【文摘】数学难题汇编(19)

1.正整数n\ge2,设集合\{a_1,a_2,...,a_n\}=\{1,2,...,n\}
求证:\frac 12+\frac 23+\frac 34+...+\frac{n-1}{n}\le\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+...+\frac{a_{n-1}}{a_n}+\frac{a_n}{n}-1

2.设 n是正整数,x是正实数,求证:
\sum_{k=1}^{n}\frac{x^{k^2}}{k}\ge x^{\frac 12n(n+1)}

3. a,b,c是实数,求证:
(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)\ge(ab+bc+ca)^3

4. ABC是等边三角形,G是三角形内任意一点,线段 GDGE,GF分别垂直各边,证明: 六个小区域的面积关系 k + m + o = l + n + p

5. x_1,x_2,...,x_n是n个正实数,求证 :n个正数x_1,\sqrt{x_1x_2},\sqrt[3]{x_1x_2x_3},...,\sqrt[n]{x_1x_2...x_n}的算术平均值小于等于n个正数x_1,\frac{x_1+x_2}{2},\frac{x_1+x_2+x_3}{3},...,\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}的几何平均值。

6.n是正整数,n+1个正整数C_n^0,C_n^1,C_n^2,...,C_n^n中除以3余1的个数用a_n表示,除以3余2的用b_n表示,求证:a_n>b_n

7. x和y是不相等的两个复数,已知对于某四个连续的正整数n,\frac{x^n-y^n}{x-y}是一个整数,求证:对于所有的正整数n, \frac{x^n-y^n}{x-y} 都是整数。

8. 设f(x)是一个整系数多项式,已知g(x)=f(x)+12至少有6个两两不同的整数根,求证:f(x)没有整数根。

9. m是一个正奇整数,m不是3的倍数,求证:4^m-(2+\sqrt 2)^m的整数部分可以被112整除。

10. 求一个函数f:R\to R,使得对于任一个实数x,有f(f(x))=-x

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