【数学】3n+1猜想—遥远神秘的未知世界投射过来一缕微光

民间数学家  职业数学家在民间 公众号发布

天上有多少颗星星,数学中就有多少个未解之谜。如果要我从数学中选出一颗最神秘的星星,那我一定会选著名的3n+1猜想。

一,看似非常简单的一个问题

3n+1猜想的具体表述是非常简单的:

对任何正整数n做如下变换,如果n 是偶数,则让它变成n/2(也就是减半); 如果n 是奇数,则让它变成3n+1。任何一个正整数n,一直按照这个法则变换下去,最终会变成1。

下面是几个简单的例子:

1. 从12开始,我们得到变换序列12, 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.

2. 从19开始,我们得到变换序列19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.

3. 从27开始,情况变得复杂了,按照上面的法则,变换的整数值逐渐变大,最大值达到9232,不过最终还是回到1:

27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1

目前,人们对于小于1018的数都已经验证了3n+1猜想。

但验证和证明完全是两码事。

就是这样一个连小学生都能听懂的猜想,它的证明难倒了这个时代的所有数学家

所有!

二,数学还没有成熟到足以解决这样的问题

现在已经无法确切考证3n+1猜想到底是谁先提出来的。但是有文献显示早在上个世纪30年代,德国数学家Lothar Collatz 就考虑过类似问题,所以3n+1猜想经常被称作考拉茨(Collatz)猜想。由于3n+1猜想是由一个名叫角谷的日本人传到中国,所以在国内又称角谷猜想。当然了它还有许多其他的名字,但我认为称其为3n+1猜想是最合适的。

Lothar Collatz(1910-1990)

上个世纪五六十年代,3n+1猜想传入美国后,疯狂吸引了大量的数学专业师生,据说这个猜想传入耶鲁大学数学系时,整个系的人,从本科生到资深教授,在整整一个月的时间内都在试图证明它。同样的事情也发生在芝加哥大学。当时甚至有人宣称,3n+1猜想可能是一个试图摧毁美国数学研究事业的阴谋。

时至今日,关于3n+1猜想的研究也不是没有进展,比较有代表性的工作是Krasikov 和 Lagarias 在03年发表在《Acta Arithmetica》的论文中证明的结果:

在比 n 小的整数中,能满足这个猜想的整数的个数至少是 cn0.84。其中c是一个固定常数

但这些工作和3n+1猜想本身比起来太微弱了,丝毫没有撼动这个巨石猜想。

3n+1猜想到底有多难呢?大数学家厄特希(P.Erdos)曾说过:”数学还没有成熟到足以解决这样的问题!”  数学天才陶哲轩也认为这个猜想不太可能被当前的技术证明。

,背后是一大堆的猜想和问题

3n+1猜想并非一个孤立的猜想,而是一大堆类似猜想中最简单,最有代表性的一个例子。3n+1猜想本身也可以有许多的延拓和推广。

注意所有的整数可以分成偶数(2n 型)和奇数(2n+1 型)这两类。如果我们定义如下的正整数函数 f ,它在偶数和奇数上分别定义为:

f(2n)=n;   f(2n+1)=3(2n+1)+1,

那么3n+1猜想等价于说任何正整数在f 的迭代下都会进入循环4→2→1。

如果把f 扩充为所有整数的函数,那么广义的3n+1猜想是说任何整数在的迭代下都会进入下面四个循环:

1 → 4 → 2 → 1 ……

-1 → -2 → -1 ……

-5 → -14 → -7 → -20 → -10 → -5 ……

-17 → -50 → -25 → -74 → -37 → -110 → -55 → -164 → -82 → -41 → -122 → -61 → -182 → -91 → -272 → -136 → -68 → -34 → -17 ……

当然,我们也可以把3n+1替换成3n+m,(其中m是任意不被3整除的奇数)。那么3n+m猜想是说任何整数在相关函数的迭代下都会进入有限个循环。

但是,如果我们用把3n+1替换成kn+1(k是大于3的奇数),那么新函数的迭代性质就有了根本的变化,我们一般都猜想,当k大于3时,几乎所有整数在新函数的迭代下会趋于无穷。所有这些猜想的难度都绝不亚于3n+1猜想本身。

最后再举另外一个比较著名的整数迭代函数 U 。注意所有的整数可以分成偶数(2n 型),4n+1 型的数和4n+3 型的数,这三类,而U函数在这三类数上的定义分别为:

U(2n)=3n;   U(4n+1)=3n+1;   U(4n+3)=3n+2.

这个迭代函数也是由考拉茨(Collatz)最先考虑过的。Murray Klamkin在1963年提出一个公开的问题:

整数n=8在函数U的迭代下是否趋于无穷?

一般我们都认为应该会趋于无穷,比如迭代序列刚开始时是:

8→12→18→27(27=4*6+3)→20→30→45(45=4*11+1)→34→51→38→57→……

但这样一个如此特殊的猜想到现在也依然无法证明。

太难太难了!

而这仅仅是我们在这一大类问题里所碰到的最为简单,最为特殊的情形。关于这一类问题的最一般的表述和猜想,以及3n+1猜想的历史,大家可以参考Lagarias编辑的论文专著《The Ultimate Challenge: The 3x+1 Problem》。这部专著取名:《终极挑战》。

是啊,3n+1猜想当之无愧地成为对人类智力的终极挑战!

四,和现有的数学分支有多少关联呢?

如果从1出发,运用逆向的变换法则,我们就会得到著名的考拉茨图(Collatz graph),下面是19步逆向变换内得到的考拉茨图

围绕考拉茨图(Collatz graph),从图论的角度,有许许多多很有意思的研究工作,但基本上都无助于解决3n+1猜想。

另外,3n+1猜想中修正的迭代函数

f(2n)=n;   f(2n+1)=(3(2n+1)+1)/2=3n+2

也可以扩充成2-adic 整数环,或者复数域上的迭代函数,因此可以从遍历理论或者复动力系统的角度来研究3n+1猜想。特别值得一提的是复数域上的迭代函数 F 有如下比较简单的表达形式:

下面是这个函数 的Julia 集,也就是在 F 的迭代下保存有界的那些复数构成的集合。是不是很美?其实许多函数的Julia 集都非常精美!

值得一提的是在 1972年, 数学家Conway证明了3n+1猜想比较一般的推广问题从数理逻辑的角度来看是不可判定的(undecidable)。但这也无助于解决3n+1猜想和其他具体的类似猜想,就像所有丢番图方程不可判定的著名结论无助于求解具体的丢番图方程。

还有一些工作从概率论和随机过程的角度理解3n+1猜想,或者将其与有限维代数联系起来,并得出一些等价命题,限于篇幅我们就不一一介绍了,有兴趣的朋友可以查阅这两本专著。  

五,遥远而又神秘的未知世界透射过来的一缕微光

其实数学各个领域中都不乏著名的难题和猜想,比如黎曼猜想,多项式表达素数的一堆猜想,关于Artin L-函数的Artin 猜想,代数数n进制展开或连分数展开的Borel 猜想,群论中的伯恩赛得猜想,等等。这些猜想难度也是无法估量的,甚至影响整个分支的进展。但是这些猜想所处的数学分支比如解析数论,代数数论,丢番图逼近,群论,即使谈不上非常成熟,但至少也是自成体系,枝繁叶茂。这些猜想虽然也是非常非常地困难,但其最终的解决也是无法脱离相关数学分支既有的数学思考范式。

然而3n+1猜想和上面这些数学猜想完全不一样,3n+1猜想代表的是哪一类数学,我们完全不知道。我认为关于3n+1猜想的研究如果想取得重大进展,一定要彻底突破现有的数学思考范式。(不少人认为现代动力系统的不断发展有可能最终解决3n+1猜想,但我认为没有那么简单)

如果把上面提到的那些猜想比作数学未知海洋世界的冰山一角的话,那么3n+1猜想更像是从遥远而又神秘的未知世界透射过来的一缕微光。那是一个全新的数学世界,远远超越了当代所有职业数学家的数学想象力。

在我的数学职业生涯中,每隔两三年我都会抽出一段时间(短则半个月长则两三个月)来思考3n+1猜想。虽然每次都是无功而返,但我非常享受思考3n+1猜想的美好时光,那种美妙的感觉绝不亚于和一位美丽情人的幽会。

Conway: 游戏人生
有关孪生素数的一个有趣猜想
素数之恋-伯恩哈德·黎曼
等分布理论简介
数学家波利亚

数学家的逻辑
趣味逻辑学
彭罗斯镶嵌
古今数学思想
物理学之神奇的数
鸟和青蛙

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【文摘】唯物,还是唯灵

哲学里面的唯物唯心(Materialism and Idealism),
分别代表物质第一性,还是意识第一性的世界认知观念。这两个汉语词汇的应用,实际上是将人的世界观认知限制在哲学层面,不利于我们对世界认知的升级,或者说这两个词汇并不能准确刻画认知的根本问题。“物”好理解些,而“心”不好理解,把可能准确的概念变模糊了。
唯物和唯心的划分,是从可见的认知对象出发,进行的对立划分,实际上是对认知对象进行了狭隘的限定,所以这种二分对立划分限定了研究范畴,本质是壁垒。

更准确的二分对立划分是什么呢

其实,在汉语里面,有个“身、心、灵”的词汇概念,
从唯“物”和唯“心”的对立层面讲,用唯“物”和唯“灵”表达对世界的认知立场,在汉语语境里面更准确, 并且在人认知理念里面范围更广:
“物”是可以主动通过眼耳鼻舌身能够感知,从而进一步认知的对象或范畴,
“灵”是不能主动通过眼耳鼻舌身直接感知,需通过“意”“信”等才能认知的对象 或范畴 。
“心”这个词显然不能表达上面的这种对立关系,边界模糊,
本质上讲,从形而上学的层次上,(mind,mentality,idea,heart,think…)是在(spirit,soul…)的下面,
“心”是“灵”的载体还是表现,本身就是一个问题,所以用“灵”来表达,更反映对立问题的本质特征。

这些词汇的运用和变化,反应的是认知的渊源,
人的最根本认知分歧是“无神”还是“有神”的分歧,
哲学则是想回避这个分歧,形而下的降了一个层次,
变成“物质”第一性,还是“意识”第一性的唯物唯心问题。
古希腊有很多哲学高手,
毕达哥拉斯也好,百拉图也好,他们是在哲学方法的层次想认识形而上的更高层次,
圣经启示,当几个希腊人要见主耶稣的时候,
耶稣讲:人子得荣耀的时候到了。

【约12:20】那时,上来过节礼拜的人中,有几个希利尼人。  
【约12:21】他们来见加利利伯赛大的腓力,求他说:“先生,我们愿意见耶稣。”  
【约12:22】腓力去告诉安得烈,安得烈同腓力去告诉耶稣。  
【约12:23】耶稣说:“人子得荣耀的时候到了。  

科学研究的一些物理现象,尤其是微观现象,给我们的启示,向上自主跳跃层级是不容易的,层级跃迁,实际是能量得失的表现,贯穿物质活动的是能量,或者讲物质运动是能量变换的表征。
对于人的认知也是如此,每个人的认知都有壁垒界限,这个壁垒界限若没有外部能量(启示)的注入,突破会很困难,古人用醍醐灌顶来形容这种情形。

希腊人见主耶稣,迎来的是原有认知壁垒被启示能量的注入, 突破是必然的,随之,一条现代文明和科学技术发展的主线脉络逐步形成。

圣经资源

年轻的地球磁场

《C.S.路易斯》读书会

科学的终点

论科学和信仰

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【数学】彭罗斯镶嵌

罗杰.彭罗斯(Roger Penrose,1931— ),英国数学物理学家,对广义相树论与宇宙学具有重要贡献,在趣味数学和哲学方面也有重要影响。本文节选自加德纳趣味数学经典汇编系列中的《分形、取子游戏及彭罗斯镶嵌》。

作者 | 马丁·加德纳
译者 | 涂泓

1957年《科学美国人》有一个专栏是关于周期性地用全等凸多边形来铺陈平面[重刊于《时间旅行和其他数学困惑》( Time ravel and Other Mathematical Bewilderments)一书中],在那个专栏的结尾处,我承诺以后会写篇关于非周期性铺陈方式的专栏文章。本章重新刊载我履行的那一承诺一一这是1977年的一篇专栏文章,它首次公布了一种非凡的非周期性铺陈方式,这是由著名英国数学物理学家和宇宙学家彭罗斯发现的。首先,让我来给出一些定义和背景。

周期性铺陈方式是指你可以描出一个区域的轮廓,通过平移这个区域就可以铺陈整个平面,所谓平移就是在不通过旋转或者翻转的情况下移动这个区域的位置。荷兰艺术家埃舍尔【译者注:埃舍尔(M.C. Escher,1898-1972),荷兰版画家,因其绘画中的数学性而闻名,作品多以平面镶嵌、不可能的结构、悖论、循环等为特点,从中可以看到分形、对称、双曲几何、多面体、拓扑学等数学概念的形象表达。】对形似生物的形状进行周期性铺陈而创作了许多图画,从而闻名遐迩。图1.1就是他的一幅代表作。其中一对毗连的黑鸟和白鸟构成了一个平移铺陈的基本区域。想象这个平面上蒙着一层透明的纸,纸上描出了每片镶嵌片的轮廓。只有在铺陈方式为周期性时,你才能在不通过旋转的情况下将这张纸移动到一个新的位置,使得所有轮廓都再次恰好相符。

图1.1 埃舍尔的一幅周期性镶嵌图(1949)

有无限多种形状一一例如正六边形一一只能按照周期性方式铺陈。还有无限多种其他的形状既能按照周期性方式铺陈,也能按照非周期性方式铺陈。用全同的等腰直角三角形或四边形,很容易将国际象棋的棋盘转换为一种非周期性铺陈方式。只要如图1.2(A)的左图中所示的那样将每个正方形二等分,通过改变等分的取向来避免出现周期性。用多米诺骨牌也很容易进行非周期性铺陈。

图1.2 (A)用全等形状进行的非周期性铺陈;(B)一个九边形(左图中的虚线)和一对九边形构成一个周期性铺陈的八边形(右图)

等腰三角形也能像图1.2(A)的中间图那样以放射状方式进行铺陈。尽管这种铺陈方式高度有序,却明显不是周期性的。正如戈德堡( Michael Goldberg)1955年在一篇题为“中心镶嵌图”的论文中所指出的那样,这样的一种铺陈方式可以对半切开,然后可以将这两个半平面移动一步或更多步,从而构成一个非周期性铺陈的螺旋形式,如图1.2(A)中的右图所示。通过用两条全等的线条来取代这种三角形的两条相等的边,就可以有无数种方法来扭曲这个三角形,如图1.2(B)中的左图所示。如果这些新的边均由直边构成,那么结果得到的有5、7、9、11条边的多边形就能螺旋状铺陈。图1.3显示了用一个九边形以这种方式获得的一个引人注目的图案。这是由沃德堡(Heinz Voderberg)用一种复杂的方法首先发现的。戈德保得出这个图形的方法使它几乎变得很平常了。

图1.3 沃德堡的一种螺旋形铺成方式

在人们知道的所有用全等图形构成的非周期性铺陈方式的例子中,图形也能以周期性方式铺陈。图1.2(B)中的右图显示了沃德堡的两个九边形如何组合成一个八边形,而这个八边形能以一种显而易见的方式进行周期性铺陈。

通过将一组图形铺陈在一起,构成它们本身的更大复本,可以得到另一种非周期性排列方式。戈洛姆(Solomon W.Golomb)将它们称为“爬行动物”(reptile)。(参见我的《意外的绞刑》(Unexpected Hanging)一书的第19章。)图1.4显示了一个被称为“狮身人面像”的形状如何通过产生出越来越大的狮身人面像而构成非周期性铺陈。与上例一样,两个师身人面像(其中一个旋转180°)能以种显而易见的方式进行周期性铺陈。

图1.4 以非周期性方式铺陈的三级狮身人面像

是否存在着一些只能非周期性铺陈的镶嵌片集合?我们说“只能”的意思是,无论是单一的形状或子集,还是整个集合,都不能作周期性铺陈,但是通使用它们全部,就有可能构成一种非周期性的铺陈方式。其中允许进行旋转和翻转。

在数十年间,专家们曾相信不存在这样的组合,但是结果证明这种猜想不成立。1961年,王浩【译者注:王浩(1921-1995),华裔美籍哲学家、数理逻辑学家,曾先后任职于哈佛大学、牛津大学、洛克菲勒大学,并曾兼任巴勒斯公司的研究工程师、贝尔电话实验室技术专家、IBM研究中心客座科学家等一系列职务。】开始对用各边以不同方式着色的单位正方形集合铺陈的平面感兴趣。这些单位正方形被称为王氏砖,王浩还曾在1965年为《科学美国人》撰写过一篇极好的关于王氏砖的文章。王浩的问题是要去找到一种方法来确定:对于任意一组给定的骨牌,是否能以某种方式铺陈而使得其相邻边都具有相同颜色,铺陈时不允许旋转和翻转。这个问题的重要性在于,它与符号逻辑中的决策问题有关。王浩推测,任意一组能够铺陈为平面的镶嵌片都能够周期性地铺陈为平面;他还证明,如果事实确实如此的话,那么就存在着一种这种铺陈的决策方法。

1964年,伯杰( Robert Berger)在哈佛大学应用数学专业博士学位论文中证明,王浩的推测不成立。不存在任何普遍适用的方法,因此只存在一组只能非周期性铺陈的王氏砖。伯杰用两万多块骨牌构造出了这样一个组合。后来他发现了一个小得多的组合,它由104块骨牌构成。而高德纳【译者注:高德纳(Donald Knuth,1938— ),美国著名计算机科学家。他创造了算法分析领域,并发明了排版软件TEX和字体设计系统Metafont。“高德纳”这个中文名字是他1977年访问中国前取的。】则将这个数字减小到92。

这样的一组王氏砖很容易转化为只能非周期性铺陈的多边形镶嵌片。你只要将其边缘做成凹凸形以构成一块块的拼图,而它们以先前用颜色规定的方式相配。一条先前某种颜色的边只能与另一条先前为同样颜色的边相配,并且对于其他各种颜色也能得出一种相同的关系。罗宾逊( Raphael M. Robinson)通过允许这样的镶嵌片旋转和翻转,构造出六片从上文所解释的意义上来说强制产生非周期性铺陈的镶嵌片(见图1.5)。1977年安曼【译者注:安曼(Robert Ammann,1946—1994)是一位美国业余数学家,他在准晶体理论和非周期性铺陈等方面都作出了多项重要贡献。】发现了另一组不同的六片镶嵌片,它们也强制产生非周期性铺陈。这种正方形镶嵌片是否能减少到六片以下尚未可知,不过我们有充分的理由相信六就是最小值了。

图1.5 罗宾逊的六片强制产生非周期性铺陈的镶嵌片

彭罗斯在牛津大学担任劳斯·保尔数学教授,他在那里发现了几个强制产生非周期性铺陈的小型镶嵌片集合,它们不是正方形类型的。尽管他的大部分工作都是关于相对论和量子力学的,不过他对于趣味数学也保持着活跃的兴趣。他与他的父亲、遗传学家、已故的 L.S. 彭罗斯(L.S. Penrose)分享这方面的乐趣(他们是著名的“彭罗斯阶梯”的发明者,这条阶梯周而复始地兜圈子却不通往更高处。埃舍尔在他的版画《上升与下降》中描绘了这条阶梯。)1973年,彭罗斯发现了一组六片强制产生非周期性铺陈的镶嵌片。1974年,他发现了一种将它们减少为四片的方法。此后不久,他又将它们减少到两片。

由于这些嵌片适用于制成商业游戏拼图,彭罗斯直到申请了英国、美国和日本的专利后,才愿意将它们公开。这些专利现今仍然有效。我对于康韦研究彭罗斯铺陈而获得的许多结果同样不胜感激。

一对彭罗斯镶嵌片的形状是可以变化的,但是其中称为“飞镖”和“风筝的那一对最有趣,这是康韦给它们起的名称。图1.6(A)中显示了如何由一个内角为72度和108度的菱形来获得这两个形状。将长对角线按照我们熟悉的黄比例(1+√5)/2=1.61803398…分割,【小编注:中国人一般取黄金分割比为(√5-1)/2=0.618…,外国人一般取(1+√5)/2=1.618…,两者实为互为倒数,只是比的顺序不同。】然后将该点与两个钝角顶点相连。就这么简单。用φ表示黄金比例。如图所示,每条线段不是1就是φ。最小的角度是36度,其他角度都是它的倍数。

图1.6 (A)构造飞镖和风筝的方法;(B)飞镖和风筝的一种着色方式(灰色和黑色)以强制产生非周期性;(C)加速构造过程的A尖和领结

这个菱形当然能周期性铺陈,不过我们不允许用这种方式来拼接这些镶嵌片。要禁止将相等长度的边拼接在一起,这可以通过凸起和凹陷的形状来强制实现,不过还有一些比较简单的方法。例如,我们可以按照图1.6(B)中所示将各顶点标注为H(“头”的英文head的首字母)和T(“尾”的英文tail的首字母),然后给出规则:在拼装边缘时,仅具有相同字母的顶点可以相合。可以在各个顶点处放置两种颜色的点来帮助确认此规则,不过康韦提出了一种更加优美的方法,在每片镶嵌片上画两种颜色的圆弧,在插图中用黑色和灰色来表示。每条弧都以黄金比例切割边和对称轴。我们的规则是,相邻的边必须连接相同颜色的圆弧。

为了充分理解彭罗斯铺陈的美和神秘,我们应该至少制作100片风筝和60片飞镖。这些镶嵌片只需要一面着色。这两种镶嵌片数量(同它们的面积一样)符合黄金比例。你也许会设想你需要较多小一些的飞镖,但是实际情况却与此相反。你需要的风等片数量是飞镖的1.618…倍。在无限铺陈的情况下,这个比例是精确的。由于这个比例是无理数,其潜在的结果就构成了彭罗斯的个证明:该铺陈是非周期性的,因为如果它是周期性的,那么这个比例显然就会是一个有理数。

一个很好的计划是:在一张纸上画尽可能多的飞镖和风筝,并且使其比例大约为五片风筝比三片飞镖,用一根细线来画出这些曲线。可以将这张纸复印许多次。然后可以将这些曲线着色,比如说用红色和绿色的毡尖笔。康韦发现,如果你将图1.6(C)中所示的这三个较大的形状复印许多次,那么就会加速构造过程,并且保持图案更加稳定。在你扩展一种图案的时候,你可以不断地用A尖和领结来取代飞镖和风筝。事实上,由飞镖和风筝构成的任意多对这样的形状对将可以铺陈出任何无穷无尽的图案。

有一种彭罗斯图案的构成方式是,先在一个顶点周围铺陈飞镖和风筝,然后再放射性地向外扩张。每次你在边缘增加一片,你就必须在飞镖和风筝之间作出选择。有时候这种选择是被迫的,有时候则不是。有时候两种都合适,但是稍后你可能会遭遇到一种与之相抵触的情况(在该点处,哪一片都不能合乎规则地添加上去),于是被迫回来作出另一种选择。绕着一条边界前进,首先放置所有别无选择的镶嵌片,这是一个很好的打算。它们不可能导致抵触的情况。然后你可以用那些有选择余地的镶嵌片来进行尝试。总有可能一直进行下去。你越是摆弄这些镶嵌片,就会愈加体验到那些提高效率的“强迫法则”。例如,一片飞镖在其凹处必须放置两片风筝,于是就创造出了无所不在的A尖。

有许多方法来证明彭罗斯铺陈的数量不可数,正如一条直线上有不可数个点一样。这些证明都依据彭罗斯发现的一种令人惊奇的现象。康韦把它称之为“膨胀”和“收缩”。图1.7中显示了膨胀的开始。试想把每片飞镖都切割成两半,然后再把原来的短边都黏合在一起。其结果是一种由更大的飞镖和风筝构成的新的铺陈方式(用黑色粗线表示)。

图1.7 一种图案如何发生膨胀

膨胀可以延续至无穷,其中每一“代”新的镶嵌片都比上一代要大。请注意第二代的风等虽然与第一代的A尖具有相同的大小和形状,但是其构成方式不同。出于这个原因,A尖也被称为傻瓜的风筝。绝不可把它错认为是第二代风筝。收缩就是将同样的进程逆向进行。在每一种彭罗斯铺陈上,我们都能画出一代一代越来越小的飞镖和风等。这种模式也可延续至无穷,从而创造出个分形(参见原书第3章)的结构。

康韦对彭罗斯的图案不可数的证明(彭罗斯早先曾用一种不同的方法证明过)可以作如下概述。在风筝对称轴的一边标注L(“左”的英文left的首字母),另一边标注R(“右”的英文 right 的首字母)。在飞镖上也如此操作,用l和r进行标注。然后在铺陈图案上随机选择一点。记录下表示它在镶嵌片上位置的那个字母。将这个图案膨胀一步,注意同一个点在第二代镶嵌片上的位置,并再次记录下那个字母。持续进行更高阶的膨胀,你就会创造出一个符号的无限序列,这个序列,可以说,独一无二地标记了从选择的那一点看到的原始图案。

在原始的图案上选择另一点这个过程可能会给出一个开头不同的序列不过它会到达一个字母,在这个字母之后直至无穷,它都会与前一个序列一致。如果不存在这样在某一个特定点之后的一致性,那么这两个序列所标识的就是截然不同的图案。由这四个符号构成的所有可能的序列并不都能通过这个方式产生,不过可以证明,标记不同图案的序列在数量上与一条线上的点的数量对应。

我们忽略了那些铺陈图案中的着色曲线,这是因为它们对观察这些镶嵌片造成了困难。不过,如果你用着色的镶嵌片来研究的话,你就会为这些曲线所创造出的各种美丽图样然心动。彭罗斯和康韦分别独立地证明:每当一条曲线闭合时,它就具有五轴对称性,并目这条曲线内部的整个区域都具有五重对称性。在一种图案中,对每种颜色而言,至多只能有两条曲线不闭合。在大多数图案中,所有曲线都闭合。

尽管我们有可能构造出一些具有高阶对称性的彭罗斯图案(有无穷多种图案都具有双侧对称性),但是大多数图案,都如同宇宙一样,是由有序和出乎意料地偏离有序所构成的一种神秘莫测的混合体。随着这些图案的扩张,它们似乎总是尽力重复自身,却又总是不能很好地做到这一点。切斯特顿曾经提出过,如果有一个外星人在观察人体上有多少特征是左右重复的,那么他就会合理地推断我们的身体两边各有一颗心脏。他说道,这个世界“看起来比实际情况恰好更数学一点、更有规律一点;它的精确性是显而易见的,但不精确性则隐置其中;其放荡不羁潜伏以待。”到处都存在着“对精确性少许悄无声息的背离,这是事物中恒有的一种怪异的要素……宇宙中一种隐秘的叛逆。”这段话很好地描述了彭罗斯的平面世界。

关于彭罗斯的宇宙,还存在某种更为令人惊奇的事情。从一种奇特的有限意义上来说,由于受到“局部同构定理”的制约,所有的影罗斯图案都是相似的。彭罗斯证明:任何图案中的每一个有限区域,都包含在所有其他图案中的某处。此外,它在每种图案中出现无穷多次。

为了理解这种情形有多么狂,请想象你正居住在一个无限大平面上,这个平面由不可数的无穷多种彭罗斯铺陈中的一种镶嵌而成。你可以在这不断扩张的面积上一片一片地检查你的图案。无论你探索多大的面积,你都无法确定自己是处在哪一种铺陈方式上。去往远处以及检查不相连的区域都毫无帮助,因为所有这些区域都属于一个大的、有限的区域,而这个区域在所有图案中都被精确地复制了无穷多次。当然,对于任何周期性镶嵌图而言,这都是显而易见的事实,然而彭罗斯宇宙并不是周期性的。它们有无穷多种方式使得彼此显得不同,却又只能在触不可及的极限上才能将它们彼此区分开来。

假设你已探究过一个直径为d的圆形区域。我们把它称为你所居住的“镇”。突然之间,你被传送到一个随机选择的平行的彭罗斯世界。你离一个与你家乡的镇里的街道一模一样的圆形区域有多远?康韦用一条超凡卓越的定理给出了答案。从你家乡的镇的边界到那个一模一样的镇的边界的距离,绝不会超过黄金比例的立方的一半的d倍,或者说就是2.11+[ 译者注:这里的加号(+)表示(1.61803398…)³=2.1180399…]乘以d。(这是一个上限,而不是平均值。)如果你朝着正确的方向走,那么你不需要超过这个距离,就会发现自己置身于你自己家乡的镇的精确复制品中。这条定理也适用于你身处的宇宙。每一种大的圆形图案(有无穷多种不同的图案)都可以朝某个方向走过一段距离而到达,这个距离必定小于这个图案直径的大约两倍,更有可能大约就等于该直径。

这条定理相当出人意料。考虑一列无模式的数字序列,例如π,展示出了一种类似的同构。如果你选择一列由10个数字构成的有限序列,然后从π中的一个随机位置开始,当你沿着π走得足够远的话,你就肯定会遇到与此相同的序列,不过你必须走的距离不存在已知的上限,并且预期的距离远多于10位数。这个有限数列越长,你可以预计要再次找到它就需要走得越远。在一种彭罗斯图案上,你总是非常靠近家乡的一个复制品。

飞镖和风筝恰好适合铺陈在一个顶点周围的方式只有七种。让我们首先来考虑(用康韦的术语来说)两种具有五轴对称性的方法。

图1.8 无限太阳图案

太阳(如图1.8中的白色部分所示)不强制其周围任何其他镶嵌片的放置方式。不过,如果你添加几片,使其一直保持五轴对称,那么就会迫使你构造出如图所示的这个美丽的图案。它是唯一确定的,直至无穷。

图1.9 无限星星图案

图1.9中的白色部分所表示的星星,强制在其周围铺陈10片浅灰色风筝将这个图案放大,始终保持其五轴对称,你就会创造出另一种如同花朵一般的图样,这种图样也是无穷的和独一无二的。各式星星和太阳图案是仅有的具有完美五轴对称性的彭罗斯宇宙,并且从一种令人愉快的意义上来讲,它们是等价的。膨胀或者收缩这两个图案中的任何一个,你就会得到另一个。

A尖是围绕一个顶点铺陈的第三种方法。它不强制使用任何其他镶嵌片。两点、杰克和王后在图1.10中用白色区域表示,四周包围着它们直接强制铺陈的镶嵌片。正如彭罗斯所发现的[后来巴赫( Clive Bach)也独立作出了这一发其中现],有些七顶点图形会使得一些并不与直接受到这种强迫作用的区域相连的镶嵌片的摆放受到影响。

图1.10 两点、杰克和王后的“帝国”

在所有彭罗斯宇宙中,最超凡卓越的、对于理解这些镶嵌片至关重要的种,就是无限车轮图案,其中心部分显示在图1.11中。在其中心处,用粗黑线勾勒出的正十边形(它的每条边都由一对长边和短边构成)就是康韦所谓的“车轮”。在任何图案上,每个点都在一个和这个图案完全一样的车轮内部。将其膨胀一步,我们就看到每个点都处于一个更大的车轮内部。相似地,每个点又都位于每一代车轮内部,尽管这些车轮并不需要是同心的。

图1.11 包围着蝙蝠侠的车轮图案

请注意辐射至无穷的那10条浅灰色轮辐。康韦将它们称为“虫”。它们是由长长短短的领结构成的,其中长短领结的数量之比是黄金比例。每一个彭罗斯宇宙中都包含着无限条任意长度的虫。膨胀或者收缩一条蠕虫,你就会得到沿着同一根轴的另一条虫。瞧,在无限车轮图案中,两条完整的蠕虫横跨了中心的车轮(它们在其内部时不是灰色的)。其余的轮辐都是半无限蜻虫。除了这些 轮辐以及中心车轮内部以外,这个图案具有完美的十重对称。在任意两根轮辐之间,我们看到太阳和星星的图案越来越大的部分交替出现。

这个无限车轮图案中的任何一根轮辐都可以两边对调(或者与此等价地,其中的每一个领结都可以两端调转),结果除了中心车轮内部的那些镶嵌片外,这根轮辐仍然会与周围的所有镶嵌片相符合。图中共有10根轮辐,于是就有2¹º=1024种状态组合。不过,在去除旋转和翻转之后,就只有62种完全不同的组合了。每种组合都在车轮内部留下一个区域,康韦将其命名为“十足动物”。

图1.12 三种十足动物

十足动物是由10个全同等腰三角形构成的,这些三角形的形状为放大的半个飞镖。具有最高对称性的十足动物是图1.12中所示的圆锯和海星。和一条虫一样,每个三角形都可以翻过来。像之前那样,通过忽略旋转和翻转,我们就得到62种十足动物。想象每个十足动物周界上的凸顶点都标注为7,四顶点都标注为H。为了继续铺陈,这些H和7都必须按照通常的方式与镶嵌片的头尾相配。

将轮辐按它们在无限车轮图案中所示的那种方式排列时,在其中心处就形成了一个被称为蝙蝠侠的十足动物。蝙蝠侠(用深灰色表示)是唯一能够被合乎规则地铺陈的十足动物(没有任何有限区域可以具有一种以上的合乎规则的铺陈方式)。然而,蝙蝠使并不强制产生无限车轮图案。它只不过是允许产生这种图案。实际上,一种合乎规则的铺陈的任何一个有限部分都不能强制产生一个完整图案,因为每种铺陈中都包含这个有限部分。

请注意无限车轮图案是双侧对称的,它的对称轴竖直通过蝙蝠侠。膨胀这个图案,它保持不变,只是对一条垂直于这条对称轴的直线发生镜面翻转。蝙蝠侠中的五个飞镖及其两个中心风筝,是任何彭罗斯宇宙中绝无仅有的不在一个五重对称区域内的镶嵌片。其他所有的在这个或者别的图案中的镶嵌片都在无穷多的五重对称区域中。

通过挪动这些轮辐中的蠕虫,形成另外61种组合,就会在中心车轮内部产生另外61种十足动物。所有这61种十足动物都是下面这种意义上来说的“洞”。一个洞,是指任何不能被合平规则地铺陈的、有限的、空的区域,它被一种无限铺陈包围着。你也许会猜测每种十足动物都是无限多种铺陈的中心,不过彭罗斯的宇宙在这里跟我们开了另一个玩笑。令人惊奇的是,有60种十足动物强制产生的铺陈只有独特的一种,这种铺陈方式与只在由轮辐组成的铺陈中显示出来的那种方式有所不同。只有蝙蝠侠和另一种十足动物除外,后者被命名为一部法国动画片中的一个角色,名为阿斯特里克斯。像蝙蝠侠一样阿斯特里克斯允许产生一种无限车轮图案,不过它也允许产生一些其他类型的图案。

现在来讨论一个令人吃惊的猜想。康韦虽然没有完成其证明,但是他相信每种可能的洞,无论其大小或形状如何,在下面这种意义上都等价于一个十足动物的洞。通过重新排列这个洞周围的镶嵌片,在必要的情况下取走或添加有限数量的镶嵌片,你就能把每个洞都转换成一个十足动物。假如事实果真如此,那么一个图案中的任何有限数量的洞就都能够被简化成一个十足动物。我

们只需要取走足够的镶嵌片,从而将这些洞连接面成一个大洞,然后不断缩小这个大洞,直至得到一个无法铺陈的十足动物。

将一个十足动物想象成一片固化的镶嵌片。除了蝙蝠侠和阿斯特里克斯以外,62种十足动物中的每一种都好像是凝结成一颗晶体的一种瑕疵。它强制产生一种独特的无限车轮图案,其中包括轮辐等等,如此永无止境。如果康韦的猜想成立,那么任何一片强制产生一种独特铺陈的“异形镶嵌片”(这是彭罗斯所用的术语),无论这镶嵌片有多大,它的轮廓线都可转换成60种十足动物的洞之一。

图1.13 彭罗斯的非周期性鸡群

早先描述过将等腰三角形改变成螺旋状铺陈的多边形,通过与之相同的技巧,就可以把风等和飞镖改变成其他一些形状。埃舍尔正是运用这种技巧,将多边形镶嵌片转换成了动物的形状。图1.13中显示了彭罗斯如何将他的飞镖和风筝转换成只能非周期性铺陈的鸡群。请注意,尽管这些鸡是非对称的不过要铺陈这个平面,完全没有必要把其中的任何一片翻过来。可惜,埃舍尔去世前没能得知彭罗斯的这些嵌片。不然的话,他将在它们的各种可能性中纵情陶醉!

图1.14 用彭罗斯的两种菱形构造出的一种非周期性铺陈

通过将飞镖和风等分割成更小的镶嵌片,并把它们用其他方式组合在起,你就可以构造出一些性质类似于飞镖和风筝的其他成对的镶嵌片。彭罗斯发现了异常简单的一对:图1.14的样例图案中的两种菱形,它们的各边都等长。较大那一片的内角分别为72度和108度,而较小那一片的内角分别为36度和144度。与前面一样,这两种镶嵌片的面积以及所需镶嵌片数之比都符合黄金比例。各种铺陈方式以不可数的无限多种非周期性方式膨胀、收缩以及铺陈这个平面。这种非周期性可以通过四凸或者某种着色方式来强制实现,例如彭罗斯提出的一种着色方式,在这幅插图中用浅灰色和深灰色区域表示。

图1.15 毕达哥拉斯五角星形

通过仔细观察图1.15中的这个五角星形,我们可以看到这两组镶嵌片是如何紧密地彼此联系在一起,又是如何与黄金比例密切相关。这是古希腊毕达哥拉斯学派的神秘符号,而歌德的浮士德也是用这张图抽获梅菲斯托费勒斯的。这一构造过程可以向内和向外,永远持续下去,并且每条线段都与下一条较短的线段构成黄金比例。请注意所有四种彭罗斯镶嵌片是如何嵌入这幅图中的。风筝是ABCD,而飞镖是AECB。图中的两个菱形是AECD和ABCF,尽管它们不符合恰当的相对大小关系,不过正如康韦喜欢说的那样,这两组镶嵌片是基于同一种潜在的“黄金材料”。任何关于风筝和飞镖的定理,都可以被转化成一条关于彭罗斯菱形或者任何一对其他彭罗斯镶嵌片的定理,反之亦然。康韦更喜欢研究飞镖和风筝,不过其他数学家们却更喜欢研究比较简单的菱形。安曼( Robert Ammann)发现了令人眼花缭乱的各种其他非周期性铺陈集合。有一组集合由两个凸五边形和一个凸六边形构成,它在不需要任何边缘标记的情况下强制产生非周期性。他发现了好几对这样的组合,每一对都有一个五只内角为90度、一只内角为270度的六边形。

是否存在某些与黄金比例无关的、强制实现非周期性的成对镶嵌片?是否存在一对相似的镶嵌片强制实现非周期性?是否存在不需要边缘标记而将强制实现非周期性的一对凸镶嵌片?

当然,主要的未解问题是,是否存在一种只能非周期性铺陈平面的单一形状?大多数专家都认为不存在,不过大家都远不能给出证明。我们甚至还没能证明,如果有这样一种镶嵌片存在的话,那么它必定是非凸的。

《皇帝的新脑》作者:罗杰.彭罗斯

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【科学】年轻的地球磁场

作者 约拿单· 萨法提 创造科学

地球磁场的方向与地球南北极轴线几乎重合,仅差11.5°。这是我们这个星球一个极妙的设计:不但让我们可以用指南针导航,也能保护我们免受来自太阳的危险带电粒子的伤害。同时,地球磁场也是一个支持年轻地球论的有力证据,正如圣经所启示的那样。

在1970年代,物理学教授兼创造论学者托马斯•巴恩斯(Thomas Barnes)博士注意到,从1835年至今的地球磁场测量数据,显示磁场强度每100年衰减5%,(另外,考古测量发现,在公元1000年地球磁场的强度比今天的高40%)。巴恩斯曾撰写过一本著名的电磁学教科书,提出地球的磁场是由金属地核中不断衰减的电流所产生的。他算出这个电流衰减的时间不可能超过一万年,否则电流的起始强度足以熔化整个地球。因此地球的年龄必定小于这个时间。

北极光是由外太空的带电粒子冲击地球大气层而产生的自然现象,这些外太空的带电粒子受地球磁场引导而落入两极(同时另外一些带电粒子被磁场折返太空。)。

进化论者的回应

电流衰减模型显然与进化论者所需要的数十亿年不相符,所以他们青睐的是自我维持的发电机模型。这个模型认为,地球的自转和对流效应会使地球外核中的液态镍/铁发生转动,而这些液态金属内正负电荷的运转速度会有差异,从而产生电流,进而产生磁场。但是经过半个世纪的研究,科学家们还没有提出一个可行的模型,该模型存在着许多问题。

然而巴恩斯的年轻地球理论所面临的主要挑战是地球磁场曾经多次翻转的证据,即指南针的“N”端会指向地球南极而不是北极。火山熔岩和火山灰流中常见的磁性矿物颗粒在冷却至低于其居里点(570°C,即1060°F)时,部分磁畴会与当时地球磁场的方向对齐。一旦熔岩完全冷却,磁性矿物颗粒的排列方向将被定格。由此我们就有一个地球磁场方向的永久记录了。

虽然进化论者对地球磁场翻转没有很好的解释,但他们据此认定巴恩斯博士的单向衰减模型不成立。同时,在他们的模型里面,一次磁场翻转至少需要数千年,并且按照他们对年代测定的假设,这些磁场翻转彼此间隔数百万年,由此证明地球是古老的。

创造论者的回应

物理学家拉塞尔•汉弗莱斯博士(Dr Russell Humphreys)认为巴恩斯博士的想法是正确的,同时他也承认地球磁场有过翻转是事实。他修正了巴恩斯的模型,引进液态导体(如地球外核中的熔融金属)的特殊效应。液态导体向上流动(由于对流作用——热的液体上升冷的液体下沉)有时可导致磁场迅速翻转。在1997年第19期《创造》杂志中,约翰•鲍姆加德纳博士(Dr John Baumgardner)提出,地壳构造板块的下陷是造成《圣经/创世记》所记载的大洪水的一个原因。汉弗莱斯博士说,这些板块的活动会使地核外层急剧冷却,形成对流。这意味着大多数的地球磁场翻转发生在《创世记》所记载的大洪水时期,每个礼拜或每两个礼拜发生一次。并且在大洪水之后,由于上述地壳板块活动的余波,地球的磁场还有很大的波动。然而这些翻转和波动没有使地球磁场的衰减停止,反而加剧了磁场总能量的衰减(见图) 。

地球磁场变化曲线。地球磁场的强度不可能比这里所示的起始点高太多,这表明地球很年轻。

这个模型还解释了太阳的磁场每11年会发生翻转的原因。太阳是一个巨大的由炽热的、高速运动中的导电气体组成的星球。与电机模型描述的相反,整个太阳磁场的能量正在不断减少。

汉弗莱斯博士也提出了检验他的模型的一个方案——在已知的于数天或数周内冷却的熔岩中,应该会检测到这种地球磁场迅速翻转的现象。例如,在一层很薄的熔岩层中,其外层会最先冷却,并记录了当时地球磁场的方向,而其内层冷却时,却记录了与外层不同的地球磁场朝向。

在这个预测发表3年后,这一领域领军的科学家罗伯特•科(Robert Coe)和米歇尔•皮沃(Michel Prévot)发现了一个冷却时间在15天以内的薄熔岩层,其中的磁性物质连续记录了90°的磁场翻转。且这并不是个别现象,8年之后,他们又报告了另一个更快的翻转现象。这一发现令他们以及其他的进化论者愕然,却有力地支持了汉弗莱斯的模型。

结论

地球磁场不但是一个得力的导航助手及阻隔太空有害粒子的屏障,同时也是反对进化论和数十亿年古老地球论的有力证据。地球磁场清晰的衰减模式表明,地球的年龄不可能超过10000年。

最近,加州理工学院的地球物理学家戴维•史蒂文森(David Stevenson)承认了地球磁场给古老地球论带来的难题:

“现在,我们对地核的认识出现了一个问题,这个问题只是在过去的一两年内才出现。这个问题非常严重。我们无法理解,地球的磁场是如何维持了数十亿年的。我们知道自地球存在以来大部分的时候都是有磁场的,但是我们不知道地球磁场是如何维持了这么长时间的。对于地核在其整个历史中(数十亿年)如何运作,我们现在所明白的比10年之前我们自以为所明白的更少。”


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【文摘】红楼梦时间表

作者 无名寒士

本时间表是关于《红楼梦》中年份次序的惟一正确版本,不接受任何主观的质疑和无据的否定。这不是无知的狂妄,而是对已知真实的确信与坚持。

奇书《红楼梦》在很多领域很特别,其中就有数学,它在数学上非常精确巧妙。

这里拿秦钟和贾雨村举一下例子。

先说秦钟。在红楼12年,宝玉秦钟初会,这年宝玉七岁,“和宝叔同年”的秦钟也是七岁,然而秦钟的父亲秦业却已“年近七十”,而且“那秦业五旬之上方得了秦钟”,书里这样写有没有数学错误呢?并没有。“年近七十”的岁数范围在66-69之间,“五旬之上”的岁数范围在50-59之间。要想满足“五旬之上”得子,且在子七岁时父亲“年近七十”,有且仅有一种情况,那就是秦业59岁得子,子七岁时秦业已是66岁。非此不可,这算是书中写法上的一个小小特色了。

再说贾雨村在红楼2年中秋受银离开姑苏,在红楼3年中了进士,“选入外班”后离京就职,通过了外官任满三年后的官员常规考评而得到升职重用,于红楼6年“升了本府知府”后遇到封肃一家。于红楼7年被“革职”后回原籍安排财物家眷,随后开始“游览天下胜迹”,红楼10年曾在金陵甄家教书,于红楼11年初到林家教书。于红楼12年初送黛玉去京城时与贾府认亲,并借贾府之力起复为金陵应天府知府,随即与九年多未曾谋面的葫芦僧门子相遇(葫芦僧口中的“八九年来”是指九年多),然后对已经被拐八年而后又被薛蟠掳走一年的恩公后代甄英莲未作解救(葫芦僧描述一年前见到英莲的景象是“虽隔了七八年,如今十二三岁的光景”,实际是五岁被拐隔了八年,甄英莲彼时十三岁)。在红楼21年平儿骂雨村时说“认了不到十年,生了多少事出来”,到这年腊月时,仕途得意的贾雨村已“补授了大司马,协理军机参赞朝政”,晋入公卿之列。

值得注意的是,红楼12年正月,雨村和冷子兴说“这两年遍游名省”里的“这两年”与袭人“年纪本又比宝玉大两岁”那里的“大两岁”用法相同,都是北方生活中的口语性表述,是一种模糊性表述,指的是大几年和大几岁。

从数学角度来看,《红楼梦》的整体可谓非常精确巧妙。书中还设置了几处干扰性语句,有意惑人,亦是奇特。

细节遥相呼应,却不简单写明,实是傅山先生有意为之,使读者不串联全文便看不到书中真实,哪怕只是关于年份变化的真实情况。这样做等于挑拣出了那些尊重奇书认真细阅的读者。

也有那种认真细阅一遍却没能看懂书中年份变化真实全貌的,那种情况则是因为数学敏锐性的缺乏。数学敏锐性与数学水平关联不大,很多人擅长积分计算,能够折腾各类级数和解析延拓,却不一定具备数学敏锐性。

数学敏锐性与文学理解力有些类似,都不是基于勤学苦练,而是基于脑中的快速分析处理,这需要极其认真的态度,还需要过度专注的精神。遇到一个陌生文字材料时读罢材料就直接看清文字所描述的全貌,遇到一道陌生数学题目时看完题目就在脑中算出相应的正确答案。一些读者在一定程度上具备这类特性,他们在认真细阅时,所见皆为真实,所悟皆是有理,也就会有很大几率能够看懂全貌。“一双空灵眼睛”的傅山先生在文学理解力和数学敏锐性上都非常出众,因此会在书中设置出这样一个比较奇特的阅读门槛。

为方便所有读者都能轻松看到书中年份变化,特将年份变化的真实情况作一简单记录归结在此。

每到正月初一,所有人年龄加一。

同年事件皆按先后次序列出。

石头记现存八十回的后十七回出现了大量错漏文字,是编辑者增删所导致,故本时间表仅叙说书中前六十三回人间世界里的现实时间

(僧道青埂携玉,贾芸得小红帕,这两次梦皆是梦境在先真事在后,特此注明)

1年,当日地陷东南。英莲年方三岁。士隐梦遇通灵。宝钗三岁。宝玉——。黛玉——。

3年,甄英莲已五岁。元宵灯节被拐。宝钗五岁。宝玉——。黛玉——。

5年,宝玉衔玉出生。宝钗七岁。宝玉——。黛玉——。

6年,林府黛玉出生。宝钗八岁。宝玉一岁。黛玉——。

11年,黛玉年方五岁。雨村林家教书。薛姨妈约四十。薛蟠年十有五。薛宝钗十三岁。甄英莲十三岁。门子认出英莲。薛蟠打死冯渊。游览上国风光。贾敏一疾而终。宝钗十三岁。宝玉六岁。黛玉五岁。

12年,正月遇智通寺。村肆会冷子兴。二月初二进京。残冬住进荣府。黛玉宝玉初会。袭人是大丫鬟。次日闻薛家讯。雨村起复到任。冯渊案发一年。葫芦僧助结案。急作书信报京。贾家收到书信。薛家来到京城。入住荣府东北。幻境云雨可卿。与袭人警幻事。刘姥姥打抽丰。大姐东屋睡觉。周瑞分发宫花。宝钗看通灵玉。秦钟作伴读书。贾琏二十来往。凤姐成亲两年。贾兰今已五岁。宝钗十四岁。宝玉七岁。黛玉六岁。

13年,大姐发热生病。宝钗首次生日。顽童大闹学堂。凤姐探望可卿。年底可卿膏肓。贾瑞入相思局。黛玉扬州探父。宝钗十五岁。宝玉八岁。黛玉七岁。

14年,可卿宁府病逝。如海九月病逝。可卿发引送殡。秦业老病逝世。年底黛玉归来。省亲建大观园。秦钟病逝送殡。宝钗十六岁。宝玉九岁。黛玉八岁。

15年,贾瑞死亡发丧。大观园建造中。宝钗十七岁。宝玉十岁。黛玉九岁。

16年,大观园已建好。宝玉游园展才。妙玉年十八岁。陈设齐备请旨。宝钗十八岁。宝玉十一岁。黛玉十岁。

17年,元春荣府归省。袭人姨妹十七。宝钗十九生日。小旦年十一岁。宝玉曲文禅悟。二月搬入园中。宝玉生活快意。遂作四时即事。宝钗十九岁。宝玉十二岁。黛玉十一岁。

18年,三月中浣落红。义子贾芸十八。被贾环烫伤脸。马道婆五鬼术。宝玉凤姐出事。僧道二人诵玉。三十三天康复。芒种祭饯花神。宝钗扑蝶嫁祸。红玉攀附凤姐。黛玉作葬花吟。宝玉叙说奇方。冯紫英家酒令。元春端午节礼。宝钗褪红麝串。去清虚观打醮。论及宝玉婚姻。神前拈三本戏。赤金点翠麒麟。宝黛口角砸玉。薛蟠生日推病。宝黛和好如初。体丰宝钗大怒。金钏被打嘴巴。龄官以簪画蔷。宝玉脚踢袭人。晴雯撕扇取乐。翠墨拾金麒麟。湘云劝说应酬。金钏死于井中。忠顺王府索人。宝玉遭受痛打。黛玉眼睛哭肿。王夫人近五十。晴雯送来旧帕。黛玉题帕三绝。鹦哥叹葬花吟。薛蟠放言改悔。玉钏尝莲叶羹。傅秋芳欲结姻。宝钗金线络玉。玉钏袭金钏银。宝钗坐床刺衣。宝玉谈论文武。宝钗二十岁。宝玉十三岁。黛玉十二岁。

光阴虚度,岁月空添。

21年,探春起海棠社。菊花诗螃蟹咏。刘姥姥进荣府。南院马棚走水。雪下抽柴故事。茗玉十七岁逝。鸳鸯宣牙牌令。母蝗虫怡红劫。贾母巧姐受风。惜春画大观园。九月凤姐过寿。祭北静王爱妾。鲍二媳妇自尽。作秋窗风雨夕。宝钗梅片洋糖。鸳鸯誓守贾母。赖大家内饮宴。湘莲怒打薛蟠。平儿斥骂雨村。香菱入园学诗。宝琴认作义女。芦雪广大联句。红梅诗猜灯谜。宝琴怀古诗谜。袭人冬日丧母。朱楼水国之诗。斥逐偷金坠儿。晴雯病补雀裘。除夕祭祀宗祠。宝钗二十三岁。宝玉十六岁。黛玉十五岁。

22年,贾母元宵夜宴。贾母借戏掰谎。贾母凤姐笑话。探春兴利除弊。甄贾宝玉梦会。紫鹃情辞试玉。岫烟订亲当衣。老太妃已薨逝。诰命入朝随祭。下人偷安结伙。清明雀啼杏花。家主离家送灵。宝珠鱼眼之论。各处大小作乱。芳官不睦众人。司棋跋扈闹厨。众人下话五儿。宝玉四人生日。次日贾敬宾天。宝钗二十四岁。宝玉十七岁。黛玉十六岁。

红楼梦用词的数学抽样统计

傅山与《红楼梦》

无名寒士解《红楼梦》

无名寒士
wuminghanshi
潦倒不通世务,愚顽怕读文章。行为偏僻性乖张,那管世人诽谤!

无名寒士文章,电子版下载阅读:傅山之红楼梦解析

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【文摘】红楼梦用词的数学抽样统计

作者 无名寒士

红即朱,楼是以家业喻指政权。所谓红楼梦,便是在追忆朱明王朝这个逝去的美梦。

这个道理十分简单明了,所以人们基本上都会认同《红楼梦》与明朝遗民有密切关联。然而在此基础上,竟然出现了关于《红楼梦》作者身份的多种结论。有人猜测是洪升,有人猜测是孔尚任,有人猜测是吴伟业,众说纷纭,不一而足。

那些猜测普遍疏漏颇多且乏于理据,和真实相去甚远。其实全局审视该书,理解了书中的诗文妙处、词语习惯、数理医识、见解思想、纲目设定之后,就会明白真实的作者,能且仅能是傅山先生。

在广东的一位何项朋友,特意花费精力针对八十回本《红楼梦》的原文文本做了一个数学统计,将真实作者傅山和被猜测为作者的洪升、孔尚任、吴伟业各取一部长篇作品,将他们的作品和《红楼梦》放在一起做了大规模的用词抽样统计,于2018年11月12日初步完成了这份用词抽样统计。

看完何项所作的大型词语抽样统计后,寒士发现这个数学统计其实很有意义。这份统计让那些尚未理解红楼梦思想与纲目等诸多特色的读者们,也可以通过词语抽样的统计结果很直观地看出众多文人在用词习惯上与《红楼梦》的关联度。

八十回本《红楼梦》书中用到的词语极其丰富,不仅融汇了各朝诗词曲赋戏剧小说中的很多词汇,也有“杂学旁收”的作者加入的很多生活口语词汇。

下面由寒士向大家大致介绍一下何项对于《红楼梦》的词语抽样统计。

参与抽样的书籍皆为叙事长文,共有七部。八十回本《红楼梦》约59万字,傅山《红罗镜》近2万字,洪升《长生殿》约8.6万字,孔尚任《桃花扇》约10.2万字,吴伟业《秣陵春传奇》约6.7万字,无名氏《红楼梦》后四十回续书约28万字,兰陵笑笑生《金瓶梅》约76万字。

①根据词汇抽样统计可以看出,参与抽样的七部作品里,有些词汇是这七部文学作品都有用到的。譬如“嗄”“无情”“伤情”“风流”“风尘”“心肠”“周旋”“自家”“凄凉”“造化”“沉吟”“胡说”“受用”“想来”“思想”“思量”“打发”“拜谢”“去罢”“古来”“平生”“只道”“商量”“原是”“一齐”“年纪”“梳洗”“即便”“同心”“停当”“西风”“今朝”“旧日”“少不得”“并不曾”“说不得”“我且问你”等等。

②有些词汇是大多数文学作品里会用到。

“止”“红楼”“娇羞”“胭脂”“珠翠”“绮罗”“歌舞”“恩情”“纵横”“千秋”“乐事”“潇洒”“住持”“地面”“别样”“把盏”“等闲”“做不得”等词语仅有无名氏的《红楼梦》后四十回续书未曾使用。

“拽”“风情”“踌躇”“兴头”“惊怕”“叮咛”“走马”“手段”“僻静”“着实”“奉承”“事体”“奴才”“连日”“待要”“门上”“比不得”“到如今”“辜负了”“老先生”“既然如此”等词语仅有洪升的《长生殿》未曾使用。

“教”“钟情”“香风”“香车”“神通”“一味”“老成”“适才”“颠倒”“省得”“荔枝”“一任”“百般”“自是”“没得”“我如今”等词语仅有孔尚任的《桃花扇》未曾使用。

“干”“繁华”“鹦哥”“携手”“满心”“登时”“过活”“咱家”“赶上”“仔细”“倘有”“谁知道”等词语仅有吴伟业的《秣陵春传奇》未曾使用。

③有些词汇是多数文学作品里会用到。

“害(患病之意)”“金刚”“潇湘”“秋月”“寒温”“知觉”“去处”“水性”“安置”“撮合”“听得说”等词语仅有洪升的《长生殿》与孔尚任的《桃花扇》未曾使用。

“揪”“发放”“将就”“极是”“酒果”“金珠”“索性”“报怨”“机锋”“汉子”“该死”“不拘”“自古道”“等不得”等词语仅有洪升的《长生殿》与吴伟业的《秣陵春传奇》未曾使用。

“货(贬义人称)”“情种”“脉脉”“咬牙”“飒飒”“一溜”“刚刚”“少坐”“恨不得”等词语仅有孔尚任的《桃花扇》与吴伟业的《秣陵春传奇》未曾使用。

“绉”“红绿”“早晚”“行令”“风味”“哭啼”“倒弄”“家去”“作事”“正理”“历年”“娼妇”“肠子”“脂粉”“老大”“勾搭”“古佛”“尽行”“懒待”“说嘴”“那时候”“再不敢”“孩子气”“正经事”等词语仅有有洪升的《长生殿》与孔尚任的《桃花扇》以及吴伟业的《秣陵春传奇》未曾使用。

④存在大量词汇是【仅】八十回本《红楼梦》与傅山《红罗镜》有使用到。

存在大量词汇仅有这两部书使用,如“袅娜”“怯弱”“奇绝”“唆挑”“发付”“阅人”“冲寒”“封进”“网络”“乘夜”“编排”“依傍”“推重”“展样”“消耗”等。其中许多词语比较偏僻不常见用,然而在此二部书中,不仅同时使用出来,而且用法极其接近。

此二部书皆有以“瓠”指人的用法。在刻画重点的正面人物时,此二部书都常用“袅娜”来赞誉青春女子的美好体形,都用“怯弱”来描绘令人怜惜的少年男子。

《红楼梦》中“又展样又大方”,《红罗镜》中“教我就展展样样”,两部书中这两处“展样”的意义和用法竟然完全相同。“展样”原是山西一带的偏僻口语,意思是够气派够像样,口语中人们常会用“展”“真展”“很展样”之类的说法来称赞那些帅气有范的男女。“展样”这个口语词最早见用于书的情况,便是在傅山笔下的《红楼梦》与《红罗镜》之中。将该口语词汇制造出来并在两部书中应用,实属傅山先生的奇绝之举。傅山先生身为汉语文字超级大家,时常会用一些生僻字词写作,也时常信手将生活口语以合理字义构造写出,每每令人心悦诚服啧啧称奇。熟知傅山者应当多有听闻傅山先生此类趣事,看到这里定能会心莞尔。

《红楼梦》中“荡悠悠把芳魂消耗”,《红罗镜》中“怕不霎时红颜消耗”,这两处“消耗”的意义和用法亦属完全相同。

“风骚”“不屑”“屠苏”“漏声”“抹额”“风干”“槎牙”“中都”“五凤”“淫了”“临窗”“烟雾”“霜晓”“固多”“定省”“树头”“寡母”“郡主”“逐件”“私奔”“小么”“菱花镜”“趁如今”“再不理”“定又是”“休提起”“听不得”“只取个”“没时运”“上青云”“动人处”“误认了”“有肝胆”“地方上”“官儿们”“没的吃”“忙辞了”“就只是”“说破了”“老老实实”“不知世事”“就该打死”“说一声去”“千方百计”“追欢买笑”“两个冤家”“待我取来”“不似当年”“一时想起来”“打起精神来”等词语亦是七部书中仅《红楼梦》与《红罗镜》此二部有使用到。这其中,有的词语是生活用词,也有的词语是出自各类典故,还有很多则是风格鲜明的口语,属于作者自然流露的用语习惯。

⑤通过何项所作的近千个词汇样本的取样统计,可以有效看出这七部书在用词习惯上的异同。

以《红楼梦》的用词习惯为标准,与之最接近者为傅山先生的《红罗镜》,次者为兰陵笑笑生的《金瓶梅》,再次者为无名氏的《红楼梦》后四十回续书,又再次者为吴伟业的《秣陵春传奇》,更次者为孔尚任的《桃花扇》,最次者为洪升的《长生殿》。

傅山先生的《红罗镜》,不仅在用语习惯的数据统计上最接近于八十回本《红楼梦》,更在很多偏僻词汇的意义和用法上与之完全相同。

我们无法找到一个比傅山先生更具《红楼梦》亲缘关系的奇人。因为这部《石头记》就是自号石头的傅山先生亲自所记之书,也仅有作为学海医圣的傅山先生能设巧妙纲目制宏大架构写下这样一部奇绝之书,这就是《红楼梦》的真实。

本文以五个带序号的文字段落概括了何项先生的文本数据研究成果,再次感谢何项先生花费大量精力制作出来的《红楼梦》用词习惯抽样统计表,也感谢何项和大家为真实的探索推广而付出的众多努力。

 傅山与《红楼梦》

无名寒士解《红楼梦》

无名寒士
wuminghanshi
潦倒不通世务,愚顽怕读文章。行为偏僻性乖张,那管世人诽谤!

无名寒士文章,电子版下载阅读:傅山之红楼梦解析

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