【文摘】数学之美

刘瑞祥 遇见数学

数学,美在哪里?

所谓“数学之美”,也是个老生常谈的话题了,我不揣冒昧,也谈谈我的认识。

数学,美在简洁

有这样一个问题:给你平面坐标系上的三个定点,求过这三个定点的圆的方程。如果让普通的中学生来求解,肯定是先作出其中两点连线的垂直平分线方程,然后再作一垂直平分线方程,继而求交点、半径,才能得到圆方程,多么麻烦。但数学家不是这样,他们直接写出圆的方程:

\begin{vmatrix}x^2+y^2&x&y&1 \\x_1^2+y_1^2&x_1&y_1&1 \\x_2^2+y_2^2&x_2&y_2&1 \\x_3^2+y_3^2&x_3&y_3&1\end{vmatrix}=0

这是多么的简洁。利用行列式的性质立刻可以看出,(x_1,y_1)(x_2,y_2)(x_3,y_3) 均满足这个方程,所以这个方程确实是过已知的三个点,而且x^2 和y^2的系数相同、没有xy  项,完全符合圆的方程特点。

该方程不但适用于一般情况,也适用于退化情况:只要将方程按第一行(或第一列)展开,马上可以看出当且仅当第一项的余子式为零时,这个方程的二次项系数为零,即此图形退化为直线,而这个余子式恰好就是以已知点为顶点的三角形面积的二倍。换言之,当且仅当这三个点代表的三角形面积为零(此时三点共线),所求的过这三个点的图形为直线。

可能有人会说,前面的行列式如果展开的话,并不简洁,那么请看微积分基本定理:

\int_{a}^{b} f(x)dx=F(b)-F(a)

以一个式子沟通了导数和积分之间的关系,何等简洁?

不但数学式子是简洁的,数学理论也是简洁的。《几何原本》把整个几何的知识体系都建立在了五条公设和五条公理上,即使到了现代公理体系的经典著作《几何基础》,也只有二十条公理,而这些公理能推出的命题则不可胜数。

数学,美在奇妙

这里的奇妙有两方面的含义,一是结论本身的奇妙,二是求解(求证)过程的奇妙。晚年的爱因斯坦回忆儿时曾经谈到“一本关于欧几里得平面几何的小书”,并且举了一个例子——三角形的三个高交于一点。这个定理的神奇之处在于,一方面它很不容易由观察得出,另一方面也在于它的一个著名的证明过程居然会用到四点共圆,而这个定理本身无论前提还是结论都和圆毫无关系。

能体现数学之奇妙的还有尺规作图。众所周知的是,正七边形不能用尺规作出,但正十七边形居然可以,甚至可以用单独一只圆规或者单独一把尺子(配合一个已知圆)作出,真可谓神乎其技。

类似的惊奇还出现在“有理数和整数一样多”“实数比有理数多得多”的证明中。乍看起来,无穷多的东西怎么能比较多少?但是数学家能够像普通人处理 2+2 一样处理无穷,真是不可思议。可是另一方面,有时数学家处理的研究对象又是很少的,比如所谓的布尔代数,只涉及两个对象——0 和 1,很难想象数学家会研究这么“贫乏”的东西,更难以想象的是,数学家居然从中得出了非常丰富的结论。

在学习泰勒展式和傅里叶分析前,你可曾想过,(几乎)“任何”函数都可以化成统一的形式,乃至无论函数本身的定义如何,都可以用四则运算来计算?笔者中学时代常困惑于“数学用表是怎样编制的”这个问题,待学完泰勒展式后这个问题迎刃而解。

下面两个命题从表面上看似乎是矛盾的,以至于很难相信它们竟会同时成立:一是素数是无穷多的,二是存在着任意(给定)长度的连续的合数数列。这两个命题都能用很简短的方式加以证明,其可靠性是确定无疑的。这展示了数学奇妙特性的另一方面。

数学,美在统一

给出平面直角坐标系上的三个点的坐标,以这三个点为顶点的三角形面积怎么计算呢?还是用行列式表示比较容易:

\frac12\begin{Vmatrix}x_1&y_1 & 1\\x_2&y_2 & 1\\x_3&y_3 &1\end{Vmatrix}

这里内层的竖线表示行列式,外层的竖线表示绝对值。而立体直角坐标系上四棱锥的体积公式则是

\frac16\begin{Vmatrix}x_1&y_1&z_1 & 1\\x_2&y_2&z_2 & 1\\x_3&y_3&z_3 &1\\x_4&y_4&z_4 &1\end{Vmatrix}

数轴上两个点的坐标,其距离则可以写作

\begin{Vmatrix}x_1& 1\\x_2&1\end{Vmatrix}

看出来系数的奥妙了吗?没错,正是维度阶乘的倒数。

如果你取消上面的绝对值符号,那么会有更统一的结论:以平面为例,任给四个点A,B,C,D,则有S_{ABC}=S_{ABD}+S_{BCD}+S_{CAD} ,这里的S 是带号面积,以角标下第一个点的坐标为(x_1,y_1) 、第二点的坐标为 (x_2,y_2)  、第三个点的坐标为  (x_3,y_3) 。这样处理,无论点 D 在三角形 ABC 的内部还是外部,结论都是一样的。

仍以前面说过的过平面上已知三点的圆方程为例,可以方便地扩展为三维空间乃至n  维空间里  n+1 个点的球方程。体现数学统一性的还有求最值的方法。笔者在高中时代为了求最值可没少受罪,比如什么直接法、函数增减法、判别式法等等(那时高中还不讲导数),但是到了大学发现,原来求最值只要先求得导函数再解方程,然后比较一下就可以了啊。

数学,美在严谨

培根曾说,数学使人严密。有几个学生在初中没有受过“有且仅有”“当且仅当”一类字眼的折磨?还有就是证明一个东西是另一个东西的“充要条件”,或者在证明轨迹的时候要先证明一次“符合条件的点在所求线段上”,再证明一次“不符合条件的点不在所求线段上”,当时觉得多此一举,但是后来才知道只有这样才能保证正确性。

另外的例子是在学习微积分时,先要背所谓的 ε-δ 定义,这个已经很绕嘴了,什么“任给”、“存在”、“当”……然后每学一个定理时,总是要注意前提——函数是在开区间里连续,还是在闭区间里连续,或者是开区间里可导,还是闭区间里可导。连续还有一致连续,非一致连续,间断还有第一类间断点、第二类间断点,收敛还有条件收敛、绝对收敛……然而这正是数学的特质。她以严谨的特性,筛选出了真正的裙下之臣。

在缺乏逻辑传统和逻辑课程的中国,数学的严谨特质,是一种可贵的补充。其中,初等数学领域中的证明题是特别有利于培养“言之有据”等逻辑规则的。这里容不下花言巧语,容不下转移话题,不能借助类比等手段。你必须以“事实”(所给条件)为依据,以“法律”(公理、定义、定理)为准绳,脚踏实地进行论证,有一说一,有二说二。说到这里,有一种应试倾向应该得到纠正,那就是让学生遇到不会的题目去“蒙”,或者把条件罗列一下直接写个结论。笔者认为,理想的教学方法是,要求学生会做的题目要做对,不会的地方要老实留空,但这主张实在难以实行。

关于数学之美,当然可以谈论的地方还有很多,比如很应该从抽象之美的角度谈一谈(群论、线性代数可以作为例子),还有数学研究内容之丰富和有力可能也是数学之美的组成部分,但笔者能力所限,只能避而不谈了。

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