【人物】徐利治:追忆我的大学老师华罗庚先生

作者: 徐利治

原文发表于《高等数学研究》2010年第6期

(一)

过去10 年间, 我曾写过两篇文章, 纪念在西南联大求学时代的老师华罗庚先生. 现今, 2010 年11 月12 日正好是华老的100 周年诞辰, 《高等数学研究》的主编张肇炽教授约我再写一篇纪念华老的文章, 我欣然允诺. 因为我感到还有些有关往事值得追忆, 特别是我对华老的敬业精神与学术思想等方面的深刻印象, 总感到在一两篇文章中是不可能谈透谈全的. 

华老大我10 岁. 大学时代我学过华老开设的两门课程( 初等数论和近世代数) . 1945 年大学毕业后,作为他的助教, 我和华老有过较多的接触和交谈, 这就让我有机会多次见到华老伏案研究数学的高度专心神态和献身学术事业的安贫乐道精神. 

1945 – 1946 年间, 正是抗日战争胜利前后不久时期, 由于货币贬值, 物价上涨不止, 西南联大教职员工的生活特别清苦. 特别是华老一家七口, 全靠华老一人的工资过活, 其艰难程度可想而知. 在此种情况下, 华老仍不遗余力地专心致志于数学工作, 除为教课准备讲义外, 还经常有论文在美国发表. 有一次华老的好友徐贤修从美国写信告诉他, 说已见到华老一年里在美国诸刊物发表的数学作品的总页数超过100 页. 这表明当年华老在昆明极端艰难的生活条件下, 仍保持着数学研究工作的高效多产状态, 也说明他对数学科研事业不辞辛苦的献身精神. 这种精神显然是与他对数学创新研究工作过程中不断获得高度乐趣有关. 所以我认为用安贫乐道来描述华老当年在昆明时期的精神状态是最为贴切的.

(二)

当年西南联大的许多教授, 大多是从欧美留学归来的, 所以在日常讲课与谈话中, 往往喜欢夹杂一些英语名词或短句. 这种说话风气习惯, 甚至在校园师生群体生活中也都习以为常了. 华老的英文底子并不厚, 但有时也喜欢在言谈中吐露英文词句. 下述三例,留给我的印象较深. 华老的数论研究出了名, 但他曾不止一次地告诉我, 说数学界有些人士曾评论他Hua knows nothing but theory of numbers(华除数论外什么也不懂) . 这在1945 – 1946 年间, 他已对矩阵几何完成了多篇重要论文. 所以他又对我说, 现在人们就不能再说他只懂数论了吧. 上述言谈, 说明华老从中青年时代起, 就是一位在科学研究中自强不息、不断努力、拓广领域的数学家. 

当年进一步的接触, 还使我了解到华老是一位兴趣广泛、兼爱文史的学者. 有一次在他家中, 还听到他吟诵王维桃源行的诗句. 1945 年, 重庆中央研究院的社会科学名家陶孟和先生曾到西南联大访问讲学. 他曾举了一个很不恰当的例子来说明人们的生活享受是不可能平等的, 说什么譬如一家人吃鸡吧, 总有人吃了鸡腿,总有人吃不到鸡腿云云. 一次, 华先生讲完课后走近校门口时, 我就告诉他这个笑话. 他立即高声回应说: 那是completely ridiculous( 意指完全荒谬可笑). 当时恰巧经济系的伍启元教授正走过我们的身旁, 听华话音刚落,又重复了一句: completely ridiculous. 此例虽小, 但能说明当年华先生对社会名流言论的是非曲直, 反应是十分锐敏的. 华先生富于联想力的特点有时也表现在言谈中. 记得当年有一次我在华家一起议论到一批社会名流集体访问延安的信息时, 我提到了大公报记者赵超构的字, 华先生立即将此人称之为赵Hyperstructure. 我感到耳目一新, 尽管那时我还不清楚哪些数学结构是属于”超结构”之列.

(三)

这里我乐于回忆的是, 华老在数学教学与科研活动的观点态度等方面留给我的难忘印象, 主要是通过举例来说明我记忆中的故事. 华老的故乡是江苏金坛县. 1945 年秋他的一位小同乡名叫王仁堂的联大法科学生, 和我也相熟, 得知我已当了华的助教, 告诉我说他快毕业了, 还差几个学分, 特托我向华老求助, 希望选修华老的近世代数课, 能弄几个学分( 他知道华老的课程一般不用考试) . 我将此事告知华老后, 华立即严词拒绝, 骂该生太无知了. 有一次我听华先生讲课中, 证明了初等数论中的拉盖尔(Laguerre) 定理

那次下课后, 我将此想法向华先生报告后, 他立即大为不悦, 带着教训的口气说, 已有了精确证明的数论定理, 还用得着借用欠精确的概率推理来推证吗? 上述二例, 说明华先生当年对待数学教学与数学论证自有其坚守的严谨性精神. 

由于当年我任助教时期, 自己的数学根底与学识水平还浅薄, 故还不可能参与华先生的科研工作中去, 主要只能帮他作一些校订打印稿件等事务性工作, 有时也做些验算等事, 但通过平时的谈话以及观看他稿件写作形式等印象, 已能初步体会到他的科研工作具有细巧的构造性与计算性特点. 当年华先生还让我读了兰道( E. Landau) 的少量作品, 从而又使我直观地感觉到他的写作风格颇有与兰道相似之处. 

华老的治学著述是从精研解析数论之时走上世界数学论坛的, 所以他除了有深厚的代数根底之外, 还有着极好的分析学功底. 当年我当助教时, 他就向我提到了陶贝尔分析( Tauberian analysis) 的重要作用, 如对素数分布理论的应用等. 可惜那时期我对陶贝尔定理还一无所知. 后来, 我自己慢慢成长起来, 并以分析学及函数逼近论等分支作为主攻方向, 有时还偶尔翻阅数学评论(Mathematical Reviews) 上对华老工作的简略介绍, 再加上回想当年在昆明时期所获得的印象, 这时才感到对华老科研活动与学术思想方面的特点能有进一步的分析和体会了. 

正如我在10年前写的纪念文章中所述, 华老科研工作所反映的基本价值观主要表现为: 重视技巧、追求简易、寻求显式、坚持构造和着重应用. 所以我认为在某种程度上, 他可以与德国的雅可比(Jacobi) 、克罗内克( Kronecker) 及兰道等人的工作特点相比拟. 

特别值得指出的是, 华在处理复杂计算时, 总是力求最终结果形式上的统一性与简洁性. 这从他在数论与矩阵几何等成果方面即可见一斑. 华老特别重视数学的工具作用, 所以他常常在言谈中把重要的数学知识与有用的数学方法称之为weapon( 武器) . 这可能与他多年钻研数论问题的经验有关. 据所知, 华在晚年时期曾有兴趣研究经济数学(经济学中的数学方法) , 这显然也与他的数学工具观的见解有关. 

从数学史上看, 大多数重视和强调数学工具论观点的数学家对数学基础问题中的争论是无大兴趣的, 看来华老也不例外. 在我的记忆中, 他从未谈论过对三大数学流派——直觉主义派、公理主义派、逻辑主义派——的看法和评论. 无疑, 华老的许多科研成果, 特别是那些呈现显式构造性的成果, 实际上是符合直觉主义者存在即构造的观点的. 

如我们所知, 西南联大时代的另一位杰出数学家许宝騄先生也是坚持直觉主义观点的, 所以他曾明确表示不赞成康托尔(Cantor) 的无限集合论和超穷数理论. 但华先生和许先生不同, 他是追随数学主流社会的观点的, 还是认可康托尔的基本理论成果的. 这里有三点事实可资佐证: 一是上世纪40 年代初华搞群论讨论班时, 徐贤修发现了查申豪斯( Zassenhaus) 的群论教科书中出现了错误, 曾发表了一篇纠正错误的论文. 华先生对此文大为赞赏, 而在此文中徐贤修的主要结果是利用了康托尔的超穷归纳法才获得证明的. 二是上世纪50 年代初, 我曾费神去研究康托尔集合论中的连续统假设难题, 而华先生对此并未表示反对或劝阻. 三是1954 年, 我有一次访问华家时, 正好遇见北大逻辑学家沈有鼎教授也到华家, 华先生当即对我们说, 你俩正好可以讨论一下超穷集合论中的选择公理( axiom of choice) 的真伪问题. ( 当年我与沈教授的讨论并无结论, 只是有一点共识, 即认为选择公理是一条纯粹的假定, 可以认可它, 也可以拒绝它, 只是要看你对超穷形式思维真理性的信念如何. ) 

华先生虽不反对超穷集合论, 但自己并无兴趣研究集合论. 这一点他和他的朋友爱尔特希(Erdos)就有所不同了, 后者还写过多篇集合论方面的专题论文. 当然, 他俩有不少相似之处.华在青少年时代, 曾用功自学过克里斯托(Chrystal) 大代数, 所以有着熟练的代数计算少年功, 就像少林派拳术家的“童子功”那样, 这类功夫显然是终生保持的. 

记得1954 年匈牙利数学名家杜朗( Turan) 访问北京时, 曾在一次数学座谈会上谈到了清代中国数学家李善兰的一个恒等式:

事后很快华就给出了这一恒等式的证法. 这表明华老的初等数学少年功也是很坚实的. 

另一例子是在我以前文章中提到的, 即在抗日战争胜利前一年, 华去到重庆( 当年国民政府的陪都)解决了日军密码的破译问题, 也即发现日本军部所用密码的数学工具即麦比乌斯( Mobius) 反演公式. 这是一个含有麦比乌斯函数在整数因子集上的求和公式. 可以想见华先生早年自学数论时, 不只是从理论上掌握了它, 而且是作过实际计算的, 否则就不可能在面对一批具体数据时, 就会有着洞察其间存在麦比乌斯反演关系的本事. 

有些数学界人士都乐愿把华先生和印度数学奇才拉马努金(Ramanujan) 作比较. 显然他俩颇有相似之处. 但我认为最显著不同之处有二: 一是前者是位积极的“入世派”, 不仅关心政治而且乐于参与政治生活, 但后者是位不问政治的“逍遥派”. 二是后者的工作成果更具有独特的个性化特征, 而前者的贡献成果是向主流靠拢的, 基本上反映主流的价值观念. 例如, 当年解析数论中行之有效的哈代——李特尔伍德(Hardy-Littlewood)圆法被更有效地维诺格拉道夫(Vinogradoff) 三角和方法取代后, 华先生便很快努力掌握后一方法去研究数论问题, 以及后来从矩阵几何研究又很快发展到矩阵型多复变函数的研究工作. 这说明华有快速紧随数学新潮的能力和性格. 显然, 对于独往独来的拉马努金来说, 却是有着完全不同的价值观念和性格.

(四

说到华先生的处世和为人, 在西南联大时期, 我就见到他宽以待人、与人为善的事例, 而且还有着“不耻下问”的学者风范. 这里要谈的事例就是华与早期弟子钟开莱的交往故事. 我们知道, 华曾是钟的学术导师, 只因为钟曾在言词中冲撞过华, 以致关系失和而不再往来. 但当年西南联大校园不大, 两人常有不期而遇的机会. 据所知, 每次两人遇见时, 华先生总是主动向钟打招呼, 而不计前嫌. 记得当年华曾在我面前多次提到钟, 称赞钟是极有才智的人才, 只是有点childish(小孩子气) 而已. 华先生写作矩阵几何数篇论文时, 在将稿件寄往美国发表前, 总是让我把他自己打印好的初稿, 送到钟先生处, 烦请钟帮助修改英文( 这表明华是不耻下问[此处请原谅小编不敢苟同,看起来似乎是钟开莱英文更高明]的) , 钟也总是乐愿帮忙. 这说明他俩后来都不计前嫌了. 有一次, 我去钟处取稿时, 顺便问起: 稿件英文究竟怎样? 钟说,总体说来英文还不错, 但还有个别语法差错, 例如, 参考文献中把一篇待发表的文献称之为to be appeared这就不通了. 事实上, appear( 出现) 是一个不及物动词, 没有被动式. 正如说被出现, 在中文中也是不通的. 我想, 正因为华先生出身贫寒, 并未读过正规高中, 后来专攻数学成才, 所以难怪英文素养有“先天不足”之处. 这一点我也很有同感, 我早年读了6 年师范学校, 进大学前只学习过半年多英文, 以致一生中总感到英文底子有“先天不足”之苦.

(五)

最后我还要重点谈谈华老对我的启发和影响, 同样也是许宝騄老师对我的影响. 这就是我在西南联大数学名师的治学经验之谈及启示(载《数学教育学报》2002 年第3 期) 一文中说到的一段:

我曾向华、许二师学到了不怕计算和乐于计算的习惯, 十分乐于从计算中去发现规律和提炼一般性公式. 和华先生相似, 我也十分重视显式构造, 这正好适应于我后来长期从事函数逼近论, 计算方法与组合分析研究的客观要求.

现今我已90 岁了, 回顾在我数学生涯的数十年里, 由于受到华、许二师对我早年的启示, 我也常把分析计算的正确价值观念以及从计算中寻求规律的乐趣经验, 努力介绍给听课的学生们和习作论文的研究生们. 因此, 当我看到有些弟子们在他们后来的研究工作中, 往往通过精巧的分析计算获得美好的成果时, 我总是感到特别欣慰和赞赏. 

这里我要特别提到, 1947 年华先生在美国讲学期间, 曾寄送给我一本1946 年初版的维特耳( D. V. Widder) 著《拉普拉斯变换》 一书. 我对此书特别喜爱, 1949 年我去英国访问进修期间, 就精读了此书的主要部分, 获益良多. 事实上, 当年及后来我撰作的数篇论文中, 此书都是主要参考文献之一. 特别, 在我建立一对含有广义斯特灵数偶的互逆积分变换的工作成果中, 最关键的一步就要用到维特耳著作中著名的泡斯脱–维特耳( Post–Widder) 表现定理. 正是华先生赠送给我的宝书, 帮助我得到了所希求的成果. 因此我要特别感谢华老当年的馈赠之恩. 

华老逝世已经25 年了, 作为他的一个仍然健在的老学生, 每当回想起60 多年前常能见面的日子里, 不时得到他的种种指导和启发, 仍一如历历在目, 仿佛还是不久前的往事. 现今我们知道, 华老一生丰硕的科研成果和许多著作, 已在近期大量出版了, 这真是我国数学界的大幸事. 

参考文献

[1] 王元. 《华罗庚》. 南昌: 江西教育出版社, 1999.[2] 徐利治. 回忆我的老师华罗庚先生. 数学通报,2000(12) .[3] 徐利治. 回忆西南联大时代的老师许宝騄先生,收入《道德文章垂范人间: 纪念许宝騄先生百处年诞辰文集》. 北京:北京大学出版社, 2010( 第四编)

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数学难题汇编

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【文摘】数学难题汇编(12)

1.首先我们定义一个算术函数r(n),它定义为非负整数n表成两整数
平方和的表示方法的个数,然后设R(n)=(r(0)+r(1)+..+r(n))/n
求极限n趋于无穷时R(n)/n的值。

2.等宽曲线的问题
定义: 若图形对于所有的方向的宽度都一样,那么称图形为等宽曲线。
宽度: 给定一个方向,给出与该方向垂直的两直线(不在图形的一侧,开始不与图形相交),使他们移动直到与图形相交止,这时两直线的距离。问题: 把所有的等宽曲线(设宽度为1),都能覆盖的图形的最小面积是多少?

3.棱长为n的正方体被分成n^3个单位小方块,选取一些小方块并且经过他们的每一个的中心引三条平行于棱的直线。若规定将所引直线经过的小方块都去掉。问最少选取多少小方块就能使全部小方块被除掉?

4.△ABC中,AD,BE,CF是高,O为外心,延长OD,OE,OF分别到X,Y,Z,使得 ∠AXO=∠DAO,∠BYO=∠EBO , ∠CZO=∠FCO.
求证:AX,BY,CZ共点.

5.若一个椭圆与一个四边形的四边都相切,该椭圆称为这个四边形的内切椭圆.
若一个椭球与一个六面体的六面都相切,该椭球称为这个六面体的内切椭球.
(1) 正方形的内切椭圆的中心是否就是正方形的中心?
正方形的对角线是否就是内切椭圆的对称轴?
(2) 正方体的内切椭球的中心是否就是正方体的中心?
正方形的至少一条对角线是否就是内切椭球的对称轴?【参考答案

6.设n为正整数,集合A(1)、A(2)、……、A(n+1)是集合{1,2,……,n}的n+1个非空子集。证明:存在{1,2,……,n+1}的两个不交的非空子集{i(1),i(2),……,i(k)}和{j(1),j(2),……,j(m)},使得A(i(1))到A(i(k))的并集等于A(j(1))到A(j(m))的并集。

7.(1)设三角形ABC的内切圆为O(r),外接圆为O(R),在O(R)上任取一点A1,做两条与圆O(r)相切的弦A1B1,B1C1,
求证:弦A1C1也与圆O(r)相切。
(2)设圆O(r)位于圆O(R)内,并且圆O(R)上的点列 A1,A2,…,An,满足:线段A1A2,A2A3,…,AnA1都与圆O(r) 相切,对于圆O(R)上的另一点列B1,B2,…,Bn,如果线段 B1B2,B2B3,…,Bn-1Bn都与圆O(r)相切,
求证:线段BnB1同样与圆O(r)相切。

8. 给定正整数m,令f(m)是满足下面条件的最小的整数n:
任意n个整数,必存在这n个数的一个m元子集,使这个子集的元素和被m整除。
命题P(m):从任意2m-1个整数中可以选出m个数,使之和被m整除。
证明:f(m)=2m-1.【参考答案

9.一个立方体是否可以分割成n个小立方体,要求小立方体之间不重叠而且无缝隙?

10.在 n*n 的格点方阵中能否取出 2n 个点,使得其中无三点共线?

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【文摘】数学趣题汇编(12)

1.凸四边形ABCD对角线交于P,对边分别交于M.N过P做PO垂直于MN,垂足是O
求证:<A0B=<COD

2.凸多边形的外角和为2Pi(分别以顶点为圆心,半径r=1,则所切下的外角通过平移刚好是单位圆) 那么试证凸多面体的外角和等与4Pi(分别以顶点为圆心,半径r=1,则所切下的外角通过平移刚好是单位球体,表面积为4*Pi )。

3.一个国际社团的成员共来自6个国家,一共有365人,分别用1,2,3,…,365来标号,
请证明:该社团至少有一个人的标号与他的两个同胞的标号之和相等,或是某一个同胞的标号的两倍。

4.等腰三角形ABC,三个角分别为 A=20, B=80, C=80 度.
AB边上一点D,角DCB=70度. AC边上一点E,角EBC=60度.
连接DE, 求: 角EDC=?

5.在一次体育课上,老师要求同学们排队,其中有一队由8人组成,右边4人是男生,左边4人是女生;现在对他们进行调位,若每次只能一块儿调动相邻两位同学,并且遇到不同性别时须两人互相调换位置。你能在调动五次后使八个人以不同性别交错排列吗?规定:在最终形成的排列中,不允许留有任何空距。

6.设O为锐角三角形ABC的外心,P为三角形AOB内部一点,P在三角形ABC的三边BC、CA、AB上的射影分别是D、E、F。求证:以FE、FD为邻边的平行四边形位于三角形ABC内。

7.什么样的有理数度数能用尺规作出?【参考答案

8.设有K(N)对自然数m,n满足:(m,n)=1,1<=m<=n<=N,并且令B(N)=(N-1)*N/2, 则有:
N->∞ lim K(N)/B(N)=6/π^2
参考答案

9.闭的简单平面曲线上一定存在四个点,它们是正方形的顶点。

10.求多项式(x+1)^n的展开式中有多少个奇系数?

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【文摘】趣味逻辑学问题(7)

1.QUEEN’S INDEPENDENCE GAME
INSTANCE: An n x n chessboard, Qn.
QUESTION: Does Player 1 have a winning strategy in the Queen’s Independence Game on Qn?
In the independence game, two players alternate taking turns placing a Queen on the board. The rule is that at all times the set of Queens placed on the board must be an independent (non-attacking) set. The first player who cannot place an additional Queen without being attacked by an existing Queen loses the game.

1.国际象棋盘皇后比赛问题:两名赛者轮流往棋盘上放一枚皇后,需要满足,皇后之间不能形成互相攻击的状态,谁无法继续放皇后,谁就输,
问题:开始先放皇后的赛者有没有必胜策略?

2.数码0–9组成数。现将功折罪3K个数码沿圆周任意排列。如果从某个位置的数码开始。沿顺时针方向依此写出这3K个数码,所得的3K位数能被27整除,试证明:当从任何其他位置开始,沿顺时针方向依此写出这3K个数码,所得的3K位数也能被27整除。

3.在n*n个小方格的正方形里,划出k个小方格的中心,使其中任何四个点都不是其边与正方形的边平行的矩形的顶点,这种k最大可能是多少?

4.在平面上给出100个点。 证明:可以用某些互不相交的,直径的和小于100且任何两个的距离都大于1的圆覆盖这100个点。

5.考虑加法中的进位, 例如15+18=33在个位上就有进位,
在××届×××竞赛中有这么一道题目:
说是否存在正整数K>0使得1996K+1997K没有进位, 这个是很容易实现的,例如166和222是可以的,如166:1996K=331336,1997K=331502,所以加法是不进位的, 但是我们关心的更一般的结论对怎样的a和b,存在K使得aK+bK不进位.

6.有黑白围棋子各6枚,相互隔开排列成一行(—-101010101010—-,“-”表示空位),请移动n次,使之排列成000000111111或111111000000,左右空位的位置无所谓,但最后结果中棋子之间不能含有空位。移动规则:每次移动相邻两个,移动时2子交换位置(即如移动10,变成01),并需移动到别的空位上。例如:XX–X01X–,可以移成XX10X–X–,也可以移成XX–X–X10,但不能移成XX–X10X–。
问n最小是多少?给出移动过程。
移动7次的过程:
101010101010
1–01010101010
1100101–01010
11001011001–0
11001–1001100
1100111100–00
11–1111000000
–111111000000

7.题目:将10张扑克牌任意分为几堆,从左到右依次放到桌面上,
然后不断的进行下列步骤:
从每一堆中各取一张组成一个新堆,放到最右边。
请证明:肯定会出现下列的局面,
共有4堆分别为 1,2,3,4

8.
1、在一条街上,有5座房子,喷了5种颜色。
2、每个房里住着不同国籍的人
3、每个人喝不同的饮料,抽不同品牌的香烟,养不同的宠物
问题是:谁养鱼?
提示:
1、英国人住红色房子
2、瑞典人养狗
3、白色房子丹麦人喝茶
4、绿色房子在白色房子左面
5、绿色房子主人喝咖啡
6、抽Pall Mall 香烟的人养鸟
7、黄色房子主人抽Dunhill
8、住在中间房子的人喝牛奶
9、挪威人住第一间房
10、抽Blends香烟的人住在养猫的人隔壁
11、养马的人住抽Dunhill 香烟的人隔壁
12、抽Blue Master的人喝啤酒
13、德国人抽Prince香烟
14、挪威人住蓝色房子隔壁
15、抽Blends香烟的人有一个喝水的邻居

9.如图1(其中一种初态),一个4×4的棋盘,上面有1~15共15个数字和一个空格
(用◎表示),要求利用空格移动棋子把他们排成图2的形式(目标状态)。
10 1 11 14 1 2 3 4
2 3 ◎ 5 5 6 7 8
8 9 4 15 9 10 11 12
12 13 6 7 13 14 15 ◎
(图1) (图2
参考答案

10.给定圆O,如何只用圆规确定其圆心?【参考答案

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【人物】费尔马最后定理

费尔马最后的定理—纪念费尔马诞辰四百周年 蔡天新


皮埃尔·德·费尔马
Pierre de Fermat

这位隐身独处的天才有一种不可遏制的邪恶癖好,他和别人的通信其实是一种智力上的挑逗。费尔马经常写信叙述他的最新定理,却不愿意透露任何证明的线索,这种挑衅性的行为着实使收信人恼恨。在“费尔马最后的定理”之后,数学宝库里还有黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素数猜想,还有毕达哥拉斯时代遗留下来的完美数和友好数问题。这些问题或猜想有的难度更大,有的历史更久,可是就传奇色彩来说,却没有一个比得上“费尔马最后的定理”。

  英国哲学家怀特海把十七世纪称为“天才的世纪”。在那个世纪之初,也即距今整整四百年前,诞生了伟大的法国数学家皮埃尔·德·费尔马。
  在费尔马之后,法国人帕斯卡尔、荷兰人惠更斯、英国人牛顿和德国人莱布尼茨接连出世;而在费尔马之前,德国人开普勒、意大利人伽利略和法国人笛卡尔生命中的大部分时光也是在十七世纪度过的。在这八位彪炳史册的科学巨人中,惟有费尔马把他的全部才智奉献给了纯粹数学,即被牛顿斥为“无意义的谜语的相互逗趣”的理论。与此相反,牛顿把他的数学应用于物理世界,他对数学所作的惟一的划时代贡献就是创立了微积分,一门最初仅用来描述与距离、速度和加速度有关的引力定律或力学定律的科学分支。
  虽然如此,并且随后又发生了与莱布尼茨的发明优先权之争(这场争论使得英国和欧洲大陆学术交流中断了一个世纪),牛顿依然得以跻身历史上最伟大的数学家之列。而在牛顿去世两百多年以后,有人才在他的一篇文章中发现一个注记,原来他的微积分是在“费尔马先生画切线的方法”基础上发展起来的。
  由此我们产生了一个疑问,为什么费尔马没有去走最后那并非最困难的一步?与其说当时英国的工业革命已走在法国人的前面,倒不如说还有一项事业更让费尔马倾心,即在任何时代都容易被认为毫无用处的数学分支————数论。如果再大胆一点,我们甚至可以推测费尔马当时已经预见到,微积分的出现会扭转整个数学的研究方向,会把数学家们卷入到在他看来并不太有趣的繁琐事务中去,因而他宁肯不要发明权这份荣誉。这个观点并非危言耸听,假如考虑到那个被称为“费尔马大定理”或“费尔马最后的定理”的谜语在他身后三百五十多年才得以揭开的话。
  费尔马出生在法国南部的小镇博蒙·德洛马涅,父亲是一位富有的皮革商人,这使他有机会进入方济各会修道院学习,随后又来到附近的图卢兹大学做事。三十岁那年,费尔马遵从家人的意愿,开始了文职官员的生涯,他被任命为隶属图卢兹议会的上访接待室的法律顾问。费尔马的仕途颇为顺利,很快成为当地有头有脸的人物,甚至有资格以德(de)作为姓氏的一部分。可是,这并非他的雄心所致,而是当时蔓延欧洲的腺鼠疫帮了忙,幸存者被提升去填补死亡者的空缺。


  费尔马如今被誉为“业余数学家之王”,这方面的兴趣和才能在他早年所受教育里没有任何佐证。对他最有影响的导师是一部叫《算术》的古希腊著作,那是古代世界最后一部重要的数学著作。作者是亚历山大里亚的丢番图,其生活的年代已不可考,人们只能大致推断是在纪年前后的五百年间。
在躲过了基督教和伊斯兰教的双重劫难以后,包括欧几里德的《几何原本》在内的希腊数学名著在十二世纪由阿拉伯文翻译成了拉丁文,那是数学史上有名的翻译时代,阿拉伯和印度的数学成就也在这个时候被介绍到了西方,其中尤以巴格达的花拉子密最负盛名,正是他命名了代数学。实际上,在欧洲人放弃对高尚的真理追求的时候,阿拉伯人悄悄地把那些从亚历山大里亚的余烬中拾取出来的知识汇总起来,并用新的更为有效的语言重新加以解释和保存。
  奇怪的是,丢番图的《算术》却似乎从未进入过阿拉伯学者的视线,直到1453年,土耳其人洗劫了君士坦丁堡,即那座如今横跨亚欧两大洲的城———伊斯坦布尔,这部书的一个希腊文残本才被逃往西方的拜占庭学者带出。这场劫难与发生在图卢兹的那次鼠疫正好相隔了两个世纪,等到《算术》终于被一位法国古典学者翻译成拉丁语并自费出版时,费尔马刚好满二十岁,数学史上的一个重要角色注定要由他来扮演。
  费尔马担任的司法事务占据了他白天的工作时间,而夜晚和假日几乎全被他用来研究数学了。部分原因是那个时候的法国反对法官们参加社交活动,理由是朋友和熟人可能有一天被法庭传唤,与当地居民过分亲密会导致偏袒。正是由于孤立于图卢兹上流社会的交际圈之外,费尔马才得以专心于他的业余爱好。
  除了前面提到的因为切线及其极值点方法的使用被认为是微分学的创始人以外,他还独立于笛卡尔发现了解析几何的基本原理,并通过和帕斯卡尔的通信共同创立了概率论。甚至在光学方面,也有流传至今的所谓“费尔马原理”,即光线永远沿使其经历的时间最短的路径行进。然而,所有这些工作在费尔马心目中均不如他写在《算术》书页空边上的一系列短小的评注, 那些纯粹属于智力的数字游戏,他一直被一种强烈的欲望————想要了解自然数的性质以及它们之间的相互关系———所驱使。

 
  《算术》虽然成书在一千多年前,可是中间隔着漫长的中世纪,大量的数学经典文献被完全遗忘了,费尔马得到此书一定如获至宝。书中提出了一百多个数学问题,丢番图本人逐一予以解答,这种认真的做法却不是费尔马的习惯。在研究丢番图的问题和解答时,费尔马经常得到启示去思索和解决一些相关的微妙问题。令人庆幸的是,这部译著的每一页书边都留有宽大的空白,有时候他会匆匆地在那里写下推理或评注。对于后世的数学家们来说,这些不太详尽的注记成了用之不竭的一笔财富。
  像那个时代的大多数数学家一样,费尔马对自己的研究结果守口如瓶, 如果没有一个叫梅森的神父的竭力鼓动,他甚至可能不会与别的数学家通信。这位神父不仅热衷探讨整数的性质(他以梅森素数在数学史上留芳),而且喜欢旅行和传播消息,并定期安排数学家们的各种聚会,他的圈子后来形成法兰西学院的雏形。不过,梅森也因为“泄密”得罪了笛卡尔那样的朋友,可是,对于生活在边远山区的费尔马来说,神父的每次到访都是受欢迎的,他的影响力大概仅次于丢番图的《算术》。
  尽管梅森神父一再鼓励,费尔马仍固执地拒绝发表自己的结果,他是个缄默的天才,放弃了许多次成名的机会。得到人们的承认对他来说毫无意义,惟有新的定理的发现带给他秘密的喜悦,这一点足以让他感到满足。然而,这位隐身独处的天才有一种不可遏制的邪恶的癖好,他和别人的通信其实是一种智力上的挑逗。费尔马经常写信叙述他的最新定理,却不愿意透露任何证明的线索,这种挑衅性的行为着实使收信人恼恨,笛卡尔就指责他为“吹牛者”,牛顿的前辈沃利斯则管他叫“那个该诅咒的法国佬”。费尔马尤其喜欢捉弄海峡对岸的同行,因为直到他生活的年代,英国尚未产生过一位可以和他媲美的数学家。六十四岁那年,费尔马到邻近的塔恩省的小镇卡斯特尔执行公务,不幸染上一种严重的疾病去世。综观费尔马的一生,他的活动范围不超过两百公里,这一点与佛陀释迦牟尼一样。
  著名的英国古典学者贡布里希爵士在谈到文艺复兴初期的意大利画家乔托时指出,“在乔托之前,人们看待艺术家就像看待一个出色的木匠和裁缝一样,他们甚至不在自己的作品上署名”。同样,当帕斯卡尔催促费尔马发表某个结果时,他回答说,“不管我的哪项工作被确认值得发表,我也不想在其中出现我的名字”。
  由于费尔马与巴黎的数学界不相往来,他的通信者对他未必怀有好感,因此当他在梅森神父之后突然去世时,他的各种发现处于被永远遗失的危险之中。幸亏费尔马的长子克莱蒙—塞缪尔(他对数学的贡献如同卡夫卡的遗嘱执行人布罗德对文学的贡献)意识到父亲的业余爱好具有重要的价值,他花了五年时间研读父亲涂写在页边的文字,整理出了48条评注。1670年,一本叫《附有皮埃尔·德·费尔马评注的丢番图的算术》的书在图卢兹出版了,而被后人称为“费尔马最后的定理”(费尔马从未与通信者提起过)即为其中的第2条评注。
  数学家们奉行的保密原则起始于古希腊,早在公元前六世纪,神秘主义哲学家毕达哥拉斯就严格禁止他的弟子们把数学发现泄密给外人,否则会招来杀身之祸。

  毕氏学派最有意味的发现之一是所谓的“毕达哥拉斯定理”,即直角三角形的两个直角边长的平方和等于斜边长的平方和。虽然中国人和巴比伦人发现这个秘密比希腊人要早得多,可是他们都没能给出证明。而毕达哥拉斯不仅予以严格的证明,并且从这个几何问题中提炼出有关整数的方程(后人称之为丢番图方程),即如何将一个平方数写成两个平方数之和,他探讨了满足这个方程的所有三元数组,其中最小的一组当然是(3,4,5)。在丢番图的《算术》里,这个问题的编号是第8,正是在靠近问题8的页边上,费尔马写下了下面这段文字:

  “不可能将一个立方数写成两个立方数之和,或者,将一个4次幂写成 两个4次幂之和,总之,不可能将一个高于2次的幂写成两个同次幂的数之和。”
  在这个评注的后面,这位好恶作剧的遁世者又草草地写下一个附加的注中之注:“对此命题我有一个非常美妙的证明,可惜此处的空白太小,写不下来。”随着克莱蒙—塞缪尔所编的书的出版,这个问题在后来的三百多年间闻名于世,同时也苦恼了一代又一代最有智慧的头脑,包括欧拉和柯西这样伟大的数学家都曾经全身心地投入并栽了跟头。

  最后,在上个世纪行将结束之际,在费尔马的其他问题和评注全部解决之后,一位叫安德鲁·怀尔斯的沉默寡言的英国人,澄清了这个历史疑案。
  怀尔斯是个幸运儿,他实际上证明的是以两位日本数学家名字命名的谷山—志村猜想,后者可以直接导出费尔马大定理。值得一提的是,那两位日本数学家在而立之年就完成了这项工作,他们属于最富创造力的一代,虽然所受的教育经常被战争和疾病中断。1958年,年仅31岁的谷山在自己的寓所自杀,那年怀尔斯才五岁。谷山的遗嘱表明,他对自己的生活失去了信心,他至死都不知道自己工作的伟大意义。
  怀尔斯的证明动用了现代数学许多最深刻的结果和方法,这些工作中的相当一部分都是受“费尔马最后的定理”的刺激发展起来的。现在,无人能够做出预测。当这条惊人的消息从伦敦传出,我正在香港大学参加一个国际学术会议,当代最伟大的数论学家、挪威出生的美国人赛尔伯格作完了一次特邀报告,他念叨着那位年轻的普林斯顿同事的名字,脸上露出一丝难言的笑容。四十多年前,赛尔伯格因为用初等方法证明了“素数定理”获得菲尔兹奖,现在他终于要彻底退休了。
  自从牛顿和莱布尼茨发明微积分以后,数学的应用价值越来越为人们所知,数学家们被迫去从事一些新领域的研究,这些领域包括从粒子物理到生命科学,从航空技术到地质勘探等几乎一切应用学科。与此同时,在这个越来越讲究实际的时代,以费尔马毕生钟爱的数论为代表的纯粹数学逐渐不为人重视。或许是害怕被人冷落,数学家们每隔一段时间会抛出一条特大新闻,于是费尔马的头像上了《纽约时报》的头版头条。
  在“费尔马最后的定理”之后,数学宝库里还有黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素数猜想,还有毕达哥拉斯时代遗留下来的完美数和友好数问题。这些问题或猜想有的难度更大,有的历史更久,可是就传奇色彩来说,却没有一个比得上“费尔马最后的定理”。

蔡天新,浙江大学数学系教授,博士生导师,著有诗集、散文集多种。
谷山丰,日本天才数学家,他与同事志村五郎的工作(即“谷山—志村猜想 ”)为费尔马定理的证明架起了一座桥梁。
安德鲁·怀尔斯用七年时间最终证明了费尔马定理,他的证明动用了现代数学的许多最为深刻的结果和方法。

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【文摘】大学数学竞赛题汇编(10)

1.对任意实数x,y都有 f(x)- f(y)<=(x-y)^2
求所有满足的f ?

2.这里有无穷多的阻值为一个单位的电阻,用这些电阻通过并联和串联得到为m/n的阻值其中n与m互质,求最少要用多少个阻值为一个单位的电阻 ?

3.给定整数a,b,c.定义集合 A={ax^2+bxy+cy^2: x,y,z为整数}.
假设: 1∈A.
证明: 若p∈A,q∈A,则pq∈A.

4.N*N的格子,放2N个子,其中N个白子N个黑子.使得每一行每一列(有且只有)一个白子和一个黑子.求有多少种放法.记为F(N) , 比如.N=2时 ,放法数记为F(2)=2 .

5.求所有的正整数n,使得n^4-4n^3+22n^2-36n+18是一个完全平方数。

6.已知在数a1,a2……an中,数1,1/2,1/3……1/n只出现一次,且在数b1,b2,……bn也只出现一次。此外还有a1+b1>=a2+b2>=…>=an+bn。
证明:ai+bi<=4/i

7.在nxn的方格中选取n个方格填入数字 1,2,…,n. 要求
(1)任何数字的左边不能有空格,上边也不能有空格.
(2)任一横行中的数字从左向右严格递增.
(3)任一直列中的数字从上向下严格递增.
记这样的填法总数为a(n). 求母函数 ∑_{n≥1} a(n)*x^n /n!?

8.令f(n)为满足下述条件得序列的数目:
1 <= a1 < a2 <…< a(n-1) < an <= n (即 ai != aj 如果 i != j).
证明: lim [f(n)]^(1/n) 存在。
n->+infinity

9.在围棋的棋盘中间摆放着2n个棋子,左边n个是黑色,右边n个是白色的,现要你来移动棋子,要求每次只能一块儿移动一对相邻的棋子,遇到不同颜色的棋子时不能互调。你能在移动n次后使2n个棋子以不同颜色交错排列吗?规定:在最终形成的排列中,不允许留有任何空距。 【参考答案

10.任何正数a1,a2,。。。an满足不等式
a1/(a2+a3)+a2/(a3+a4)。。。+an/(a1+a2)>=k*n/4
求k的最小值,并证明。


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