究所,马不停蹄地讲解“混沌”与“同伦”。笔者当时刚获硕士学位不久,留校教书,由系领导特批,飞往他讲学第一站广州,首次聆听他极富魅力的讲座。在中国的演讲中,李 – 约克论文的题目“Period Three Implies Chaos”被他形象地翻译成“周期三则乱七八糟”。这篇令他一举成名、篇幅不长的论文,第一次在数学上严格地引入了“混沌”的定义。尽管早在 1964 年,前苏联数学家沙可夫斯基(A. N. Sharkovsky)证明了较李 – 约克定理第一部分更为一般的结果,但只有李 – 约克定理之第二部分才深刻地揭示了混沌现象的本质特征:混沌动力系统关于初始条件的敏感性以及由此产生的解的最终性态的不可预测性。根据统计,该文可能是数学界及物理学界被引述次数最多的当代重要论文之一,已被引用了超过两千次。

1996 年李天岩获密西根州立大学” 杰出教授奖” 时与母亲合影
1996 年李天岩获密西根州立大学数学系” 弗莱明教学奖” 时与母亲合影

乌拉姆猜想

在日常生活中,概率问题到处可见。波兰科学院院士洛速达(Andrzej Lasota)曾这样讲述概率 :当你准备离开一间屋子时,你出门的时侯有可能前后相差一分钟。随着时间的推移,又有不同的概率及可能发生的事要去考虑。比如,有百分之十的可能,你会发生车祸,而被送往医院 ;或许,有百分之十的机会,你会遇见从未谋面的漂亮女子,而深深为之倾倒,一切皆是偶然。所以事情会演变得愈来愈复杂,所有的事都牵涉到概率。因此约克曾经略显夸张地宣称 :数学是概率的一部分。 遍历理论是研究确定性动力系统诸多概率统计性质的一门数学分支,是集测度论、泛函分析、拓扑学、近世代数等于一身的综合性学科,在物理和工程科学中应用广泛,如统计物理、电子线路,以及与我们日常生活密切相关的无线电话。遍历理论的一个重要论题是关于非线性映射的绝对连续不变测度的存在及计算问题。这一问题又归结为相应的定义在勒贝格可积函数空间上的弗洛比尼尔斯 – 派农(Georg Frobenius 和 Oskar Perron)算子的不变密度函数的存在性与计算问题。对于混沌动力系统,这样的不变测度给出了迭代点的混沌轨道在其相空间中的概率统计分布,并与像熵及李雅普诺夫(Aleksandr Lyapunov)指数这样的重要数学概念密切相关。

1960 年,被誉为美国“氢弹之父”的杰出波兰裔数学家乌拉姆在其名著《数学问题集》中对于计算将单位区间 [0, 1] 映到自己内的非线性映射 S  所对应的弗洛比尼尔斯 – 派农算子的不变密度函数提出了一种数值方法。他将区间 [0, 1] 划分为 n   个子区间,然后他定义了一个  nxn   阶矩阵。这个矩阵的每个元素都是位于 0 与 1 之间的实数。事实上,该矩阵位于第  i  行第  j  列相交处的那个数就是第  i  个子区间中被 S  映到第  j  个子区间中的那些点的比例。计算这个非负矩阵的关于特征值 1 的一个非负左特征向量并将其规范化,就可得到对应于 [0, 1] 区间如上划分的一个逐片常数密度函数。此密度函数可看成弗洛比尼尔斯 – 派农算子的近似不变密度函数。对于这一基于概率想法的数值方法的收敛性,乌拉姆提出了他在计算遍历理论领域现已著名的猜想:当子区间总数 n  趋向于无穷大时,这些近似不变密度函数将收敛于弗洛比尼尔斯 – 派农算子的一个不变密度函数。 1973 年,洛速达与约克在现已成为研究弗洛比尼尔斯 – 派农算子不变密度函数存在性问题的一篇经典性论文中解决了乌拉姆在其《数学问题集》中提出的一个问题 :若  S  为一个足够“简单”的映射(例如逐片线性映射或多项式映射),其导数绝对值不小于 1,将一区间映到自身,则对应的弗洛比尼尔斯 – 派农算子是否存在不变密度函数?事实上,他们证明了如下的“存在性定理”:若区间映射  S  为一逐片二次连续可微映射,且其导数绝对值在该区间上都不小于一大于 1 的常数, 则对应的弗洛比尼尔斯 – 派农算子存在不变密度函数。这个定理证明的关键是用到约克发现的关于有界变差函数与其在某一子区间上的限制之变差之间关系的一个不等式。当李天岩读到上述的洛速达 – 约克定理的证明时,开始了构造计算弗洛比尼尔斯 – 派农算子不变密度函数的数值方法,却全然不知乌拉姆十余年前提出的上述方法。首先他定义了对应于区间 [0, 1] 划分为 n 个子区间的有穷维离散算子。它将每一个可积函数映成在每一子区间上取值为该函数在这一子区间上的平均值的一个逐片常数函数。这一离散算子不光为将可积函数空间投影到逐片常数函数子空间上的迦辽金(Boris Galerkin)投影算子,也是保持积分不变的马尔可夫(Andrey Markov)算子。若将这一算子与弗洛比尼尔斯 – 派农算子复合起来,则该复合算子限制在逐片常数函数全体所组成的子空间上在其标准密度函数基底下的矩阵表示恰为乌拉姆方法中定义的那个非负矩阵。运用下一节所述的布劳威尔不动点定理,李天岩直接证明对每一 个自然数   n,复合算子有一不变密度函数。 他进而敏锐地感觉到有界变差函数的概念以及关于有界变差函数序列的经典赫利(E. Helly)引理在证明他独立提出的方法对于洛速达 – 约克区间映射族之收敛性时应起的作用。借助于洛速达 – 约克不等式与赫利引理,他证明了这个逐片常数逼近法的收敛性。换言之,乌拉姆方法产生的近似不变密度函数序列当 n  趋于无穷大时的确收敛于弗洛比尼尔斯 – 派农算子的不变密度函数。恰在李天岩将这一开创性工作整理成文之际,他才知道他所构造的方法就是“乌拉姆方法”,他所证明的一切就是对乌拉姆猜想的一个解答!自然,文章的题目也相应修改,乌拉姆猜想的说法第一次出现在数学文献当中。多年后李天岩对笔者坦言:“如果我早知这是与冯 • 诺依曼(John von Neumann)齐名的大人物乌拉姆提出的问题,大概吓得不敢去碰。”可是,正如本文后面所转述的,“一个问题,大人物解决不了,并不表示小人物也解决不了。”李天岩这篇发表于 1976 年美国《逼近论杂志》,题为“弗洛比尼尔斯 – 派农算子的有限逼近——乌拉姆猜想的一个解答”的论文让 1960 年诞生的乌拉姆方法声名鹊起。三十多年来,不变测度的计算已成为遍历理论和非线性分析中的一个活跃分支。在几乎所有关于应用乌拉姆方法及其推广计算不变测度的文献中,这篇论文成了必不可少的被引用经典文章之一。此外,他的证明思想也启发了他的学生,即本文作者及其合作者、中国科学院数学与系统科学研究院周爱辉在 1996 年发表的论文中证明对于高洛 – 波亚斯基(P. Gora 和 A. Boyarsky)高维映射族乌拉姆方法的收敛性。

现代同伦算法

学过代数拓扑或非线性泛函分析的人都知道有名的布劳威尔不动点定理 :n 维闭球到此自身的光滑映射必有不动点。此定理的一个漂亮证明是用反证法。若无不动点,则可定义一新的光滑映射,它把闭球上任一点映到由该点在前一映射下的像到该点的线段延长到与球面之交点。易知球面上每一点在这新映射下保持不变。这样我们得到一个由闭球到其边界上且在边界上为恒同映射的光滑映射。而微分拓扑学告诉我们,这是不可能的,因为球面上几乎处处的任一点在该映射下的逆像所构成的光滑曲线无处可跑。

1973 年,当李天岩在旁听美国马里兰大学数学教授凯洛格的研究生课程“非线性方程组数值解”时听到布劳威尔不动点定理的属于美国微分拓扑学家赫希(Morris W. Hirsh)发表于 1963 年的如上证明时,一个奇妙的想法在他脑海中涌现 :既然在赫希的证明中,若假设闭球映射无不动点时,则对如上定义的“射线球面交点映射”,球面上几乎处处任取一点在该映射下的逆像光滑曲线无处可跑,则它必然跑到原先映射的不动点集合中去。更精确地说,若令  F  为 维闭球到此自身的光滑映射的所有不动点组成的非空集合,则利用如上反证法的思想,我们就有将 F   在闭球中的补集映到球面如上定义的光滑映射。由微分拓扑的沙德(Arthur  Sard)引理可知,几乎所有的球面上的点都是该映射的“正则值”,因而这些点在映射下的逆像为起始于该点的一条光滑曲线。这条曲线的另一端不能再回到球面上,也不能在映射的定义域中停止,故必定趋向于原先映射的不动点集 F  。如果能数值逼近这条曲线,就能计算出闭球映射的一个不动点。在凯洛格和约克两位教授的鼓励下,李天岩开始了这一卓越思想的数值实现。在接下来的两个月时间内,他几乎每天都与学校计算中心那台只能用卡片输入的计算机打交道,但总是无功而返,计算机吐出的厚厚一迭纸预示着程序的失败。但李天岩锲而不舍,坚持不懈地修改程序。改错、输入、再改错、再输入,从一个实际计算的门外汉逐步登堂入室。直到有一天,他惊喜地发现计算机仅仅输出一张打印纸,上面正是成功计算出的布劳威尔不动点!他成功了!一个全新的布劳威尔不动点算法诞生了。

有趣的是,凯洛格 – 李 – 约克关于布劳威尔不动点的计算,并非是历史上的首次尝试。尽管他们当时不知道,早在 1967 年,美国耶鲁大学经济学教授斯卡夫(H. Scarf)在研究数量经济学时,将求解一个经济模型的均衡点问题归结为求解定义在 n   维标准单纯形上的一个连续映射 的不动点问题。根据布劳威尔不动点定理,这样的不动点存在。斯卡夫采用了所谓的单纯三角剖分方法,运用组合数学中的斯泊讷(E. Sperner)引理,跟随一条折线来近似  f  的不动点,从而设计了一种单纯剖分不动点算法。在七十年代,此算法被推广成求解非线性方程组的单纯不动点算法,成了热极一时的研究领域。1974 年,当在美国克莱姆森大学举行的第一届国际不动点算法大会组委会获悉凯洛格 – 李 – 约克的新方法时,他们提供了两张飞机票让他们赴会报告这一结果。正如斯卡夫在其会议论文集《不动点算法及其应用》序文中所述 :“对我们众多与会者而言,克莱姆森会议之令人惊奇之处在于凯洛格 – 李 – 约克关于计算连续映射不动点的文章。他们提出了第一个基于微分拓扑思想——而不是我们习以为常的组合技巧——的计算方法。” 虽然单纯不动点算法的研究目前基本上已趋沉寂,以凯洛格 – 李 – 约克方法为“初始点”的现代同伦延拓法研究依然方兴未艾,在不同的领域生根发芽。古典的同伦算法早在上世纪五十年代就有研究,尤其是前苏联数学家戴维登科(D. Davidenko)引入相应的常微分方程初始值问题来数值求解同伦方程。如果我们要计算一个非线性映射 f   的零点 x* ,我们可将零点  a  为已知的一个平凡映射 h  (譬如 说, h(x)=x-a ) 与  f “ 同 伦 ”,即定义同伦映射  H(x,t)=(1-t)h(x)+tf(x) ,其中参数 t  在 0 和 1 之中取值。传统的同伦算法的思想是假设 的零点集可表示成连接 h  的零点  a  与  f  的零点 x*  一条关于 t  “ 单调”的曲线 x(t)  。若对恒等式  H(x(t),t)=0  求关于 的导数,我们就得到可以数值求解的戴维登科常微分方程初值问题。由 t=0   起数值积分到 t=1  时,就可得到 f   的零点 x*  。然而,这一方法的致命弱点在于,在一般情况下同伦曲线不一定总能定义 x   为 t   的单值函数。凯洛格 – 李 – 约克同伦方法的革命性思想是 :只要能保证 0 是映射 的“正则值”,则由于沙德引理以及隐函数定理,光滑同伦曲线必定存在。坐标变量  x  与参变量 t  应具有同等的地位,它们均可视为曲线长度 s   的函数。这样,无论曲线关于 是否“转弯”,运用“预测 – 校正”这一数值手段,我们均能追踪此同伦曲线而得到解。这是现代纯粹数学,尤其是微分拓扑,在计算数学领域中的重要应用。如今,李天岩与凯洛格和约克一道是目前世界上被公认为非线性问题现代同伦法数值计算的创始人,并且对此重要的领域作出了巨大的贡献。

多项式系统数值解

自七十年代提出计算布劳威尔不动点的同伦方法后至今,李天岩一直在求解多项式系统同伦算法这一领域辛勤地开拓着。解多项式方程组的根是相当有趣而且经常出现在应用科学上的问题。譬如说电路分配问题、机械手问题等等。同时这 种问题也出现在混沌理论的研究中,如洛伦茨研究的具有混沌现象的四维常微分方程组的定常状态事实上是其右端多项式方程组的解。李天岩在一次学术演讲中说过 :“多项式方程组求解不光现在要用,两百年以后还是要用!”对具有 个变数的 个多项式方程组,代数几何这一纯数学分支中古典的比左(Etienne Bezout)定理说此方程组所有孤立解总数的一个上界是所有多项式的阶之乘积。这个积称为对应于该方程组的比左数。但在绝大多数情况下,此上界远远大于实际孤立解的个数,其一典型例子为代数特征值问题。对应于  nxn  阶矩阵的特征值问题的二次多项式方程组之比左数为二的 n   次方,但该矩阵最多只有 n  个特征值。三十年来,用同伦算法来解多项式方程组“所有”孤立解的研究引 起 了 很 大 的 注 意。1979 年, 迦协 – 赞格维尔(C. B. Garcia 和 W. I. Zangwill)对解 元 个多项式方程组首先建立了一个同伦,将一所有解为已知的“初始平凡多项式组”与给定多项式组同伦起来。他们证明了:若 0 是该同伦正则值,则多项式方程组的每一个孤立解都是同伦方程的一个相应的解曲线当 t=1  时的终点。重要的是,这些曲线关于同伦参数  绝不转弯朝回走。这样对同一常微分方程组求解初始值为选定平凡多项式组已知零点的不同初始值问题,我们就可以在数值上逼近同伦曲线,因此可找出被求解多项式组所有孤立解的逼近值。但该法的缺陷是,由比左定理知,最多比左数多的所有孤立解要通过数值跟随大大超过比左数个数的同伦曲线才能得到。这样当 趋于 1 时,许多曲线都跑到无穷远去了。跟随这些无用的曲线是个很大的浪费。 同伦算法计算多项式方程组所有孤立解的一大优点是它可并行化,因可在并行机器上同时求解对应于不同初始条件的同一常微分方程。为了克服上述迦协—赞格维尔同伦法的缺陷,周修义、莫莱特 – 派瑞特(J. Mallet-Paret)以及约克介绍了一个包含  n 平方个参数的同伦。他们证明,除了测度为零的集合外,对几乎所有的参数,追随同伦方程的所有比左数条解曲线,就可将多项式组的所有孤立解计算出来。

八十年代初,李天岩大大改进了同伦映射的构造。他证明,对于初始线性多项式乘积方程组,则对几乎所有的系数 , 追随同伦映射比左数条解曲线一样可以找到多项式方程组的所有孤立解。从那时起,他继续探索求解孤立解总数大大小于其 比左数的多项式方程组。这样的方程组被称之为亏损方程组。若用同伦法求解这种多项式方程组,从  t=0  开始我们必须追随比左数条曲线,在  t  趋于 1 时,大多数的曲线都跑到无穷远去了,只能少数的曲线收敛,因此造成极大的浪费。对于数值代数中最重要也是最常见的亏损多项式系统——矩阵特征值问题,李天岩与他的合作者们及学生们提出了用同伦思想求解大型矩阵所有特征值 :将一个特征值为已知或易于求得的同阶矩阵与所求矩阵同伦,然后从 t=0  出发数值追随同伦矩阵的特征值和特征向量曲线,而当  t=1  时得到所求矩阵的特征值与特征向量。他和其韩国博士生李弘九第一个将这一思想在计算机上实现。此后他指导他的中国学生张红、李奎元、曾钟钢、黄良椒、丛栾、金鸣等进一步完善这一算法思想与数值实现。他们成功地发展了用于实对称矩阵、一般实矩阵、以及大型稀疏矩阵特征值计算的同伦算法。即使未考虑其可并行化的优势,仅用单个处理器,对许多大规模代数特征值问题,同伦算法优于基于 QR 分解的标准程序。 对于一般的亏损多项式方程组,构造一个好的同伦算法依赖于初始多项式系统的有效选取。这是因为不光所求多项式方程组的每一个孤立解均来自于初始多项式方程组的某个解出发的同伦曲线,更重要的是我们希望尽可能少的同伦曲线当 趋于 1 时趋于无穷。最理想的构造是这两个多项式组有同样数目的“在无穷远处的零点”。近二十年来,李天岩与索耶尔(T. Sauer)、约克以及他自己的学生王筱沈、李星、高堂安等人运用代数几何的理论和方法,先后发明出选取初始多项式组的一些行之有效的方法,如随机乘积同伦法和 Cheater 同伦法。十多年来,由于伯恩希坦(D. N. Bernshtein)定理的应用,基于解个数组合计数的多面体同伦法倍受青睐。在其中,所谓的“混合体积”之计算至关重要。李天岩与他过去及现在的学生们已取得一系列令人瞩目的新成果,其详情可见他 2003 年发表在《数值分析手册》第十一卷上的长篇综述性论文“求解多项式方程组的同伦延拓法”,在多项式方程组数值解领域,李天岩无愧于其领军人之一的称号。

逆境拼搏

令人难以置信的是,李天岩三十五年来在学术界的卓越贡献,却是在与身体上几乎无时无刻不受到的病痛作顽强搏斗中取得的。他在台湾清华大学读本科时,绰号叫作“棍子”,除了学业成绩名列前茅外,在体育运动上也是一流的,曾任清华大学篮球校队队长和校足球队队员。但当他 1969 年赴美国马里兰大学攻读博士 学位的第二年开始,就感到肾脏逐渐不好,但他依然异常用功,至 1974 年完成了八篇学术论文并取得博士学位。毕业后仅仅六个星期,发现血压竟高达 220/160 毫柱。他于 1976 年 5 月 4 日起开始了长达五年半辛苦的洗肾过程,每周三次,每次五个小时,还不包括医院往返时间。当时他的研究工作大半是在病榻上完成的。与他积极向上的精神相反,当时密西根州立大学统计系聘用的一位印度籍助理教授因肾病而沉沦,最终导致解聘。1980 年 1 月 29 日,李天岩首次接受换肾手术,然而因排斥效应之影响,不久以失败而告终。1981 年 7 月 15 日他成功地接受了他手足情深的妹妹的一个肾脏移植,在这之后的三年内,他的身体逐渐适应,康复不少。然而好景不长,1984 年 2 月 21 日,李天岩发生中风,右半身全部麻痹,并于 4 月 26 日作了脑血管动脉瘤的大手术。在之后的七、八年,他的身体还算平静,虽无大手术,但局部麻醉 的小手术却仍然不断。然而,李天岩趁此机会抓紧时机,在此数年内发展了同伦延拓求解特征值问题和多项式方程组的重要理论及方法,并培养了一批从中国大陆直接招来的博士研究生。除此之外,在此期间他除了几乎每年回台湾进行重要的系列演讲,更于 1985 年 6 月至 7 月首度访问了祖国大陆十余所大学与中国科学院研究所,给出了若干关于混沌动力系统、同伦算法专题演讲,并开始挑选接受大陆研究生,对于将数学根植于国内及提携后进不遗余力。1993 年 1 月 25 日,李天岩在密西根州立大学讲课时,身体突然感到不适而昏倒送医,经医生诊断为脑动脉血管阻塞。其后,他以极其坚韧的毅力与无比的信念战胜了疾病。然而,从 1992 年起他就开始感到腿痛,看遍了无数的中医西医,都没有办法找出病因。后来才知道是背脊椎骨关节炎所引起,最后终于在 1995 年 5 月 30 日动了一次大手术将发炎的部位割掉。在之后的五、六年间,他的身体状况基本平静。然而进入本世纪的第一年的 5 月 2 日,他又做了一次背脊椎骨的手术。之后腿疾虽不时困扰他,但从 2003 年渐有起色。可是,就在笔者应邀为《中国数学家传》丛书第六卷撰写“李天岩传”之时的 2003 年 6 月,李天岩再次遭遇病魔的袭击。6 月 24 日医生对他心脏动脉血管的阻塞进行了及时的治疗与处理,运用刚刚问世不久的最新医疗技术为他动脉血管安装了八个支架。他近年来勤于运动保养身体,每天要游泳一千公尺或步行二英里,身体状况比以前明显好转许多。但由于他全身是病,遍体是伤,一不小心,伤病便会“卷土重来”。最新的例子是 2010 年 6 月他在杭州开会期间,晚间在西湖边意外跌倒,血流如注,在急诊室缝了八针。几天后他绷带在身依约去了东北大学讲学。在过去的几十年中,李天岩长期遭受疾病的巨大痛苦,然而他在逆境中全力拼博,以乐观的大无畏精神一次次战胜病魔。至今,他全身麻醉的大手术已超过十次,局部麻醉手术则不计其数,全身都是开刀的伤痕。他是一个在逆境中求突破,“与病斗其乐无穷”的人,凭藉着一股坚强的毅力及终极的信念去克服一切困难,在最艰难的环境下作出了第一流的研究工作。他常对他的研究生们说,若他们在学习、研究中遇到困难,只要想到他是怎样克服病痛的巨大困难,一切困难就容易迎刃而解了。正是因为这种超人的精神,尽管直至今日依然病痛缠身,李天岩一直在从未间断过的美国国家科学基金会资助下高效多产地工作着、工作着。

李天岩60 岁生日时和老师学生合影(二排中为博士导师Yorke)

治学之道

李天岩几十年如一日具有严谨的治学态度。他常认为,他的成功之道除了有象约克教授这样的好导师,其不二法门无它,就是坚持。他常常对他的学生说,自己并不聪明,而是否聪明过人其实并不重要,能将问题弄个水落石出才重要。他常强调他对问题的看法只不过是比别人多坚持了一分钟。那宝贵的一分钟可能就是造就成功之路的一分钟。一个问题,大人物解决不了,并不表示小人物也解决 不了,大人物思考问题的路径也不等于解决问题的路径。“凭着一股牛劲,凡事坚持到底,绝不轻言放弃”,是他叮咛学生们的名言。他也常说读书做学问一定要作彻底的理解,尤其是作数学,一知半解地记忆表面上的逻辑过程是没有用的。他曾举例说,一个矩阵的行秩为什么会等于列秩呢?其实学过线性代数的大二学生都会证明。然而它实际上所代表的几何意义是什么?物理上的涵义又是什么?从不同的角度来看这个问题时,你将会得到意想不到的结果。

2011年6月李天岩教授在香港浸会大学讲学

李天岩对应用数学家和计算数学家的培养有独特的见解。一方面他极端看重在纯粹数学上下苦功,在理论分析上打下坚实的基础。记得当年笔者到达密西根州立大学第一天就听本系的中国同学说,要成为李教授博士研究生的一个必要条件(而非充分条件)是修过或考过卢丁(W. Rudin)的《实分析与复分析》。另一方面,他又特别强调学生们养成上机计算的好习惯,坚决反对“纸上谈兵”赵括式计算数学学习法。纵观科学发展史,许多激动人心的伟大发现起源于计算上 的“好奇心”。十九世纪初,数学王子高斯曾花费大量的时间从事数值方面的计算,如数论中的质数之分布,科学计算中的最小二乘法的基本思路都可以追溯到他。上世纪下半叶,乌拉姆的蒙特卡洛法,洛伦茨的蝴蝶效应、梅的人口动力学、李天岩的同伦延拓,也无一不是“计算好奇心”催生的产儿。难怪约克在 2005 年参加完他弟子六十岁生日庆祝活动后被台湾数学界采访时语重心长地说 :研究就是去发现叫人赞叹的想法,而动手计算则可能导致伟大发现。 李天岩在台湾上的大学,所以对中国高等教育中普遍存在的填鸭式教学深有体会,并深恶痛绝。他曾讲过这样的故事 :一位数学研究生在博士资格考试的口试时,教授要考她证明特殊的吉洪诺夫(A. Tychonoff)定理:两个紧集的乘积也是紧的。她央求教授让她证明一般的吉洪诺夫定理 :任意个数紧集之乘积也是紧的,因为她记得证明的每一个细节而不知道怎样证明更简单的两个紧集的情形。无独有偶,刚刚去世不久的俄罗斯领军数学家阿诺德(V. I. Arnold)在 2003 年 一篇谈论他的老师、伟大的数学家柯尔莫果洛夫(N. Kolmogorov)的文章中,也讲到他 2002 年面试数学教授候选人时,问了一下二次型 xy 的符号差为几。那位已教线性代数多年并已发表几十篇论文的专家迟迟疑疑地解释道,他的电脑程序一小时可算出任何二次型的符号差,但他的人脑在十五分钟的时间内无法算出该题。李天岩在发表于台湾《数学传播》杂志 31 卷 4 期上一篇基于在母校台湾清华大学两次讲演稿,题为“回首来时路”的文章中以颇具幽默的口吻回忆起当年大学同窗们如何像少年维特烦恼于恋爱那样对高深数学的烦恼,甚至有人差点留下“不想活下去”的遗书,藉以抨击教科书越难越好的教学方针。笔者曾听他清华学弟提到他当年成绩全班第三,但是他“回想起来,当时实在是一窍不通。”到美国求学以后他才知道,数学上的逻辑推理和对数学结构性的认知有相当大的差距。他认为抽象数学的出发点多半起始于对实际问题所建立的数学模型,然后将解决问题的方式抽象成一般理论,以解决更普遍的同类问题。他觉得学习“高档次”的数学理论,绝对必须从低档次数学的理解出发,否则就会像上述两人那样“精通”高深理论而不能回答基于同一想法的初等问题。因此在学习一般的抽象理论之前, 对原始概念的历史发展和来龙去脉要有基本的认识。否则,一开始就面对一大堆莫名其妙的抽象定义,推些莫名其妙的抽象定理,学生如坠迷雾,不知所云,只好背定义、背定理、背逻辑,应付考试。

李天岩和学生摄于美国西佛罗里达大学数学系。从左至右:李奎元,李天岩,黄良椒,王筱沈,曾钟钢,丁玖

李天岩坚决反对学生死记硬背,不求真懂。参加过他为自己学生设计的数学讨论班的历届研究生都不会忘记他对每一个报告者的基本要求:不要光讲“爱泼西龙—代尔它”语言,那仅仅是逻辑,要讲思想,要讲基本思想(basic idea)。他对弟子们生活上关心,学问上严厉。笔者记忆犹新的是某一学期“李天岩小组讨论班”第一周,他在“训话”中以幽默的口吻谆谆告诫大家 :“我不希望你们今后在麦当劳快餐店端盘子!”在讨论班,他要求学生在演示证明一个一般定理时,要先将具体的或特殊的情形解释清楚,坚决反对一开始就在抽象的概念里捉迷藏。几乎所有学生都因讲得不得要领而被他“挂黑板”,但“平时多流汗,战时少流血”的学生们后来大都成为会讲课的大学教授。李天岩坚信,若是真正了解一门学科,就会讲得连高中生也能听得懂。他这样认为,也用这样的准则来训练他的学生,同时也是这样身体力行。他在世界各地应邀所做的数学演讲总是从最初等的概念入手,用最直观的观察引导,听众无不被他深入浅出的生动报告所折服。1986 年,当刚到美国攻读博士学位的笔者在他办公室里准备给他报告菲尔茨奖得主斯梅尔(Stephen Smale)的学生、美国康奈尔大学数学系雷列加(J. Renegar)教授的论文“关于逐片线性道路追踪算法平均情形的复杂性理论”之时,他的第一句话便是“你要把我当成笨蛋,我什么也不知道。”当时笔者十分纳闷,自己慕名而来求学的堂堂大教授,居然“什么也不知道”。正因为面对的是一个“什么也不知道”的数学家,他的弟子们学会了什么是研究数学,什么是讲数学。正因为李天岩独特的研究方法和讲课艺术,他不光获得密西根州立大学的杰出教授奖和杰出教学奖,也影响了他一批又一批的研究生在研究与教学上齐头并进。他的治学之道对一个数学家的成长具有典型的启发性。

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【科学】科学与基督教信仰

甘力克 著   黄大业 译

来源/ 《寻寻问问 ─ 基督教七大疑难解答》

对大众传媒来说,“冲突”是最有新闻价值的元素,因此大众传媒最喜欢把科学与基督教信仰描述为死对头,他们相信这样的描述有两大依据。

一、参看基督教历史,教会不止一次公开驳斥科学研究成果。十七世纪意大利天文学家伽俐略(Galileo Galilei)证实行星绕着太阳旋转,不料会触犯罗马教廷,结果被宗教法庭裁定为异端。伽俐略临终前八年光阴,都在软禁中度过。

教会逼迫科学家的事,不仅发生在十七世纪。一九二五年,美国田纳西州中学教员斯科普斯(John T.Scopes)因在学校讲授进化论而被州政府拘控,结果被判罚款一百元。斯科普斯后来上诉得直,可是上诉得直的理由,是上诉庭认为斯科普斯被判的罚款金额过高。

二、很多人以为随着科学研究发展,人类根本不用再相信神,也可以解答一切疑难,宗教因此成为明日黄花。又有人以为近代科学定理与圣经教导必然抵触,譬如说,近代科学“证明”神迹是没有可能发生的,因此圣经记载的神迹必属虚构。又有人说按照进化论的说法,创世记第一章所记的事根本不可能发生。英国生物学家、不可知论者赫胥黎(T.H.Huxley)说:“人若接纳进化论的观点,就不可能再相信圣经。”

在本章我们要看科学与基督教信仰的关系,尤其要检视“近代科学定理”与基督教信仰有否抵触。

科学与基督教信仰并非不能兼容

追溯起来,近代科学的培植土壤,正是基督教世界观。基督教相信一神,换言之,万有背后存在一个统一的意志,因此自然法则万古不变,不因时地转移。如果宇宙各处分神而治,“自然法则”就没有定律可言,而变成了因时、因地、因神而异——要研究、归纳、推演,就不知从何说起了。

此外,基督教相信创造万有的神,是全知全智、按序按理行事的神。科学家必须先相信宇宙间存在定律,人的探求推断才有意义。十六世纪科学家致力探究自然定理,他们相信自己研究的一事一物,都从一位满有智能的神创造而来。“人类从事科学研究,因为相信自然界有定规;科学家相信自然界有定规,因为相信有一位设立定规的神。”

基督徒相信的神,是超然物外的神,因此人可以通过“大胆假设、小心实验”来探究自然定规。相反,如果物与神等同(正如一些宗教所言),人还可以做实验吗?又如果物质本恶(正如一些宗教所言),做实验就不仅没有意义,更属不智之极了!基督徒相信物质本善,却与神有别,从这信仰引申出来的创世观“为科学事业铺路,成为科技发展不可或缺的动原”。

基督教信仰是科学研究的沃土——这可说是科学家、史学家、哲学家的公论。牛津大学(Oxford University)核物理学讲师贺治森(Peter Hodgson)说:“基督教信仰提供土壤,让科学思想发芽成长,也为科学研究发展提供养料。”史学家巴特非(Herbert Butterfield)认为“基督教思想乃科学之母”。哲学家麦慕理(John MacMurray)说:“科学乃昔日一场轰烈宗教运动之嫡子,其家谱可追溯至耶稣。”

有大量史实表明,基督教信仰与科学研究是世交多于世仇。

科学革命之父、天文学家哥白尼(Nicolaus Copernicus)是“日心说”的倡议人,同时是波兰费琅堡(Frauenburg)大教堂的教士,他说神是“宇宙间最卓越、最有条理的匠人”。

数学家、天体物理学家伽俐略,也是现代机械工程与实验物理学之父,他曾独排众议,不惜得罪罗马教庭,公开指斥“地心说”之荒谬。他虽然遭受教会逼迫,却至死保留天主教徒的身份。他曾经说:“天地间有两部巨著:自然之书、超自然之书——圣经。”

现代光学之父开普勒(Johannes Kepler),也是出色的天文学家与数学家,他最为人知的贡献,称为“开普勒行星运动三大定律”。开普勒是个敬虔爱主的路德宗会友,他说自己“常以神的心为心”。

论到科学界的泰山北斗,史家可能会一致推许牛顿(Isaac Newton)。他的“牛顿力学三大定理”固然警世,在光学、天文学、数学也是贡献良多(人所共知的有微积分、光谱分析等等)。很少人知道的是:牛顿看重圣经权威,深信圣经是神的启示。牛顿除了撰写科学著作,也撰写神学著作,且觉得自己的神学著作比自己的科学著作更有价值。他相信世上没有任何学科比圣经神学更有理据、更具权威。

今日二十英镑钞票的肖像人物是十九世纪的科学翘楚法拉弟(Michael Faraday)。他发现电磁感应现象,从而研制出世上第一具电动马达和第一具发电机,可是法拉弟认为影响他一生最深的,是自己对基督的信仰。

很多一代科学宗师都是基督徒,包括发现“玻意耳定律”的玻意耳(Robert Boyle);首创用消毒液进行外科手术消毒的利斯特(Joseph Lister);发明“巴氏消毒法”的巴斯德(Louis Pasteur);为遗传学奠定基础的孟德尔(Gregor Mendel);现代物理学宗师开尔文(William Kelvin);电磁场理论大师麦克斯韦(James Maxwell)等等。

有人问无痛外科手术的先锋辛普森(James Simpson):“你一生中最重要的发现是什么?”辛普森答道:“是耶稣基督”。

时至今日,仍有很多科学家是基督徒。英国基督徒科学家同盟(Christians in Science)有会员七百多人,而美国的同类组织有会员七千多人。当代物理学大师、英国皇家学会(Royal Society)院士、剑桥大学(Cambridge University)女皇学院院长波京汉(John Polkinghorne)说过:

科学家可以向基督徒阐述有结构的实相,并宇宙悠长进化的过程,从而约束基督徒的口,叫他们不致在神创造世界的事妄下判论。神显然是极有耐性的神,愿意按部就班行事,而不喜欢任意介入自然定律。不过科学家也可以从基督教信仰得着启迪,开拓科学知识以外的眼界。自然界精致巧妙(反映神的心思)、生生不息(彰显神的意旨),处处表明一件事实:万有由神创造。

科学与圣经并无抵触

科学家之间的争议与辩论,其实可能比科学家与神学家之间的争论更多更激,偏偏世人只觉得科学与神学势不两立。

很多人以为科学与神学必然矛盾,并以神迹为例。十七世纪理性主义先锋、犹太裔哲学家斯宾诺沙(Baruch Spinoza)宣称:世上万事都不能干犯自然通则,换言之,斯宾诺沙相信大自然是一个封闭系统。另一位哲学家休谟(David Hume)说神迹违反自然定律,因此不可能发生——但其实这说法属于“循环论证”:如果人已经把“自然定律”界定为“恒久不变的规则”。那么,就算一件神迹的证据如何确凿,既违反了“自然定律”,当然不可能发生。

一九三七年,物理学大师普朗克(Max Planck)宣告:“在科学知识稳步迈进之下,神迹信仰只得节节败退,全面崩溃已是指日可待了。”普朗克的意思,是今日的科学已足以揭开昔日神迹的神秘面纱,古人相信神迹,不过是科学知识不足,不明白自然定律罢了。

事实并非如此。在耶稣的时代,人人都知道什么是自然的事、什么是超自然的事,譬如说,童贞女生子、死人复活,都不是“自然”的事!如果古人对自然定律一无所知,就根本不会有“神迹”的概念。鲁益师(C.S.Lewis)说:“神迹的存在,决不是建基于人对自然定律的无知之上——恰恰相反,是建基于人对自然定律(或多或少)的认识之上。”

最重要的问题是:“世上有神吗?”如果世上有神,神迹当然可以发生!神既有能力创造物质、理性、时间、空间、科学定律,当然有能力、也有自由介入世间事理。如果世上没有神,神迹的发生就欠缺理据了。

单凭哲学、科学、实在不足以解答世间一切疑难。科学定理不像纯数学定理——科学定理绝非牢不可破,却不过是描述性的陈述。斯托德(John Stott)说:“我不是说单凭神迹就可以确立有神论的根基,我只是说:如果我们真的信神,……就有理由相信(也实在没有理由不相信)神迹的实在,因为‘自然定律’不过在描述神行了什么事,却不能约束神会怎样行事。”

很多人认为科学与神学存在矛盾的另一例子,关乎进化论与圣经创世记的记述——当中真有矛盾吗?

我们首要注意的是:进化论的大部分内容,仍不过是一堆未经证实的假设。而所谓“进化”,其实是相当笼统的说法,要了解进化论,起码要懂得分别两种性质不同的“进化”:第一种是“微进化”(micro-evolution)、第二种是“广进化”(macro-evolution)。“微进化”是指某物种的变异与发展,譬如说,我们今日所见的马,比起古代的马体形增加了、体能也提高了,这样的“进化”有凭有据,与圣经的记述也谈不上有什么抵触。

“广进化”是指某物种“进化”成另一物种,最著名的例子,是猿进化为人——很多人以为“人从猿进化而来”是科学界的公论,事实是:广进化论不过是未经证实的假设,更不是所有科学家的共识。其实一切科学定理都非绝对,以牛顿力学定理为例,几百年来,科学界牛顿力学定理为牢不可破的定理,后来爱因斯坦(Albert Einstein)等一班科学家证实了牛顿力学定理在一些情况下并不适用,才出现了量子力学、相对论等等“新定理”。今日有些学校在课堂上讲授未经证实的进化论,却把那些理论说成是“近代科学定理”,实在有违科学精神。

另一点要注意的是:一众基督教神学家,至今仍就创世记的记述作出种种诠释。有人按字面解释六日创造——“六日”就是六天的时间。一九六三年,十位科学家在美国密芝根州成立创世研究学会(The Creation Research Society),今天这学会的成员数以百计(会章规定会员必须持有自然科学或应用科学硕士或博士学位),他们声称神在起初六日已创造了现今世上的一切生物,任何“生物异变”都不偏离神的起初创造。

另一些基督徒对创世记第一章却有别的观点。他们指出“日”原文(希伯来文)可以有其它意思,而这个字即使在旧约中也有好些不同的用法。况且按照创世记描述,太阳在第四日才出现,因此“日”可能不是指“一日(二十四小时)”,而是“一段时期(可以很久)”。换言之,创世记的记述未必与现存的科学见解相悖。宇宙的“年龄”可能真的以亿年计,而世界被造之后,也可能真的发生过某种形式的渐变。再者,创世记作者虽然没有近代科学知识,但他描述物种出现的顺序(植物、动物、人),与进化论有相合之处。

也有人认为创世记所记的不过是神宣告的刹那光景(“神说……”),所宣告的内容却要好长一段时期才完全实现出来——这岂不跟“大爆炸理论”(“Big Bang theory”)相通吗?(大爆炸理论相信宇宙诞生的关键时刻不过为时几分钟。)

不少基督徒相信创世记的陈述属于文学体裁,换言之,作者不一定按神创世的具体顺序而写。创世记不是科学论文,书成于久远的年代(远远在科学时代之前),而作者关注的,又是科学范畴以外的课题。我们知道但凡文学体裁,绝不可纯然按字面作出解释,譬如诗人说:“……世界坚定,不得动摇。”(诗 93:1)诗人描述的是意象而不是现实——可惜伽俐略的对头、当时的宗教领袖偏偏要按字面解释圣经,才会坚称地球是宇宙的中心,因此怒斥“日心说”为异端邪说。

今日有些基督徒从历史得着借鉴,避免硬生生按字面解释创世记头几章,他们有些人更声称“广进化论”证据充足,譬如说,从化石的年份显示,若要按字面解释创世记头几章,的确难而又难。他们认为创世记最重要的启示是:神创造宇宙万有,并以大能确保自然定律运行无误,因此生物得以进化,至终演变成人类。

无论如何,科学发现与圣经记载未必抵触。话又说回来,基督徒在很多关乎创世的问题上仍未有识,所以我们实在不宜太武断(尤其我们这些不是科学家或神学家的人,更不宜妄下定论)。

创世记第一章的要旨不在解答“怎样”、“何时”(科学问题),而在解答“为什么”、“谁”(神学问题)。圣经作者不在解答科学问题,而在解答神学问题。不过科学家与神学家所问的问题虽然本质有异,却能互补参照。一代科学宗师霍金(Stephen Hawking)说:“就算科学可以清楚描述宇宙起源的细节,仍不能回答一个问题:宇宙为什么存在?”

兰约翰(John Lennox)说了一个很好的譬喻:“假设我捧来一个美得不能再美的蛋糕,在我面前,是好几位来自世界各地、出类拔萃的专家与学者,他们要替我分析我的蛋糕。第一位站出来的是营养学家,他侃侃谈论蛋糕上各样材料的营养价值如何均衡有度;然后一位生化学家站出来讲解蛋糕的生化成份;另一位化学家站出来说:‘嗯,成份固然重要,但基本化学成份更重要。’;然后一位物理学家站出来说:‘他们的话都有道理,但我们必须先了解电子、质子、夸克(quark)等等的运行。’最后站出来的是一位数学家,他说:‘归根到底,你们必须知道那些电子、质子、夸克运行的数学方程式。’所有科学家天花乱坠一番后,我说:‘各位朋友,我只有一个问题要问:烘制这个蛋糕所为何事?’最后站出来的是烘制蛋糕的厨师,我亲爱的玛花达阿姨。

“只有烘制蛋糕的人,才会知道烘制那蛋糕所为何事。其它人的科学分析不论如何详尽透彻,也不能解答‘为什么’的疑问。”

“玛花达阿姨终于开腔说:‘让我揭开谜底吧!这个蛋糕是烘制给我姨甥的,他明天生日呢!’这就是答案!不论世上的科学家怎样努力探究,也不会知道这世界为什么要存在,除非世界的创造主向人显明他的旨意。可喜的是,创造主的确向世人显明了他的旨意——就记载在创世记之中。”

科学与圣经互补参照

神藉着万有创造向人启示自己,更藉着耶稣基督(参照圣经记载)向人启示自己。科学研究的课题,是神在大自然的普通启示;神学研究的课题,是神藉着耶稣基督、藉着圣经赐给世人的特殊启示。

论到神在大自然的普通启示,诗人说:

诸天述说神的荣耀,
穹苍传扬他的手段,
这日到那日发出言语,
这夜到那夜传出知识,
无言无语,
也无声音可听,
他的量带通遍天下,
他的言语传到地极。
(诗篇19:1-4)

使徒保罗也说过类似的话:“自从造天地以来,神的永能和神性是明明可知的,虽是眼不能见,但藉着所造之物就可以晓得,叫人无可推诿。”(罗马书1:20;也参看使徒行传14:17;17:22-28)

有些基督徒(如:十八世纪的佩里[William Paley])认为“自然神学”已足以证明神存在,他们的意思是:人从万有创造的普通启示,可以得出“神存在”的证据。可是“自然神学”似乎说得过了头——比较稳妥的说法,是神在他创造的世界处处留下点点线索,让人可以查究他的存在与性情。

下面我们要看两个例子。

第一个例子:凡事皆有因,如果一直追溯上去,至终会得出“第一因”。

可能很多人听过这个故事:有一个人在伦敦海德公园攻击有神论,他大声宣称万事发生无缘无由,根本没有逻辑可言,说话之际,有人向他丢蕃茄。“是谁干的好事?”他气呼呼的吼道。人群中一把声音回答说:“没有人用蕃茄打你啊——那蕃茄自己飞过去罢了!”

上述例子不是“神存在”的证据,却可引发人思索“神存在”的问题。以我自己来说,我比较容易接受“神从无有创造万有”,而难以接受“万有都是无中生有”。达尔文(Charles Darwin)在年迈之日写下这样的话:“这茫茫无边、美丽动人的宇宙(还有住在其中的人类),实在不可能是盲目碰撞、机遇巧合的结果。我再三思量,不得不相信‘第一因’的实在,这第一因满有智能(与人相仿),我甚至要自称为有神论者了。”

另一个例子:凡事皆有设计。

这也不是“神存在”的证据,却是很好的线索。来自佛教背景的域甘马辛尔(Chandrs Wickramasinghe)说:“生命在世上偶然发生的机率,就像一场台风猛吹一处垃圾场,竟然把肥料打成一架波音七四七客机一般的不可思议。”

设计论”近年谈论得很多,可能因为“人类定律”(anthropic Principle)时兴所致。所谓“人类定律”,是说人类存在的物理条件宽容度极低,只要有丝毫差异,生命根本不会出现。

在宇宙膨胀初期,张力(使物质分散)与引力(使物质聚合)的平衡非常关键:如果张力过大,物质散开的速度过高,物质就难以凝聚成星体,更遑论银河了。如果物质过度分崩离析,就不可能出现生命——但如果引力过大,导致宇宙内陷塌掉,生命也不可能出现。事实上,在宇宙诞生之初,张力、引力的差异不可超过10的60次分之一。识数之人会被这数字吓得目瞪口呆,至于不识数之人,让我借用戴维斯(Paul Davies)的一个比喻来说明这是怎么样的精确度:就像要从二百二十亿光年(已知宇宙的阔度)之外,打中一个直径半英寸的目标!

霍金说:

在大爆炸发生之后一秒,如果宇宙的密度多一万亿分之一,宇宙就会在十年后内陷塌掉;但如果少了一万亿分之一,宇宙在就会在十年后散得空空如也。宇宙起初的密度怎会那样精确?这背后一定有原因。

虽然霍金不相信世上有创造主,但他的理论却隐隐指向有神论。

除了生命的出现叫人惊叹,世上还有很多事物,譬如:人类智能、自然秩序、友谊、公义、美、爱,都叫人难以用纯科学观点来阐释。上述种种都不过是自然率的产品、物竞天择的结果吗?世事背后真的没有任何智能与心思吗?

科学可以成为导引人寻找神的明灯。人可以从普通启示思索神的大能、智能、心思,但如果没有耶稣基督与圣经的特殊启示,人对神的知识仍是非常有限。

信奉犹太教的爱因斯坦说过:“科学与宗教不应该有抵触。人单有科学,没有宗教,不过是跛子;单有宗教,没有科学,不过是瞎子。”这说法有几个理据:

一、人不能单靠科学寻获圣经的神。

“科学家单凭科学方法,不可能发现神、或证明神存在——但这证明不了什么,不过证明他们采用的方法错了。”

人除了普通启示,也需要神的特殊启示。诗篇十九篇头六节描述神的普通启示,后半篇描述神的特殊启示(神的律法)。世人唯有藉着神的特殊启示,才可以寻获“我们主耶稣基督的父神。”

二、科学不能满足人心底的需要。

禾柏特(Lewis Wolpert)在英国《时报》(The Times)说:“没有宗教信仰的科学家(或任何人)必须面对这样的一个世界:这世界没有目标,也没有方向;或喜或忧,没有任何意义;或生或死,没有什么分别;人人死后一了百了,也没有来生。”科学不能帮助人面对世间的悲欢离合,不能帮助人处理道德疑难,也不能帮助人解决罪疚的煎熬。唯有藉着耶稣基督十字架代赎工夫,人才能够识破上述疑团。

流行小说作家贺苏珊(Susan Howatch)身家丰厚,香车豪宅绰有余裕,不料后来婚姻破裂。她公开说:“神揪住我的后颈,把我拎了起来。”她后来信了基督。她捐出一百万英镑给剑桥大学,设立一席以“神学与自然科学”为题的教席,因为贺苏珊深信科学与神学是“真理的两面”。

我们需要科学,也需要科学家,科学家对人类文明贡献良多,但我们更需要基督教信仰,更需要耶稣基督。

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【书籍】《公义与良善:自由民主的十字架路标》

沈阳著、普世佳音2019年6月出版的《公义与良善:自由民主的十字架路标》,选择了美国-英国、以色列、印度- 泰国、日本、韩国、中国、苏联-俄罗斯、土耳其-沙特等具有代表性的国家做政治文化和政治社会学的样本分析。

这些国家分表代表新教世界、犹太教世界、印度教-佛教世界、东亚神道教世界、东亚萨满教转型而成的亚洲基督教世界、东正教世界、伊斯兰教世界(含世俗威权国家与君主制国家)的政治文化和政体选择,并在最后两章谈了人性论(人论)与基督的替代性救赎。

可以说,藉着《公义与良善:自由民主的十字架路标》一书,我们所做的,是孟德斯鸠《论法的精神》、托克维尔《论美国的民主》里所开辟的政治社会学以及韦伯《新教伦理与资本主义精神》的继续。由于写作于至少一百年前,对当前全球文明冲突的格局的分析,这些经典,多少具有滞后性。

与上述三本经典不一样的是,在亨廷顿的《文明的冲突与世界秩序的重建》一书的基础上,且超越于亨廷顿著作仍然显得过于国家主义和罗马主义的价值观与分析框架,《公义与良善:自由民主的十字架路标》一书,所坚持的是宗教改革的“神恩独作论”神学立场,也就是以十字架救恩为中心的改革宗立场。

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目 录
安平前言 : 时代的歌吟 / 01
朱欣欣序 : 以十字架为路标的这民这国,蒙了恩光的照耀 / 04
自序:当“神的国”临在于这世界,人类万族就被迥然有别了 / 09
第一章 在基督教社会,自由民主是如何崛起的?
一、人人受造而平等,美国立宪价值观的基础共识 / 26
二、因为“罪”,政府权力当时刻被警醒而受限 / 29
三、拒绝“口号政治”,全方位认识北美殖民地的立宪政治 / 33
四、自然神论和正统基督教隐性的、公开的辩论 / 37
五、余论:实证考察美国基督教社会自由民主的崛起 / 42
第二章 从奴隶到选民:奴隶制在美国的宪政化解决
一、给奴隶以自由,本是美国基督教及立宪建国精神的呼求 / 45
二、利益和政治意识形态,使得美国对废奴并未形成共识 / 48
三、区别国教为基督教的英国,美国废奴只能靠铁与火的战争 / 52
四、黑人选举权及社会平权的落实:一场场妥协而漫长的政治交易 / 53
第三章 从终极正义到制度正义:公务员财产申报制的美国逻辑
一、圣灵引导下的诚实舍己:使徒时代个人自愿“财产申报” / 61
二、正义源于超越性的分野:终极正义、制度正义和事件正义 / 67
三、世俗化时代:从《政党分肥制》到《政党论理法案》”/ 74
第四章 市场文明之道:金融文明的密码与基督教发展
一、以基督教之名的“文攻武卫”:十字军东征的故事 / 82
二、圣殿骑士团:战争环境与宗教献身精神下的金融家 / 87
三、中世纪天主教对现代金融的促进和长远阻碍 / 92
四、十字架的福音为何对金融文明那么重要 / 94
五、为何难以重建当代以爱、诚信与献身为根基的金融文化?/ 98
第五章 有律法无救恩样本之一:以色列“成功”的局限
一、人类迄今罕见文明传统未曾中断的流浪民族 / 105
二、以色列蒙神特别护理,却拒绝了十字架上的耶稣 / 109
三、以律法为中心的宪政以色列,与英美生活迥然有别 / 115
四、成为拿撒勒人耶稣的信徒:“犹太国家”以色列的真正出路 / 117
第六章 有“律法”无救恩样本之二:日本现代化悲喜剧
一、强调纪律的日本:以嫡长子继承制为考察对象 / 127
二、清算 vs 赦罪:日本文化与欧美文化的差异 / 131
三、本色化的日本神学:无教会运动和“基督教主义 ” / 138
四、日本与东亚其他国家(例如韩国)的区别 / 146
第七章 缺乏系统正义将如何?:东正教苏俄歧路漫漫
一、俄罗斯为什么会走到今天?/ 156
二、同为东正教,塞浦路斯左而亲俄罗斯 / 158
三、东正教的治理体系为何问题重重?/ 165
四、东正教的“宗教改革”让俄罗斯变本加厉 / 166
第八章 军人现代化难以长久,中东实为封闭循环体系
一、经济繁荣背后,土耳其文化血统阴影重重 / 172
二、区别于突厥族和波斯族,阿拉伯民族有其引以为豪的历史 / 178
三、世俗威权主义一旦被推翻,中东国家必然极端势力回潮 / 182
四、无论贫富,中东伊斯兰国家普遍难以宪政化转型 / 187
五、除了大国干预,中东问题的内部症结在伊斯兰教律法主义 / 192
第九章 现代化中的“绝望”:印度教、佛教与“特蕾莎修女悖论”
一、印度城市中的贫民窟与特蕾莎修女的道德责任 / 199
二、道德型公益慈善的软肋与“特蕾莎修女悖论” / 201
三、在政治社会学层面,印度教、佛教等诸多东方宗教具有共性 / 206
四、中国:一个多数知识分子倾向于儒释道情怀的佛教国家 / 208
第十章 走出无律法无恩典,在十字架神学中反思中国文明 216
一、长久以来,中国最底层的民众极其期待健全的社会福利体系 / 217
二、就社会而言,中国民族亟须在平等中确立起真正的人格尊重 / 220
三、惟有十字架路标,惟有基于恩典与律法整全性的“悔改重生” / 226
四、分别为圣,在拒绝与世界联合的门徒培训中操练平等舍己的品格 / 231
第十一章 不是注定败坏,更非天然成善:坦然面对真实人性
一、关于人性,众说纷纭,圣经给了形成性定义 / 240
二、道成肉身的耶稣是完全的人,是“叫人活的灵” / 241
三、重生的人本质上不再“性恶”,更非“全然败坏” / 244
四、地上基督徒绝非全善;神全善,天国里的人才全善 / 246
五、就行为论,没有蒙恩得救之人,亦非毫无是处 / 248
六、这样,人性不是至善,亦非至恶,而是动态的 / 251
七、汉语基督教界对“性恶论”的价值认同缺乏足够支持 / 253
八、“理性的经济人”不但回避了基督论,而且不太实证 / 257
九、基督教会应当主动回应当代“人性论”共识危机 / 260
第十二章 因信称义:在基督的替代性救赎中看待人类社会
一、福音的核心是耶稣的死和复活所表明的替代性救赎 / 267
二、“核心信息”之意是其他信息应当服从、服务于这一信息 / 268
三、基督福音关乎罪得赦免,关乎天国地狱、永生永死 / 271
四、作为神圣应许的福音,是耶稣基督为我们做的 / 273
五、挽回祭,全在主耶稣基督十字架救恩之名 / 274
六、我们当且仅当透过十字架上的耶稣基督来认识神 / 278
七、福音不是神的律法,更不是各种人造的命令 / 281
八、“神恩独作论”是颠扑不破、却屡屡被蛮横否定的真理 / 283
九、一个探讨:个体道德 vs 公共政策,何者居于政治评价首位?/ 287
后记:这个世界不配有的基督教文明,真正的保守主义:“只夸耶稣基督并他钉十字架”/292
朱约翰牧师回应一:这是一本坚持“耶路撒冷不必感谢雅典”范式的力作 /303孙宏广牧师回应二:超越儒家家国主义的“上帝之城”叙述 /305
单传航先生回应三:中国已经接纳的罗马文明,亟须基督教文明来合成升级 /310

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沈阳读书会公号

【书籍】无语问上帝
【书籍】返璞归真
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【文摘】数学难题汇编(15)

1.任意一个nm+1的序列,必有n+1的增子序列或m+1的减子序列。

2.Let f(m,n) be the maximum possible number of edges in a simple graph on n vertices which contains no m-cycle.
Determine f(m,n)?

2.对于有n个顶点的简单图G,令f(m,n)表示使这个图不包含m-圈的边可能的最大数量,请确定f(m,n)的估值情况。

3.If ab+1, ac+1, and bc+1 are squares?

3.对于三个整数a,b,c,是否ab+1,ac+1和bc+1可以都是完全平方数?

4.No Four Squares In Arithmetic Progression。

4.在等差数列中,是否能够存在连续的4个完全平方数?

5.(Paul Erdos)Divergence implies arithmetic progressions
If the sum of the reciprocals of a set of positive integers is infinite, must the set contain arbitrarily long finite arithmetic progressions?

5.如果一个正整数序列的倒数序列的级数和是发散的,那么这个正整数序列一定包含任意长度的等差数列。

6.Are there only finitely many perfect squares with just two different nonzero decimal digits?
For example, 38^2=1444, 88^2=7744, 109^2=11881, 173^2=29929, 212^2=44944, 235^2=55225, and 3114^2=9696996.

6.是否只存在有限个完全平方数,满足它们仅仅由不同的两个数字组成?
例如: 38^2=1444, 88^2=7744, 109^2=11881, 173^2=29929, 212^2=44944, 235^2=55225, and 3114^2=9696996。

7.Can a closed curve in the plane have more than one equichordal point?
The line joining two points on a curve is called a chord.
A point inside a closed convex curve in the plane is called an equichordal point if all chords through that point have the same length. For example, the center of a circle is an equichordal point for that circle.

7.是否存在一个封闭的曲线,它具有多个等径点。

8.Is there a set S in the plane such that every set congruent to S contains exactly one lattice point?
A lattice point is a point with integer coordinates.

8.在平面上,是否存在一个集合S,满足,任何一个与S全等的集合都正好包含一个格点?

9.Can you find three integers x, y, and z, such that (x+y+z)^3=xyz?

9.是否存在三个整数x,y,z,满足 (x+y+z)^3=xyz?

10.Are there integers n and x (with n>7) such that n!=x^2-1?

10.是否存在整数n和x,其中n>7,满足 n!=x^2-1?

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【文摘】千年之交话数学

开场白

二十世纪是数学的黄金时代。许多重大而长期没有答案的问题终于得到了解决,究其成功的原因,大多数由于我们对数学各个分之之间复杂的相互影响及作用有了日益增长的了解。那些相互关联不断深化和扩大,从而数学开始跨越自我来探索与其他科学领域间的相互作用,已经导致了一些伟大的深刻见解的产生,也导致了数学领域在广度和深度上进一步扩大。我将在本文中讨论几个这样的相互作用以及由此产生的深刻见解,描述二十世纪的一些数学成就,还要提出我们在二十一世纪将面临的一些挑战和机遇。

引言

作为数学家,我们在讨论我们自己的学科时总面临着进退两难的窘竟。向一般读者解释数学的最有效的方法是使用比喻,然而这要以丧失精确性为代价并招致被误解的危险。
另一方面高深的数学术语对大多数人而言是晦涩难懂的,这些人中也包含了其他的可学家。上届国际数学家联盟主席,我的同事DAVID MUMFORD曾说:“作为一个职业数学家,我以习惯于生活在一种完全孤立的环境中,在它周围的人们……带着一种古怪的自豪感宣称,他们是数学盲。”
然而,在数学界内部,使用精确的语言却有明显的好处。由于它的抽象性和普遍性,数学没有语言的疆界和政治的疆界。这便是数学为什么总是带有一种明显的国际风味的原因之一。一个日本数学家通常可以不经翻译便读懂德国同行们的文章。
世界范围内在十分积极的从事研究工作的数学科学家数量不大(很可能不足一万人),因而在每个特定分支内工作的高度专门化的人员的数量也很少。这种形式所产生的必然结果是:不管他们居住在哪国,同行们相互之间都很了解,并进行着远距离的合作。本世纪中,由不同国度的数学家联合署名的文章越来越多(1981-1993年间增加了50%)。
看来数学家们对世界一体化这一当代潮流还是很适应的。
然而这些数学家所做的到底是什么呢?从大处看,数学探求的是一些结构与模式,它们能为我们的宇宙带来秩序,并使它简单明了。可以说,一向数学研究的目的或它的出发点并不比它显露出来的模式和协同性来的重要。正是这些模式和协同性给予数学以威力因为他们常能用来阐明另外的完全不同的领域和过程:数学的其他分支,其他的科学,或整个社会。

数学世界-Fermat大定理

第一个要讲的是A. Wiles给出的关于Fermat大定理的发证明,它曾是1993年度的全球性新闻。这个例子之所以有意思,一方面在于Fermat这个人:他是个行为怪癖的法学家,一个没有发表过一篇文章的业余数学家;另一方面则在于Wiles这个人:他在这个问题上独自辛勤耕耘了7年。还有一个原因是问题本身,它的解答依赖于350年来特别是近半个世纪以来许多数学家所作出的在代数数论方面的基本进展。
这是Pierre de Fermat在研读Diophantus所写的《算术》这本关于数论的古代教科书时写下来的定理。自古希腊之后,人们对数论的兴趣已经衰减;但Fermat热爱数字。

他偶然看到了我们大多数人在学校都学过的毕达哥拉斯方程:x^2+y^2=z^2。直到今天无数学校的孩童们仍在学说着:“直角三角形斜边长的平方等于另外两边长的平方和。”
毕达哥拉斯的整数解尤为有趣,譬如象勾三股四弦五这种漂亮的直角三角形解。Fermat注意到,当方程的指数大于二时,他可能没有整数解。同时他用拉丁文写到,他发现了对此结论的奇妙的证明,可惜书的空白太小无法写下。但是,人们从来就不曾找到这样的证明。Fermat写了很多这样的眉批(有些是用来嘲弄他的同时代的数学家的),经过了几个世纪,这些眉批中提出的问题都重新得到了解答但惟独这个没有,即Fermat大定理。
Adrew Wiles生长在英格兰,他第一次看到Fermat大定理是在剑桥大学图书馆里,时年十九。他认定,有一天他要证明它。尽管当时他还是一个年轻数学家,但他已经知道直接由Fermat大定理本身来追寻答案是不可取的,取而代之,他决定在代数数论的一个复杂领域,即Iwasawa理论上展开工作。但是他从来没有忘记过Fermat。
1986年他获悉伯克利加洲大学的一个同行Ken Ribet取得了突破进展,他将Fermat大定理与另一个尚未解决的问题联系起来了,这个问题就是所谓的Taniyama-Shimura猜想;这是1955年提出来的以代数几何方式阐明的一个另人惊奇的好猜想。综合了一连串的极其复杂的推理之后,上述的这个联系表明,如果证明了这个猜想也就证明了Fermat大定理,它在椭圆曲线与模形式这两个复杂而又精细的领域之间架起了一做桥梁,给出了一部字典,使这两个领域中的问题和观点可以相互转换。它还意味着,Wiles早期在代数数论中的工作对他做Fermat大定理是有帮助的;不管他能不能找到一个证明,他都可以引出一些有意思的问题来。在一连串令人困惑的阻碍和猛然的醒悟之后,他终于找到了一个证明。甚至在已经提交了他的成果之后,在审稿过程中还发现了一个关系重大的错误,这使他又多干了一年多的活。一时似乎又没有解决办法了,最后却又有了。Wiles称这个最终的领悟是“我研究生涯中最重要的时刻。它是如此难以明状的美丽,它是如此的简明而精练,我目瞪口呆了足有二十分钟而不敢置信。”
“或许借用穿过一座黑暗而未经勘察过的大厦的行程来描述我作数学的经验是最好不过的了。你进到大厦的第一个房间,它完全漆黑一团,你跌跌撞撞的转来转去,碰撞着各种家具;但是一般说来,你还是知道了每件家具的位置。最终大概在六个月左右,你找到的照明开关,开了灯;忽然间一切都照亮了,你完全明白了你在那里。而后你又进到下一间房间,又在黑暗中花去六个月。这些突破的每一个,或是瞬间的或是超过一两天的,它们都是先前许多个月在黑暗中跌跌撞撞,转来转去的最终结果,没有这些就没有突破。”
——摘自“Andrew Wiles, who provet Fermat’s Last Theorem in 1993”
Fermat真的在十七世纪就完成了他的证明吗?无疑一些人还会去继续寻找肯定答案的证据,但事实极可能不是这样。Wiles的工作应用了在Fermat时代还没有的而在19和20世纪才出现的全部数学分支。在Fermat方程下面正展现出一个巨大而精细的形式结构,他正是数学家们努力寻求的东西。Fermat大定理的解答是由于对那个结构的了解才出现的。

数学世界-Kepler的球堆积猜想

第二个问题是Kepler的球堆积猜想。象Fermat问题一样,球堆积问题只能在最近的几十年里才能得以解决。即便如此,它也花费了Thomas Hales十年的时间。Hales是Michigan大学的数学教授,也如Fermat问题,球堆积问题听起来简单,但在差不多四个世纪时间里它打败了数学家。这两个问题都有捉摸不定的难点,以至有无数数学家曾相信他们找到了答案——可是,这些答案原来都是错的。
这个问题是在16世纪后半叶提出来的,是当时Walter Raleigh爵士向英国数学家Thomas Harriot提的一个问题:找一个快捷方法来估计在船甲板上能码放的炮弹数目。Harriot转而写信告诉了德国天文学家Johannes Kepler,他也对码放问题感兴趣;如何将球放置的使期间的空隙最小?Kepler发现最为有效的方式莫过于水手们码放炮弹的自然方式或是杂货商们码放橘子的方式了,这些自然方式称为面心立方堆积。Kepler声称,以这种技巧给出的堆积是一种最紧密的方式,从而在没有其他排列能够在同一容器中放进更多的球状物。这个断言便冠以Kelper猜想而知名。
主要的进展是在十九世纪取得的。那时具有传奇色彩的德国数学家Karl Friedrich Gauss证明了橘堆式的排列是在所有格堆式中最为有效的;但是这并没有排除掉存在更为有效的非格式排列的可能性。到二十世纪,Hilbert认为Kepler猜想十分重要从而把它收入到他的23个重大的待解决的问题中。
此问题的困难在于有数量巨大的可能性必须排除。20世纪中叶,数学家们知道了如何把它约化到一个有穷的问题,但该问题仍然太复杂而无法计算。1953年有了重大的进展当时匈牙利数学家Laszlo Fejes Toth把它约化到对许多特殊情形的大量计算,并且提出了可能用计算机去解决的办法。
Hales面临的挑战仍然十分巨大。他的方程含有150个变量,每个变量的变化必须描绘出每中可以想象到的堆积方式。证明用了250页的论证来解释,它包含了3G的计算机文件;它大量的依赖于由其他分支来的方法,其中包括整体最优化理论,线性规划及区间运算。Hales承认,对于如此冗长如此复杂的一个证明,任何人要确认它所有细节的正确性都是颇费时日的。
值得一提的是上述做法决不是无足轻重的。球堆积这个课题属于数学的一个关键部分,它是支撑着差错检测码和纠错码理论的基础。而这些理论被广泛应用于在高密度盘上存储信息,用于压缩信息以便在全世界范围内传输。在今天的信息社会中还难于想出比这更有意义的应用了。

数学世界-四色问题

作为球堆积的附带问题,值得一提所谓绘制地图的四色问题。问题的叙述是:对任何一张地图着色时,如果使相临的国家着以不同的颜色,那么只用四种不同的颜色就足够了。它与球堆积问题的类似之处有二:一它是个初等问题,当英国数学家Francis Guthrie在1852年提出时似乎就可以直接做出来;第二个相似之处是所给出的证明是把它化为一个有穷的问题,然后需要完成极大的计算量。
证明是由Wolfgang Haken和Kenneth Appel在1976年完成的,它包含了如下结论:如果列出的x张地图中每张都可以用四色着色,则所有其他的地图也都可以。虽然可以想象的地图数有无穷多张,但二人指出他们全部都能四色着色只依赖于有限多张基本地图的着色性,尽管其数量仍然十分庞大。这是要屈从于计算机本身能力的第一个有意义的问题。
同时,它引出了一些人的看法:那种“蛮力”式的计算机证明缺乏传统证明的明晰性,这就是说,他们证明了这个猜想为真,但是并没解释为什么是这样。预期就此问题还会有进一步的辩论。

数学世界-数学的双重性

我们已经谈到了数学的那种自命不凡的名声;事实上,它被称之为科学的女皇:多少有点高人一等的意味。有一种纯而又纯虚无缥缈的感觉,又一种为他们自己而起舞的感觉,的确,数学家G. H. Hardy就说过,数学活动应该被视为一种艺术形式。
实际上,这里确有一种与艺术平行的东西,象艺术家一样,数学家相当倚重于审美观和直观。在洗澡或散步之时就解决了问题这决非罕见之事。至于实用性,这是数学家最为宠爱的一个论点。只举少数几个例子,现代计算机要是没有来不尼兹的二进制数码就不可能出现;没有雷曼几何的发展,爱因斯坦就不可能阐明他的相对论;还有量子力学的庞大结构,晶体学及通讯技术,他们都实实在在建立在群论的平台上。
另外,相对于数学家的人数而言,他们所达到的领域似乎更大。那就是说,数学家们(在一个孤单的行星上一个孤单的物种中的一个微不足道的子群落)的思维产物似乎反映了能用于整个宇宙的原理。在本世纪早期,物理学家Fugene Wigner称此现象为“(抽象)数学在自然科学中不可思议的有效性”;到了今天,人们还可以把这种有效性扩大到药物设计,财经以及其他的许多领域。对于数学构想的最初起源有着许多不同的见解。
Arthur Jaffe的意见是:“数学的概念与思想并非完全从研究者的头脑中长出来。数学家经常从自然界的各种模式中获得灵感。在我们探索其他自然现象的时候,我们从与自然界的每次遭遇中所吸取的教训一直在起作用。”
数学家总是把他们的发现带进相临的领域,在那里他们产生新的洞见乃至整个新的分支。英国哲学家培根在启蒙运动前期的1605年就预先描绘过这种与恰当的想象力结为一体的科学中的基本原则:“没有任何一个完美的发现是在同一个水平或在平坦状态上得到的;如果你站在与这门科学同一水平而不登上一门更高的科学的台阶,你就不可能发现它的更深更远的部分。”
在二十世纪,数学一次又一次的登上了那个更高台阶。举例来说,x射线断层照相术(CAT与MRI扫描技术)的发展是建立在积分几何的基础上的;数据安全传输理论的产生有赖于素数的算术;在电子通讯中,大范围的高效的网络设计使用了群的无限维表示论。
因此数学具有双重性:一方面它是一门`独立的学科,其中的价值观取决于精确性与内在美;另一方面,它又是实用世界中各种工具的丰富源泉。这种双重性的两个方面紧密关联。在本文后面的部分,我们将会看到:在二十世纪正是由于这些关联的强化才使得数学领域不断的增强了有效性,这不仅仅指在数学的内部,在其外部世界也同样如此。

二十世纪的潮流-引言

说当今的数学是健康的主要理由,在于这个领域内的各种壁垒以分蹦离析。乍看起来,全部数学具有一个由两千多年以来的概念、猜想、假设和定理堆积成的硕大无比的躯体,似乎应当藐视任何统一的可能性。那种一个巨人(象欧拉高斯)可以象整个数学发号施令的日子已经一去不复反了。随着二站之后各个分支的飞速发展,数学变的相当专门化,以至于从事某个分支工作的人很难与他们自己专业以外的人进行交流。
今天,这些专家们通常分散在波思、普林斯顿、伯克利和东京各处。
然而相辅于这些分离的趋势确是另一种日益增强的趋势,即以一种包罗一切分支的方式来解决有趣的问题。过去看作完全无关的各个分支现在则被看作一个整体的各个部分,因为他们之间出现了新的联系,就以我最熟悉的领域代数几何为例,它结合了代数、几何、拓扑和分析。就在本世纪行将结束之前,在纯数学的一些顶尖成就中,这个相互联系极强的领域里发生的协同作用起了主要的作用。当然,其中一个成就就是Fermat大定理的解决,另一个则是Mordell猜想的解决。后者是说,一个次数大于四的有理系数多项式方程最多只有有限个有理数解(Fermat方程则没有这类解)。第三个是解决了Weil猜想,他是Riemann猜想在有限域中的一个类比。所有这些成就反映了数学家能同时利用多种分支并把数学看作一个整体的能力。

二十世纪的潮流-孤立子

孤立子理论是二十世纪后半叶最为突出的数学成就之一,解释了这一领域所具有的潜在的统一性。孤立子是非线性波,它展现出极端特别和有趣的性态。
我来叙述一点背景知识。习惯上,我们谈到的不同的波有两类。一类是线性波,是日常生活中所熟悉的那种,例如光波和声波。线性波穿过空间的传播是一致和不变的。就是说不管其形态如何,它们的速度是常值。C高音的传播速度与E低音一样,它们的波长相同;如果你听到的一个C高音的块状和弦,那么,它仍然还是C高音。线性波遵从叠加性:当你在钢琴上同时按下多个音键,马上听到的总是几个音调的总和,它使我们听到了和音。一个非常复杂的声音甚至可以分解出构成它的各个成分。
第二类即非线性波,它们既不亲密也十分不同。简单的例子可在由海浪冲向岸边时的情景看到。这时,在线性情形下不变的波幅、波长及波速全都能改变。当波浪“感觉”到海底时,波峰之间的距离开始变小而高度却增加了,速度也改变了;波浪的最上面部分突然压相它的底部,而当波浪破碎之时正好摔在底下的部分上。在某些错综复杂的情形下,两个波甚至可以相聚,以复杂的非线性方式相互作用;这时产生了代替那两个波的第三个波。
现在再转到孤立子。故事要从1834年谈起。那时有个苏格兰工程师名叫John Scott Russell,他试图找出设计一条运河的最佳方案。有一天,他观察到在一条浅浅的运河中,波浪有时以一种非常奇特的方式移动。波可以常速传播很长一段路程而不改变形状,但那些具有较大波幅的波比那些具有较小波幅的走的快。一个较大的会追上一个较小的,从而产生一种复杂的相互作用;之后,较大的波以比较小的波更快的前进方式出现。在这一阵非线性作用之后,它们又会以线性方式运动。
二十世纪中期,有一群数学家在研究非线性波导方程。由于该方程描述了非线性波动,他们期望解会在某处产生奇点或间断,就好象相交的波以非线性方式相互作用和断裂那样,他们写下了对这个方程进行数值计算的程序并发现这些波并不象预期的那样断裂。
这使得他们去查看Korteweg-de Vries方程,该方程是在一个世纪前得到的,用以描述浅水波浪的行为,人们终于发现那些由Russell所观察到的现象可以由Korteweg-de Vries方程从数学上加以证明;换句话说,那个方程的解展示出了孤立子的性态。这是些极不平凡的方程,因为孤立子就是在某些方式下象线性波而在另一些方式下象非线性波。
这个发现引起了蜂拥般的研究活动,它正是以最漂亮的方式展现了数学的统一性。它引起了计算方面和分析方面的进展,而分析是研究微分方程的传统方法。人们还发现,我们可以通过代数几何中一些非常精细的构造来解这些方程。。这些解也与表示论紧密相关;从表示论来看,这些方程原来具有无穷多个隐藏着的对称性。
最后,它们还与初等几何中的问题相关。例如,一个有趣的问题是:找出一个固定体积的锥体,当边界给定时,使其表面积最小。一点也看不出这个问题与浅水波有任何联系,然而事实上确有。描述这个解的微分方程就有孤立子的性态,它与描述浅水波的方程一样。于是我们可以从两个数学问题着手,一个是数学物理的而另一个是微分几何的,它们中每一个都展现了同样极端罕见和极端有趣的孤立子性态。

二十世纪的潮流-数学与其他科学

在内部壁垒崩塌之后,数学与其他科学,与商业、经济、保险、管理、决策以及复杂系统的建模等等有了非常多的相互影响和作用。这些学科中有些也以有趣的新型问题向数学提出挑战,而这又会给出新的应用。

二十世纪的潮流-数学与理论物理

上述的这种关系没有比在理论物理那里看的更清楚了。除去对纯粹数学的贡献外,代数几何一直被理论物理学家用来研究统一场论,或者更准确的说,是一种把重力与物理的三种基本力统一起来的理论,这三种力是强核力、弱核力及电磁力。
一种新的统一场论的令人兴奋的侯选者是所谓的超弦理论,这个名字来自下述思想:物质的最初级的构造单元是些微小的形如弦状的圈或段,它们以不同的模式象小提琴的弦那样震动。为了理解这种极其复杂的理论,一群理论物理学家便深深扎进数学里面,在那里他们做出了一连串惊人的数学预言;这些预言已开始得到证实。这些成果刺激出一大堆突如其来的工作,它们更增加了这个理论似乎是合理的根据。它也酿造出四维数学的一个新分支,被称为量子几何学;它也正在物理学中开辟一个新视角。
在1998年的Fields奖中可以看到数学与物理之间紧密关联的另一个表现。Fields奖是数学界的最高荣誉。在四位获奖者中有三位的研究领域都受到物理学的极大影响,而一项专门奖(Nevanlinna奖–校注)授予了在量子计算方面的工作,而这量子计算则根植于量子力学中。

二十世纪的潮流-数学与生命科学

一个急速壮大的新的伙伴关系当属数学与生物学之间的合作。这种合作关系开始于20世纪20年代,发生在生态领域中。那时,意大利数学家Vito Volterra建立了第一个捕食与被捕食之间关系的模型。他发现食鱼的鱼和被吃的鱼的群体的盈亏消长可以用数学来描述。二战之后,由Volterra发展起来的对群体建模的方法推广到了流行病学,用以研究较大群体的疾病。
最近,分子遗传学的观点激励了科学家们把这些方法用于传染病研究中,其研究的对象不是有机体或人的群体而是细胞群体。在细胞系统中,捕食者譬如是病毒群体而被捕食者是人体细胞群体。两个群体在为了生存而进行的达尔文式的斗争中有消有长;这适合于用数学来描述。近十年来,将传染源体视为捕食者而宿主细胞视为被捕食者的数学模型,已经重新界定了下述领域的许多方面,他们是免疫学,遗传学,流行病学,神经学及药物设计。这个伙伴关系之所以成功,原因在于数学模型提供了有威力的工具,用以描述在生物系统中所发现的由数量和关系构成的庞然大物。
例如,数学生物学家已经能对许多东西作出定量预测,包括病毒和微生物如何在宿主中生长,他们如何改变宿主的遗传因子结构,以及它们如何与宿主的免疫系统相互作用。
最令人惊讶的一些结果出现在对爱滋病的研究中,完全反转了对受感染病人中的HIV病毒的看法,先前通行的看法以为HIV病毒在感染宿主细胞并致病之前会潜伏大约十年时间,数学建模指出,导致最严重疾病的那种HIV病毒并不是蛰伏的;它不断迅速生长,其半寿期只有两天而已。
那么,为什么要平均十年才开始发病呢?又是数学建模告诉我们,疾病的发展是由病毒的进化造成的,免疫系统可以把病毒抑制一个较长的时间,但是最终病毒会突变为一个新的形式,数量猛增并摧毁免疫防线,发生这种情况的原因,在于病毒象其他的传染源体一样,可以以比它们的宿主更快的速度繁殖,而且它们的遗传物质的复制不太精确。
事实上,每个HIV传染体差不多可以看作为一个进化过程,其中病毒群体不停的变化着而新的病毒突变体源源不断的出现。自然选择法则偏爱那些能够逃避免疫反应的或那些能感染更多类型的人体细胞的变种以及能繁殖更快的变种,这个模型证明了,所有的进化极大的增加了病人体内的病毒密度和数量,从而加速了病变。
这些数学模型也使人明白了为什么抗HIV药物应该几种药物组合使用,而在被感染时要尽早使用。药物的组合使用之所以最有效是因为病毒极少会立刻产生多重突变。而且在病毒进化还没有发展到太远时就应该尽早使用这些药物。
下个世纪中对人类健康一个主要威胁是药物治疗引起的细菌抗药性问题,而这也是数学模型有用武之地的另一个领域。这些模型可以提出一个搜索和分析数据的清晰准则,从而使得药物更加有效。描述传染源体和免疫系统间复杂的相互作用的好模型最终会开创出一个新的定量免疫学学科。
还有许许多多的数学与其他科学的伙伴关系;许多最具创新力和经济价值的工作都是在领域之间、学科之间的边缘上做出来的。流体力学的研究中有个非常好的例子。从前要描述流体的复杂运动,象飓风、通过心脏的血流在多孔地层下的油流等等,几乎是完全不可能的;而在发现一个纯粹的数学构造,即称之为Navier-Stokes方程之后,正好可以解决这些问题。控制论是动力系统理论的一个分支,它给出另一个例子。只举其中一个应用,既高性能飞行器的大量测试工作可以用计算机同时进行,这极大的减少了使用风洞和试飞的花费和危险。
强调一下以下的事实是重要的:尽管建模和仿真模拟都是现代的和重要的研究专题,但我们仍然不太善于处置那些出现在复杂仿真中的易变因素。学会与易变因素斗争是数学家需要优先处理的事情,他们必须从基础上发现新的方法才能了解这些易变因素在模型中是怎样产生的,有时怎样在系统中传播的,我们模型的准确程度只能与我们消除易变因素的能力相当。

二十一世纪对研究工作的挑战-Riemann假设

尽管二十世纪取得了巨大的成就,但仍然有十几个突出问题在等待着答案。我们中的大多数人或许会同意下面提到的三个都是列在最有意思也最具挑战性的问题中的。
Riemann假设(通常亦称为Riemann猜想-校注)
第一个问题是Riemann假设,它使数学家们受到150年的可望不可及的煎熬,它与素数概念有关,而素数则是构建算术的基本单元。素数是一个正整数,它不能被1和自身以外的任何正整数除尽。素数的最初几个为2、3、5、7、11、13等等,可以一直写下去没有尽头。早在公元前3世纪,欧几里德就证明了找不到“最大”的素数,换句话说,素数的个数是无限的。
但是这些素数存在一个固有的模式吗?对以笔和纸来研究素数的某些人而言,它们最初显现出是随机出现的。然而在十九世纪,德国数学家bernhard riemann推广了欧几里德的看法,他断言素数不仅有无穷多个而且它们以一种微妙和精确的模式出现。证明这个结论成立(或不成立)或许是在纯数学的现存问题中最深刻的一个。

二十一世纪对研究工作的挑战-Poincaré猜想

Poincaré猜想这个问题之所以使人困惑是由于它是那样的基本又似乎那样的简单。在 Poincaré 时代,即一个世纪前,这个问题甚至连同到整个拓扑学都被看成是平凡易事——拓扑学主要是由Poincaré创立的。然而时至今日,拓扑学已经是数学中一个必不可少的有意义的子领域。
粗略的说,拓扑学是关于结构和空间基本性质的学科。例如一个球面可以拉伸、压缩,以各种方式取弯曲,只要不撕破他、戳破它,(在拓扑学家的眼里)它仍然是个球。在拓扑学家看来,一个炸面饼圈和一个咖啡杯是一样的,因为它们中的每一个都可以揉成同一个基本形状,既有一个孔的环状体或一个实心轮胎。拓扑学家特别感兴趣的是流形,它意味着“具有多重特性或形式”。例如,一个足球是一个两维流形或两维球;我们可以按我们自己的方式任意使用它,只要它没有破裂他就仍然是个足球。
拓扑学家寻求的是去识别所有可能的流形,包括宇宙的形状——这正是Poincaré猜想的主题。两维的情形相对容易些,在十九世纪末就已经作出来了。检验一个流行是否是一个二维球也是直接了当的。试想在一个足球表面上放一个橡皮箍,如果它不离开表面就可以缩成一个点,而且放在表面的任意地方都行,则这个球必是二维球面;我们称它是单连通的。
1904年Poincaré猜想,这个在两维情形是对的事实在三维时也成立,既任何的单连通的三维流形(正如我们所在的宇宙)是个三维球。听起来它在直观上是显然的,而且没有人曾证明过不存在假的三维球,故而此猜想仍然没有得到证明。令人惊奇的是,对于严格大于三的所有高维情形,等价的Poincaré猜想都有了证明,惟独三维没有。

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【文摘】数学难题汇编(14)

1.ABC为一三角形,分别作角A,B,C的三等份线,它们两两相交于
D,E,F三点,求证:三角形DEF为一正三角形(等边三角形)。

2.A、B两人参加竞选,最后A得到X票,B得到Y票(X>=Y),因而A获胜,
试问:在统计选票的过程中,A的得票数始终多于B的概率是多少?

3.请用初等数论写出下列数列的通项公式:
1,2,3,4,6,7,8,9,10,11……
说明: 1.数列本来是A(n)=n,但现在第5项出现了跳跃,且仅是这一项,其它不变;
2.所谓初等数论,即仅限于高中所学,且必需用一个式子表示。
参考答案

4.一条蠕虫在橡皮绳的一端.橡皮绳长一公里。 蠕虫以每秒一厘米的稳定速度沿橡皮绳向另一端爬行,在一秒钟后,橡皮绳就象橡皮筋一样拉长为两公里。再过一秒钟,它又拉长为三公里(橡皮绳是均匀的 伸长) ,请问,蠕虫最后会不会到达终点呢?

5.已经知道圆的任意一弦与其所成两个夹角相等。 求证逆命题成立,即:若一闭合曲线的任一弦与其所成两个角相等,则该曲线是圆。

6.(Putnam) Let F(m) be the mth Fibonacci number, de fined by F(1) = F(2) = 1 and F(m) = F(m-1) + F(m-2), for all m>=3. Let p(x) be the polynomial of degree 1008 such that p(2n + 1) = F(2n+1) for n = 0, 1, 2,…… 1008. Find integers j and k such that p(2019) = F(j)- F(k).

7. 求证:在群<G,*>中,若对于任意y属于G, 群方程x*x=y有唯一解,则G必为奇数阶群。

8.a,b均为大于0的无理数,且满足 1/a+1/b=1,
证明:集合 {[ma]},{[nb]}互为自然数集的补集。这里m,n均为自然数,[]表示取整。

9.Twenty-one girls and twenty-one boys took part in a mathematical contest.
* Each contestant solved at most six problems.
* For each girl and each boy, at least one problem was solved by both of them.
Prove that there was a problem that was solved by at least three girls and at least three boys.

10.Determine all functions f: R->R
such that f(x-f(y))=f(f(y))+xf(y)+f(x)-1 for all real numbers x, y.

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