【文摘】数学、音乐与弦

作者:Eli Maor  译者 : 张岭 

很久很久以前,也许是 5000 年前的某一天,一位不知名姓的猎人发现,当他拨动猎弓的弓弦时,弓弦发出的声音具有某种特定的音高。大约 2500 年前,萨摩斯的毕达哥拉斯发现,在琴弦长度和其音高之间存在着一个定量关系,这是人们将音乐与数学联系起来的首次尝试。但是,要想更为全面地理解两者之间的关系,则要等到 18 世纪,那时,将有四位伟大的数学家致力于解决这一问题——他们试图用新近创立的微积分来寻找答案。


《音乐是怎样算成的》

如果我们拨弄吉他的琴弦,或者用琴锤敲击钢琴的琴弦,琴弦的静止状态就会受到扰动,那么此时,问题的关键就是如何确定这条紧绷的、柔韧的琴弦的形状。在前一种情形下,琴弦被赋予初始的位移;而在后一种情形下,琴弦被赋予的则是初始的速度。总之,这两种情况均给出了琴弦的“初始状态”。原则上,根据初始状态就可以确定琴弦在未来任何时间的形状。

我们拨弄琴弦的时候,会瞬间扰动其静止状态,琴弦会形成一个三角形,尽管这个三角形又长又矮(肉眼很难确定高度)。在我们放开琴弦的一瞬间,这种干扰会分成两个脉冲,沿相反的方向顺着琴弦传播开来。它们传播的速度取决于琴弦的物理参数,即撑住琴弦的张力和琴弦材料的线密度(单位长度的质量)。实际上,琴弦所起的作用相当于一个一维的波导,使信号沿着该介质传输。

如果琴弦无限长,那么这两个脉冲将沿相反的方向永远行进下去—当然,这里有个假设条件,即不存在迟滞运动的摩擦力。但实际上,琴弦的长度是有限的;其两端被紧紧固定,导致两个脉冲在两个端点间来回运动,它们会周期性地组合成“驻波”(standing wave),即一种上下运动,而琴弦上的每一个点都参与其中。这种周期性运动只能是一种以琴弦的最低频率,即基频,振动的纯粹的正弦波,或者是若干频率为基频的2、3、4、…倍的正弦波的叠加组合。这就是我们在上一章中提到的谐波,它们将琴弦分解成单个的部分,其波长分别为基本波长的1/2、1/3、1/4、…,并且每一部分的振动都彼此独立。琴弦的实际运动则是所有这些波的总和或者叠加。

18世纪的数学家面临着一个困境:如何确定琴弦被拨弄时所形成的初始三角形的形状?该三角形有一个尖锐的顶角,它会演变成许多—也许是无数个—正弦波彼此叠加在一起,每个波的形状都异常平滑。这个问题成了一场激烈辩论的焦点,几乎每位数学家都不遗余力地参与其中。他们之中,有四个名字脱颖而出:丹尼尔·贝尔努利(Daniel Bernoulli, 1700-1782),莱昂哈德·欧拉,让·勒朗·达朗贝尔(Jeanle Rond D’Alembert,1717-1783)和约瑟夫·路易·拉格朗日(Joseph Louis Lagrange,1736-1813)。下面,我们先简单介绍一下这四位主角。

丹尼尔·贝尔努利是一个显赫家族的第二代,他的家族数学家和物理学家辈出。这个家族来自瑞士巴塞尔(Basel),一座安详宁静的大学城。经过五代的传承,贝尔努利家族至少出过八位杰出的成员。这些家族成员之间相互竞争,彼此嫉妒,他们做出了很多的发现,也不断卷入因这些发现而引起的诸多论战之中。他们会就工作中的技术细节激烈辩论,而家族成员之间的论战对此更是火上浇油。

丹尼尔的父亲约翰[Johann,也被称为让(Jeanne),1667-1748],及其兄长雅各布[Jakob,也被称为雅克(Jacques)或者詹姆斯(James),1654—1705]是贝尔努利家族在数学领域取得非凡成就的第一代成员。老贝尔努利们充分利用新近创立的微积分理论,在连续介质力学的几个领域做出了重要的贡献,其中包括弹性力学、流体力学以及振动理论等。雅各布还撰写了一篇关于概率理论的、具有里程碑意义的论文,即《推想的艺术》(Ars conjectandi,该书在雅各布去世后于 1713 年出版)。丹尼尔·贝尔努利继承了父辈的事业,他在 1738 年发表的论文《流体力学》(Hydrodynamica)中提出了一个以他的姓氏命名的著名定律(即“贝尔努利定律”),为飞行理论奠定了基础。丹尼尔和父亲经常投身于相同问题的研究工作,他们分享各自的见解,但会为某些细枝末节而争吵不休。有一次,约翰由于不得不和丹尼尔一起分享巴黎科学院(Paris Academy of Sciences)的一项殊荣而大为光火,最终将儿子永远逐出门墙。在家族中,丹尼尔是唯一一位在数学理论及实验物理学方面均取得不朽成就的人,而其他人的最主要成就都是成为数学家。

在四人当中,莱昂哈德·欧拉显然是成果最为丰硕的一位。他的成果如此繁多,以至于尽管尚未全部出版,就已经堆积了大约 70 卷专著,涉及当时已知的所有数学和物理学领域,包括数论、力学、流体力学、天体力学,以及他所开创的拓扑学。以欧拉命名的定理和公式比其他任何科学家都多,其中最著名的公式有两个。一个是方程 V – E + F = 2,数值 V 为任意简单多面体(由平面围成,且不存在任何孔洞的固体)的顶点数目,E 为边的数目,F为面的数目,该方程解释了这三个数值之间的关系。另一个是谜一般的 eπi + 1 = 0,它将数学中最重要的五个常数融为一体。该公式中的三个符号里,有两个,即 e 和 i,是因为欧拉才出现在数学表达式的。另外,他还引入了函数的表示方式 f(x) 。他所发表的影响力最大的专著是两卷本的《无穷小分析引论》(Introductio in analysin infinitorum,1748),被认为是现代数学分析的奠基之作。从广义上讲,此书探讨了连续性的问题。

欧拉出生在巴塞尔,他先师从约翰·贝尔努利,之后于 1720 年入读巴塞尔大学,仅用了两年便从大学毕业。1727年,欧拉移居到俄国圣彼得堡,并在那里待了 14 年。此后,他接受腓特烈大帝(Frederick the Great)的邀请加入柏林科学院 (Berlin Academy of Sciences)。但是,国王和他的这位学者相处得并不融洽,腓特烈更喜欢那种夸夸其谈的人,而不是性格羞怯的欧拉。因此,1766 年,年近六旬的欧拉又回到了俄国,并在那里度过余生。晚年的欧拉厄运不断:他先是失去了一只眼睛的视力,接着另一只眼睛也失明了;他的房子毁于火灾,许多手稿都因此遗失;但他的厄运远不止于此,5 年之后,他的妻子撒手人寰。百折不挠的欧拉再次走进婚姻的殿堂,失明也未能阻止他继续从事研究工作。他具有强大的专注力,这使他能够完全凭借心算进行最复杂的计算。在生活中,欧拉谦逊大度地赞扬他人的工作成果,这一特点使他与学界中的其他人迥然不同。

让·勒朗·达朗贝尔是巴黎城里一位玻璃匠收养的私生子;这个刚落地的婴儿是在圣·让·勒朗教堂(Church of St. Jean-le-Rond)被人发现的,于是长大以后,他就用教堂的名字为自己命名。像同时代的大多数数学物理学家一样,他在连续介质力学和天体力学领域涉猎广泛。1743 年,达朗贝尔发表了《动力学》(Traité de dynamique),在该书中,他提出了一条公式化的定理(“达朗贝尔原理”),即任何处于外力影响下的动态系统都可被视为处于静态平衡。达朗贝尔通过改写牛顿的第二运动定律得到了自己的定理,将广为人知的 Fma 改写成 F-ma = 0,并将该公式解释为作用于系统上的所有力的总和为零。凭借该定理,达朗贝尔顺利解决了当时困扰众人的诸多问题,包括流体力学以及地球的分点岁差问题。

达朗贝尔曾担任《德尼·狄德罗大百科全书》(the Great Encyclopedia of Denis Diderot)的编辑,这部作品旨在涵盖当时人类全部的知识。但天主教会显然对此书相当不满,也许主要原因在于它以理性而非灵性作为要旨。所以,他最终放弃了自己的编辑身份。后来,达朗贝尔设法陆续得到了法国国王路易十五(Louis XV)、普鲁士统治者腓特烈二世(Frederick II),以及俄国女皇叶卡捷琳娜二世(Catherine II)的青睐。从某种程度上讲,达朗贝尔的性格颇为傲慢,有着强烈的自我意识,这无疑与他和当权者之间的联系有着密切的关系。

约瑟夫·路易·拉格朗日伯爵是四人之中最年轻的一位;当他卷入到有关振动弦问题的论战时,还是个寂寂无闻之辈。尽管他拥有法国姓名,但是在意大利都灵出生和长大的。他是家里十一个孩子中年纪最小的,也是唯一活到成年的。拉格朗日很早就展示出对数学的浓厚兴趣,并在年仅 19 岁时便成为都灵皇家炮兵学校(Royal Artillery School of Turin)的教授。1766 年,他迁居德国,接替欧拉的位置成为柏林科学院的院 长。1794 年,他被任命为著名的巴黎综合理工学院(École Polytechnique of Paris)的教授。拉格朗日的暮年备受抑郁症困扰,还未及 50 岁,他的工作成果就直线下降。于是,他将工作重心转移到管理事务方面。1793 年,在法国大革命之后,拉格朗日被任命为一个委员会的主席,该委员会负责向全世界推广重量及测度的公制度量系统,这是法国对科学界最伟大的贡献之一。

拉格朗日的主要贡献是差分方程(differential equations),以及与离散介质和连续介质相关的力学领域。他在代数和数论方面也做出了卓越的贡献。他对牛顿的三大运动定律做了公式重构,即用差分方程以及变分法(calculus of variations)的形式重新构建。原有运动定律的关注点是作用于系统的力,拉格朗日却将焦点转移到系统的能量上。拉格朗日引入了 T-U 这个量(即系统的动能与其势能之间的差值),并使其成为力学的核心概念;它也因此被称为“拉格朗日函数”(Lagrangian)。凭借这一方法,力学定律被他用一种完全通用的方式进行公式构建,而与特定坐标系的选择无关。事实上,拉格朗日将牛顿力学变成了一个纯数学的分支。他从 19 岁起就开始动手撰写,直到 52 岁时才全部完成著作《分析力学》(Mécanique analytique,1788),这部作品在理论力学领域具有里程碑般的意义。此书的写作方式更像一本抽象的数学专著,全篇没有一幅插图。

在 18 世纪,这四个人代表着欧洲数学界的精英,他们围绕振动弦的问题发表了大量信件、回忆录、论文以及演讲,在学术界掀起阵阵波澜。这几个主角在论战过程中经常变换阵营,有时候会就某些技术细节达成一致,但下一次又会相互攻讦。与现代的、更尊重事实的学术话语风格形成鲜明对比的是,他们之间的交流火药味十足,充斥着人身攻击和相互抬杠,让人不由质疑这些绅士怎么会有如此多的时间和精力做这么无聊的事情。

第一个挑起论战的是丹尼尔·贝尔努利。早在 1732 年,他就认识到琴弦具有基础频率,除此之外,若干其他纯音的频率为该基频的2、3、4、…倍,它们均能通过琴弦的振动被弹奏出来;他甚至推测存在无穷多个这种纯音。1740 年,他写道:

有多种方式能让一根绷紧的琴弦发出许多同步产生的颤音,在理论上,其数量甚至可以是无穷多个……当[通过拨动]琴弦形成一个弧形时,第一个,也是最根本的模式就出现了;接下来,琴弦会呈现出最为缓慢的振动,并发出该琴弦能产生的最低沉的乐音,此音即为所有其他乐音的基础音。另一种模式是让该琴弦产生两个弧形,则振荡将加快两倍,琴弦会发出比基础音高出一个八度的乐音。

请注意,在解释这一问题的时候,贝尔努利是如何利用音乐术语的:“琴弦”“最低沉的乐音”以及“八度”。很明显,他的双手和双耳都与真实存在的琴弦亲密接触过,这种方式与欧拉以及达朗贝尔过于抽象的理论方法相比特点鲜明、大相径庭。在他的回忆录《关于弦振动的最新理论的思考和启示》(Reflections and Enlightenments on the New Vibrations of Strings,1747-1748)中,贝尔努利写道:“在我看来,只需要关注一下弦振动的本质,不必依靠任何计算,就足以推测出相关结论。而伟大的几何学家(即达朗贝尔和欧拉)经过分析思考极其复杂和抽象的计算方法,才最终得到这一结果。”1753年,贝尔努利重新加入战团,他指出,不同的振动模式可以同时存在,并同时保持相互独立;他由此发现了叠加原理(principle of superposition)。

丹尼尔·贝尔努利或许对同行们过度使用数学方法来解决这个问题颇为不屑,但是,问题的解决的确要用到数学方法。1727 年,约翰·贝尔努利(丹尼尔的父亲)曾研究过振动弦的问题,他将弦看作一串珠子,即弦的振动被视为 n 个点状物体的共同运动。这些点彼此相邻,并通过张力与两侧的相邻点接触。这种对真实的弦进行近似的方法要求人们必须同时求n个常微分方程,那是一个相当烦琐的过程。1746 年,达朗贝尔仅用一个偏微分方程对该问题进行重新表述,该方程就是从此以后为人所熟知的“一维波动方程”(one-dimensional wave equation)。他所做的就是让 n 趋向于无穷大,则单位质量相应变小,同时相邻质量点之间的距离趋近于零。在处理与连续介质相关的问题方面,这种从离散系统向连续系统的过渡是数学方法上的一个巨大进步。

达朗贝尔在发表于 1746 年的一篇论文中,发现了波动方程的解可以用两个波来代表,它们从初始扰动开始背向传播。这两个波的形状是由弦的初始状态,即在t = 0 时,弦上每个点的位移和速度决定的,但扰动自身可能具有任意形状。这随即就引发了一个矛盾:弹拨琴弦的时候,琴弦最初会呈现为一个三角形,即两条直线在一个尖点处(此处,曲线的斜率无法定义)连接在一起;而波动方程有一个最基本的假设,即琴弦的任何位置均处于光滑状态,那么该方程的解怎么能是一个三角形呢?很快,这一矛盾便将争论转移到更加宽泛的话题:到底应该如何定义一个方程。方程能否包含一个尖点,即斜率会从一个值瞬间变成另一个值的点?函数的图象是否必须连续变化?当然,方程的概念如今已经得到了清晰的阐释,但是在 18 世纪,人们对方程的了解还很贫乏,导致相关的解释众说纷纭。

针对这一问题,贝尔努利和欧拉给出了一种不同的答案:琴弦的形状是琴弦振动所包含的所有正弦波的总和。这就完全避免了尖角问题,也更加符合振动的物理性质:毕竟,当人们弹拨吉他时,可以听见乐音,但并没有看到波沿着琴弦传播。至此,这场争论引发了一个新的问题:达朗贝尔提出的波传播的理论,以及贝尔努利提出的正弦波观点,这一对截然不同的基本事实如何才能成为同一个方程的答案?此处,我们不必讨论具体的技术细节,这会让今天的读者失去耐心;我们只需要挑出这场争论的几个片段:

作为主编以及法国大百科全书的首席数学权威,达朗贝尔从未忘记自己的这个身份,他在《弦的振动》(Vibration of Chords,1745)一文中写道:“大体上……我坚信我是第一个解决该问题的人;在我之后,欧拉先生给出了几乎完全一样的解决方法,唯一的区别就是他的法似乎更冗长一点。”贝尔努利在一封寄给欧拉的信(1750)中写道:“我没法弄清达朗贝尔先生到底想说什么……除了摘要,他给不出任何一个具体的例子。依据他的观点,一根琴弦的基本声音[频率]为1,而其他的声音[频率]分别为[基频的]2、3、4等整数[倍],我很好奇他如何得出这样的结论。他在试图模仿你,但是在他的文章中,除了他的[这种行文]风格,我找不到一点事实。”

即使是一贯温文尔雅的欧拉也逐渐失去了耐性,没心思和达朗贝尔周旋下去。1757 年,在一封寄给法国数学家皮埃尔·莫佩尔蒂(Pierre Maupertuis)的信中,他写道:

达朗贝尔先生通过论战让我们火冒三丈……他对自己的观点确信不疑,还炫耀在当初和[丹尼尔·]贝尔努利先生就流体力学进行的论战中获得了最终的胜利,尽管每个人都同意实验结果站在贝尔努利先生这边。如果达朗贝尔先生有克莱罗先生[亚历克西斯·克莱罗(Alexis Clairaut),在差分方程方面有所贡献的法国数学家]那样的坦率,他就该立刻缴械投降。但就事情的发展来看,如果法国科学院公开表示会将他的观点记录下来,那么数学科(这一章节)在很多年内都将充斥着关于振动弦问题的争论,而这些东西没有丝毫意义,因此在最后的合集中最好还是将达朗贝尔先生就该话题发表的言论压制下来。他还要求我承认从他那里剽窃了很多东西。但是,我的耐心已经耗尽了,我要让他知道,我什么都不会做,他随便到什么地方去发表他的东西,我才不会出面阻止。在《百科全书》里,他有足够多的东西填满《声明》(Claims)那篇文章。

这之后,“达朗贝尔先生不再骚扰我了,我已经下定决心,无论他发表什么针对我的言论,我都不会和他兵戎相见。”

表面上,达朗贝尔和其他“几何学家”(这是他给予自己同行的称呼)之间的分歧并不完全与学术相关。由于达朗贝尔与普鲁士国王腓特烈大帝关系特殊,而且他是柏林科学院的院长,同行们或许都曾试图与他维持良好的关系。但是,当欧拉最终与达朗贝尔决裂时,出于打击报复,后者劝说腓特烈把身为科学院首席数学家的欧拉轰走,换上拉格朗日。

在论战的后期,拉格朗日也加入战团。尽管作为一名数学物理学家,拉格朗日的声誉日隆,但在其他人已经得到的成果之外,他几乎没有任何新的进展。有时,他的数学推理难以让人信服,特别是在那篇从离散介质谈到连续介质的有关弦的论文中,他使用的逻辑漏洞百出。为掩饰这些问题,他用了大段的冗词赘句[据数学历史学家莫里斯·克莱恩(Morris Kline)所言,“基本空洞无物”]。但是,我们或许还是可以稍微谅解一下他,因为当时,拉格朗日的精力主要放在他的代表著作《分析力学》(Mécanique analytique,1788)上面。

如果就辩论的激烈程度以及主角们各具特色的鲜明性格而言,这场发生在 18 世纪的关于弦问题的论战,似乎预兆着 20 世纪 20 年代那场关于“量子力学”(quantum mechanics,简称“QM”)本质的争论。和关于弦的论战非常类似,QM争论的焦点是物质在亚原子层面是离散还是连续的。电子是否应该被视为一种物质粒子或者一个波——抑或两者皆是?“波粒二象性”(wave-particle duality)让每一个勇于钻研的理论物理学家都深陷其中,维尔纳·海森伯(Werner Heisenberg)提出了矩阵力学(matrix mechanics),与他唱对台戏的是埃尔 温·薛定谔(Erwin Schrödinger)基于连续介质的“波动方程”(wave equation)[该方程的发现受到音乐的启发,路易斯·德布罗意(Luis de Broglie)将电子围绕原子核的运动描绘成具有不同频率的波的组合,与小提琴的琴弦相类似,后者的形状是琴弦振动包含的所有正弦波的总和]。

有意思的是,量子理论的好几位先驱者在其大半生中都钟爱音乐:阿尔伯特·爱因斯坦和他那把标志性的小提琴已经成为一个传奇(很少有人知道他还弹奏钢琴),马克斯·普朗克和保罗·埃伦费斯特(Paul Ehrenfest)都是不错的钢琴家,而维尔纳·海森伯最初是想投身音乐事业,之后才转入理论物理领域。他们与这些 18 世纪的数学家形成了鲜明对比,后者喋喋不休地争论着让他们着迷的弦问题,大概除了欧拉,无人对音乐保持着基于艺术的终身爱好。他们演奏着或可被称为“数学音乐”(mathematical music)的乐曲,将毕达哥拉斯学派对数值比例的痴迷带到了一个新的高度。青年时期的欧拉,年仅 23 岁时就撰写了一部关于音乐理论的长篇大作——《一种新的音乐理论》(Tentamen novae theoriae musicae,1730)。在文中,他尝试依据“愉悦”的程度给不同的和弦标定某个数字尺度。这是一项雄心勃勃的工作,不过,据他的助手和未来的女婿尼古拉·菲斯(Nicolas Fuss)所言,“这篇论文造成的影响非常有限,对音乐家来说,它包含的几何知识过于庞杂,而在几何学家看来,它囊括的音乐知识又太过繁复。”

最终,这场关于弦的伟大论战并没有完全解决引发这一讨论的问题:如何用数学公式来确定以及表征振动弦的形状?尽管四位数学家已经接近问题的答案,但是,人们不得不再等上半个世纪,直到另一位法国人给出了最终的解决方案。关于他的故事,我们将在下一章讲述。

毫无疑问,这场论战对微积分之后的数学发展产生了深远的影响:它探索了应对连续介质问题所要使用的技术手段,而振动弦正是这类问题最简单的范例。这场论战也起到了跳板的作用,人们由此开始研究其他诸多的连续系统问题,从质量分布不均的琴弦到振动的梁、膜、钟以及气柱。简而言之,这场论战导致了人们称之为理论声学(theoretical acoustics)的诞生。但是,它对音乐是否产生了影响?毕达哥拉斯主义者的梦想就是将音乐置于数学的规范之下,但是音乐遵循着自己的道路,特立而独行,尽管存在一些明显的例外,却对数学这位睿智伙伴的影响具有免疫力。两者之间存在的亲密关系为众人称道,但这种关系在很大程度上只是一厢情愿。

本文摘选自《音乐是怎样算成的》(北京联合出版公司)第四章 。

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【数学】柏拉图哲学

作者:林夏水 数学职业家 《哲学研究》

柏拉图是古希腊著名的哲学家,同时又是一个数学哲学家。他的数学哲学思想迄今仍影响着当代一些数学家和数学哲学家。现代数学研究对象的抽象性日益提高,使得数学对象的实在性或客观性成为数学家和数学哲学家关注的问题。本世纪三十年代以后,随着数学基础三大学派的争论渐趋平静,数学对象的实在性问题成为形式主义与自称柏拉图主义论战的焦点。为追溯现代数学柏拉图主义的思想渊源,本文就柏拉图的数学哲学作一探讨。

时代背景

柏拉图数学哲学思想的产生有其深刻的哲学和数学背景。在哲学方面,当时的哲学家都致力于寻找世界的本原。柏拉图跟随苏格拉底学习哲学。苏格拉底研究了伦理学中的普遍的东西、定义。例如,正义、美的本质。他继承他的老师从个别的事物中寻找普遍的东西,从现象中探求本质的传统。但他却把普遍的东西、定义与个别的东西分离开来,使之成为“单个的存在物”——理念。柏拉图还接受赫拉克利特关于“一切皆流”,无物常住的思想。但他又进一步认为,永恒变动的事物不能成为知识的对象;知识只能是对永恒不变的事物的认识。爱利亚学派的巴门尼德把可感事物的抽象归结为思想性的存在,并把它和非存在绝对对立起来。柏拉图则认为,永恒不变的存在是客观实在的,可感事物是处在存在与非存在之间。在解决理念与具体事物的关系时,他吸收了毕达哥拉斯的“摹仿说”。毕达哥拉斯学派认为,“万物皆数”,事物是“摹仿”数而存在的。柏拉图则认为事物是分有理念而存在的。这样,柏拉图就逐渐建立起他的理念论:理念与其同名的可感事物分属两个对立的世界,理念先于可感事物而独立存在;理念是本原、模型,它是永恒的、客观存在的,可感事物处于运动变化之中,它存在但不实在,它处于实在与非实在之间;可感事物是分有同名理念而存在的。如果说理念论产生的哲学背景带有思辨的性质,那么数学背景——第一次数学危机,就是一个科学事实问题。毕达哥拉斯学派发现了不可公度量,引起数学史上第一次危机。它迫使哲学家作出理论解释。可是这一重要事实常常被人忽略。这次危机及其解决,无论在数学方面还是在哲学方面都具有重大意义。就哲学意义来说,它首先动摇了毕达哥拉斯学派的“万物皆数”的自然观。

其次是它使人们认识到感性知识是不可靠的,只有理性知识才是可靠的。因为根据毕达哥拉斯学派的理论,任何事物都可以用正整数或正整数的比来表示,叫做可公度比(即具有公共度量单位)。就两条线段来说,从直观上看,总是可以找到一个公共量度单位,把两条线段都量尽,进而用整数比来表示它们,使得它们成为可公度比。但是,在数学中根据毕达哥拉斯定理却可以证明,等腰直角三角形的斜边与直角边之比却是一个无限不循环的数,也就是说,找不到一个公共量度单位使得它的整数倍等于斜边的值,或者说,等腰直角三角形的斜边与直角边是不可公度的。这一事实说明,感性直观的知识是靠不住的。作为跟随过毕达哥拉斯学派重要成员、数学家泰奥多鲁斯和阿启泰学习过数学的柏拉图是知道这次危机所引起的冲击的,所以他强调数学是研究抽象的,强调假设—演绎方法;而且他的学派的重要成员、大数学家欧多克斯建立的比例论在解决危机的过程中实现当时数学研究重心的转移方面作出重要贡献。正是感性直观知识的不可靠性,才促使柏拉图一心一意地追求可靠的知识,寻找实在的、永恒不变的知识对象——理念。另一方面,既然理念与可感事物是分立对立而存在的,它们作为认识的对象,心灵所获得的知识,一个是可靠的一个是不可靠的,那么,如何使不可靠的知识上升为可靠的知识呢?柏拉图正是在寻找知识的过渡形态过程中建立他的数学哲学理论——数学的居间性;数学对象分离独立存在于可感事物之外;理念数论及物质元素的几何结构。

数学的居间性

柏拉图认为,理念是客观实在的,而分有同名理念的具体事物虽然存在但不实在。因此,怎样使灵魂脱离变化的可见世界而进入可知的实在世界,成为他研究的重要课题之一。柏拉图正是在寻找知识的过渡形态中发现,数学不仅具有实用意义,它是“一切技术的、思想的和科学的知识都要用到的,它是大家都必须学习的最重要的东西之一”(〔1〕,522C),而且具有重要的理论意义,它是“把灵魂拖着离开变化世界进入实在世界的学问”(〔1〕,521D),即由可见世界进入可知世界的阶梯。为了说明数学的居间性,他从数学在认识论中的地位和存在不同等级的三种数来进行论证。

数学在柏拉图认识论中的居间地位

柏拉图在其认识的四阶段论中把数学定位于“比意见明确一些,但比知识要暧昧一些”的理智阶段(〔5〕,205)。他在“线喻”中阐明了这一思想。

认识的四个阶段——“线喻”

柏拉图在《国家篇》中根据知识的实在性和真实性的程度,通过“线喻”把知识分为四个等级。首先他把世界分为可见世界和可知世界两部分,然后在这两部分中按认识对象的不同再把可见世界分为:实物影象和实物本身;把可知世界划分为:以实物作影象和理念。这样,对应于不同的认识对象,就有四种不同的灵魂状态:想象、信念、理智、理性,而从可见世界获得的只能是一种意见,只有从可知世界才能获得真实的知识。其中:第1等级:以实物的影象为对象,它所对应的心理状态是想象。第2等级:以实际的东西(也就是我们周围的生物以及一切自然物和人造物)为对象,它所对应的心理状态是信念。第3等级:以实物作为影象的对象,是数学的研究对象,它是向第4等级过渡的中间阶段,它所对应的心理状态是理智。第4等级:以理念为对象,无论从实在性或真理性来说,都是最高等级的,是纯哲学研究的范围。它所对应的心理状态是理念。由此可见,柏拉图通过“线喻”不仅展现出认识的四个阶段(想象、信念、理智、理性),而且把数学的对象和知识确定为过渡性的中间阶段。

数学处于理智认识阶段

柏拉图认为,数学虽然属于可知世界,但它在研究的对象、方法、目的以及真实性等方面又不同于理性,所以它是处于从意见过渡到知识的理智阶段。在研究对象上。柏拉图认为,数学家研究的是各种图形,他把实际事物作为影象,这些“图形乃是实际的东西”,它们属于感性的事物;他们所研究的虽然不是所画的这些特殊的图形,而是图形本身,但他们所要看到的是,只有用思想才能认识到的理念。他说:“显然,他们利用各种可见的图形,谈到这些图形,但他们所思考的实际上并不是这些图形,而是这些图形所摹仿的那些东西。他们所研究的并不是他们所画的这个特殊的正方形和这个特殊的对角线等等,而是正方形本身,对角线本身等等。他们所作的图形乃是实际的东西,有其水中的影子和影象。但是他们现在又把这些东西当作影象,而他们实际要求看到的则是只有用思想才能认识到的那些理念”(〔5〕,200页)。理性的研究对象是理念,它不引用感性事物,而只引用理念。他说:“人的理性决不引用任何感性事物,而只引用理念,从一个理念到另一个理念,并且归结到理念”(〔5〕,201页)。在研究的方法和目的上。数学研究的方法是假设—演绎法,“由假设下降到结论”。例如,“研究几何、数学以及这类学问的人,在开始的时候要假定偶数与奇数、各种图形、三角形以及其他类似的东西,把这些东西看成已知的,看成绝对的假设,不觉得需要为他们自己或别人来对这些东西加以说明,而是把这些东西当作自明的。他们就从这些假设出发,通过一系列的逻辑推论而最后达到他们所要的结论”。“由于人的思想不能超出这些假设,因此人的思想不能向上活动而达到第一原理”(〔5〕,200页)。所以,几何学家所研究的东西“虽然确实属于我们所说的可知的东西一类,但是有两点除外:第一,在研究它们的过程中必须要用假设,灵魂由于不能突破与超出这些假设,因此不能向上活动而达到原理;第二,在研究它们的过程中利用了在它们下面一部分中的那些实物作影象——虽然这些实物也有自己的影象,并且是比自己的影象来得更清楚的更重的”(〔1〕,511)。而理性的研究方法是假设—辩证法,由假设上升到第一原理。他说:“至于讲到可知世界的另一部分,你会了解我指的是人的理性凭着辩证法的力量而认识到的那种东西。在这种认识活动中人的理性不是把它的假设当作绝对的起点或第一原理,而是把这些假设直截了当地当作假设,即是把它们当作暂时的起点,或者说当作跳板,以便可以从这个起点升到根本不是假设的某种东西,上升到绝对的第一原理并且在达到这种第一原理之后,又可以回过头来把握那些以这个原理为根据的、从这个原理提出来的东西,最后下降到结论”(〔5〕,201页)。

正是由于在研究方法和目的上的不同,所以他“把几何学家和研究这类学问的人的心理状态叫做理智而不叫做理性,把理智看成介于理性和意见之间的东西”(〔5〕,201页)。在知识的真实性上。柏拉图认为:由于数学在研究方法和目的上的局限性,使得它不能真正理解其研究对象,不能给假设以合理的说明,所以它虽然在某种程度上认识到实在,但只能象做梦一样,不能算做真正的知识。他说:“研究这些科学技术的人在思考感官所不能感觉到的对象时,必得要用思想,但是,由于他们是从假设出发而不能回到第一原理。因此,你不会认为他们真正理解这些对象”(〔5〕,201页)。“只有几何学及与之相关的科学,才的确在某种程度上认识到实在。但是我们也看到就连这种科学,对于事物的认识也只能象做梦一样,因为它们只是假定它们所用的假设,而不能给这些假设以合理的说明。如果你的前提是你所不能够真正知道的东西,那么这种认识如何能够算得真正的知识或真正的科学呢?”(〔5〕,205页)而理性则不同,它把假设当作跳板,并且通过辩证法达到第一原理,所以它能够给假设以合理的说明,才真正认识到实在。因此,辩证法研究的可知的实在比把假设当作第一原理的所谓科学技术的对象,具有更大的真实性。他说:“当一个人根据辩证法企图只用推理而不要任何感觉以求达到每个事物本身,并且这样坚持下去,一直到他通过纯粹的思想而认识到善本身的时候,他就达到了可知世界的极限”(〔5〕,203页)。

数学数处于可感觉数和理念数之间

柏拉图在《国家篇》讲到算术的作用时谈到“纯数”和“可见物体的数”。他说:算术“用力将灵魂向上拉,并迫使灵魂讨论纯数本身;如果有人要它讨论属于可见物体或可触物体的数,它是永远不会苟同的”(〔1〕,525D)。他在《PHILEBUS》中讲到两类算术的区别时又说到计数的不同单位和相同单位。他说:“有些算术家计数不同的单位,例如,两支军队、两头牛、两件很大的东西或两件很小的东西。反对他们的一伙人坚决认为,在一万以内的每一个单位都必须与其他单位相同”(〔10〕,56)。这里的“可见物体的数”和“计数不同的单位”在数学中叫做名数,而亚里士多德把它叫做感觉的数;而“纯数”和“每一个单位都必须与其他单位相同”的数是指抽象的数学数。这说明柏拉图认为存在着两种数,即数学的数和可感觉的数。至于第三种数即理念数,那是他在后期把理念论与毕达哥拉斯学派的“万物皆数”相结合的产物。他的学生亚里士多德在《形而上学》中就说到他认为存在着另一类数——理念数。亚里士多德说:“抽象的众数与物质世界的众数是相同的数,抑或不相同的两类数呢?柏拉图说这是不相同的;可是他也认为数可以作事物之量度,也可以成事物之原因,其分别恰是这样,事物本身的数是感觉数,为之原因之数则是理知数”(〔4〕,990a29—34)。这里讲的“理知数”是抽象的、可作事物之量度,又是事物之原因。就其抽象性和作为事物之量度而言,它类似于数学数,就其“成事物之原因”而言,它又区别于数学数。所以它只能是一种新的数——理念数。亚里士多德还在《形而上学》(1080a17—37)一书中,按数的单位的可结合性把数分成三类:1.每一个数的单位无例外地都不能结合;2.各个数的单位彼此都能互相结合,如数学数;3.有些单位可结合,有些单位不能结合。并说“有些人(指柏拉图)说两类数都存在,其中先后各数为品种有别者等同于理念,数学数既不同于理念又不同于可感事物,但这两类数与可感事物相分离”(〔4〕,1080b10—14)。“那些最初断定数有理念和数学两类的人既没有说也不能说数学之数怎样存在和由什么组成。他们把数学数安置在理念数与可感觉数之间”(〔4〕,1090b33—35)。亚里士多德在这里不仅直接讲到理念数,而且指出它的特点是,不同的理念数在性质上是不同的,其单位是不能互相结合的,但它们都与可感事物相分离。

以上说明,柏拉图确实认为存在着三种数:感觉数、数学数和理念数,而且数学数是处于中间位置的。关于数学数的居间性,除了在“线喻”中作了说明以外,这里还就数学数与理念数在生成和成为事物的原因方面的不同,作进一步说明。柏拉图在《巴门尼得斯篇》中详细地讲到数学数的生成过程:1.从“如若一是”推出`一’必然分有`是’。2.从“一”分有“是”引绎出“异”。因为“一”分有“是”说明“一”所分有的“是”与“一”自身是各异的。所以就产生“一”、“是”、“异”不同的三者。3.由一、是、异三者引绎出数:(1)从一、是、异中任选一个就产生1;(2)从一、是、异中任选一对就产生2;(3)由2加1就产生3;由于2是偶数,3是奇数,所以不仅有了奇数与偶数,而且也有了奇倍与偶倍。这样,就可通过偶倍偶数、偶倍奇数、奇倍偶数、奇倍奇数产生一切数了。所以柏拉图说:“如若一是,必然地有数”(〔2〕,143C—144A)。当然这其中还必须补充一加法才能真正产生所有的正整数(〔2〕,注249)。柏拉图的理念数论首先肯定理念是数,是事物的原因,然后指出理念数的生成原则(〔4〕,1081a14—17):一和不定的二(dyad)。既然理念数与数学数的生成不同,那么它们的计数法也不同:“数学数是这样计数的:1,2(由1与前一个1组成),3(由两个1和1组成),其余类似。而理念数是这样计数的:1,接着是不同的2(不包含第一个1),3(不包含2),其余类似”(〔11〕,1080a30—34)。正因为数学数与理念数存在着这些区别,特别是理念数是事物的原因,而数学数不是,这就决定数学数低于理念数。另一方面,感觉数是与事物的质相联系的,它的抽象程度自然比脱离事物的质的抽象的数学数低。所以,数学数必然处于中间体的地位。

数学对象的存在方式

在这个问题上,柏拉图把他在理念论中的分离说应用到数学对象上,认为数学对象分离独立存在于可感事物之外。亚里士多德认为,数学对象不可能分离独立存在于可感事物之外,并从七个方面作了反驳。这里只选取其中的四个来说明亚里士多德是怎样进行反驳和论证的。第一个论证以柏拉图关于理念的在先性、分离性和要素的非组合性为前提,推论出:如果在可感的立体之外存在一个先于并且与可感事物相分离的另一种立体,那末根据同样的道理,在可感的面、线、点之外,也应该独立存在着在先的面、线、点。也就是说,在可感的体、面、线、点之外还存在一组数学对象的体、面、线、点。根据组合物是由在先的、独立存在的要素组成的,以及面是由线组成的,线是由点组成的,就可以推出:存在两套体、三套面、四套线、五套点。那末数学家究竟研究其中那一套呢?(〔4〕,1076b13—40)第二个论证说,如果几何学的对象脱离可感事物而独立存在,那么作为数学的一部分的天文学,其对象也将脱离可感事物而独立存在,可是,天空及其各个部分怎么可能脱离可见的天空及其各部分而独立存在呢?同样,光学和声学的对象也将独立自存,否则,为什么有的对象能与可感对象相分离,有的就不能呢?(〔4〕,1077a1—9)第三个论证是,柏拉图认为,数学对象是处于理念和可感事物的中间体。根据这种观点,我们可以从理念与中间体之间再分离出另一类中间体,它既不是数也不是点,既不是空间量也不是时间。如果这是不可能的,那末数学对象也不可能与可感事物相分离而独立存在。(〔4〕,1077a9—14)第七个论证是,立体是一种本体,因为它在某种意义上已经具有完整性了。但是,线怎么能够成为本体呢?它既不是象灵魂那样作为一种形式,也不是象立体那样作为一种质料。因为我们没有关于把点、线、面放在一起的经验,如果它们也是一种物质实体,我们就应该看到把它们放在一起所组成的东西(〔11〕,1077a31—36)。他说:“假定点、线、面的定义在先,但并不是所有定义上在先的东西在本体上也在先。因为本体上在先的东西,当它与其他事物分离时,更具有独立存在的能力,而事物在定义上先于那些其定义是由事物的定义合成的事物;因此,这两种属性不是共同扩张的。因为如果属性不是脱离其本体而独立自存的(例如,`运动的’或`苍白的’),那末`苍白的’在定义上就先于苍白的人,而在本体上却不是在先的。因为它不可能分离独立存在,而总是跟随着具体事物,我所说的具体事物是指苍白的人。因此很清楚,抽象的结果并不是在先的,由于加上一些决定性因素而产生的那些东西,也不是在后的,因为我们所说的苍白的人,正是由于把一个决定性因素加给`苍白的’”(〔11〕1077b1—11)。亚里士多德通过七个方面的论证得出结论:“数学对象并不是比物体更高级的本体,它们在本性上并不先于可感事物,而只是定义上在先;它们不可能独立存在于某个地方”(〔11〕1077b11—14)。从而否定了柏拉图关于数学对象独立存在于可感事物之外的观点。

理念数论及物质元素的几何结构

柏拉图的理念论在学园内部引起争论,他自己也意识到其中的“分有说”遇到困难。所以他在晚年一方面在《巴门尼德篇》和《智者篇》中提出“通种论”,即最普遍的种有三对:存在与非存在、动与静、同与异,它们既互相区别又互相联系;它们可以互相连接而成为集体,连接越多内容越丰富,于是,`种”的集体就成为个别事物。这样,他就避免了`分有说’带来的困难。另一方面,他在“线喻”中讲到数学在认识论中具有阶梯的作用后,在《Philebus》中又明确地讲到两种算术和两种几何。他把研究“两支军队、两头牛、两件很大的东西或两件很小的东西”这类不同计数单位的算术叫做普通算术(Popular arithmetic),而把研究数的各个单位都可以互相结合的抽象数的学问,叫做哲理算术(Philosophical arithmetic)。类似地,他把研究建筑学中的测量这类生产性技艺叫做普通几何学(Popular geometry),把抽象地研究图形的几何关系的学问叫做哲理几何学(Philosophical geometry)(〔10〕,55,56)。哲理数学的提出,说明柏拉图认为数学还具有哲理性的一面,更倾向于把数学在认识中的阶梯地位提升到理性的阶段。这就为他提出理念数论奠定了思想基础。同时,他又把毕达哥拉斯学派的`数本说’(数为万物之本原)与理念论结合起来,提出一种不成文的学说——理念数论。它其所以称为不成文的学说是,因为它只是在学园内部讲课时提出的,既未正式发表也不成体系,我们只能在亚里士多德的批判中略知梗概。

理念数论的基本思想是:
1、理念是数;
2、理念数的生成原则是,一和`不定的二’(indefinitedyad);
3、理念数的实在性比数学数高一等级,因为“他们把数学数安置在理念数与可感觉数之间”(〔4〕,1090b35—36);
4、理念数与数学数的区别,在单位的可结合性上,数学数的单位无例外地彼此可以互相结合;而理念数中不同数的单位是不能结合的,如`本2’的单位不能与`本3’的单位结合,其余的理念数也如此。

在计数方面,也有区别(〔11〕,1080a24—35)。尽管理念数论因为遇到许多麻烦,而成为一种不成文的理论。但是,在柏拉图看来,既然数等同于理念,成为万物的本原,作为数学的一部分的几何学,其研究的对象——点线面体也应该成为万物的本原,所以,他在《蒂迈欧篇》用它们来构造物质元素的几何结构。他认为,构成物质世界的火、土、水、气四种元素都是物体,而每一种物体都占有体积,都是立体。立体必然被一些平面所包围,每一个平面直线图形都是由三角形组成。原始的三角形有两种:等边直角三角形和不等边直三角形。所以,“我们假设,这些三角形是火和其他物体的原始元素”(〔9〕,53C)。接着,他分别按照这两种三角形的不同组合和连接,构造出四种立方体:角锥体、立方体、八面体和二十面体。然后,根据这些立体图形的稳定性、体积的大小以及立体角的大小,结合四种元素的物理特点,分别把它们指派给火、土、气和水。他说:“我们把已经说明过其形成的那些图形分配给火、土、水和气。我们把立方体指派给土,因为在四种物体中土是最稳定的,而且最具有可塑性的,其基面最稳定的图形必定最符合那种描述;我们开头假定,如果取这些三角形作基面,那么依性质,等边三角形的面比不等边三角形的面更稳定;而且,由这两种三角形合成的两个等边面,其正方形无论从局部看还是从整体上看,都必然比三角形具有更稳定的基面。

因此,我们将尽可能维持我们的理由,如果我们把这种图形指派给土;剩下的,把最小变动的图形指派给水,把最不稳定的图形指派给火,把稳定性方面居中的图形指派给气。另一方面,我们把最小的立体指派给火,把最大的立体指派给水,把大小适中的立体指派给气。其次,把最尖的角指派给火,接着分别指派给气和水。现在在所选取的图形中,面数最少的图形角锥体(pyramid)必定是最不稳定的,因为它的棱和角是最尖锐的。第二种立体是八面体(octahedron),它在这些关系中处于第二位,第三种立体是二十面体(icosahedron),它处于第三位”(〔9〕,55d,56a,b)。因此,“可以把角锥体看作火的元素或种子;把依次生成的第二种立体图形(八面体)看作气元素;把第三种立体图形(二十面体)看作水的元素”(〔9〕,56b)。为什么这四种立体图形能够分别被看作土、水、火、气的元素呢?因为“我们必须设想,这些立体是如此之小,以致任何一种单个立体图形都是因为其小性(smallness)而看不见的,尽管把一定数目的立体图形聚合在一起时是看得见的。关于它们的数目、运动和性质,我们必须假定,上帝按照适当的比例调整它们,使得它们成为最精确、最完美的东西”(〔9〕,56b)。柏拉图除了构造四种元素的几何结构以外,还研究火、气、水这三种元素及其几何结构图形是如何转化的,用以说明宇宙间万物的多样性和复杂性以及宇宙的演化。柏拉图的物质元素的几何结构理论比德谟克利特的原子论和毕达哥拉斯学派的数本说前进了一步,他猜到物质元素具有数学形式,并用几何结构来表述。他的这一思想得到现代物理学家的肯定。

当代理论物理学家和原子物理学家W.海森伯说:“在德谟克利特的哲学中,原子是物质的永恒的、不可毁灭的单位,它们决不能互相转化。关于这个问题,现代物理学采取了明确地反对德谟克利特的唯物主义而支持柏拉图和毕达哥斯的立场。基本粒子的确不是永恒的、不可毁灭的物质单位,它们实际上能够互相转化。……,现代观点和柏拉图与毕达哥拉斯的观点的类似性还多少能进一步发展”(〔6〕,34—35页)。同时,W.海森伯也承认自己受柏拉图和毕达哥拉斯的影响:“柏拉图的《蒂迈欧篇》中的基本粒子最终不是实体,而是数学形式。`万物皆数’,这是毕达哥拉斯的名言。那时唯一应用的数学形式是这样一些几何形式,例如正多面体或构成它们表面的三角形。在现代量子论中,无疑地,基本粒子最后也还是数学形式,但具有更为复杂的性质”(〔6〕,35页)。综上所述,柏拉图是在寻找如何从可见世界进入可知世界的过程中建立他的数学哲学的:数学是使灵魂脱离变化世界进入实在世界的学问;数学对象具有居间的性质,数学家的心理状态是介乎理性与意见之间的理智;由于数学研究的对象和方法存在着局限性,所以它虽然对实在有了某种认识,但只是象做梦似地看见实在;数学对象是存在的,但它是分离独立存在于可感事物之外的。他在晚年为克服理念论的困难,把理念论与毕达哥拉斯学派的“万物皆数”的理论结合起来,提出一种不成文的理念数论,构造了物质元素的几何结构形式。

〔1〕 柏拉图:《理想国》,郭斌和、张竹明译,商务印书馆,1986.
〔2〕 柏拉图:《巴门尼得斯篇》,陈康译,商务印书馆,1982.
〔3〕柏拉图:《泰阿泰德智术之师》,严群译,商务印书馆,1963.
〔4〕亚里士多德:《形而上学》,吴寿彭译,商务印书馆,1981.
〔5〕北京大学哲学系外国哲学史教研室编译:《古希腊罗马哲学》,商务印书馆,1982.
〔6〕W.海森伯:《物理学和哲学:现代科学中的革命》,商务印书馆,1981.
〔7〕范明生:《柏拉图哲学述评》,上海人民出版社,1984.
〔8〕A.E.泰勒:《柏拉图——生平及其著作》,谢随知等译,山东人民出版社1991.
〔9〕Timaeus, The Dialogues of plato, Vol.3, B.Jowett ed., OxfordUnivetsity press, 1892 Thirded., 1924I mpression.
〔10〕Philebus, The Dialoguesof Plato, Vol.4, B.Jowett ed., Oxford University Press, 1892 Thirded., 1924 Impression.
〔11〕The Works of Aristolte,Vol. Ⅲ, W. D. Rossed., Oxford,Second, 1928.
〔12〕J. N. Findlay, Plato:The Written and Unwritten Doctrines, New York, Humanities Press, 1974.
〔13〕A. Wedberg, Plato’s Philosophyof Mathematics, Appelbergs Boktryckeri A B, 1955.
〔14〕F. M. Cornford, Plato’sCosmology, London, 1937.

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【数学】厄米特Hermite

作者 : 曹则贤 :返朴

偏离天道者翻车! ——厄米特

厄米特,一位令人万分敬仰的数学巨人,在数学的各个领域都留下了不可磨灭的足迹。厄米特高中毕业即成为一流数学家但却几经波折于6年后才得以大学毕业,入选法国科学院13年后依然是个大学改作业的助教,研究成果誉满天下27年后才当上教授。他是为数不多的把自己的姓氏活成形容词的人,hermitian后面可以加上的数学概念不胜枚举,每一个学数学、学物理的人都略知一二。他是一位好老师,其学生之一是震烁古今的全才学者庞加莱。

1引子

作为一个物理系的学生,笔者是在大二的数学课上首次接触到厄米特 (Charles Hermite, 1822-1901) 这个名字的。厄米特矩阵 (Hermitian matrix) 是其转置共轭等于自身的矩阵, A=A+,写成 (复数) 矩阵元的形式则为 a_{ij}=\overline{a_{ji}} 。厄米特矩阵,如同实对称矩阵,其本征值总为实数!若 A 是 n×n 的厄米特矩阵, v 是n-维矢量,则二次型\left \langle v,Av \right \rangle =v^{T}Av 总是个实数。后来学量子力学,课本说这样的矩阵对应自伴随算符 (self-adjoint),也就是厄米特算符。这样的算符,以及对应的矩阵,是厄米特的,因为本征值是实的,故这样的算符可以对应可测量物理量。

在数学物理方程和量子力学课上, 笔者还学到了厄米特多项式 (Hermite polynomials),H_n(x)=(-1)^ne^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2} ,具体列出来有如下的三角形形式, 很美的:

H_0(x)=1
H_1(x)=2x
H_2(x)=4x^2-2
H_3(x)=8x^3-12x
H_4(x)=16x^4-48x^2+12

厄米特多项式有正交关系,对于 m≠n ,有  \int_{-\infty}^{\infty} H_m(x)H_n(x)e^{-x^2}dx=0,可以看到这里的关键是一个加了权重因子e^{-x^2} 的空间里的故事。它可以用于解量子谐振子的薛定谔方程。

以当时我能注意到的数学、物理著作里的名人来说,仅凭这两项厄米特也算是名列前茅了。这是个什么样的人呢?

图1. Charles Hermite (1822-1901)

2厄米特小传

厄米特出生于1822年 (图1),是父母七个孩子中的老六,右足有严重的残疾。在他7岁的时候,厄米特全家从洛林地区搬到了法国名城南希。厄米特可说是上了最好的中学,他先是上了Collège de Nancy,后又转往巴黎的Collège Henri IV,1840-1841从Lycée Louis-le-Grand (路易大公中学) 毕业,这是伽罗华15年前学习过的学校,指点厄米特数学的是著名数学家卡塔兰 (Eugène Charles Catalan,1814–1894)。注意,在法语中Lycée是中学,Collège也可以是中学,École (school) 可以是大学,而中学老师也可称为professor(所谓授业解惑者也)。据说和他的学长伽罗华一样,厄米特喜欢阅读欧拉、高斯和拉格朗日的著作。对一个要成为真正学者的人来说,早点遇到大学者很重要啊,阅读经典很重要啊,它其实是必由之路。

在花了整整一年时间备考以后,1842年厄米特考入了著名的巴黎工科学校(l’école polytechnique)。这是一所带有军事性质的学校,因其数学教育而闻名于世。然而,根据法国教育当局1843年新年实行的一道命令:“身体不健全者不得进入工科学系”,厄米特被拒绝入学。后来,虽经其父母周旋,1843年2月重又被批准入学,但到开学时厄米特并未回到学校,后又于1844年新年退学。据说经过了五年的自修 (after spending five years working privately towards his degree),厄米特终于在1847年7月1日通过了文学学士(baccalauréat ès lettres) 考试,当月12日通过了数学学士 (baccalauréat ès sciences mathématiques) 考试,最终于1848年5月9日获得了数学专业毕业证书 (licence ès sciences mathématiques)。毕业后,厄米特被巴黎工科学校聘用为改作业的助教和入学考试监考老师 (répétiteur et examinateur d’admission)。

厄米特1842年就发表了“五次代数方程不可解的证明”这样的一流数学成果,1856年当选法国科学院 (Académie des Sciences) 成员。然而,迟至1869年他才被母校和巴黎大学聘为数学教授,那时他的数学研究成果已是铺天盖地了。他1876年从母校退休,但在巴黎大学工作到辞世,其间于1862-1873年在巴黎高师兼职讲师。厄米特70岁生日时被授予法国“荣誉军团”高级军官衔。

3厄米特的数学成就

很难具体谈论厄米特的数学成就,因为他的数学成就太多。简单罗列一下以他的名字命名的部分数学概念,就足以让人们大为震惊。以Hermite 命名的数学概念包括但不限于以下诸条:

Cubic Hermite spline (一类三次样条)
Gauss–Hermite quadrature (二次型)
Hermite distribution (分布函数)
Hermite–Lindemann theorem (关于超越数的定理)
Hermite constant (与格点几何有关的一个常数)
The Hermite–Hadamard inequality (关于凸函数及其积分的不等式)
Hermite interpolation (插值法)
Hermite normal form (矩阵形式)
Hermite numbers(与厄米特多项式关联的整数)
Hermite polynomials (多项式)
Hermite reciprocity (关于二项式不变量的互反律)
Hermite ring (环)Hermite’s cotangent identity (余切恒等式)
Hermite’s identity (关于实数之整数倍的小数部分的恒等式)
Hermite’s problem (表述实数的问题)
Hermite’s theorem (只有有限多个数域有小于给定值的判别式)
Einstein–Hermitian vector bundle (矢量丛)
Hermitian adjoint (伴随算符)
Hermitian connection (多联络)
Hermitian form (特殊的六线性形式)
Hermitian function (函数)
Hermitian manifold/structure (多流形)
Hermitian matrix (矩阵)
Hermitian operator (算符)
Hermitian symmetric space (对称空间)
Hermitian transpose (转置)
Hermitian variety (簇,对四次型的推广)

开篇我已经说了,对于物理爱好者来说,
Hermitian operator (算符),
Hermitian matrix (矩阵),
Hermitian transpose (转置), 
Hermitian adjoint operator (伴随算符) 
Hermite polynomials (多项式),
Hermitian function (函数) ,这几个概念大家一般都很熟悉。
厄米算符,即自伴随算符,对应的矩阵表示为厄米矩阵,即转置复共轭等于自身的矩阵;厄米矩阵的本征值为实数,对应的本征矢量作为一组完备正交基构成一个矢量空间。这是初等量子力学的关键内容。

厄米特的成名一战是1842年关于一元五次代数方程不可解证明。但是因为有阿贝尔、伽罗华的工作作为对比,故而厄米特的这项成就,虽说是在上大学前就做出来的,也未为他带来多少学术声誉。然而,厄米特伟大的地方在于他能破能立。证明五次方程代数不可解是一类工作,为其找到其它可能的解表达式是另一类性质的工作。1858年,厄米特给出了五次代数方程的椭圆函数解,详情参见拙著《云端脚下》。

厄米特为人所称道的一项伟大工作是关于超越数的证明。所谓的超越数,就是不可能是代数方程根的数。1873年,厄米特证明了自然对数的基,e,是个超越数。厄米特的证明用到了一个很俏皮的积分式,e^x\int_{0}^{x}e^{-t}f(t)dt=e^xf(0)-f(x)+e^x\int_{0}^{x}e^{-t}{f}'(t)dt,这个等式最右侧一项就是把原来积分中的 f(t) 替换成了 f'(t)。继续积分下去,会出现函数 f(t) 的每一阶导数。想想多项式经过有限阶微分总会为0,这事儿会有个了断。假设函数 f(x) 是多项式,定义F(x)= {\textstyle \sum_{i=0}^{\infty}}f^{(i)}(x) ,故有e^x\int_{0}^{x}e^{-t}f(t)dt=e^xF(0)-F(x) 。注意,函数 ex 的微分还是 ex,e0=1。现在,假设 e 是某个代数方程的解,即满足方程a_0+a_1e+a_2e^2+…+a_ne^n=0 ,则有{\textstyle \sum_{k=0}^{n}} a_ke^k\int_{0}^{k}e^{-t}f(t)dt=F(0) {\textstyle \sum_{k=0}^{n}}a_ke^k- {\textstyle \sum_{k=0}^{n}}a_kF(k)。因为有代数方程,上式右侧第一项为零,故得 {\textstyle \sum_{k=0}^{n}} a_ke^k\int_{0}^{k}e^{-t}f(t)dt=- {\textstyle \sum_{k=0}^{n}}a_kF(k)。厄米特接下来选择f(t)=\frac 1{(p-1)}t^{p-1}g(t)^p ,其中,p是个任意选择的足够大的质数,g(t)=(t-1)(t-2)…(t-n),然后证明了式左侧是个非零足够大的数而右侧是个足够小的数,从而引出矛盾。这个反证法过程中用到的积分、函数的构造都很精巧,可见厄米特数学的基本功格外扎实。笔者有个感慨:大师来自对细节的深刻把握。

能证明e是超越数的人自然会瞄上π是超越数的证明。但是,这类问题的证明太耗费心神了。以笔者愚见,若证明过程没带来新的数学,这样的证明也就是个游戏而已。在一封给朋友的信中,厄米特写道: “我可不想证明π的超越性了。如果有别人从事这项事业,没有比我会更为他们的成功感到高兴的了。但是,请相信我,我的朋友,这绝对会让他们大费周折。(Je ne me hasarderai point à la recherche d’une démonstration de la transcendence du nombre π. Que d’autres tentent l’entreprise, nul ne sera plus heureux que moi de leur succès, mais croyez-m’en, mon cher ami, il ne laissera pas que de leur en coûter quelques efforts.)” 1882年,德国人林德曼(Ferdinand von Lindemann,1852-1939) 成功证明了π的超越性。

4厄米特的秉性

厄米特生来右足残疾,这让他的父母非常为他担心。据说,小时候的厄米特天性开朗,招人疼爱。1842年入巴黎工科学校一事遭遇不顺,但在这期间他却同法国数学家伯特兰(Joseph Bertrand, 1822-1900),刘维尔 (Joseph Liouville, 1809-1882),德国数学家雅可比 (Carl Gustav Jacob Jacobi,1804-1851) 建立了深厚的私交,并频繁地交流学术思想。他1848-1869年间在巴黎工科学校做了21年的助教和辅助入学考官,期间还于1856年入选法国科学院,可见其成就是为同时期的法国数学界认可的。或许是命运决定心情,厄米特终究心有不平吧,他的文字总散发着谦卑,而且还有随时准备维护他发现有优点的同事的意愿 (his willingness to fight for colleagues whose merit he discerns)。厄米特确实赢得了后辈数学家的敬重,因为他注重数学教学,善于发现激励后进。据说他的教学不是瞄着严格的细节,而是奔着激发对美且简单之事物的赞赏 (but towards exciting admiration for things simple and beautiful) 去的。厄米特的讲义对数学传播有着广泛的影响,他培养的学生中有震烁古今的全才庞加莱 (Henri Poincaré,1854-1912),学生中有此一人足以引以为傲了,估计这方面和他能相提并论的物理学家仅有索末菲一人。厄米特另一个著名的学生是Thomas Stieltjes (1856-1894), 我们学积分的时候会遇到Stieltjes积分。这个荷兰人的姓的汉译似乎没有共识。

厄米特涉猎极广,故而在别人看来他的思维完全不按照逻辑运行。据庞加莱说,“把厄米特称为逻辑学家,没有比这和事实更南辕北辙的了。(研究) 方法是以一种神秘的方式存在于厄米特的脑子里的。我觉得这就对了。做科学的所谓方法如果有迹可循,那要么是研究者真不会,要么是研究对象是没价值的伪问题或者平庸问题。

5多余的话

行文至此,忽然想聊聊什么是名人的问题。什么人是名人?从人之姓名演化的视角而言,粗略想来,有这么几种情况。一是使得自己的姓名纳入了某种现象的描述,这样的人可算名人,比如“姜太公钓鱼——愿者上钩”中的姜尚,华佗再世里的华佗,东施效颦里的东施与西施,剪影(silhouette)一词里的Etienne de Silhouette。二是把自己的姓氏活成形容词的人,比如由Isaac Newton (牛顿), Charles Hermite,Bernhard Riemann (黎曼) 的姓氏而来的newtonian, hermitian,riemannian就是数学、物理文献中常用的形容词。三是把自己的姓氏活成了名词的人,比如由Pierre-Simon Laplace (拉普拉斯), Joseph-Louis Lagrange (拉格朗日),William Rowan Hamilton (哈密顿)姓氏而来的Laplacian (拉普拉斯算子),Lagrangian (拉格朗日量)和Hamiltonian  (哈密顿量),这是数学、物理的基本概念,未来这几个概念进入小学课本也不令人惊讶。第四类是把自己的姓氏活成了动词的人, 比如陈省身 (S.S. Chern)。Chern姓作为名词见于Chern number (陈数),指一类拓扑指标,而计算一个几何体系之陈数这个劳作有如下表达:Chern it up.

厄米特一生的遭遇可能对于我们来说尤为难以接受。他1856年入选法国科学院,是名满天下的数学家,但还是在巴黎工科学校继续干了13年的助教。不过有趣的是,厄米特本人似乎安之若素。其实,人家的学校可不是那种光打鸣不下蛋的母鸡。查看一下巴黎工科学校的教师和毕业生名单,厄米特这样的杰出人物一抓一大把。再者,他们德法一带的社会讲究一码归一码,一个人不会因为一项成就获得了诺奖或者当选了某个academy, society or institution 的member or fellow (学园、学会或者机构的成员、伙计) 就必定要给个教授加乡绅的头衔。一个在数学、物理领域做出过发现的人未必就不需要完整的受教育经历,未必是个合格的教授,也未必就有指导他人研究的能力与兴趣。赢者通吃是山大王的传统,是对专业的蔑视。

参考文献

1.Charles Hermite,Considérations sur la résolution algébrique de l’équation du 5e degré,Nouvelles annales de mathématiques : journal des candidats aux écoles polytechnique et normale, Série 1, Tome 1329-336 (1842).

2. Emile Picard (ed.), Œuvres deCharles Hermite, Gauthier-Villars, vol. I(1905); vol.II (1908); vol. III(1912).

注释

[1] He who strays from the paths traced by providence crashes. —Hadamard cited Hermite

美国普特南数学竞赛题(5)
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【文摘】蜂鸟

一次退修会上,当马可牧师问大家最喜欢的动物是什么时,有人大声回答:“狮子!”,另一个人回答:“老鹰!”。当我大声说“蜂鸟!”的时候,大家都惊得哑口无言。显然这个答案不够“男人”。马可牧师带着责备的口吻说:“吉利斯,也就只有你才会这么说了!你究竟为什么会选择蜂鸟呢?”带着一种“正等着你问”的口气,我跟朋友们讲解了上帝在蜂鸟身上那令人惊讶的设计。

蜂鸟的飞翔能力

关于这点,仅从这种微型鸟扇翅膀的惊人速度就足以说明了。当蜂鸟在空中悬停的时候,它的翅膀每秒拍打50-80次,而在求偶的短暂时期,其拍打速度甚至可达每秒200次。它们用一种被称为“8字形翼式”的方式——你也可以说是“踏气”——拍打空气。当用这种方式的时候,翅膀乃是前后拍打,往前往后拍都能产生抬力(前拍提供75%抬力,后拍提供25%)。2这跟大多数鸟用典型翼面翅膀“上下”拍打动作非常不一样。这种独特的能力使蜂鸟可以精确地悬停于某一个位置,并且可以向后飞或垂直起飞,人们一直到最近都还没有完全理解这种能力。尽管其翅膀拍打的速度似乎使翅膀消失不见了,但用高速的摄像机就能够捕捉到这种复杂的拍打方式(如果你想看动作极慢的慢动作视频,那么,你可以进入creation. com/hummingbird-video观看)。

▲ 令人惊叹的蜂鸟特征

翅膀的结构

蜂鸟独特的拍打翅膀方式所体现的超强柔韧性需要有非常专业的设计——不仅仅是骨头、肌肉和肌腱,连控制这些结构的脑和神经都非常特别。肩关节的灵活性就是一种独特的设计,这使得翅膀能扭到其他鸟类都扭不到的极端位置。不过,跟所有其他鸟类的翅膀结构都不一样的地方在于,蜂鸟的“肘”关节和“腕”关节都是固定的,这使其整个翅膀看起来更像一个坚硬的桨叶。控制翅膀快速扇动的胸肌显得相对巨大,它占了蜂鸟总重量的40%。在仿生工程方面,科学家已经进行了数百万美元的投资,都未能成功模仿这个精妙复杂的生物力学奇迹。然而,进化论者相信,随机突变、自然选择加上数百万年漫长时间的作用竟然领先于那些优秀的工程师。把蜂鸟出色的结构解释为一位神圣的杰出设计者之作品,似乎更有道理。 

▲ 有超过300种蜂鸟仅发现于西半球。作为世界上最小的鸟,吸蜜蜂鸟只有5厘米长,而巨蜂鸟则可长达22厘米。

燃料需求

鸟类在其看似无休无止的飞行过程中为保持发动机不停运作,它们需消耗大量燃料,意识到这一点,“食量如鸟”这个说法的含义就不再一样了。在所有的脊椎动物中,蜂鸟的新陈代谢率是最高的。当它活动的时候,它的心率高得惊人,可达每分钟1200次,而它呼吸的速率哪怕在休息的时候都达到每分钟250次。为了维持这样“令人惊叹”的新陈代谢,这个怪才为获得所需的能量,必须不断地吃、吃、吃。它每天都要吸食2000朵花的花蜜。

▲ 蜂鸟吸食花蜜

如果人类的能量运转水平也有它们那么高,那么,我们每天就必须咽下1300个左右的汉堡包才能维持这个水平。而且,“我们的心脏每分钟跳动的次数将会达到1260次,而我们的体温将会达到385°C(725°F),我们会干脆燃起来”7。尽管花蜜是蜂鸟维持其新陈代谢引擎“轰轰转”的主要燃料来源,但有时候它也摄食昆虫以获得蛋白质。

独特的舌头结构

甚至连蜂鸟那用以收集花蜜(花蜜的重量超过它的体重,它每天一小口一小口地吸,其次数多得令人无法想象)的舌头都是很复杂的一个结构,很难想象,进化论者怎么能够用一个缓慢而渐进的过程来解释这个事实?2010年之前,大多数生物学家都相信,蜂鸟的舌头是通过简单的毛细作用而工作的,类似“灯芯”的作用。然而,来自康涅狄格大学(The university of Connecticut)的生物学家发现,蜂鸟舌头的工作更像一个微型泵。9、10 

▲ 蜂鸟舌头的解剖图

蜂鸟舌头的长度大约是其喙长的两倍,使它能够探入花朵深处。它由两条细长的管状结构构成,当接触液状花蜜的时候,它就会“像拉链那样被拉开”而变成两条分离的扁平状物。紧接着这扁平状物会收缩,把花蜜“抽”上来。此过程每天上演几千次,每次用时不到二十分之一秒,且交替迅速。你可以在纪录片《飞翔:鸟类的天赋》11 中观看为这个令人惊叹的机制所制作的有趣动画片。

蜂鸟不可能是进化而来的

在进化论者看来,蜂鸟的这些结构是在千百万年的时间里经历了缓慢而逐步的添加和修改。但这种理论在解释蜂鸟这些结构如何解决物理学定律所带来的挑战上也失败了。你要知道,翅膀结构极之快速的拍打和扭转动作会产生非常大的摩擦,并因此而释放热量(除此以外还有肌肉的新陈代谢)。相比较而言,快速运转的人造机械需要有一些复杂的冷却系统。轻快的拍打动作使这些鸟能够藉着快速扇动的翅膀而驱散它们身体产生的所有热量。其他的散热方式包括快速的呼吸空气,透过皮肤和喙而进行的热量交换,以及水浴。

▲ 蜂鸟展翅

在研究这种不平凡的鸟时,你会看到很多这样的断言,比如:“蜂鸟在进化的过程中所展现出来的独特适应性和骨骼结构,使它们能幸存下来。”12 进化论者不能解释第一只鸟的出现,也不能解释一个缓慢而逐步的适应过程如何能够催生那些复杂的结构零部件——这些零部件要悬停于空中,并且要从花朵中吸取大量的能量,其所展现出来的准确性和美丽,奇妙而令人敬畏。

当我对蜂鸟那独特的结构以及它那非比寻常的特征(正是这些使蜂鸟不同于上帝任何其他的造物)做总结的时候, 我的朋友们对我的凝视和轻笑变成带着惊叹的点头和认可。

趋同进化?

从上文中,我们看到了蜂鸟飞行的奇妙。令人十分惊讶的是,人们还发现了一种与蜂鸟外观异常相似的飞蛾,叫蜂鸟蛾或蜂鸟天蛾(见下图)。

这些飞蛾的动作、飞行和盘旋方式和蜂鸟的极为相似。它们甚至还会发出相似的嗡嗡声,如蜂鸟一般旋停于花儿前,张开细长喙管,吸吮花蜜。乍眼一看,这些昆虫常常被人误当成小蜂鸟。我们能用‘趋同进化’解释它们之间惊人的相似行为吗?趋同进化的观点认为生物的进化会相互独立地趋近,产生相似的结果。但这个仅是一厢情愿的说法,并不能解释生物间毫无关联的进化史为何能偶然产生那么多刚好相似的形态。当然,这种鸟和昆虫之间,实际的差异不可胜数。简单来说,蜂鸟蛾没有羽毛,蜂鸟的翅膀结构、骨架、血液循环和呼吸系统也和飞蛾完全不同。进化论建基于共同祖先,但是面对这只奇妙的蜂鸟和蜂鸟蛾之间的相似性,没有哪位理性思考的进化论者会将其归因为共同祖先进化的结果。如何更加合理地解释这些相似的功能性设计呢?这当然是出自同一位设计师的手笔。

作者:司各特·吉利斯 (Scott Gillis)

文章摘自中文《创造》39(1)

图片出处
1. Dreves, D., The hummingbird: God’s tiny miracle, Creation 14(1):10–12, 1991; creation.com/hummingbird.
2. Warrick D.R., Tobalske B.W., and Powers D.R.., Aerodynamics of the hovering hummingbird, Nature 435(7045):1094–1097, 2
3 June 2005 | doi:10.1038/nature03647.3. Burgess, S., Hallmarks of Design, p. 134, Day One Publications, Leominster, UK, 2015.
4. Suarez, R.K., Hummingbird flight: Sustaining the highest mass-specific metabolic rates among vertebrates, Experientia 48(6):565–570, 15 June 1992.
5. Burgess, S., Ref. 3, p. 136
6. Doolan, R., Created to fly! Creation 16(3):10–14, 1994; creation.com/created-to-fly. 
7. 引用John Morton of Wildbirds Unlimited, Vancouver Sun, 3 May, 1991.
8. Unwin, M., The Atlas of Birds: Diversity, Behavior, and Conservation, Princeton University Press, 2011, p. 57.
9. Rico-Guevara, A. and Rubega, M.A., The hummingbird tongue is a fluid trap, not a capillary tube, Proc. National Academy of Sciences 108(23):9536–9360, 7 June 2011 | doi:10.1073/pnas.1016944108. 
10. Rico-Guevara, A., Fan, T.-H., and Rubega, M.A., Hummingbird tongues are elastic micropumps, Proc. Royal Soc. B 282(1813), 22 August 2015 | doi:10.1098/rspb.2015.1014.
11. 参见 creation.com/s/30-9-636 and creation.com/s/30-4-636.
12. Malone, M. Hummingbird adaptations, animals.mom.me.
13. 插图、封面:《创造》图片。

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【科学】杨-米尔斯理论

数学职业家 德先生

杨振宁先生的贡献,宇称不守恒,打破了诺贝尔奖颁奖的时间记录,比爱因斯坦快了整整16年。可是,跟杨-米尔斯理论相比,它简直不值一提。

如果把人类的科学发展比作一场大型的通关游戏现场,攻克宇称不守恒,不外乎刷了支线任务小BOSS,算是锦上添花。但是,发现杨-米尔斯方程,堪称人类科学有望游戏通关级别的成就。单凭诺贝尔奖,并不足以说明它的重要性。

我们之所以一直说,物理学界大神排名,一牛二爱三麦,杨振宁坐五望四般的存在,杨振宁封神之作,只能是杨-米尔斯理论。

物理学的主线剧情——大统一之路

物理学的终极教义是——大统一。

物理学

大自然中有各种各样的现象,有的跟物体运动相关,有的跟声音、光、热相关,还有的跟闪电、磁铁相关等等。物理学家们每天饭都赶不上去吃,就是沉迷于研究各种现象背后的规律,然后他们总结出了一堆关于力学、声学、光学、热学、电学之类的定律。

人类社会在科学理论的帮助之下,从几百年前没事玩个焰火,到现在没事躺在床上刷手机,可谓日新月异。但是有一个问题一直困扰着我们——定律太多了!

《名侦探柯南》中工藤新一告诉我们,真相只有一个!

那么在纷乱的表面现象之下,有没有可能最终用一套最基础的理论来描述所有的已知的事情?

这是物理学家们的终极梦想,物理学的统一之路,也就这样轰轰烈烈的开始了。物理学史上,大家公认的大神无一不是在“大统一”上留下名字的人。

牛顿

第一个登场的就是号称人类缺了他,好比漫漫长夜缺了光的——牛顿。

牛顿以一本《自然哲学的数学原理》,把数学引入了自然科学的国度,一举拿下了当时天上和地下所有的力!大至天上的行星,小到地上一块石头,其运动轨迹都按牛顿的意思运行不悖。

蒸汽机之后,电的发明让人类世界走进光明时代。麦克斯韦方程组,一举统一了电、磁以及光。将宏观世界里面,看起来风马牛不相及的东西,在微观层面第一次统一了起来。

麦克斯韦

举个简单的例子,宏观上弹力、摩擦力之类的东西,在微观层面上,都是分子间作用力——电磁力。并且,顺理成章的,热现象的本质——分子原子运动的快慢程度也被发现,热现象从此也被统一到力学中来。

这就是物理学的黄金年代,19世纪末期,人类所有已知现象背后的力就都归结为引力和电磁力,其中引力由牛顿的万有引力定律描述,电磁力由麦克斯韦方程组描述。

横空出世的爱因斯坦

19世纪末,20世纪初,大家眼中的分歧只剩下引力和电磁力。简单的说,牛顿开宗立派的万有引力定律和麦克斯韦的方程组,仍旧无法取得统一。

1905年,被称为近代物理的第二个奇迹年,因为这一年,有一个叫做爱因斯坦的年轻人横空出世,其中的一篇诞生出——狭义相对论。

还是我,爱因斯坦

狭义相对论很牛,因为它一方面能够完美的包容麦克斯韦方程组,另一方面使得牛顿力学中除引力之外,大部分的东西只要稍稍修改一下,也能完美入驻其中。然后他十年磨一剑,1916年再次出手,一举拿下顽抗的引力,它的名字就是——广义相对论。

至此,爱因斯坦用狭义相对论融合了电磁力,又用广义相对论驯服了引力,按照物理学的通关攻略,那就是把主线终极BOSS刷掉了一半血,因此爱因斯坦也成功封神。

爱因斯坦信心满满,决定继续按照自己的套路,把引力和电磁力再凑合到一块,用一套理论解释全部物理现象,彻底打掉终极BOSS,让物理学派门人可以一劳永逸安心玩耍。

但是命运不按套路出牌!爱因斯坦纵使天纵英才,但穷极一生,都没有统一引力和电磁力,这是他悲剧的宿命,这茬我们今天不聊。

接过爱因斯坦火炬的杨振宁

随着技术的进步观测手段的提高,人们撬开了原本以为是终点的原子核,这下如同打开了潘多拉的魔盒,发现了还有两货在底下——强力和弱力。

这下终极BOSS不但血没掉,反而升级回血了!自然界的基本力,变成了4种——引力、电磁力、强力以及弱力!

四种基本力

刷怪遇上怪开挂,谁能横刀立马?唯我杨振宁!从爱因斯坦手中接过火炬,平定乱世的就是杨振宁以及他的杨-米尔斯理论了。

我先给结论吧,杨-米尔斯理论是一套非常基础的理论,它为当时的前沿科学指明了方向,贴心的提供了一个非常精妙的理论模型,让一众跟随其脚步的小弟拿诺贝尔奖,拿到手软。

诺贝尔奖

盖尔曼从杨-米尔斯理论出发,创立量子色动力学(QCD),完整的描述了强力,然后给诺贝尔奖。

格拉肖、萨拉姆和温伯格,遵循杨-米尔斯理论,进而完成了电磁力和弱力的统一,然后给诺贝尔奖。

可以说,目前物理世界已知的四种基本力,除了引力之外,剩下的电磁力、强力、弱力都是用杨米尔斯方程描述的。杨振宁先生的理论从诞生开始的几十年时间里面,至少完成了物理终极理想的75%!

这几乎是前无古人后无来者的壮举啦,杨-米尔斯方程绝对称得上是并肩麦克斯韦方程组、广义相对论,物理学界最重要的方程组之一。

杨振宁先生的历史地位,物理界坐五望四;活着的物理学家之中,当世第一人,当之无愧。

杨振宁的三种武器——对称性

如果单单抱着八卦一下的心态,那么上面的物理学理论统一简史,对于杨-米尔斯理论以及杨振宁先生的学术地位,已经相当完备了,我们可以打完收工。

可是,有同学仍然意犹未尽,出于自虐的心态问出——为什么历史会选择杨振宁先生?杨-米尔斯理论其他人能否把这个公式凑出来?

杨振宁先生

这个问题的答案构成我们科普的后半段,就不是那么平易近人的了,我试着尽可能的通俗,各位同学能否参透,请自求多福吧。

这位同学的提问很有代表性,因为忽略了一个不广为人知的事实,物理学传统研究方式从爱因斯坦开始就被颠覆了!

正是爱因斯坦的出现,让20世纪的物理学家们能够游刃有余的处理比之前复杂得多的物理世界,让他们能够大胆的预言各种超出普通人想象到狂野的、甚至是背离客观经验的东西。例如——相对论里面的钟慢尺缩光速不变。

爱因斯坦的宇宙

杨振宁先生,很好的接过了爱因斯坦的火炬。

以前物理学家通过做各种实验,测量各种数据,然后分析数据里的规律,如同猜谜语般,最后用一组数学公式来“解释”这些数据,这就是宏观物理定律的由来。

简单的说,按照的是实验-理论-对称性这样一套路来。例如牛顿和麦克斯韦。

爱因斯坦发现世界悄悄的起了变化!他意识到当理论变得复杂的时候,试图从实验去归纳出理论的方式是行不通的!于是他独创了一套新的玩法——对称性-理论-实验,把对称性研究变成了决定理论的核心,实验则变成了验证理论的工具。

由此出发,爱因斯坦完成了伟大的广义相对论。所以有人说,没有爱因斯坦,狭义相对论迟早会有人发现,但广义相对论则很可能还得推迟50年,关键点就在于此!因为他是创立这个研究方法的第一人!

杨振宁先生是最先理解爱因斯坦精髓的人——对称性研究才是核心!

简单的对称性

宇称不守恒,就是他小试牛刀的产物。如果不是专注于对称性,又如何能发现微观粒子的弱力不遵守宇称?

宇称不守恒只是起点,更大的挑战还在前方。

杨振宁的三种武器——群论

我们这里穿插一个知识点——群论。看了觉得懵的同学,放心,这是正常现象。

群论得离不开集合,集合简单来说就是把一堆“东西”放在一起;这堆“东西”我们把它称之为对象,对象之间的互相作用我们称之为操作或者运算。

其中有种特殊的集合+运算就是群。打住,再往下就得开一门900学时的课程了,我们只需要记住——群的作用是描述对称。

迷宫

爱因斯坦告诉我们,物理定律离不开对称,杨振宁告诉我们,要发掘对称离不开群论。群论是保证你在寻找对称性时,通过迷宫的钥匙!没有群论去瞎整对称性,那叫瞎子摸象。

放在现在这叫做常识,但50年前,这个观点叫荒诞。当时除了杨振宁、泡利、外尔等寥寥几人关注以外,其他人对此根本就不关心。

破解对称性的利器——群论

诺特定理的发现让物理学家们重视对称性,但是他们对群论这种研究对称性的数学语言,却没有足够的重视。当时很多物理学家都反对把群论这种过于抽象的数学语言引入到物理学里来,泡利甚至直接把群论嘲讽为“群祸”。其他的科学家,例如薛定谔,也赞同泡利的观点;甚至爱因斯坦本人,也只是把群论当做一个无关紧要的事情对待。

杨振宁在其他物理学家还在普遍怀疑群论的年代,他已经很好的掌握了群论,这得感谢他有一个数学家出身并且擅长群论的父亲——杨武之教授。杨教授在清华开的课程就是群论,杨振宁自然是虎父无犬子。

这是如此,杨振宁完成了所有的准备,杨-米尔斯理论呼之欲出。

杨振宁的三种武器——规范场

有了上面的两个知识点的储备,杨振宁先生进入冲刺阶段,这一路奔跑就是14年!

德国数学家外尔首先发现了U(1)群整体规范对称性对应电荷守恒,他原意是把电磁场几何化,把整体对称性推广到局域,直接得到整个电磁理论——把麦克斯韦方程规范场化。

杨振宁看了外尔的论文,他的目光越过了电磁力,他决定将强力、弱力里通过把某种规范对称性从整体推广到局域,进而可以得到关于强力、弱力的规范场理论!

然而要推广外尔的思路可不简单,关键点就是要找到新的对称性。

杨振宁是幸运的,他找到了——强相互作用里面的同位旋守恒。

自旋特性

外尔把U(1)群的整体规范对称性推广到了局域,因为U(1)群是阿贝尔群,所以这个过程相对简单;同位旋对称相对应的群叫SU(2),杨振宁要做的是把SU(2)群的整体规范对称推广到局域,但SU(2)群是非阿贝尔群,情况则复杂得多!SU(2)群没有现成的理论可供推广,一切都得从头搭建。

杨振宁先生的最后冲刺,从1941年开始,整整坚持了14年!

1954年,杨振宁和米尔斯一起发表了划时代的论文《同位旋守恒和同位旋规范不变性》和《同位旋守恒和一个推广的规范不变性》。

杨振宁论文

这两篇论文正式宣告了杨-米尔斯理论的诞生!

可以这么说,杨-米尔斯方程给出了一个标准的套路,大家按照套路来,能直接从强力和弱电理论里预言未被发现的粒子。以前是实验物理学家发现了新粒子,理论物理学家再去琢磨着怎么解释;现在则是理论物理学家预测粒子,实验物理学家再去找。只要实验条件具备,可谓十拿九稳,诺贝尔奖拿到手软,大家都很开心。

希格斯粒子发现

步入21世纪,随着希格斯粒子的发现,杨振宁理论的最后一块拼图已经拼上。世界的本质,这个近乎哲学思辨的问题,在杨振宁理论的框架下,居然获得了几乎完美的解答。

结语

大体上,初中毕业的同学,一定知道牛顿。有幸上过高中,考试时也记住了爱因斯坦。但是,在只有4%人口经历过本科教育的如今,杨振宁先生的确是被社会忽略了。

宇称不守恒、杨-米尔斯理论到底是什么鬼?哪里比得上老夫少妻娱乐花边新闻夺人眼球!

一个对于人类科学发展起到过决定性作用的科学家,至今仍活跃在教育一线,在回到自己祖国后,居然落得大半私生活在娱乐版出没的遭遇,让人痛心疾首!

虽然困难重重,或许根本没多少人能看懂,但我也要奋力把杨振宁先生的成就说一说!

谨以此文,祝杨振宁先生身体健康!

来源:德先生

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Conway: 游戏人生
牵涉到取整的数学概率游戏
著名初等数学问题集
来自自然数的挑战
有趣的自然数拆分
有关孪生素数的一个有趣猜想
素数之恋-伯恩哈德·黎曼
等分布理论简介
数学家波利亚
物理学之神奇的数
鸟和青蛙

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【数学】陈省身漫谈几何学

陈省身 赛先生

陈省身,浙江嘉兴人,中国近代最有成就的数学家之一,在整个数学史上也有崇高地位。杨振宁先生有一句诗“千古寸心事,欧高黎嘉陈”,点出历史上五位最重要的几何学家,第五位就是陈省身。
国际数学家联盟设立的四个重要奖项中,有一个陈省身奖,就以陈省身命名,与颁发给年轻人的菲尔兹奖不同,它是对数学家终身成就的肯定。以他的名字命名,本身就是国际数学界对陈省身先生一生卓越成就的高度认可。

本文是陈省身1999年9月24日在复旦大学求实基金会科学奖的颁奖仪式上所作的学术报告,这是复旦大学杨武之讲座的第一讲。原载于《陈省身文集》,张奠宙、王善平编,华东师范大学出版社,2002年。

我的演讲题目是《什么是几何学》。我虽然搞了几十年的几何工作,但是很抱歉的一点是,当你们听完演讲后,不会得到很简单的答案,因为这是一门广泛而伟大的学问。最近几十年来,几何学有非常重要的发展,跟许多其它的科学不但有关系、有作用,而且是基本的因素。

讲到几何学,我们第一个想到的是欧几里得。在世界出版物中,除了基督教的《圣经》之外,欧几里德的《几何原本》大概是销售最多的一本书了。这本书在中国有翻译,译者是徐光启与利玛窦。

利玛窦与徐光启

徐光启(1562-1633)是中国了不得的学问家,利玛窦(M. Ricci)是到中国来的意大利传教士。他们只翻译了六章,中文本是在1607年出版的。我们现在通用的许多名词——例如平行线、三角形、圆周等这类名词,我想都是徐光启翻译的。当时没有把全书翻译完,差不多只翻译了半本,另外还有半本是李善兰和伟烈亚力翻译的。伟烈亚力(A.Wylie)是英国传教士。很高兴的是,李善兰是浙江海宁人。

海宁是嘉兴府的一县,我是嘉兴人,所以我们是同乡。对了,查济民(注:香港求是科技基金会1994年由著名实业家査济民先生创立)先生也是海宁人。

推动几何学第二个重要的、历史性发展的人是Descarte(1596-1650),中国人翻译成为笛卡儿。他是法国哲学家,不是专门研究数学的。他用坐标的方法,把几何变成了代数。当时没有分析或者无穷的观念。所以他就变成代数。我想笛卡儿当时不见得觉得他这贡献是很伟大的,所以他的几何论文是他的哲学引里面最后的一个附录,附属于他的哲学的。

这个思想当然在几何上是革命性的,因为当把几何的现象用坐标表示出来时,就变成了代数现象。所以你要证明说一条直线是不是经过一个点,你只要证明某个数是不是等于零就行了。这样就变成了一个简单一点的代数问题。当然并不是所有的几何问题都要变成代数问题,有时候变为代数问题后,反而比原来的问题更加复杂了。但这个关系是基本性的。

笛卡尔 (他的一句名言是:我思,故我在)

笛卡儿发现的坐标系,我们大慨在中学念解析几何都学到。有一点是这样的(我的图可惜现在没法投影出来)给定一条直线,直线上有一个原点,其它的点由它的距离x来确定,然后经过x沿一定的方向画一条直线,那么y坐标就是在那条在线从x轴上这个点所经的距离,这就是笛卡儿的坐标,英文叫Cartesian坐标。它的两条线不一定垂直。

不知道哪位先生写教科书时把两条线写成垂直了,因此x坐标与y坐标对称了。笛卡儿的两个坐标不是对称的,这是他非常重要的观念,我们现在就叫纤维丛。

这些跟y轴平行的直线都是1纤维,是另外的一个空间。原因是这样的:你把它这样改了之后,那条直线就不一定要直线,可以是任何另外一个空间了。这样可以确定空间里点用另外一组坐标来表示。所以有时候科学或数学不一定完全进步了,有时候反而退步了。

笛卡儿用了这个坐标,就发现,我们不一定要用Cartesian坐标,可以用其它坐标,比如极坐标。平面上确定一个点,称为原点,过这点画一条射线,称为极轴。这样平面上的点,一个坐标是这点与原点的距离,另外一个是角度,是这点与原点的联线与极轴的相交的角度,这就是极坐标。因此极坐标的两个坐标,一个是正数或零,另外一个是从零到360度的角度。当然我们都知道,还可以有许多其它的坐标,只要用数就可以确定坐标。

因此,后来大家弄多了的话,就对几何作出了另外一个革命性的贡献,就是说,坐标不一定要有意义。只要每组数能定义一个点,我们就把它叫坐标(例如,在地球上每一点有经度和纬度)。从而几何性质就变成坐标的一个代数性质,或者说分析的性质。这样就把几何代数化了,几何就变成形式化的东西了。

这个影响非常之大,当然这个影响也不大容易被接受,比如爱因斯坦。爱因斯坦发现他的相对论,特殊相对论是在1908年,而广义相对论是在1915年,前后差了7年。爱因斯坦说,为什么需要7年之久我才能从特殊相对论过渡到广义相对论呢?他说:“因为我觉得坐标都应该有几何或物理意义。”爱因斯坦是一个对学问非常严谨的人,他觉得没有意义的坐标不大容易被接受,所以耽误了很多年以后,他才不得不接受,就是因为空间的概念被推广了。

抱歉,我忘掉了一段。我现在是讲书(编者注:陈先生在开玩笑,他的意思是自己在“说书”),讲书忘掉了补充一下是无所谓的,讲错了也不要紧(笑声)。同样我回头再讲一点欧几里得。

那时的欧几里得的《几何原本》并不仅仅是几何,而是整个数学。因为那时候的数学还没有发现微积分,无穷的观念虽然已经有了,不过不怎么普遍。我再说一点,就很可惜的是,欧几里得的身世我们知道得很少,只知道他大概生活在纪元前三百年左右。他是亚历山大学校的几何教授,他的《几何原本》大概是当时的一个课本。

亚历山大大学是希腊文化最后集中的一个地方。因为亚历山大自己到过亚历山大,因此就建立了当时北非的大城,靠在地中海。但是他远在到亚洲之后,我们知道他很快就死了。之后,他的大将托勒密管理当时的埃及区域。托勒密很重视学问,就成立了一个大学。这个大学就在他的王宫旁边,是当时全世界伟大的大学,设备非常好,有许多书。很可惜,由于宗教的原因,由于众多的原因,现在这个学校被完全毁掉了。当时的基督教就不喜欢这个学校,已经开始毁坏了,然后回教人占领了北非之后,就大规地破坏,把图书馆的书都拿出来烧掉。所以现在这个学校完全不存在了。

几何是很重要的,因为大家觉得几何就是数学。比方说,现在还有这一印象,法国的科学院,它的数学组叫做几何组。对于法国来讲,搞数学的不称数学家,而叫几何学家,这都是受当时几何的影响。当时的几何比现在的几何的范围来得广。不过从另一方面讲,现在的范围更广了,就是我刚才讲到的,坐标不一定有意义。一个空间可以有好几种坐标,那么怎样描述空间呢?这就显得很困难,因为空间到底有什么样的几何性质,这也是一个大问题。高斯与黎曼建立和发展了这方面的理论。

高斯

高斯是德国人,我想他是近代数学最伟大的一个数学家。黎曼实际上是他的继承人,也是德国数学家。他们都是哥廷根大学的教授。可惜的是,黎曼活着时身体不好,有肺结核病,四十岁就死了。他们的发展有一个主要目的,就是要发展一个空间,它的坐标是局部的。空间里只有坐标,反正你不能讲坐标是什么,只知道坐标代表一个点,所以只是一小块里的点可以用坐标表示。因此虽然点的性质可以用解析关系来表示,但是如何研究空间这就成了大问题。

在这个之前,我刚才又忘了一个,就是基础的数学是欧几里得的书,但是欧几里得的书出了一个毛病。因为欧几里得用公理经过逻辑的手段得到结论。例如说,三角形三角之和一定等于180度,这是了不得的结果。欧几里得可以用公理几步就把它证明了,是一个结论。这个比现代的科学简单得多了。

我们刚才听了很多话,科学家做科学研究,第一样就是跟政府要钱,跟社会要钱,说你给了我钱,我才能做实验。当然,实验是科学的基础。但是这样一来就会有许多的社会问题和政治问题。欧几里得说,你给我一张纸,我只要写几下,就证明了这个结果。不但如此,我是搞数学的,我说数学理论还有优点,数学的理论可以预测实验的结果。不用实验,用数学可以得到结论,然后用实验去证明。当然实验有时的证明不对,也许你的理论就不对了,那当然也有这个毛病。

欧几里得的公理是非常明显的,但是他有一个叫第五公设的有名公理出了问题。这个第五公设讲起来比较长,但是简单地说,就是有一条直线与线外一点,经过这点只有一条直线与这条已给的直线平行。这个你要随便画图的话,觉得相当可信。可是你要严格追问的话,这个公理不大明显,至少不如其它公理这样明显。所以,对当时数学界喜欢思考的人来说,这个第五公设是个大问题。当时最理想的情形是:第五公设可以用其它的公理推出来,这就变成一个定理。那就简单化了,并且可做这个实验。我们搞数学的人有一个简单的方法,即反证法,就是我要证明这个定理,我先假定这个定理不对,看是不是可以得到矛盾。如果得到矛盾,就证明它是对的了。有人就想用这个方法证明第五公设,但是都失败了。我们现在知道,这个第五公设并不一定对,经过一点的并行线可以有无数条,这就是非欧几何的发现。

非欧几何的发现,它的社会意义很大,因为它表示空间不一定只有一个。西洋的社会相信上帝只有一个,怎么会有两个空间,或者很多个空间呢?当时这是个很严重的社会问题。不止是社会问题,同时也是哲学问题。像德国大哲学家康德,他就觉得只能有欧氏几何,不能有非欧几何。所以当时这是一个很大的争论。

非欧几何的发现者,一个是J.Bolyai,匈牙利人,在1832年;一个是Lobachevski,俄国人,在1847年。不过我刚才讲到大数学家高斯,我们从他的种种著作中知道,他完全清楚,但他没有把它发表成一个结论,因为发表这样一个结论,是会遭到别人反对的。因此就有这么一个争论。后来到了1868年,意大利的几何学家Beltrami,他在欧几里得的三维空间里造了一个曲面(称为伪球面,pseudosphere),这个曲面上的几何就是非欧几何,这对于消除大家的怀疑是一很有利的工具。因为上述结果是说,假定有一个三维的欧几里得空间,就可以造出一个非欧几何的空间来,所以在欧几里得的几何中亦有非欧几何。你假定欧几里得几何,你就得接受非欧几何,因此大家对非欧几何的怀疑有种种的方法慢慢给予解除。

球面,它是由一条无限长的曲线旋转生成,惠更斯曾表明,它具有有限的面积和体积(参见 https://en.wikipedia.org/wiki/Pseudosphere)。

我刚才讲到高斯与黎曼把坐标一般化,使坐标不一定有意义,这对几何学产生的问题可大了。因为空间就变成一块一块拼起来的东西。那想怎么去研究它呢?怎么知道空间有不同的性质呢?甚至怎么区别不同的空间?我这里有几张图,画了几个不同的空间,可惜我没法把它投影出来(编者注:以下我们选取了几个有代表性的曲面)。不过,总而言之,空间的个数是无穷的,有很多很多不同的空间。

托里拆利小号(由双曲线 y=1/x 的一支沿着坐标轴旋转生成)

欧拉1744年发现的悬链面
马鞍面,又称为双曲抛物面

现在对于研究几何的人就产生一个基本问题:你怎样去研究它。这样一个基本的学问现在就叫topology,拓朴学。它是研究整个空间的性质,如什么叫空间的连续性,怎样的两个空间在某个意义上是相同的,等等。这样就发展了许多许多的工具。这个问题(等价问题)黎曼也讨论了。

黎曼生活在1826-1866年。德国的教学制度在博士毕业之后,为了有资格在大学教书,一定要做一个公开演讲,这个公开的演讲就是所谓Habilitationschrift。

黎曼在1854年到哥廷根大学去做教授,做了一个演讲,这个在几何上是非常基本的文献,就讨论了这些问题。如何研究这种空间呢?要研究这种空间,如果你只知道空间是随便追磨一块块拼起来的话,就没有什么可以研究的了。于是你往往需要一个度量,至少你知道什么叫两点之间的距离,你怎应去处理它呢?就需要解析的工具。往往你把距离表为一个积分,用积分代表距离。黎曼1854年的这篇论文,是非常重要的,也是几何里的一个基本文献,相当一个国家的宪法似的。爱因斯坦不知道这篇论文,花了七年的时间想方设法也要发展同样的观念,所以爱因斯坦浪费了许多时间。黎曼这篇论文引进的距离这个观念,是一个积分,在数学界一百多年来有了很大的发展。

第一个重要的发展,是黎曼几何应用到广义相对论,是相对论的一个基本的数学基础。现在大家要念数学,尤其要念几何学的话,黎曼几何是一个最主要的部分,这个也是从黎曼的演讲开始的。现在黎曼几何的结果多得不得了,不但是几何的基础,可能也是整个数学发展的基础。

我刚才提到一百多年来的发展。所谓的黎曼几何,实际上是黎曼的论文的一个简单的情形,是某个特殊情形。黎曼原来的意思,广义下的意思,有个人做了重要的工作,是一个德国人,名叫芬斯勒(Finsler)。所以这部分的几何就叫芬斯勒几何。他在1918年在哥廷根大学写了一篇博士论文,就讲这个几何。

这个几何后来发展不大多,因为大家不知道怎么办。如果这个度量的积分广了一点,对应的数学就变复杂了,不像黎曼的特殊情形这样简单。黎曼这情形也不简单。黎曼普通地就写了一个ds的平方等于一个两次微式,这个ds积分一下就代表弧的长度。怎样研究这样的几何,这是需要一个像黎曼这种天才,才有办法。黎曼就发展了所谓的黎曼曲率张量。你若要搞这类几何的话,就要有张量的观念。而空间的弯曲性,这个弯曲性解析表示出来也比较复杂了,就是黎曼的曲率张量。

我们现在大家喜欢讲得奖。我们今天发奖,有奖金,要社会与政府对你的工作尊重。当年的时候你要搞数学的话,如果没有数学教授的位置,就没有人付你工资。一个主要的办法就是得奖金。有几个科学院它给奖金,得了奖金后你当然可以维持一段时间,因此就很高兴。不过很有意思的是,我想Riemann-Christoffel曲率张量是一个很伟大的发现,黎曼就到法兰西科学院申请奖金。科学院的人看不懂,就没有给他。所以诸位,今天坐在前排几位你们都是得奖人,都是得到光荣的人,我们对于你们寄予很大的期望;后面几排的大多数人没有得过奖,不过我安慰大家,没得过奖不要紧,没得过奖也可以做工作。我想我在得到学位之前,也没有得过奖。得不得到奖不是一个很重要的因素,黎曼就没有得到奖。他的Riemann-Christoffel张量在法兰西的科学院申请奖没有得到。

最近虽然在黎曼几何上有很多发展,非常了不得的发展,但是大家对于一般的情形,黎曼论文的一般情形,即芬斯勒几何,没有做很多贡献。很巧的是,我在1942年曾写了一篇芬斯勒几何的论文,就是找能把黎曼几何的结果做到芬斯勒几何的情形。最近,有两位年轻的中国人,一个叫鲍大维,一个叫沈忠民,我们合写了一本关于芬斯勒几何的书。这本书就要在Springer Verlag出版,属于它的研究生数学教材(GTM)丛书。编辑对于我们的书也很喜欢,给了我们一个很有意思的书号:200。

书就在这里,我想这本书等会我会交给谷超豪教授,就把它放在复旦大学的某个图书馆里。我们这本书有一个小小的成就,就是把近一百年来最近在黎曼几何上的发现,我们把它推广到一般的情形,即黎曼-芬斯勒情形。这是黎曼当年的目的。黎曼当然非常伟大,不过他对于一般的情形不是很重视,他甚至在他的文章里讲这里没有新的东西,我们就把他说的没有的新东西做了一些出来。

我知道我旁边坐了两位伟大的物理学家(编者按:可能指杨振宁先生与复旦大学校长杨福家教授)。接下去我想班门弄斧一下,谈一下物理与几何的关系。

我觉得物理学里有很多重要的工作,是物理学家要证明说物理就是几何。比方说,你从牛顿的第二运动定律开始。牛顿的第二定律说,F=ma,F是力,m是质量,a是加速度,加速度我们现在叫曲率。所以右边这一项是几何量,而力当然是物理量。所以牛顿费了半天劲,他只是说物理就是几何。

不但如此,爱因斯坦的广义相对论也是这样。爱因斯坦的广义相对论的方程说

你仔细想想,他的左边是几何量,是从黎曼度量得出来的一些曲率。所以爱因斯坦的重要方程式也就是说,几何量等于物理量。

不止是这些,我们可以一直讲下去。我们现在研究的空间叫流形,是一块块空间拼起来的。这个流形不好研究。流形上的度量,你如果要把它能够用方程写下来的话,你一定要把流形线性化,一定要有一个所谓的矢量空间,叫切空间。矢量空间有一个好处,它的矢量可以相加,可以相减,它还有种种不同的乘法。所以你就可以用解析的方法处理几何的情形。那么一般的流形怎么处理呢?数学家的办法很简单,就是在流形的每一点弄一个切平面。每一点都有个矢量空间,叫切空间,跟它相切,欧几里得空间只有一个切空间。

现在的空间情况复杂了一些,每点都有一个切空间,但都是平坦空间。这个现象在几何上有一个重大的发展,就是把切空间竖起来。反正是一把矢量空间,给流形的每点一个矢量空间,不一定要是流形的切平面或切空间。我们就叫它为纤维丛,或叫矢量丛,矢量空间丛。这个我想比爱因斯坦的(相对论)还要重要。

麦克斯韦方程就是建立在一个矢量丛上。你不是要一把矢量空间吗?最好的是一把筷子,这里一维最好是复一维。这把筷子每个都是复空间,它是骗人的一维,其实是二维,是复数空间。有复数就好玩了。现在是一把复线,你如果能有法子从这个纤维到另外一个纤维有一个我们所谓的平行性的话,你就立刻得到麦克斯韦方程。

现代文明都靠电,控制电的方程的是麦克斯韦方程。现在纤维丛上有一个平行性,这个平行性的微分,等于电磁场的强度F,然后你把这个F再求它的另外一种微分(余微分)的话,就得到流矢量J。用两个简单的式子,就把麦克斯韦方程写出来了。普通你要念电磁学的书的话,当然需要了解电磁的意义,对此我不了解。但是要了解电磁学的意义,把方程全部写出来的话,书上往往是一整页,种种的微分呀什么的,讲了一大堆。其实简单地说,也就是平行性的微分是场的强度,而场的强度经过某个运算就得到它的流矢量。这就是麦克斯韦方程,与原来的完全一样。所以麦克斯韦方程就是建立在一维的纤维丛上,不过是一个复一维的纤维丛。你怎样把每个纤维拼起来呢?我们需要群的观念。

有一个群,群里有一个运算,把一个纤维可以挪到另一个纤维。纤维如果是一维的,即使是复一维的话,我们需要的群仍旧是可交换的群。杨振宁先生了不得。他可以用到一个不必交换的群,也很简单,我们叫做SU(2)群。用SU(2)联络,把同样的方程式写出来,就是杨振宁-米尔斯方程:

这有不得了的重要性。

我们搞几何学的人觉得有这样的关系,物理学家说你这个关系跟物理有关系,并且有基本的重要性,这是非常困难的。比方说像去年获诺贝尔奖的,我想大家都知道崔琦的名字,做理论方面的所谓霍尔效应,也用到我们这些工作。我们说我们专搞曲率。你要开一个车,路如果弯得多了的话你就要慢下来,直的话你就冲,这就是曲率。曲率要是在高维就比较复杂了,不过也是一些代数,并且可以做得很巧妙。我的一个朋友,也是学生,叫赛蒙斯。我们所做的工作就是曲率,就对崔琦跟他们一群得诺贝尔奖的有好处。所以一般讲来,在房子里我们只管扫地,想把房子弄弄干净,弄弄清楚,然后有伟大的物理学家来说,你们这个还有道理,这个我们也很高兴。

陈省身的学生与合作者赛蒙斯

现在几何不仅应用到物理,也应用到生物学中。讲到DNA的构造,是一个双螺线,双螺线有很多几何,许多几何学家都在研究这个问题。现在许多主要的大学,念生物的人一定要念几何。现在有很多人研究大一点的复合物,这是分子,是由原子配起来的。原子怎么个配法就是几何了。这些几何的观念不再是空虚的,有实际上的化学的意义。

数学比其它科学有利的地方,是它基本上还是个人的工作。即使在僻远的地方,进步也是可能的。当然搞数学需要几个朋友,得切磋之益。

陈省身奖章,自2010年开始颁发,奖金是25万美元,远远高于菲尔兹奖的奖金1.5万加元(在当前汇率下,可折合11367美元),也高于高斯奖1万欧元(当前汇率下,折合11551美元)。大致说来,陈省身奖的含金量位于沃尔夫数学奖(10万美元)与阿贝尔奖(74万美元)之前,这三个奖都是表彰数学奖终生成就的。陈省身先生本人是1983年的沃尔夫数学奖得主。目前只有两位华裔数学家获此殊荣,另一位是丘成桐,他是陈省身的博士。

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