【数学】美国普特南数学竞赛题(5)

A1:对于非负整数A,B,C,确定表达式: A^3+B^3+C^3-3ABC 的所有可能值。

A2:在∆ABC中, G是外心,I是内心,\alpha , \beta分别是顶点AB的角度。
假设IGAB平行,并且 \beta = 2 \tan^{−1}(\frac13)。求\alpha?

A3:给定实数列b_0,b_1, ..., b_{2019},并且b_{2019}\ne 0, 假设z_1,z_2, ..., z_{2019}是复平面中的多项式P(z)=\sum_{k=1}^{2019}b_kz^k的复根。设\mu =\frac {|z_1|+|z_2|+…+|z_{2019}|}{2019}
求解最大的常数值M ,使得对于任意满足1\le b_0<b_1<…<b_{2019}\le 2019b_0,b_1, ..., b_{2019}, 都有\mu\ge M成立。

A4:假设f\mathbb R^3中的实值连续函数,对于任意半径等于1的球体,f(x,y,z)在球表面的积分都等于0,f(x,y,z)是否一定为0?

A5:假设p是一个奇素数,\mathbb F_p是模p的整数域。\mathbb F_p[x]表示域\mathbb F_p的多项式环,并且 q(x)\in \mathbb F_p[x],其中q(x)=\sum_{k=1}^{p-1}a_kx^ka_k=k^{\frac {p-1}{2}} \bmod p
找出最大的非负整数 n, 在\mathbb F_p[x]中 ,使得 (x-1)^n能够整除q(x)

A6:设g是闭区间[0,1]上的实值连续函数,并且在开区间(0,1)上二次可微。假设对于某些实数 r>1,满足:\lim_{x\to0^+}\frac{g(x)}{x^r}= 0
证明:\lim_{x\to0^+}{g}' (x) = 0 或者 \lim_{x\to 0^+} \sup x^r|{g}''(x)|=\infty

B1:用\mathbb Z^2表示平面内左边为整数的点(x,y)的集合。
对于每一个n\ge0,用P_n表示\mathbb Z^2的一个子集,它的元素包括(0,0),以及(x,y),满足:对某些k\le n,x^2+y^2=2^k成立。
求出P_n的四点子集的数量,其中每个子集的四个点组成一个正方形。

B2:对于所有的n\ge1,假设
a_n=\sum_{k=1}^{n-1}\frac { sin(\frac{(2k−1)\pi}{2n})}{cos^2(\frac{(k−1)\pi}{2n})cos^2(\frac {k\pi}{2n})}
求值:\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{n^3}

B3:设Q是一个n×n阶正交矩阵,并且u\in \mathbb R^n,是一个单位列向量(u^Tu= 1)。假设P=I-2uu^T,其中I是一个n×n阶的单位矩阵。
证明:如果Q的特征值不是1,则PQ的特征值是1。

B4:设F是函数f(x,y)的集合,函数对于x\ge1,y\ge1连续并且二次可微,并且成立下列的等式(下标表示偏导数):
xf_x+yf_y=xyln(xy),
x^2f_{xx}+y^2f_{yy}=xy
对于每一个f\in F,设m(f) = \min_{s\ge1}(f(s+1,s+1)-f(s+1,s)-f(s,s+1)+f(s,s))
求出m(f),并证明它与f的选取无关。

B5:设F_m是第m个 Fibonacci 数,F_1=F_2= 1,F_m=F_{m-1}+F_{m-2},m\ge 3。假定p(x)是一个1008次的多项式,满足p(2n+ 1) =F_{2n+1},其中n= 0,1,2,...,1008。求整数i,j,满足p(2019) =F_j-F_k

B6:设\mathbb Z^n\mathbb R^n的整格点集合。如果两个格点的坐标满足:一个坐标值相差1,另一个坐标值相等,则称这两个格点相邻。对于n\ge1,是否存在点集合S\subset \mathbb Z^n满足下列条件:
(1) 如果p\in S,那么没有p的邻居属于S;
(2) 如果p\in \mathbb Z^n,p\notin S, 那么恰有一个p的邻居属于S

美国普特南数学竞赛题(4)
美国普特南数学竞赛题(3)
美国普特南数学竞赛题(1)
Conway: 游戏人生
牵涉到取整的数学概率游戏
著名初等数学问题集
来自自然数的挑战
有趣的自然数拆分
有关孪生素数的一个有趣猜想
素数之恋-伯恩哈德·黎曼
等分布理论简介
数学家波利亚
物理学之神奇的数
鸟和青蛙

此条目发表在数学分类目录,贴了, 标签。将固定链接加入收藏夹。