【文摘】趣味逻辑学问题(11)

1.在一个无限大的正方形格子纸上,两个游戏者轮流在空格上填字母,第一个游戏者总是填X,第二个游戏者总是填O,每次填一个字母,如果在一行、一列或一条对角线上,有11个连续的X,则第一个游戏者获胜。求证:第二个游戏者总能设法阻止第一个游戏者获胜。

2. 正整数n\ge2,考虑不同整数的一个集合F,零不属于F,而且F内每个整数都是F内两个整数的和。F内任意k个(允许相等,2\le k\le n)整数之和从不为零。求证:F内至少有2n+2个整数。

3.N个正整数组成的一个序列恰包含n个不同的数(n\ge2),如果N\ge 2^n,求证:一定有一些连续项的乘积恰好是完全平方数。

4. 某班级有学生25人,其中有14人会西班牙语,12人会法语,6人会法语和西班牙语,5人会德语和西班牙语,还有2个人会这三种语言,而6个会德语的人会说法语或西班牙语。求不会外语的人数?

5.平面内是否有100条两两不同的直线,使得它们之间恰有1995个不同的交点?

6. 在某个城市足球赛中,要求每一队都必须同其余各队进行一场比赛,胜一场得3分,平一场的1分,负一场得0分。已知有一队得分最多,比其余任一队得分都多,但这队的场次最少,比任何一队都少,问至少有几对参加比赛?

7. 49个学生解3个问题,每个问题的得分是从0到7的整数,求证:存在两个学生A和B,使得对于每个问题,A的得分都不少于B。

8. 在一张无限大的国际象棋棋盘上有一只(p,q)马,这马的水平方向走p格(可 向东,向西),同时,在垂直方向走q格(可向南,向北),表示这马跳了一步,当然这马也可以在垂直方向走p格,同时在水平方向走q格,表示跳了一步。求所有的正整数对(p,q),使得这只(p,q)马从任何一格出发,可以到达这张棋盘的任何一个内。

9.在一条直线上标出n个不同的蓝色点和n个不同的红色点。
证明:同色点两两之间的距离之和不超过异色点两两之间的距离之和。

10. 在正6n+1边形中,将k个顶点染成红色,其余顶点染成蓝色,
求证:具有同色顶点的等腰三角形的数目不依赖于染色的方法。

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