【数学】非欧几何学

作者 | 刘建新 好玩的数学

一. 非欧几何的历史概述

图1 双曲几何,欧氏几何,椭圆几何中:垂直于同一条直线段的两条直线

非欧几何学是在指在“平行公设”方面不同于欧氏几何学的几何学体系。历史上,两种非欧几何学——罗氏几何与黎曼式非欧几何分别于19世纪由Lobachevskii和Riemann提出,后来分别被称为双曲几何与椭圆几何。非欧几何学起源于平行公设研究,从平行公设研究到早期的非欧几何学建立,再到人们理解各种非欧几何学的本质,经历了两千多年的漫长历史。

图2 欧几里得

公元前300年前后,Euclid《几何原本》问世。之后,希腊的Ptolemy,Proclus等人就开始了证明平行公设的尝试。但其后的两千年间,该问题的研究并未取得实质性的进展。本质上,人们只是得到了一些与平行公设等价的命题。平行公设研究上的突破是由意大利数学家Saccheri于18世纪做出的。

1733年,Saccheri在试图证明平行公设的过程中,从底角为直角的对称四边形出发,讨论了顶角的三种可能性,分别称为直角假设、钝角假设、锐角假设。钝角假设与平行公设以外的九大公理矛盾,所以被Saccheri否定。Saccheri在锐角假设的情形推导出一些看似荒谬的结论,故而认为自己通过归谬法证明了平行公设。德国的Lambert、法国的Legendre等人也沿着类似的思路展开研究。他们分别认为自己否定了钝角假设(当然,这是一个高级的错误)。同时,他们得出大量与锐角假设等价的命题,例如,不存在相似三角形;以及S_{\bigtriangleup ABC}\propto \pi-(\angle A+\angle B+\angle C)。他们对这些命题产生了不同的态度,Saaccheri认为一些命题是荒谬的,而Lambert却表示困惑,但他承认自己没有能够找到锐角假设中的矛盾。尽管他们的工作中存在着错误,但Saccheri等人考察了与锐角假设、钝角假设等价的一些命题,这是很大的进步。

在数学家们研究平行公设两千多年仍然没有获得证明的情况下,逐渐有研究者转变了对该问题的态度。19世纪初,德国的Schweikart和Taurinus在锐角假设下推导出一些三角学公式,并发现了一个绝对常数的存在,他们认为锐角假设下的几何学可能是成立的。后者得到了非欧几何学的三角公式:

\cosh \frac ak=\cosh\frac bk\cosh\frac ck-\sinh\frac bk\sinh\frac ck\cos A

其中分别a,b,c是三边长,A,B,C是三个角度。他们与Gauss通信讨论了新几何的各种结论,Gauss是当时的数学权威,也长期研究平行公设问题,但Gauss从未公开发表与此相关的著作。

图3 Lobachevskii,Bolyai,Gauss

1830年前后,俄国的Lobachevskii和匈牙利的Bolyai分别独立发表了他们的非欧几何工作。他们从假设“过直线外一点有无穷多条直线与已知直线平行”出发,分别演绎出系统的几何体系,其理论包括:三角学公式、弧长公式、面积和体积公式等。他们所建立的几何一般被称为“罗氏几何”。

图4 Riemann

尽管Lobachevskii和Bolyai的著作于1830年代已经发表,但在之后的三十年间并未引起大的反响。1854年,Riemann在《论奠定几何学基础之假设》中,提出黎曼式非欧几何——正常曲率黎曼流形的几何,并通过提出黎曼流形、度量、曲率的概念,从内蕴几何的角度深刻地解释了不同非欧几何的本质。1868年,Belterami解读非欧几何的论文发表之后,非欧几何终于才获得了广泛的认可。此后,在微分几何、射影几何、以及变换群的观点下,数学家们提出非欧几何的不同模型,从而更深刻地认识了非欧几何的本质。

二、关于非欧几何学历史的研究文献

国际上,关于非欧几何学历史的研究论著很多。早在19世纪末期,就有关于非欧几何学的历史著作问世。其中具有代表性地,Halsted和Riccardi分别整理了非欧几何学的原始文献目录,为后世的历史研究打下基础,后者的原始文献目录涉及1482-1890年的约1000篇关于非欧几何学的原始文献题目。

1906年,Bonola出版其非欧几何史的意大利语专著,后被翻译成英文出版,题目为《非欧几何学——关于其历史发展的批判性历史研究》,将非欧几何学的历史划分为四个阶段:前史,先驱者,建立者(两部分),后续发展。Bonola对非欧几何学的历史阶段划分为后世树立了非欧几何学史的研究典范,成为非欧几何学的历史研究的经典之作。20世纪后半叶,Coolidge,Boyer,Kline分别在数学通史著作的相应章节论述非欧几何学的历史,他们基本延续了Bonola的阶段划分,并在思路上受到Bonola影响,这几本通史类著作中关于非欧几何学史的论述旨在对数学思想的线索提供贯通的历史叙述。

距今较近的非欧几何学的历史著作,有代表性的分别是Rosenfeld,Gray,Greenberg的专著,Rosenfeld将非欧几何学的历史放在几何学、代数学的大背景下分成若干专题进行论述,保持了历史视野的开阔与思想的深度;Gray是当代的著名数学史专家,他对Gauss是非欧几何学三大建立者之一的传统观点提出强烈质疑,并给出非欧几何学史的一些新观点;Greenberg从历史角度写的几何学教科书,为非欧几何学史补充了希尔伯特公理体系、变换群观点下的几何学等方面的内容。除了以上列举的专著,还有一些具有代表性的论文。另外,近几十年来,非欧几何历史上的很多重要原始文献被翻译成英文,为当今的非欧几何学历史研究提供了便利,包括非欧几何学原始文献英文翻译的合集,Lobachevskii的原始论文等。

国内数学史家与研究者,如李迪、李文林、陈惠勇等,对该主题有过一定的论述。此外,国内还有两篇关于Lobachevskii非欧几何工作的硕士论文。李忠的科普书与科普论文,也对非欧几何做了精炼的介绍。

三、Bonola的历史阶段划分与原因分析

Bonola关于非欧几何学史的著作影响非常深远。经典的数学史著作Coolidge《几何学方法史》,Boyer《数学史》,Kline《古今数学思想》都延续了Bonola的历史阶段划分,并在对历史研究的思路上受到Bonola的影响,例如他们都很重视公理化方法与非欧几何学史的联系。

与章节目录相应,Bonola将非欧几何学的历史分为以下五个阶段:
(1)证明平行公设的早期尝试(古希腊,阿拉伯,与18世纪早期);
(2)非欧几何学的先驱者(Saccheri,Lambert,Legendre等人)
(3)非欧几何学的建立者(Gauss,Schweikart,Taurinus)
(4)非欧几何学的建立者(Bolyai,Lobachevskii)
(5)非欧几何学的后续发展(Riemann等人)

Bonola的阶段划分非常经典,为后世树立了非欧几何学历史阶段划分的典范。其阶段划分蕴含了对不同历史阶段的研究工作的理解。

(1)与(2)两个阶段的分界线在Saccheri。在这两个阶段,人们都普遍相信Euclid的平行公设是正确的,并尝试证明。但确实,由Saccheri开启的工作与前人的工作有显著的不同。他将平行公设问题分成三类情况进行讨论,即著名的“直角假设”、“钝角假设”、“锐角假设”,分别对应于三角形内角和等于、大于、小于π;接着,使用归谬法,试图证明后两种情况蕴含矛盾。这是前人没有使用过的方法,Lambert、Legengdre也采用该方式。从Saccheri开始的第二阶段,研究者通过分类,更彻底地穷尽了经典几何方法研究的可能性。

(2)与(3)两个阶段的研究者的区别在于,先驱者们都在尝试为Euclid几何提供辩护,尽管先驱者得到与锐角假设等价的命题,但他们试图发现矛盾;而非欧几何学的建立者则认为自己建立了新的几何学。Schweikart称之为“星空几何”,Taurinus称之为“对数球面几何”。Schweikart,Taurinus认为他们得到的是正确的数学,前者甚至认为这种几何或许可以应用于宇宙空间。

(3)与(4)的区别是,Bolyai,Lobachevskii研究了三维的非欧几何学,而且进行了系统的研究,他们得到了系统的三角学公式、圆的周长、面积公式、立体体积公式等。

(4)和(5)的区别是,Bolyai,Lobachevskii使用的都是初等几何的方法;而Riemann和Beltrami使用了度量等工具与微分几何学方法,从此非欧几何的研究进入新的阶段。

四、小结

非欧几何学的历史是非常有趣的主题,其中有很多数学的故事,也可以从中学到数学知识。历史上数学家解决问题、将研究向前推进是一个曲折的过程。在阅读历史的同时,我们追随数学家,分析历史上遇到的问题、尝试解决或者理解数学家的解决方式,这也是一种学习数学的方式。

  1. R.Bonola. Non-Euclidean Geometry: A Critical and Historical Study of Its Development [M]. H.S.Carslaw(transl.). Chicago: Open Court. 1912.
  2. J.L.Coolidge. A History of Geometrical Methods[M]. New York: Dover. 1947.
  3. C.B.Boyer. A history of mathematics[M]. NewYork: Wiley.1968.
  4. 莫里斯·克莱因.古今数学思想(第三册)[M].万伟勋,石生明,孙树本,等译.上海:上海科学技术出版社.2002.
  5. B.A.Rosenfeld. History of non-Euclidean geometry[M]. Translated by Abe Shenitzer. New York: Springer-Verlag. 1988.
  6. J.Gray. Ideas of space: Euclidean, non-Euclidean, and Relativistic[M].(2nd edition). Oxford: Clarendon Press. 1989.
  7. J.Gray. Worlds out of Nothing: A course in the history of geometry in the 19th century. [M]. London: Springer. 2007.
  8. M.J.Greenberg. Euclidean and non-Euclidean geometries[M].(4th edition). New York: W.H.Freeman.

作者简介

刘建新,科学技术史博士,信阳师范学院教师教育学院数学教师,主要研究方向为19世纪上半叶的微分几何学史与非欧几何学史。

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