1.在一个无限大的正方形格子纸上，两个游戏者轮流在空格上填字母，第一个游戏者总是填X，第二个游戏者总是填O，每次填一个字母，如果在一行、一列或一条对角线上，有11个连续的X，则第一个游戏者获胜。求证：第二个游戏者总能设法阻止第一个游戏者获胜。
2. 正整数
，考虑不同整数的一个集合F，零不属于F，而且F内每个整数都是F内两个整数的和。F内任意k个（允许相等，
）整数之和从不为零。求证：F内至少有
个整数。
3.N个正整数组成的一个序列恰包含n个不同的数()，如果
，求证：一定有一些连续项的乘积恰好是完全平方数。
4. 某班级有学生25人，其中有14人会西班牙语，12人会法语，6人会法语和西班牙语，5人会德语和西班牙语，还有2个人会这三种语言，而6个会德语的人会说法语或西班牙语。求不会外语的人数？
5.平面内是否有100条两两不同的直线，使得它们之间恰有1995个不同的交点？
6. 在某个城市足球赛中，要求每一队都必须同其余各队进行一场比赛，胜一场得3分，平一场的1分，负一场得0分。已知有一队得分最多，比其余任一队得分都多，但这队的场次最少，比任何一队都少，问至少有几对参加比赛？
7. 49个学生解3个问题，每个问题的得分是从0到7的整数，求证：存在两个学生A和B，使得对于每个问题，A的得分都不少于B。
8. 在一张无限大的国际象棋棋盘上有一只(
)马，这马的水平方向走p格（可 向东，向西），同时，在垂直方向走q格（可向南，向北），表示这马跳了一步，当然这马也可以在垂直方向走p格，同时在水平方向走q格，表示跳了一步。求所有的正整数对()，使得这只()马从任何一格出发，可以到达这张棋盘的任何一个内。
9.在一条直线上标出n个不同的蓝色点和n个不同的红色点。
证明：同色点两两之间的距离之和不超过异色点两两之间的距离之和。
10. 在正
边形中，将
个顶点染成红色，其余顶点染成蓝色，
求证：具有同色顶点的等腰三角形的数目不依赖于染色的方法。
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