【文摘】范畴论

撰文 | Tai-Danae Bradley 译者 | 唐璐 遇见数学

以前为了描写对称性,群论走进了物理。现在为了描写量子材料中的量子纠缠,范畴论也正在走进物理。可到底什么是范畴论?

范畴论是一个关于关系的理论,描述并研究关系的所有可能性质。如果绘制一幅数学地图,地面上会有代数、拓扑、分析等不同领域,而范畴论则像是悬挂在天空中的月亮,它提供整个地图的缩略图,让我们看到在地面看不到的各个领域之间的关系,证明看似不相关的数学领域并非完全不同。当你在某个数学领域的边界处艰难跋涉时,范畴思维可以指引你,它增强你的直觉,让你的洞察力更敏锐。而这一关于关系的全面抽象理论,也正好是描写多体量子纠缠的自然语言。

从最早开始学习数学,我们就知道代数与几何有很强的关联,代数方程可以表示成图形和几何对象,几何特征可以用代数表达式刻画。就好像有一座桥梁连接广阔的数学世界中的这两个领域,桥的两边互为镜像。

代数与几何之间对应关系的3个例子:代数表达式-三角形面积,二次方程-半径为2的圆,线性方程-斜率为1的直线。

因此,尽管代数和几何是很不相同的数学领域,但这种联系表明,它们之间存在着内在关联。不仅如此,还有集合论、群论、线性代数、拓扑学、图论、微分几何等等,这些看上去似乎没什么关系的数学分支实际上都存在深层次的关联,代数与几何的关联只不过是其中的冰山一角。令人惊奇的是,这些关联或桥梁不仅仅是浮于表面的印象。它们是数学,而且这种数学有个名字:范畴论。

范畴论是什么?

马丁·库佩(Martin Kuppe)曾绘制过一幅精美的数学地图,其中范畴论高高悬挂在天空,提供了整个地图的缩略图。它让我们能够看到在地面看不到的各个领域之间的关系,证明看似不相关的数学领域并不是完全不同。当你想解决某个领域(比如说拓扑)中的问题,但没有合适的工具可以使用时,这就变得非常有用。通过将问题转移到不同领域(比如群论),就能让你换个角度看问题,说不定还能发现新的工具,让问题变得更容易解决。事实上,范畴论就是这样产生的。它诞生于20世纪40年代,背景是人们试图用更简单的代数方法来解决一个困难的拓扑问题。

马丁·库佩的数学地图

回到数学地图,你可以注意到各领域都包含一些对象:集合论有集合,群论有群,拓扑学有拓扑空间…… 这些对象彼此关联:集合通过映射关联,群通过同态关联,拓扑空间通过连续映射关联……

这条共同的线索贯穿了整个地图,将各领域统一到一起。范畴论将这种统一形式化了。更具体地说,范畴是一组对象及其关系的集合,这些对象之间的关系(称为态射,morphisms)在组合(composition )和结合性(associativity)方面表现良好。这样就为数学提供了一个模板,将不同内容输入模板,就能重建一个数学领域:集合范畴由集合和它们之间的关系(映射)组成;群范畴由群和它们之间的关系(群同态)组成;拓扑空间范畴由拓扑空间和它们之间的关系(连续映射)组成;等等。

集合与集合之间的关系(映射);群与群之间的关系(群同态);拓扑空间与拓扑空间之间的关系(连续映射)。

巴里·马祖尔(Barry Mazur)写了一篇精彩的非专业性文章介绍范畴论,《什么时候一样东西等于另一样东西?》,范畴和模板的类比就是在这篇文章中提出来的。他在文中写道:“范畴的概念是万能的……几乎没有哪种数学对象不适合这个方便并且经常能带来启发的模板。” 事实上,正如范畴论专家尤金妮娅·程(Eugenia Cheng)在她的论文《高维范畴论》中所指出的,“范畴论是数学的数学。”

关系就是一切

范畴论的一个主要特点是它剥离了很多细节:它并不具体关心集合中的某个元素,或者某个群是否可解,或者某个拓扑空间是否有可列基。所以你可能会想,“呃,范畴论似乎太抽象了。这样做有什么好处吗? ” 当然,答案是肯定的!剥离细节的一个好处是,我们的注意力从单个对象上转移开,转向它们之间存在的关系——态射。任何一个范畴论专家都会告诉你:关系就是一切

事实上,范畴论的一个主要信条就是,一个数学对象完全由它与所有其他对象的关系决定。换句话说,当且仅当两个对象以同样方式与范畴中的每个对象相关时,两个对象本质上是不可区分的。这其中的主旨 [这是著名的米田引理(Yoneda lemma)的一个推论] 与我们的日常经验并没有太大区别。你可以通过观察人们的关系来了解他们,比如他们在 Facebook 上的朋友,他们在 Twitter 上关注的人,他们周五晚上和谁出去玩。如果你遇到两个人,他们有完全相同的朋友,他们在社交媒体上的互动也完全相同,他们在周五晚上和相同的人在一起,那么你可能会开玩笑地说,“你甚至分不清他们。”撇开所有玩笑不谈,范畴论告诉我们,这其实是真正的数学!

那你可能会想,“嗯,如果数学关系如此重要,那么范畴之间的关系呢?它们存在吗? ”问得好。答案是:当然!事实上,这些特殊的关系有个名字——函子(functor)。但是为什么要就此止步呢?这些关系之间的关系呢?它们也有名字:自然变换(natural transformation)。

范畴之间的关系被称为函子,函子之间的关系被称为自然变换。

事实上,我们可以继续:“关系之间的关系之间的关系……?”这样做将使我们进入更高维的范畴论,这正是尤金妮娅·程的主要研究领域。

尽管听起来很抽象,但这些构造——范畴、函子和自然变换——组成了一个理论宝库,不仅仅涉及数学,还涵盖许多学科!范畴论自诞生以来,已经在计算机科学、量子物理学、系统生物学、化学、动力系统和自然语言处理等领域找到了自然应用。(“应用范畴论”网站上有一个应用列表,http://appliedcategorytheory.org/workshops) 因此,虽然范畴论听起来有点抽象,它其实具有很多实际应用。这并不奇怪。范畴论是关于关系的,而关系在我们所处的世界中无处不在!

结 语 

为了做到这些,我们必须脚踏实地。但是,当你在最喜欢的数学领域的角落和缝隙中艰难跋涉时,范畴思维可以指引你——它可以增强你的直觉,让你的洞察力更敏锐。如今,我们尤其难以摆脱范畴论在现代数学中的普遍存在。所以无论你学数学的目标是什么,学习一点关于范畴的知识都是值得的!

作者介绍 : Tai-Danae Bradley是纽约城市大学数学博士生。感兴趣的领域包括范畴论、拓扑学、机器学习和量子物理,空闲时间爱好涂鸦和写博客。

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【人物】数学家熊庆来

作者 杨乐 好玩的数学


《父亲熊庆来》熊秉衡 熊秉群 著 云南教育出版社

九五九年夏,秉信到北京开会,秉慧暑假来北京度假,父母亲与家人合影。后排左起:秉慧、秉群、秉信、有德;前排小孩是有毅、有莉。图片选自《父亲熊庆来》

由熊秉衡、熊秉群两位教授撰写,云南教育出版社出版的《父亲熊庆来》一书,对于我国科学界、教育界和出版界,都是一部具有重要意义的传记。
熊庆来先生是我国函数论研究的一位先驱与主要开拓者,也是我国近代数学研究与高等数学教育的一位奠基者。他在东南大学和清华大学,参与创建数学系和主持系务及教学工作,培育了一批优秀的学生,成长为杰出的数理专家。以后他又担任云南大学校长十余年,为云南大学的发展作出了贡献。

一、在学术上的重要贡献

熊庆来先生1893年出生于云南省弥勒县。当时正是清朝末年,政治腐败,军队懦弱,国力衰微。一些人试图挽回颓势,鼓吹洋务运动,开始走出国门,向西方学习。最初人们仅认识到西方人船坚炮利,于是较多地学习其船政、海军、路矿、桥梁等实用科目。到辛亥革命前后,一些有识之士才逐渐认识到科学和民主的重要性,到西方国家学习的科目逐步遍及自然科学与人文科学的各领域。
熊庆来先生曾三次赴欧,主要在法国学习和从事研究工作,总计逾17年。他第一次赴欧是1913年至1920年,由云南省公费派遣,在法国学习了大学本科与硕士的许多数学课程。1932年至1934年,熊庆来先生第二次赴欧访问,他先到瑞士苏黎世参加国际数学家大会,了解数学发展动态,对法国著名函数论专家瓦利隆关于亚纯函数的波莱尔方向的大会报告颇感兴趣。熊庆来先生在参加了苏黎世的国际数学家大会以后,即去巴黎与瓦利隆一起从事函数值分布论的研究。他对于当时研究很少,增长十分迅速的无穷级函数,引进了型函数的概念,作出了系统和精确的研究。他的论文发表在国际的重要数学期刊上,70余页,获得权威学者的赞誉,并荣获法国国家博士学位。他引进的无穷级的定义被称为“熊氏无穷级”,成为以后研究无穷级整函数与亚纯函数的得力工具。
1949年9月,熊庆来先生赴巴黎出席联合国教科文组织大会后,因病滞留法国,他重新开始了学术研究工作。1957年6月,他返回北京,到中国科学院数学所任研究员,继续从事研究,并培养青年学者。在值分布理论中,他注意到亚纯函数结合于导函数的研究,获得了富有意义的成果。在正规族理论中,他从相应的基本不等式出发,消去余项中的所谓原始值,从而建立相应的正规定则。熊庆来先生关于消去原始值、建立正规定则的方法,为我国学者不断使用与发展,卓有成效地解决了海曼教授搜集与提出的全纯和亚纯函数的新正规定则方面的大部分问题。这个方法对英、美同行学者的研究也有相当影响。

二、在高等教育与培育人才上的贡献

1921年,应东南大学郭秉文校长的邀请,熊庆来先生到该校创建数学系,担任教授兼系主任。当时系内仅他一位专任教授,因此在此后的五年间,他开设了十余门课程,并自编讲义。在东南大学,熊庆来先生培养了一些杰出的学生,如胡坤陞、赵忠尧、严济慈等。胡坤陞后到哈佛大学深造,从事变分学研究,获博士学位,回国后长期在中央大学与四川大学担任教授。赵忠尧从东南大学毕业后,赴加州理工学院师从诺贝尔奖获得者密立根教授,在国际上首次观测到正负电子对的湮没辐射,是物理学上的重大发现。严济慈从东南大学毕业后,由熊庆来、何鲁、胡刚复教授资助赴法攻读,后来,严济慈获法国国家博士学位后回国,为我国物理研究作出了杰出贡献。
1926年,熊庆来先生应清华大学聘请担任教授,1928年任数学系主任。20世纪30年代初,熊庆来先生等在清华大学建立了数学研究所,在我国首次培养数学领域的研究生。老师同学中,研究逐渐形成风气,论文不断在“清华理科报告”发表。熊庆来先生十分注重学术交流,以促进人才的成长。著名数学家法国阿达玛教授和美国维纳教授,当时应邀到清华大学作系列演讲,使师生受益匪浅。在这样优良的学术环境里,一批青年人才茁壮成长。例如,华罗庚、陈省身、许宝、柯召、徐贤修、庄圻泰、段学复等,走向学术研究的前沿。物理系的学生钱三强、赵九章、林家翘、彭桓武等也都得到很好的培养。
1937年夏,熊庆来先生应云南省主席龙云的邀请,出任云南大学校长。他在抗战极其艰难的条件下,竭尽全力聘任教授,添置设备,增设院系专业,将一所规模很小的地区性大学发展成拥有五所学院、教授阵营坚强、在全国具有影响、颇有规模的国立大学,为云南和全国输送了一大批人才。
1957年,熊庆来先生由欧洲回国在中国科学院数学所工作期间,他全心全意做好教学和研究工作,竭尽全力帮助青年学生成长,期望他们成为社会的中流砥柱,国家的精英。

三、身教重于言教,传记叙述,完全忠于史实

1962年,我和张广厚由北京大学毕业后,考入中科院数学所,成为熊庆来先生的研究生。熊先生担任我们的导师时已年逾古稀,半身不遂,然而他对我们十分爱护,经常与我们谈话。虽然许多谈话内容只是一些闲聊、典故,却使我从学术思想上受到熏陶,并从中探索合适的研究方向。熊先生自己曾谦逊地说:“我年事已高,虽不能给你们具体帮助,但老马识途。”
研究生的四年期间,我在《中国科学》上发表了4篇论文,在《数学学报》上发表了1篇论文。这些论文受到国际上同行学者的关注与引用。应该说,我们当时在熊庆来先生指导下的研究,是当时国际上函数论的前沿,并达到了十分先进的水平。我们在研究生阶段所获得的成绩,并在以后获得了很好的发展,是与导师熊庆来先生的引领与帮助分不开的。
熊庆来先生在东南大学和清华大学时,都是刚开始创办数学系,讲授课程很多,课务繁重;同时,他担任系主任,还要考虑到系务安排、教师延聘、学生成长、学术研究、未来发展等诸多方面。但是当时国内科系尚无固定模式,各门课程均无中文教材,工作之繁重可以想见。在抗战极其艰难时期担任云南大学校长,其困窘与繁忙更是无可比拟。他的时间和精力都投入到工作中,很少能顾及子女的教育与培养。尽管如此,他的子女们平日受到其精神的感召,在他言行潜移默化的影响下,都十分顺利地成长为各个领域造诣很深、贡献甚大的专家。时光流逝,熊庆来先生的长子秉信先生、次子秉明先生、女儿秉慧女士已先后因病逝世。
本书作者熊秉衡教授、熊秉群教授以往在物理、通信领域内都是很有贡献的专家,长期为自己专业领域的工作操劳忙碌,退休以后仍无空闲。然而长期以来,他们有一个心愿,要将父亲熊庆来的一生十分真实地记述出来。尤其是经过了史无前例的十年浩劫时期,熊庆来先生当时受到严酷的批斗,身心备受摧残,并于1969年2月逝世。他们感到有责任将熊庆来先生这位老一辈学者的典型向当今的社会和广大民众,尤其是向青年学子们作一清晰的介绍。
作者为此做了大量的工作。他们收集了熊庆来先生与当时有关人士的许多电报、信函,采用了熊秉明及其他人当年日记中的有关记述,查阅了档案馆中保存的文献资料,特别是在巴黎的法国国家档案馆中查阅了20世纪30年代熊庆来先生博士论文的评阅意见,令人印象深刻。他们访问了有关人员,留下了宝贵的录音,从中选取了有用的资料。此外,书中还附有大量珍贵照片,为各个时期的历史史实与人物提供了佐证。
从本书所记述熊庆来先生一生的经历,我们可以看到现代数学和科学技术在我国创业的艰难,看到我国高等学术人才成长的进程,看到抗战时期云南大学的成长与发展,也看到熊先生1957年返国后的工作与培养青年人才,以及在“文化大革命”时期经受的折磨与苦难。所有这些对于广大读者都是富有教育意义的。

作者 杨乐,系中国科学院院士 来源:光明日报

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【文摘】布尔巴基学派

作者丁玖 遇见数学

几百年来,法兰西民族给近现代世界的文化进步和科技发展起到了引领大潮的推动力作用,并为此贡献了一代又一代的天才人物。十七世纪从科学哲人笛卡尔、帕斯卡,到“业余数学家之王”费马;十八世纪从启蒙思想家伏尔泰、狄德罗、卢梭,到1789年的法国大革命;十九世纪从伟大小说家巴尔扎克、雨果及现实主义雕塑大师罗丹,到流芳百世的数理全才庞加莱和造福人类的生物巨人巴斯德,他们所代表的各行业的杰出法国学者为人类的荣耀增添了光辉。

二十世纪三十年代的法国,出现了一个被称为“布尔巴基”的数学团体,它的成员均为那时还未成名的法兰西年轻数学家。然而在很短的时间内,这个团体以它的数学观和它的著作,像一颗耀眼的明珠迅速升腾在世界数学的天空,在六七十年代达到辉煌,其对国际数学界甚至中小学数学教育不可忽视的影响力也在那时臻于极大。

到了新世纪,虽然布尔巴基不再光辉如初,它的著作也少有出版,但它依然存在,依然定期举办讨论班,依然召开数学会议,依然影响着世界各地的数学。我国当前的数学氛围和前景,与当年布尔巴基诞生之初的环境有类似之处,数学界的思维状态也和法国那时的情景有可比之点。因此重温一下布尔巴基这个在上世纪影响国际数学几十年的数学家团体的兴衰史,分析一下它的数学世界观,或许能给予我们关于“数学到底是什么”的一丝线索。

布尔巴基的诞生

布尔巴基是如何“横空出世”的?这要从当时法国数学界的状况谈起。上世纪初的第一次世界大战,敌对国德国的政府聪明地设法保护自己的年轻才俊免上前线当炮灰,从而保存了一批未来的优质科学家,大概他们从一百年前的法国统帅拿破仑那句名言“我不会杀了会下金蛋的老母鸡”中学到了什么。然而法国政府却好像忘掉了历史伟人的这句忠告,让年轻人聚集在爱国主义的大旗下,一视同仁地奔赴前线战场,连1794年创办的精英大学巴黎高等师范学校(简称巴黎高师或高师)的学子们也不例外。结果是,从1911年到1914年进校的高师数学系学生,几乎半数在大战中丧生;从1900年到1918年进入高师的331名学生中,四分之一没能从战场上归来。

到了二十年代,一批法国数学界未来的精英考取了巴黎高师。他们当中有五位是十年后布尔巴基诞生的“助产士”:嘉当 (Henri Cartan,1904-2008) 、谢瓦莱(Claude Chevalley,1909-1984)、德尔萨特 (Jean Delsarte,1903-1968) 、迪厄多内 (Jean Dieudonne,1906-1992) 和韦伊 (André Weil,1906-1998) 。这五个布尔巴基的最初成员中,德尔萨特和韦伊、嘉当、迪厄多内及谢瓦莱分别于1922、1923、1924及1926年进校。所以巴黎高师是培育出布尔巴基的摇篮。

在他们大学求知的岁月,巴黎高师的数学家群体以及更广泛的法国数学界因为世界大战而落到青黄不接的地步。虽然皮卡 (Charles Picard,1856-1941) 、阿达马(Jacques Hadamard,1865-1963) 、波莱尔 (Felix Borel,1871-1956) 、勒贝格(Henri Lebesgue,1875-1941) 等名闻天下的一流数学家依然健在,但都已垂垂老也,早已超出富于创造力的年岁。比他们年轻二十来岁的新一代数学家,或已经战死疆场,或还未羽毛丰满。祖父级年龄教授的沉闷课堂、使用了多年未变的陈旧教材,都让他们深感失望。

1982年,在一篇采访记中,嘉当回忆了导致布尔巴基诞生的最初想法和直接起因:

“1934年,韦伊和我都在斯特拉斯堡大学教书。我常和他谈到我所教的微积分课。因为所用的教科书不令人满意,尤其关于多重积分和斯托克斯定理,我一直在想怎样用最好的方式教这门课。我和韦伊就我的担心讨论了几次。某一天风和日丽,他对我说‘我们需要永久性地解决这个问题。我们应该写一本关于分析的好教科书。这样你就不再埋怨了。’”

布尔巴基的主要肇始者韦伊在他出版于1991年的自传《一位数学家的学徒日子》(The Apprenticeship of a Mathematician) 中,证实了前一个肇始者回忆的正确性:“1934年的一个冬日,我想出一招以停止我朋友不停的疑问。我告诉他(嘉当),‘我们五六个人在不同的大学教同样的课。让我们一起解决这个问题,然后我将终于听不到你的问题了。’我没有想到布尔巴基就在此刻诞生了。”

除了上述的五人外,库伦 (Jean Coulomb,1904-1999)、埃雷斯曼 (Charles Ehresmann,1905-1979) 、芒德布罗伊 (Szolem Mandelbrojt,1899-1983;分形之父芒德布罗 (Benoit Mandelbrot,1924-2010)的叔父) 及波塞尔 (Rene de Possel,1905-1974) 等四人也参与了这个数学团体的创建。在这九个创始人中,仅仅出生于波兰、年龄最长的芒德布罗伊不是高师出身,波塞尔本质上不是数学家,而是地球物理学家,早在1937年就“脱党”了。

1934年12月10日是礼拜一,这九人中的六位——嘉当、谢瓦莱、德尔萨特、迪厄多内、波塞尔和韦伊——趁着参加庞加莱研究所的朱利亚讨论班之机,在巴黎拉丁区的一个名叫A. Capoulada的餐厅地下室,围着餐桌一边吃午饭,一边举行了第一次“工作会议”。他们都不到30岁,年纪最小的谢瓦莱才25岁,尚未正式任教,其余的五人都不在巴黎的大学教书:嘉当和韦伊在斯特拉斯堡大学,德尔萨特在南锡大学,迪厄多内在雷恩大学,而波塞尔在克莱蒙特-费朗大学。

他们的目的很简单很直接:为法国高等教育撰写一部新的分析教材,以取代目前不令人满意的教课书——比如用了多年的古尔萨 (Edouard Goursat,1858-1936) 的那本《分析学》。按照韦伊的想法,有必要“通过写出一本覆盖广泛材料的分析教程,为未来的25年建立微积分学的内容”,而且此书应“尽可能现代化”。为了完成这一使命,德尔萨特强力支持集体写作的想法,并且希望第一卷要在六个月后出版(事实上第一卷到了1939年才问世),嘉当则提议整套书的篇幅最多在1000到1200页之间(事实上到目前为止,完成日期“不可预测”的这套书已出的三十多卷总页数已超过了六千页),而韦伊提出建议成立确认各个章节内容的几个子委员会。

1935年7月,这群年轻数学家召开了第一次全体会议。7月16日可以被认为是“集体笔名”布尔巴基的诞生日。那天,忙着开会但讨论问题未果的他们决定休息一会儿,便跑到三英里外的Pavin湖边。一个有根据的说法是:“他们中的几人有足够的勇气跳进水中,一边随波逐流地裸体畅游,一边叫喊‘巴尔巴基’上百遍。”

“布尔巴基”就这样降落人间!

布尔巴基学派1938年集会的情景。| Wikipedia

布尔巴基的传奇

“布尔巴基”仅仅是我年轻时读报纸常常看到的像“梁效”、“丁学雷”这样的写作班子的笔名吗?不,它是十九世纪一个具有希腊血统的法国将军的姓,这位将军全名叫查理·布尔巴基 (Charles Bourbaki,1816-1897) 。

布尔巴基将军毕业于法国的“西点军校”——I’Ecole Spéciale Militaire,有过几十年的戎马生涯,从非洲到意大利打了无数次的仗。在1870-1871的普法战争中,他先赢后输,而这也折射出当时法国的情景。

为何这位或许不懂得多少微积分的昔日军人与这帮今日数学才俊有缘?事实上,这同来自巴黎高师的一出恶作剧有关。1923年,一个数学系三年级的大学生雨松 (Raoul Husson) 决定对一年级新生来个恶作剧,他贴了一张海报,说Holmgren教授要做一个讲演,所有新生都要参加。结果如韦伊在其自传中所述:“戴着假胡子,发着怪音,他向学生们介绍自己后开始讲经典函数论,然后小小地上升到一个故弄玄虚的高度,最后以‘布尔巴基定理’结束。这个故事成了传奇,但更传奇的是一个学生声称他听懂了整个的讲座。”

始作俑者雨松从法国军事史中看到布尔巴基的名字,普法战争也刚过去55年,加上布尔巴基将军的麾下有高师的学生,他的名字还在人们的记忆之中,故雨松把他的名字借来张冠李戴地用在了数学上!

三十年代再次成为“布尔巴基”麾下的数学家们,干脆假戏真做地搞起了幽默勾当。首先他们决定用他的姓作为所建团体的名称。为了展示它作为一个人物个体的“真实存在性”,他们决定在法国科学院发表以之署名的一篇数学文章,但这还需要一个名。韦伊未来的太太伊夫兰 (Eveline) 则为布尔巴基起了一个与末代沙皇一样的名“尼古拉”,这样Nicolas Bourbaki就成了这个数学组织的正式全名。韦伊自告奋勇地杜撰了布尔巴基的简历,开了一次嘉当之父、陈省身的老师老嘉当 (Elie Cartan,1869-1951) 的后门,送到科学院秘书皮卡手上,因为在科学院发表文章需要一位院士的推荐。

这位无中生有的尼古拉·布尔巴基,在热爱语言和文学的韦伊 [须知他的妹妹西蒙娜 (Simone Weil,1909-1943) 是享有世界声誉的法国哲学家和社会活动家] 绘声绘色的生花妙笔下,是个颇有成就的数学家,生于1886年,在祖国的哈尔科夫大学毕业后,获得奖学金,去了巴黎,然后到了哥廷根大学,分别师从庞加莱(Henri Poincaré,1854-1912) 及希尔伯特(David Hilbert,1862-1943) ,1910年在母校成功答辩学位论文。后来他的学术生涯丰富多彩,合作者无数,名誉扶摇直上。为了避免被查询,韦伊故意申明布尔巴基的博士论文在1941年德寇入侵后被摧毁,真是描绘、掩饰得天衣无缝。

数学家安德烈·韦伊。| Wikipedia

布尔巴基出名后,各国数学界人士却从来没有在公开场合目睹尊容,他也像隐士一样地不露峥嵘,成了数学界一个迷。如果他的确是个真人,则比去世前的数学大师格罗腾迪克 (Alexandre Grothendieck,1928-2014) 或证明庞加莱猜想的佩雷尔曼 (Grigory Perelman,1966-) 更是“隐士”。直到多年后,布尔巴基在《美国数学月刊》上发表一文,在作者简介中,还是煞有介事地这样称自己:“尼古拉·布尔巴基教授,前在Poldavia皇家学院,现定居法国南锡,写了一套《数学原本》,内容是关于现代数学的综合性丛书(自1939年起由Hermann出版),现已出版十卷。”

布尔巴基的雄心

布尔巴基建立之初的意图仅仅是写一本新的分析学教材,但他们很快就开始“雄心勃勃”起来,因为他们要为“分析学”的写作提供集合论等基础学科的“预备知识”甚至“相关知识”,但这样一来,书的覆盖面就像滚雪球一般越滚越大。谁也没有料到,迄今为止他们已经出版了三十多卷。为什么他们的事业在上世纪六七十年代前越做越大?

理由是这批现已在数学史上留下盛名的青年人一开始就有鸿鹄之志。两千年前,古希腊数学家欧几里得集前人几何成就之大成,一举写出《几何原本》(The Elements),用几乎处处无懈可击的公理体系,严密推理出几百个几何和算术定理,吹响了导致西方现代文明理性思维的号角之声,成为印刷版次数目仅次于《圣经》的不朽作品。

到了上世纪三十年代,经过布尔巴基人一次次会议的来回争执和热烈讨论,大家一致认为,现代数学的教科书跟不上现代数学前进的步伐,尤其在饱受世界大战重创的法国,缺少统一的数学观,即他们所认定的“数学取决于结构”的哲学理念。他们要把该信条作为写作原则,把数学看成有机整体,而非各个分支的碎片组合,重新构建数学的大厦。因此,他们撇开只写出一本基于微积分思路的现代分析教科书的最初想法,决定集体写出一部与众不同、体现当代数学“结构主义”思想,充满法国文学风格的恢弘大作。

于是,他们模仿欧几里得,将书名取为《数学原本》(Elements of Mathematics) ,希望成为二十世纪的欧几里得,引领国际现代数学教育之潮流。65年后,上世纪结束,他们的目标实现得很不错。据2006年美国数学会翻译出版的 Bourbaki: A Secret Society of Mathematicians(《布尔巴基:数学家的一个秘密团体》)一书中的记载,在法文原著出版之时,已出版的书是:1.《集合论》,2. 《代数》,3. 《一般拓扑学》,4. 《单实变量函数》,5. 《拓扑向量空间》,6. 《积分学》,7. 《交换代数》,8. 《微分和解析簇》,9. 《李群和李代数》,10. 《谱理论》。其中几乎每种书都有好几卷。

《数学原本》第一卷,集合论(1970版)| Wikipedia

这些书的写作过程有点像中国五十年前革命现代京剧的创作:精益求精,百炼成钢。它们都是“革新”的产物,一个属于艺术,一个属于科学,但异途同归于同样的哲学思辨。在布尔巴基集体看来,范·德·瓦尔登的《代数学》是数学写作的典范,于是决定每个章节写出像它那样的风格。但是范·德·瓦尔登写书的依据是诺特 (Emmy Noether,1882-1935) 和阿廷 (Emil Artin,1898-1962) 的讲义,他不必受到别人七嘴八舌的干扰,而以一己之力独自完成那本杰作。(参看《一百年前,她成为德国历史上第一位女性数学讲师》)

布尔巴基就不同了,他们是“写作班子”。每本书动笔之前,大家在会上讨论怎么写,写哪些,以及材料布局的先后次序,等等,都要由众人各抒己见,出谋划策,任何成员都像联合国常任理事国那样拥有否决权,只有一致同意后才决定开写。这时一位志愿者接下任务,由他无拘无束地按照大家定下的模糊计划写出初稿。一两年后,初稿在布尔巴基会议上宣读。在“审稿”会上,他们如同遵循美国杰出数学家费德勒 (Herbert Federer,1920-2010) 关于修改自己数学作品的忠告“好像你是作者最凶恶的敌人”似的,对初稿百般挑剔,无情批判,结果是一部稿子体无完肤地落荒而去,于是再写第二稿,甚至第三稿第四稿,乃至第六、第七、第八稿。读者最后看到的出版物,就是这样千锤百炼后出炉的产品。

前已所述,布尔巴基人信奉“结构主义”思想。他们认为数学研究的是结构:代数结构、拓扑结构和序结构。代数结构关心的是代数运算,拓扑结构与“连续”的概念有关,是分析学研究的对象,而序结构像实数那样考虑的是大小关系。布尔巴基所写的几十卷书全是遵循结构主义思想的结晶,这些精心打造的著作,注重理论概念的结构分析,对不同结构分门别类,全书材料经过整理归纳,各就各位,论题所在位置恰到好处,具有严密的逻辑性,对同时代及后世的数学家及学生影响极大。从欧洲到亚洲,从北美洲到南美洲,许多数学家长大成人的养分就是一部接着一部的布尔巴基大书!

布尔巴基的活动

作为一个数学团体,虽然是“半秘密”性的,布尔巴基有自己公开的数学活动。自从1935年7月历时一周的第一次全体会议开始,直到1939年,这样的会每年一次。第二次世界大战爆发后,会员无法聚会,但零星联系依然存在,大战结束后又恢复了所有活动。直到1948年美国洛克菲勒基金会开始提供资助前,布尔巴基的成员都是自掏腰包参加活动,充分说明他们对数学的无比热爱。

不像正式的数学团体,布尔巴基也没有什么“学会章程”之类的繁文褥节。它的正式成员制度,体现了“数学是年轻人的事业”这一信条,“到了50岁必须退出”是一项不成文的规定。年轻的数学人想参加活动,悉听尊便,但要想成为新成员,必须有经得起布尔巴基讨论数学时燃起的熊熊烈火炙烤的心理准备,而且要有添加燃料让火烧得更旺的激情才行。那些坐在一旁洗耳恭听沉默不语的胆小人物或对数学不太活跃的落后分子,多半不会再被邀请参加活动。多年来,布尔巴基的正式成员一般维持在一打左右。

法国和苏联数学界都有讨论班的传统,法国有阿达马的讨论班和朱利亚 (Gaston M. Julia,1893-1978) 的讨论班,苏联有柯尔莫哥洛夫 (Andrey Kolmogorov,1903-1987) 的讨论班和盖尔范德 (Israil Gelfand,1913-2009) 的讨论班。从1948年起,布尔巴基开始举办讨论班,每年2、6、11月共三次在周末举行,每次五个邀请报告,约有200人参加。报告的内容都是数学各方面的最新结果,最后结集出版。今年最后的一次布尔巴基讨论班,报告的内容有北京国际数学研究中心博士后韦东奕与合作者的成果。

布尔巴基的影响

通过几十卷数学著作的出版,布尔巴基成了上世纪影响力最大的数学学派之一,其声誉在六七十年代达到顶峰。

韦伊一开始就锁定了巴黎的出版社Hermann同他们携手同进。编辑Enrique Freymann早先就出版过谢瓦莱和韦伊为纪念英年早逝的一位杰出逻辑学家而编辑的一本论文集,后来为布尔巴基丛书的大卖立下汗马之功。事实上,谢瓦莱甚至宣称这位出版人很早就鼓励他们两人写出分析教程以取代古尔萨。尽管有冒险的可能,Freymann一开始就以极大的热情支持布尔巴基的事业。对他至死不渝地全力相助,布尔巴基深受感动,将1954年出版的《集合论》第一卷献给了校对清样时不幸去世的他。

布尔巴基的数学观与现代数学三大学派之一的形式主义学派相一致,他们是德国人希尔伯特的门徒,而不是法国人庞加莱的接棒者。公理体系与抽象的结构主义是他们几十年如一日挥舞的两面旗帜。他们信奉的是:数学的统一性,公理方法,以及结构的研究。这在他们于1947年以尼古拉·布尔巴基署名的文章《数学的结构》中有进一步的阐述。他们所撰的数学书,将现代纯粹数学大厦的中央大厅、砖瓦结构、门窗走廊、天花板面、悬梁屋檐等建筑要素一一展示,有机结合,极富数学建筑之美。精工细作的写作态度使得几乎每本都是登峰造极之作,再加上出版商的通力合作,在数学家与出版社直到七十年代为止的蜜月期间,《数学原本》各卷出版后的销售蒸蒸日上,不仅众多的数学工作者购买,而且全世界的图书馆也要馆藏一本,在很长一段时间内成了出版社的主要利润来源。

希尔伯特信奉公理化体系,他试图将所有现存理论纳入一个有限完备的公理集合当中,并证明这些公理是相容的。而庞加莱认为数学是现实世界的反映。| Wikipedia

然而,如果以为布尔巴基的主要成就仅仅只是十来种30多卷的大书,那就大错特错了。布尔巴基的成员,无论是奠基者还是中生代,甚至年轻一代,许多都是顶级的数学家,其中名气最大的大概就是韦伊了,他是上个世纪全世界几个最伟大的数学家之一,在代数数论和代数几何领域的深刻工作影响深远。同是奠基者的迪厄多内,是这个数学圈子的主要写手,一生在多个领域勤奋耕作,著作等身,晚年还写出泛函分析等学科的数学史。他自己的一本书《现代分析基础》(Foundations of Modern Analysis),七十年代末被南京大学数学系选为研究生的教材,而那时我班两位醉心纯粹数学的同学——田刚和王宏玉——则旁听了这门课,按照授课老师之一的苏维宜教授所述,他们两人的考试成绩全班最高。可见布尔巴基及其成员对远在东方的年轻学子也产生了持续终生的影响。

几乎所有的法国菲尔兹奖获得者都是布尔巴基后来的成员,如施瓦尔兹 (Laurent Schwartz,1915-2002) 、塞尔 (Jean-Pierre Serre,1926-) 、格罗腾迪克以及英年早逝的动力系统大家约科兹 (Jean-Cristophe Yaccoz,1957-2016) 。在分形领域做出杰出贡献的德奥迪 (Adrien Douady,1925-2006) 也在其中。早期的成员中,唯一的外国人艾伦伯格 (Samuel Eilenberg,1913-1998) 来自波兰,后来长期在美国。他和美国数学家麦克莱恩 (Saunders MacLane,1909-2005) 创造的范畴论,现在是理论物理学界炙手可热的数学工具。

布尔巴基不仅以它的数学与写作影响了全世界,风行了几十年,而且创造了一些数学概念和符号,其中许多“一夜成名”,比如原创法文的filtre和英文翻译filter。最有名的例子就是空集的符号Ø,它由韦伊所独创。现已广泛使用的三个函数术语“单射”(injection) 、“满射” (surjection) 及“双射” (bijection) ,也是布尔巴基的发明。

作为数学家群体的布尔巴基,其影响力也进入了艺术界,对结构主义的艺术流派有一定的影响。但是,它对初等数学教育的影响却导致了七十年代轰轰烈烈的“新数学”运动的诞生。“新数学”要打倒欧几里得,要把“集合论”请进中小学的课堂。然而,这个影响却是负面的,因为“新数学”的实践结果几乎是一场灾难。旅居美国在约翰斯·霍普金斯大学教书的日本数学家小平邦彦 (1915-1997) 目睹自己的女儿成了这场试验的牺牲品,在他的《惰者集》一书中对“新数学”大加鞭挞!

从历史的角度看,布尔巴基对整个数学贡献巨大,影响了几代数学家。但是,它的数学观和哲学思想也一直饱受批评。其中最激烈的讨伐者大概非俄罗斯数学家阿诺德(Vladimir Arnold,1937-2010) 莫属。就数学哲学而言,阿诺德是庞加莱的信徒,而不是希尔伯特的粉丝,当然这不妨碍他解决了后者的“23个问题”中的一个。这位柯尔莫哥洛夫的杰出弟子个性独特,言语锋利,批评起来不留情面。我在他的一篇文章中读到,他面试一位求职的法国数学家,后者的专业是线性代数,却答不出“二次型xy的符号差为几”这个简单问题。这名法国教授也许读了太多的布尔巴基著作,过分重视“一般性”而忽略了“具体性”,而这正是阿诺德所最反对的。阿诺德大概最欣赏一句名言——“艺术源于生活,但高于生活”。他认为数学是现实世界的反映,而不是先有数学结构再将之套用到现实世界中去。他自己的一句名言是:“数学是物理的一部分。”

这也从另一个方面验证了布尔巴基的缺陷:太注重纯粹数学而忽视应用数学,比如现在特别热门的统计学就不在他们撰著的考虑范围之内。这也是许多数学家批评的另一方面。具有讽刺意义的是,布尔巴基最年长的创始人芒德布罗伊的侄子芒德布罗,却是反对布尔巴基的急先锋。30岁不到时,他甚至逃离祖国而去了美国,六十年代在那里开创了布尔巴基大概不甚欣赏的分形几何学。

今天,距离布尔巴基第一次工作会议的日子已经过去85年了。它的成长史和兴衰史,它对世界数学的不朽功勋和消极影响,都对中国数学界有启示作用。现代数学的发展和应用,应该是牛顿-庞加莱与哈代-希尔伯特的对立统一,应该是具体与抽象的相辅相成,应该是应用与理论的有机结合。这大概是中国数学努力赶超世界先进水平的一条可行之路吧。

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【数学】非欧几何学

作者 | 刘建新 好玩的数学

一. 非欧几何的历史概述

图1 双曲几何,欧氏几何,椭圆几何中:垂直于同一条直线段的两条直线

非欧几何学是在指在“平行公设”方面不同于欧氏几何学的几何学体系。历史上,两种非欧几何学——罗氏几何与黎曼式非欧几何分别于19世纪由Lobachevskii和Riemann提出,后来分别被称为双曲几何与椭圆几何。非欧几何学起源于平行公设研究,从平行公设研究到早期的非欧几何学建立,再到人们理解各种非欧几何学的本质,经历了两千多年的漫长历史。

图2 欧几里得

公元前300年前后,Euclid《几何原本》问世。之后,希腊的Ptolemy,Proclus等人就开始了证明平行公设的尝试。但其后的两千年间,该问题的研究并未取得实质性的进展。本质上,人们只是得到了一些与平行公设等价的命题。平行公设研究上的突破是由意大利数学家Saccheri于18世纪做出的。

1733年,Saccheri在试图证明平行公设的过程中,从底角为直角的对称四边形出发,讨论了顶角的三种可能性,分别称为直角假设、钝角假设、锐角假设。钝角假设与平行公设以外的九大公理矛盾,所以被Saccheri否定。Saccheri在锐角假设的情形推导出一些看似荒谬的结论,故而认为自己通过归谬法证明了平行公设。德国的Lambert、法国的Legendre等人也沿着类似的思路展开研究。他们分别认为自己否定了钝角假设(当然,这是一个高级的错误)。同时,他们得出大量与锐角假设等价的命题,例如,不存在相似三角形;以及S_{\bigtriangleup ABC}\propto \pi-(\angle A+\angle B+\angle C)。他们对这些命题产生了不同的态度,Saaccheri认为一些命题是荒谬的,而Lambert却表示困惑,但他承认自己没有能够找到锐角假设中的矛盾。尽管他们的工作中存在着错误,但Saccheri等人考察了与锐角假设、钝角假设等价的一些命题,这是很大的进步。

在数学家们研究平行公设两千多年仍然没有获得证明的情况下,逐渐有研究者转变了对该问题的态度。19世纪初,德国的Schweikart和Taurinus在锐角假设下推导出一些三角学公式,并发现了一个绝对常数的存在,他们认为锐角假设下的几何学可能是成立的。后者得到了非欧几何学的三角公式:

\cosh \frac ak=\cosh\frac bk\cosh\frac ck-\sinh\frac bk\sinh\frac ck\cos A

其中分别a,b,c是三边长,A,B,C是三个角度。他们与Gauss通信讨论了新几何的各种结论,Gauss是当时的数学权威,也长期研究平行公设问题,但Gauss从未公开发表与此相关的著作。

图3 Lobachevskii,Bolyai,Gauss

1830年前后,俄国的Lobachevskii和匈牙利的Bolyai分别独立发表了他们的非欧几何工作。他们从假设“过直线外一点有无穷多条直线与已知直线平行”出发,分别演绎出系统的几何体系,其理论包括:三角学公式、弧长公式、面积和体积公式等。他们所建立的几何一般被称为“罗氏几何”。

图4 Riemann

尽管Lobachevskii和Bolyai的著作于1830年代已经发表,但在之后的三十年间并未引起大的反响。1854年,Riemann在《论奠定几何学基础之假设》中,提出黎曼式非欧几何——正常曲率黎曼流形的几何,并通过提出黎曼流形、度量、曲率的概念,从内蕴几何的角度深刻地解释了不同非欧几何的本质。1868年,Belterami解读非欧几何的论文发表之后,非欧几何终于才获得了广泛的认可。此后,在微分几何、射影几何、以及变换群的观点下,数学家们提出非欧几何的不同模型,从而更深刻地认识了非欧几何的本质。

二、关于非欧几何学历史的研究文献

国际上,关于非欧几何学历史的研究论著很多。早在19世纪末期,就有关于非欧几何学的历史著作问世。其中具有代表性地,Halsted和Riccardi分别整理了非欧几何学的原始文献目录,为后世的历史研究打下基础,后者的原始文献目录涉及1482-1890年的约1000篇关于非欧几何学的原始文献题目。

1906年,Bonola出版其非欧几何史的意大利语专著,后被翻译成英文出版,题目为《非欧几何学——关于其历史发展的批判性历史研究》,将非欧几何学的历史划分为四个阶段:前史,先驱者,建立者(两部分),后续发展。Bonola对非欧几何学的历史阶段划分为后世树立了非欧几何学史的研究典范,成为非欧几何学的历史研究的经典之作。20世纪后半叶,Coolidge,Boyer,Kline分别在数学通史著作的相应章节论述非欧几何学的历史,他们基本延续了Bonola的阶段划分,并在思路上受到Bonola影响,这几本通史类著作中关于非欧几何学史的论述旨在对数学思想的线索提供贯通的历史叙述。

距今较近的非欧几何学的历史著作,有代表性的分别是Rosenfeld,Gray,Greenberg的专著,Rosenfeld将非欧几何学的历史放在几何学、代数学的大背景下分成若干专题进行论述,保持了历史视野的开阔与思想的深度;Gray是当代的著名数学史专家,他对Gauss是非欧几何学三大建立者之一的传统观点提出强烈质疑,并给出非欧几何学史的一些新观点;Greenberg从历史角度写的几何学教科书,为非欧几何学史补充了希尔伯特公理体系、变换群观点下的几何学等方面的内容。除了以上列举的专著,还有一些具有代表性的论文。另外,近几十年来,非欧几何历史上的很多重要原始文献被翻译成英文,为当今的非欧几何学历史研究提供了便利,包括非欧几何学原始文献英文翻译的合集,Lobachevskii的原始论文等。

国内数学史家与研究者,如李迪、李文林、陈惠勇等,对该主题有过一定的论述。此外,国内还有两篇关于Lobachevskii非欧几何工作的硕士论文。李忠的科普书与科普论文,也对非欧几何做了精炼的介绍。

三、Bonola的历史阶段划分与原因分析

Bonola关于非欧几何学史的著作影响非常深远。经典的数学史著作Coolidge《几何学方法史》,Boyer《数学史》,Kline《古今数学思想》都延续了Bonola的历史阶段划分,并在对历史研究的思路上受到Bonola的影响,例如他们都很重视公理化方法与非欧几何学史的联系。

与章节目录相应,Bonola将非欧几何学的历史分为以下五个阶段:
(1)证明平行公设的早期尝试(古希腊,阿拉伯,与18世纪早期);
(2)非欧几何学的先驱者(Saccheri,Lambert,Legendre等人)
(3)非欧几何学的建立者(Gauss,Schweikart,Taurinus)
(4)非欧几何学的建立者(Bolyai,Lobachevskii)
(5)非欧几何学的后续发展(Riemann等人)

Bonola的阶段划分非常经典,为后世树立了非欧几何学历史阶段划分的典范。其阶段划分蕴含了对不同历史阶段的研究工作的理解。

(1)与(2)两个阶段的分界线在Saccheri。在这两个阶段,人们都普遍相信Euclid的平行公设是正确的,并尝试证明。但确实,由Saccheri开启的工作与前人的工作有显著的不同。他将平行公设问题分成三类情况进行讨论,即著名的“直角假设”、“钝角假设”、“锐角假设”,分别对应于三角形内角和等于、大于、小于π;接着,使用归谬法,试图证明后两种情况蕴含矛盾。这是前人没有使用过的方法,Lambert、Legengdre也采用该方式。从Saccheri开始的第二阶段,研究者通过分类,更彻底地穷尽了经典几何方法研究的可能性。

(2)与(3)两个阶段的研究者的区别在于,先驱者们都在尝试为Euclid几何提供辩护,尽管先驱者得到与锐角假设等价的命题,但他们试图发现矛盾;而非欧几何学的建立者则认为自己建立了新的几何学。Schweikart称之为“星空几何”,Taurinus称之为“对数球面几何”。Schweikart,Taurinus认为他们得到的是正确的数学,前者甚至认为这种几何或许可以应用于宇宙空间。

(3)与(4)的区别是,Bolyai,Lobachevskii研究了三维的非欧几何学,而且进行了系统的研究,他们得到了系统的三角学公式、圆的周长、面积公式、立体体积公式等。

(4)和(5)的区别是,Bolyai,Lobachevskii使用的都是初等几何的方法;而Riemann和Beltrami使用了度量等工具与微分几何学方法,从此非欧几何的研究进入新的阶段。

四、小结

非欧几何学的历史是非常有趣的主题,其中有很多数学的故事,也可以从中学到数学知识。历史上数学家解决问题、将研究向前推进是一个曲折的过程。在阅读历史的同时,我们追随数学家,分析历史上遇到的问题、尝试解决或者理解数学家的解决方式,这也是一种学习数学的方式。

  1. R.Bonola. Non-Euclidean Geometry: A Critical and Historical Study of Its Development [M]. H.S.Carslaw(transl.). Chicago: Open Court. 1912.
  2. J.L.Coolidge. A History of Geometrical Methods[M]. New York: Dover. 1947.
  3. C.B.Boyer. A history of mathematics[M]. NewYork: Wiley.1968.
  4. 莫里斯·克莱因.古今数学思想(第三册)[M].万伟勋,石生明,孙树本,等译.上海:上海科学技术出版社.2002.
  5. B.A.Rosenfeld. History of non-Euclidean geometry[M]. Translated by Abe Shenitzer. New York: Springer-Verlag. 1988.
  6. J.Gray. Ideas of space: Euclidean, non-Euclidean, and Relativistic[M].(2nd edition). Oxford: Clarendon Press. 1989.
  7. J.Gray. Worlds out of Nothing: A course in the history of geometry in the 19th century. [M]. London: Springer. 2007.
  8. M.J.Greenberg. Euclidean and non-Euclidean geometries[M].(4th edition). New York: W.H.Freeman.

作者简介

刘建新,科学技术史博士,信阳师范学院教师教育学院数学教师,主要研究方向为19世纪上半叶的微分几何学史与非欧几何学史。

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【文摘】负负得正的道理

作者 | 大小吴 大小吴的数学课堂

(-1)\times (-1)=1是每一个上过中学的人都熟知的事实,但是即便是非常简单的“负负得正”,你有想过这是为什么吗?今天大小吴就和大家来探讨一下这件事。

1 司汤达的疑问


将财产记为正数,负债记为负数对于普通人来说确实是一件易于理解的事,这种记录方式始于7世纪的印度,它适用于加减法的运算,比如,本来有10元,支出12元,对应的算式是

10-12=-2

这里的 -2 对应的实际含义是“负债2元”。然而,当要对其进行乘除法的时候,就会出现某些令人匪夷所思的问题,在12世纪,印度天文学家巴斯卡拉这样说道:“财产和财产的乘积,债金和债金的乘积均为财产,财产和债金的乘积则是债金。”根据他的说法,就有

债金 \times 债金 = 财产

这个公式是什么意思呢?恐怕无人能够理解。18世纪的大数学家欧拉在其著作《代数学入门》采用过同样的说明方法,这让许多学习数学的人在初遇负数相乘问题的时候感到一头雾水。

司汤达(1783~1842)

《红与黑》的作者,19世纪法国批判现实主义作家司汤达在其年少时酷爱数学,但他同样也困惑于“负负得正”问题,他在其自传中这样写道:

似乎是由于年少的单纯,使我认为在数学中是不可能有虚假的,然而当了解了谁也没加证明的 (负 \times 负)=(正)时,该怎么办才好呢(这是代数学的基础之一)。当考虑某人有负的借款时,为何1万法郎的借款乘以500法郎借款,就会变成500万法郎的财产了呢……实际上,司汤达提出了每一个学习代数的人都必然会提出的问题,即为什么“负负得正”?该如何直观地理解这件事?

2 从实际的角度


问题出在了对正负数的说明上。仔细想想,对于什么是 财产 \times 财产,债金 \times 债金,恐怕谁也无法说明,因为金额再乘以金额是没有实际意义的。

M·克莱因(1908-1992)

对此,《古今数学思想》的作者,美国数学史家和数学教育家M·克莱因通过“负债模型”巧妙地说明了“负负得正”问题:一个人每天欠债5元,从给定日期开始(比如今天)3天后欠债15元。如果将5元的负债记作,那么“每天欠债5元,欠债3天”可以用数学来表达:

(-5)\times 3=-15

同样地,每天欠债5元,考虑这个人3天前的财产,那么就应该比今天的财产多15元。如果我们用 -3 表示3天前,用 -5 表示每天欠债,那么3天前他的财产情况就可以表示为

(-5)\times (-3)=+15

受此启发,我们也可以举出“批阅试卷”的例子来进行说明:如果有一次考试某同学错了一道题,扣5分,则将其记为 -5,对应的算式是:

(-5)\times 1=-5

这里的1表示的实际含义是1道错题

换个角度想,假若是老师批错了,那么很显然这位同学扣除的5分就会加回去了,其得分是。1表示老师批对,那么相对应地,-1 则表示老师批错,对应的算式是:

(-5)\times (-1)=+5

上述两个例子是自然的,也是合乎情理的,可以帮助我们理解“负负得正”。

3 从运算逻辑的角度


从运算逻辑的角度来说,负负也必须要得正,因为有理数的运算必须遵循乘法分配律:

a(b+c)=ab+ac

我们规定(-1)\times (-1)=1实际上就是为了让负数的运算依然能保持乘法分配律的结果,例如:

(-1)\times 0=0

(-1)\times [1+(-1)]=0

根据乘法分配律,则有

(-1)\times 1+(-1)\times (-1)=0

因为,所以对于(-1)\times (-1),其结果只能为 1.

4 从几何的角度


给定a> bc> d,则a-bc-d均为正数。如图,则乘积(a-b)\cdot (c-d)表示的实际含义是以a-bc-d为两边的矩形(斜线阴影部分)的面积。

那么,这个矩形是如何变换得到的呢?实际上,它是由原来以 a,c 为两边的大矩形先取走标以水平线阴影的矩形面积a\cdot d,再取走标以竖直线阴影的矩形面积b\cdot c,但这样取走了两次标以双重线阴影的矩形面积b\cdot d,必须将其放回,因此:

(a-b)\cdot (c-d)=ac-ad-bc+bd

在这里如果令a=c=0,便得到

(-b)\cdot (-d)=bd

即得到了负数相乘的符号法则。

5 不能加以证明的“负负得正”


实际上,上述对“负负得正”的一些看似合理的说明充其量只是某些“解释”,而不能将其称之为严格的数学证明。特别是上面“从几何角度来说明负负得正”的例子,这样的“论证”是虚假的,因为它完全忽视了

(a-b)\cdot (c-d)=ac-ad-bc+bd

公式之所以成立取决于不等式 a>bc>d ,而令则完全违背了这一点。

负数经过了很长一段时间才被人们所接受,很难相信直到17世纪其合法性还不能像正整数那样被人们所普遍承认,当有必要使用它们时,人们是相当犹疑和不安的,数学家有时将负数称为虚构数、假数之类。因为人类的天性更倾向于依附“具体”的事物,比如可数的物体(正整数)。对负数的运算毫无疑问是抽象的,为此人们曾反复地企图证明符号法则,但都失败了。

对数学家来说,经过了很长一段时间才认识到“负负得正”以及负数、分数所服从的其他定义是不能加以“证明”的。它们是我们创造出来的,为的是在保持算术基本规律的条件下使运算能够自如。能够并且必须加以证明的仅仅是:在这些定义的基础上,算术的交换律、结合律、分配律是保持不变的。

参考文献:
[1](日)远山启.数学与生活[M].吕砚山等译.人民邮电出版社,2014.
[2](美)R·柯朗,H·罗宾. 什么是数学——对思想和方法的基本研究[M].复旦大学出版社,2012.
[3](德)菲利克斯·克莱因.高观点下的初等数学(第一卷)——算术 代数 分析[M].舒湘芹等译.复旦大学出版社,2008.

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【文摘】千禧年数学难题

作者:Arthur Michael Jaffe
薛博卿 数学文化

“千禧年大奖难题”的诞生

千禧之际,万象更新,数学界的柔风细雨中惊响起初夏的雷鸣。七个重要的数学问题!七百万美元的巨额奖金!克雷数学研究所公布的大奖难题响彻巴黎大街小巷的云霄,引人惊鸿一瞥,这一天,正是2000年5月24日。此事缘何而起?它又将何去何从?本文将以只言片语,讲述些许这注定不凡的往事。

“千禧年大奖难题”的诞生与克雷数学研究所的成立密不可分。1998年4月15日的晌午时分,哈佛教师活动中心古朴的餐厅中萦绕着人们的莺莺絮语。此时,克雷先生首次向我提起了创建一个软件基金会的想法,他部分拥有一家濒临倒闭的公司,正适合改建成基金会。“这是一个争取税收优惠的好方法,但并不是花钱的最佳途径。”我略作沉思提出了自己的建议,“倘若你愿意为数学作一番事业,我必鼎力相助!”克雷先生眼眸一亮,他素来是科学和教育的大力赞助者。大约六周以后,他作出重大决定:另外设立一项基金会,专门支持数学。正所谓兵马未动,粮草先行,这使我备受鼓舞。 

经过深入的思考和充分的准备,我提交了十项可行的项目方案,包括其中的第八项——“千禧年大奖”计划。当时,“千禧年”这个话题在全球如火如荼,我对这一计划青睐有加。而阿兰•孔涅(Alain Connes)、安德鲁•怀尔斯(Andrew Wiles)和爱德华•威滕(Edward Witten)这几位享誉世界的数学家们也陆续加入了这项事业。同年9月25日,克雷数学研究所成为注册在美国特拉华州的基金会。第一次董事会议在11月10日召开,通过了这十个项目,并选举出科学顾问委员会。1999年5月10日是看似寻常却又无比奇妙的一天,大约450名数学家“不经意间”相聚在麻省理工学院,而克雷数学研究所的落成典礼也在节日般的气氛中举行了。当天,著名艺术家兼数学家海拉曼•弗格森(Helaman Ferguson)先生亲手揭开他的杰作——一个阴雕的“8字结”雕塑(见图b)—— 它由花岗岩制成,足足有半吨重。在纽结理论中,“8字结”是一个非常重要的范例,因而它被定为了克雷数学研究所的标志(见图c)。克雷数学研究所的主要目标和宗旨为:促进和传播数学知识;在广大科学工作者中宣扬数学领域的新发现;鼓励具备天赋的年轻人从事数学职业;以及对数学研究中的非凡成就或巨大进步进行官方认证。伴随着一系列的公众讲座和相关活动,克雷数学研究所正式拉开了历史的一幕。

(a) 海拉曼•弗格森作品集 
 (b) 弗格森先生和“8字结”阴雕  
(c) (现)克雷数学研究所标志

“千禧年大奖难题”的诞生还与一百年前珍贵的历史遥相呼应。1900年8月8日,希尔伯特在巴黎举行的第二届国际数学家大会上宣布了十个问题,并在1902年正式出版了二十三个问题,它们被合称为“希尔伯特问题”,引领了二十世纪数学的诸多研究方向。需要说明的是,“千禧年大奖难题”的设立初衷与“希尔伯特问题”截然不同,并非是为了预测或影响新世纪数学的发展倾向,而仅仅是为了彰显一些未解的难题,以吸引大众对数学的关注。当然,我们希望把2000年春夏和法国巴黎作为这些难题正式公布的时间和地点,以此来表达对希尔伯特这位数学巨匠最诚挚的敬意。

甄选难题

关于第八项方案的最初计划是通过竞争角逐的方式确立大奖难题,计划书的原文是这样写的:“先择取五十个科研问题,成文并出版成书籍,再从中选取数个‘特别问题’,数量不超过十二个。”一位参与者显得忧心忡忡:“如果公开选取这十二个特殊问题,很容易引发选取流程的政治化倾向并引起争议。” 我们最终决定由克雷数学研究所的科学顾问委员会直接决定问题择取的事宜。该委员会的成员正是前文所提及的孔涅、怀尔斯、威滕和我。这时,时光的脚步已然悄无声息地来到了1999年11月,我们猛然发现,距离2000年春夏只剩数月,只有创造奇迹,才可能顺利达成愿景。

难题的数目其实并没有预先设定,我们仅仅认为十二个是一个合理的上限。因为数量足够少,令人得以专注其中;数量亦足够多,使得选题不至于太狭隘。而具体的数目将取决于委员会的工作进程,当时的我们亦无法预测大奖难题的最终面貌。一开始,每个委员会成员都提交了一份清单,所有清单上都赫然出现了两个名词——“黎曼假设”和“庞加莱猜想”。毋庸置疑,它们入围了。接着,委员会召开了频繁的电话会议,我们兴致勃勃地讨论起各式各样的问题,取得一致意见后,便把一个难题加入到名单中,或者用它替换掉一个已在名单上出现的难题。要知道,讨论这些艰深的数学问题并作出合适的判断是一个充满艰难坎坷的过程,这耗费了我们大量的时间和精力。当遇到一个超出我们专业的问题时,我们会联系相关专家进行咨询。我们努力地让大奖难题不特别集中在某一个数学的领域,也正是由于这个原因,许多同样好的问题遗憾地遭到了淘汰。慢慢地,讨论的效率变得越来越低,再往名单中增加或替换单个难题都变得举步维艰,而我对时间进度也越发担忧。当我们在电话中难以取得进展时,我当机立断,宣布讨论环节结束。这时,刚好列出了七个难题。数字“七”或许有很多特殊的含义,然而这一次,它的出现只因天意。

另一个重要的议题是:这些问题该以什么形式提出?比如,庞加莱猜想可被推广为瑟斯顿(Thurston)几何化猜想,而黎曼假设与朗兰兹纲领有关。委员会作出决定:难题都尽可能地以最简单明了的形式呈现。最后,我们还决定了由哪些专家写下难题的具体陈述。这些专家临危受命,在极短的时间内完成了高质量的工作。他们写下的命题以及相关的综述性短文及时地通过了其他专家的审阅、修改及委员会的最终检验。

七个难题如下,顺序依照难题英文名称的字母序排列,括号中所列的是写下难题之具体陈述的作者姓名:

 (1) Birch-Swinnerton-Dyer 猜想 (Andrew Wiles)
 (2) Hodge 猜想 (Pierre Deligne) 
(3) Navier-Stokes 方程解的存在性与光滑性 (Charles Fefferman) 
(4) P/NP 问题 (Stephen Cook)
(5) 庞加莱猜想 (John Milnor)
 (6) 黎曼假设 (Enrico Bombieri) 
(7) Yang-Mills 规范场存在性与质量间隙 (Arthur Jaffe 和 Edward Witten) 

这七个难题中,黎曼假设是唯一一个在“希尔伯特问题”里就出现过的,已历经一百多年却仍然巍然屹立。它在山顶的风景如此令人迷醉,山间的雾霭却乱人眼眸,人们手执大斧披荆斩棘,却始终无法找到一条通往山巅的清晰途径。 需要特别强调的是,这是七个(当时)未解决的重要问题,但并非“最”重要。无论是揭开古老的未解之谜,还是发现全新的研究方向或领域,都无比艰难。由前者所取得的成果较易为当世之人(尤其是数学家们)所敬仰,而后者的成就往往需要经过更多的时间积淀才能被世人所理解和接受,两者都难能可贵。 

设置奖金

关于获奖的规则细节,以下几条是原则性的:获奖者必须证明或证否其中一个难题;解答不能直接提交给克雷数学研究所,需在正式的学术期刊上发表;克雷数学研究所将在解答被发表两年之后启动审查程序;对于合作取得的成果,或是重要的先验想法,时任董事会将根据科学顾问委员会的建议来决定他们应分享的荣耀。

奖金金额的设定过程则是另一个非常有趣的故事。我的原始想法是设立滚动奖池制:基金会每年向奖池中投入一定量的金额,当一个大奖难题被解决时, 获奖者们将分享的奖金为 

奖金 =(当时的奖池总额)除以(当时剩余的未解决难题数量+1)

按照这样的设置,如果一个难题很快就被攻破,它产生的奖金是相对少的。如果一些难题一直悬而未决,奖池将会越滚越大,最后变成超级巨奖。恰好在2000年春的一份《泰晤士报》中,英国费伯出版社(Faber&Faber)为了提高一本书的关注度,为解答哥德巴赫猜想提供了一百万美元的奖金。在当时,百万美元可是相当大的一笔财富。然而,出版商只给这笔大奖设置了两年的有效期,他们并没有预备那么多钱,而是就此奖金向劳合社 (Lloyd’s of London) 购买了保险。对一个古老的数学难题而言,两年的时间如过眼云烟,该出版商用极低的风险换得了人们的极大关注。在这样的背景下,我提议为这七个大奖难题预设七百万美元的总奖金。略微遗憾的是,奖池通过投资逐年递增的提议被克雷数学研究所的律师驳回了。受限于筹备时间的仓促,我们对奖池问题没能进一步地协商,这就是七百万美元大奖的由来。

筹备千禧年大会

在甄选难题和设置奖金的同时,另一项艰巨的任务是筹备将在巴黎召开的千禧年大会。孔涅教授作为法国方面的联络人,联系了法兰西公学院作为大会的东道主。大会被定于2000年5月24日至25日召开,大奖难题的发布安排在24日下午,而25日则是学术报告会,报告人均为与克雷数学研究所相关的青年学者,包括陶哲轩、Manjul Bhargava, Dennis Gaitsgory等,那时的他们皆未及而立之年。另外,出于保密和出其不意的目的,我们给大会起了一个波澜不惊的名字——克雷数学研究所第二次年度会议。一般而言,举办一个大型国际会议需要提前相当多的时间,以便参与者们提前做好行程规划。由于筹备开始的时间太晚,我们无可避免地陷入了一些困境:在2000年春夏之间,无论时间怎么调整,都会与一些其他的数学会议相冲突。比如,二月份时我们曾希望邀请Raoul Bott和Jean-Pierre Serre两位教授来报告这七个大奖难题,而他们被授予了沃尔夫数学奖,颁奖典礼与千禧年大会的时间是重叠的。另外,由于无法预估参会人员的规模,在大会召开前几天,孔涅教授决定为每位注册参会者签发门票,每张门票上都印有专门的座位号。对于届时未能进场的观众,我们安排了分会场收看直播。孔涅教授以及大洋两岸诸多赋有奉献精神的支持者们,投入了极大的工作热情,最终我们克服了所有困难, 保障了“千禧年大奖”项目的成功实施。

法兰西公学院院长Gilbert Dagron教授相信 “千禧年大奖难题”将会是科学史上的一项重大事件,他为我们提供了不可或缺的支持(见图d中信件)。更为重要的是,我们被允许借用他杰出的助手Véronique Lemaître 女士。这位令人惊喜的女士与巴黎地区的科学记者们保持着密切而友好的关系,她为我们安排了各类采访。孔涅教授在大会前一周接受了《世界报》(Le Monde)的采访,而我也提前三天接受了美联社的访谈。在难题发布的当天早晨,Lemaître女士还召集了媒体发布会,吸引了三十多位科学记者参加。自然而然地,所有的消息都被设置了“禁令”,以防在官方发布之前就遭到曝光。

(d) 法兰西公学院院长的信件

千禧年大会

法兰西公学院的玛格丽特•德•那瓦尔圆形剧场刚落成不久,宽大的舞台后设置了两个大型的投影巨幕,环绕着的观众座椅则层叠而上,如孔雀开屏般展成一个扇形。5月24日下午2时,全场座无虚席。大会第一项议程是克雷研究奖(Clay Research Award)颁奖仪式,获奖人为洛朗•拉福格(Laurent Lafforgue)教授,克雷夫人为他颁发了特制的奖杯——一个小型的“8字结”青铜艺术品(见图f)。接着,在观众们惊奇的眼神中,我从讲台后方取出了藏着的第二个奖杯:“正如数学中的对称性、多重性!我们有两个奖杯!”第二个奖项被授予了事先并不知情的孔涅教授。拉福格教授因为有关朗兰兹纲领的工作获奖,其背后还伴随着一些轶事。大会之后没多久,他给我写信说想退回这一奖项,因为当他在准备庞加莱研究所演讲的过程中,发现了证明中的一个严重漏洞,因而惶恐不安。我们都给他以鼓励,并让安德鲁•怀尔斯安慰他,因为怀尔斯教授曾有过类似经历。正如我们所料,不久后拉福格教授便修补了漏洞,得到了完美的证明。

(f)2000 年时的克雷数学研究所标志兼克雷研究奖奖杯

颁奖之后,高尔斯(Timothy Gowers)教授作了题为“数学如此重要”(The importance of Mathematics)的主题演讲,而阿蒂亚(Michael Atiyah)和泰特(John Tate)两位教授则逐个介绍了这七个难题(见图e中海报)。那些令人一头雾水的专业术语被酝酿成了极为朴实的言语,而难题的来龙去脉如行云流水一般,成了他们口中淡淡倾吐着的动人故事。午后的时光转瞬即逝,观众们聚精会神,听得如痴如醉(见图g)。随着现场播放的录音中响起希尔伯特低沉而充满张力的德语,全场报以热烈的掌声,这是他在1930年发表的退休演说。至此,尚没有任何人提起过攻破这七个难题是有奖金的。到最后,我邀请大家享用招待会的香槟和糕点,并轻描淡写地说:“顺便提一句,如果今晚你恰好解答了其中的一个难题,请向期刊投稿,我们将在两年后颁奖,每个难题的奖金是:一百——万——美元!”刹那间,惊呼声、口哨声、击掌声,震天撼地!议论声纷呈而起,久久不曾散去。

 (e) 大会海报                              (g) 大会现场       

 大会期间还有一些插曲,包括铜管乐团优美的演奏,以及克雷先生、Gilbert Dagron教授和一名政府要员的讲话,而大会之后安排了招待会和晚宴。在晚宴上,激动的海拉曼•弗格森先生向大家阐释着有关“8字结雕塑” 的灵感源泉。“这是一个鞍点。”他指着右手的虎口,旋转着的手掌划起蜜蜂的8字舞,“看!就如这般,多么神奇的结构啊!”每位晚宴的客人都收到一枚晶莹剔透的立方体艺术品(见图i),边长6.5厘米,它似琥珀一般封存了一本“千禧年大奖难题”的小册子,如此典雅精致的小礼物赋予了这个巴黎之夜更深的诗情画意与惊喜。

(h) 录像集                          (i) 立方体纪念品

“千禧年大奖难题”的影响

“千禧年大奖难题”公布后的即时反应异常热烈。招待会结束后,我们乘坐大巴车前往晚宴,在车上,Véronique Lemaître女士给我们分发了《世界报》刚刚发行的报纸。该报社每天傍晚刊发次日的报纸,因此日期显示为5月25日。在这份报纸中,科学记者Jean-François Augereau写下了四篇关于“千禧年大奖难题”的不同文章。其中,首页右上方(见图j)刊登了一张包含克雷数学研究所董事会和科学顾问委员会的照片(见图k),这是报社自己在网上找到的, 摄于CMI落成典礼的当天。由美联社的科学记者 Jocelyn Gecker 撰写的长文则刊发在25日世界各地的多家报纸上。这些报道引申出后续成百上千的故事,许多电视网络媒体都争相跟进。

(j) 2000 年 5 月 25 日《世界报》首页
(k) 克雷数学研究所董事会和科学顾问委员会合影 第二排左起 :Alain Connes, Edward Witten, Andrew Wiles, Arthur Jaffe第一排左起 :Landon T. Clay, Lavinia D. Clay, Finn M.W. Caspersen

哈佛大学本科生Kelvin Liao当时在克雷数学研究所做兼职,凭借着电脑技术和艺术两方面都极高的天赋,他设计了克雷数学研究所网站的前三个版本。当大会在法国巴黎公布“千禧年大奖难题”的同一时刻,他在美国马萨诸塞州上线了克雷数学研究所网页的第二版,同时贴出了“千禧年大奖难题”的官方公告。公众的反响远远超出了我们的预期,公告刚一发布,克雷数学研究所网站便因为过载的流量而崩溃了。我联系了美国数学会的执行董事John Ewing先生,他决定在美国数学会的服务器上建立克雷数学研究所网站的镜像。要知道美国数学会网站除了发布数学新闻之外,还承载了大量的电子书籍和期刊数据,并为全世界范围的各类数学事务提供服务,它的容量和带宽远胜克雷数学研究所使用的商用服务器。两天后我返回美国,Ewing先生立马给我打来电话,他忧心忡忡:“美国数学会网站要崩溃了!我们绝不能失去美国数学会的杂志和书店!”“能否再坚持一天?”我也万般无奈,“可能马上就趋于稳定了?” 幸运的是,美国数学会的服务器顶住了冲击,经过大约一周的时间,网络点击量趋于平稳。后来,我通过麻省理工学院的工程学教授Charles Leiserson联系了阿卡迈科技公司(Akamai Tech),拯救了这一危机。

经过成千上万次报纸、杂志、电视的曝光,数学受到了各界人士的广泛关注。比如在一档晨间电视台的优质栏目中,ABC电视台的新闻台柱之一Chuck Gibson和麻省理工的Michael Sipser教授一起给大家讲述了P/NP问题。有许多年轻的学生说他们对数学倍感兴趣,并且想了解这些大奖难题。而“千禧年大奖难题”产生的长远影响之一是:大量相关的数学书籍问世,其中涉及黎曼假设和庞加莱猜想的举不胜举。一些人着迷于尝试解决其中一个难题,然而赢得百万美元的奖金并不容易。另外,正如之前所说,解答著名的古老问题只是数学研究的一个方面,探究未知数学的新领域或探寻未来数学的新视角也同等重要。

七个大奖难题之一——庞加莱猜想——如今已被完全解决,这是一件在数学界耳熟能详的传说。在2002和2003年,佩雷尔曼(Grigori Perelman)博士在预印本网站张贴了三篇论文宣称解决了庞加莱猜想的推广形式——瑟斯顿猜想。2003年在纽约州立大学石溪分校,我曾与他聊了一整天,这一过程令人陶醉。我告诉了他克雷数学研究所奖金的事,而他对此仅有的评论是:“金钱很危险!”经过数个数学研究团队的补充和验证,到2006年时数学界已认可佩雷尔曼博士的工作无显著漏洞。这时佩雷尔曼博士不仅放弃了百万美元的奖金,还拒绝了包括菲尔兹奖在内的所有奖项。他甚至辞去了斯捷克洛夫数学研究所的工作,与母亲一起过着贫困的生活。在2008年,我再次尝试联系他,并没有成功。听说他最大的人生乐趣是听音乐,并与音乐家们交往。

格里戈里 • 佩雷尔曼博士

一颗耀眼的明星就这样藏匿起了自己的光芒,大隐隐于寰宇之间。而下一段传奇的主人公,会不会是正在阅读此文的你呢?故事还远没有结束,或许只是刚刚开始。

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