【数学】美国普特南数学竞赛题(4)

A1. 求出全部的有序正整数数对(a, b),满足:\frac 1a+\frac 1b=\frac 3{2018}

A2. 假设S_1, S_2, . . . , S_{2n-1}是集合\{1,2, . . . , n\}的非空子集,M(2n-1)\times(2n-1)阶的矩阵,其在位置(i, j)处的元素满足:
m_{ij=}\begin{cases}0& \text{ if } S_i\cap S_j =\emptyset \\1& \text{ otherwise }\end{cases}
求出矩阵M的行列式值?

A3. 假设实数x_1,x_2,...,x_{10}满足\sum_{i=1}^{10}cos(x_i)=0,求解\sum_{i=1}^{10}cos(3x_i)的最大值?

A4. 假定mn是互素的正整数,对于1,2,...,n定义:a_k=\left \lfloor \frac {mk}n \right \rfloor- \left \lfloor \frac {m(k-1)}n \right \rfloor
另外,gh是群G的两个元素,满足gh^{a_1}gh^{a_2}...gh^{a_n}=e
其中的eG的单位元,证明:gh=hg。(\left \lfloor x \right \rfloor表示不大于x的最大的整数)

A5. 假设无限可微的函数f:\mathbb{R} \to \mathbb{R},满足:f(0) = 0,f(1) = 1, 对于全部x\in Rf(x)\ge0, 证明:存在正整数n和实数x,使得f^{(n)}(x)<0

A6. 假设A,B,C,D是平面内不同的四个点,无三点共线,并且六条线段AB,AC,AD,BC,BD,CD的长度的平方都是有理数,
证明:比值\frac{S_{\bigtriangleup ABC}}{S_{\bigtriangleup ABD}}是有理数。

B1. 假设\mathcal{P}是一个向量集合:\mathcal {P}=\left \{ \binom{a}{b} |0\le a\le 2,0\le b\le 100,a, b\in \mathbb Z \right \}
找到所有的 \mathcal{P} 的元素v,使得\mathcal{P}\setminus \{v\}可以被分成两个集合,两个集合等基数,并且元素和相等。

B2. 假设n是正整数,设f_n(z) =n+ (n-1)z+ (n-2)z^2++z^{n-1}
证明:f_n在闭圆盘\{z\in \mathbb C:|z|\le1\}内没有根。

B3. 找出所有的正整数n<10^{100},同时满足:n整除2^n,n-1整除2^n-1, 并且n-2整除2^n-2

B4. 给定一个实数a,定义序列x0=1,x1=x2=a,并且x_{n+1}= 2x_nx_{n-1}-x_{n-2}(n\ge2)
证明: 如果存在n使得x_n=0,则这个序列一定是周期序列。

B5. 假设f= (f1, f2)\mathbb R^2\to\mathbb R^2的函数,偏导数∂\frac{\partial f_i}{\partial x_j}连续,并且处处为正,满足:
\frac {\partial f_1}{\partial x1}\frac {\partial f_2}{\partial x_2}-\frac 14\left(\frac {∂f1}{∂x2}+\frac {∂f2}{∂x1} \right)^2>0,证明:函数f是单射。

B6. 假设S是由符合下列条件的序列组成的集合:每个序列的元素属于集合\{1,2,3,4,5,6,10\},序列的长度是2018,序列的和是3860。
证明:S的基数不大于2^{3860}\left ( \frac {2018}{2048} \right ) ^{2018}

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