【文摘】大学数学竞赛题汇编(16)

1.确定所有正常数a,b,使得不等式
yz+zx+xy\ge a(y^2z^2+z^2x^2+x^2y^2)+bxyz
对所有具x+y+z=1的非负实数x,y,z成立。

2.n是一个给定的正整数,正整数 k< n,如果存在正整数n_1,n_2,...,n_k,使得n_1\ge n_2\ge ... \ge n_kn=n_1+n_2+...+n_k。则称集合T=\{n_1,n_2,...,n_k\}为n的一个k分割,在n的所有k分割中,
E(T)=\sum_{j=1}^kn_j(n-n_j)的最大值。

3.正整数n\ge 2,正实数r\ge \frac 12,x_1,x_2,...,x_n是正实数,S=\sum_{i=1}^nx_i,记x_{n+1}=x_1
求证:\sum_{j=1}^n\frac {x_j^{2r+1}}{S-x_j}\ge \frac 1{n^{r-1}(n-1)}(\sum_{j=1}^nx_jx_{j+1})^r

4.设x_1,x_2,x_3是正实数,求证:
\frac{x_1}{x_2+x_3}+\frac{x_2}{x_3+x_1}+\frac{x_3}{x_1+x_2}\ge\frac 32

5. 正整数n\ge2,已知正整数x_1,x_2,...,x_n满足
x_1+x_2+...+x_n=x_1x_2...x_n,求证:
1<\frac 1n(x_1+x_2+...+x_n)\le2

6. n是正整数,n+1个正整数C_n^0,C_n^1,C_n^2,...,C_n^n中除以5余j(1\le j\le4)的个数用a_j表示,求证:a_1+a_4\ge a_2+a_3

7. 如果实数\mu\in [-1,1],求证:方程y^{n+1}-\mu y^n+\mu y-1=0的每个根的模长都是1.

8. 给定一个整系数多项式f(x),它对应3个不同整数a_1,a_2,a_3,有f(x)=2(i=1,2,3)。求证:对于任何正整数n,f(n)\ne 3

9.求所有的连续函数f:R\to R,满足以下两个条件:
(1) f(1)=a+1,这里a是非零常数;
(2)f(xy)=f(x)f(y)-af(x+y)+a

10. 求所有函数f:R\to R,使得f(f(x))=x^2-2

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