【数学】美国普特南数学竞赛题(3)

A1.假设 $S$ 是满足以下条件的最小的正整数集合：
a) $2\in S$ ,
b) $n^2 \in S \Rightarrow n\in S$ ,
c) $n\in S \Rightarrow (n+ 5)^2\in S$ .
请问哪个正整数不在集合 $S$ 里面?

A2.假设 $Q_0(x) = 1,Q_1(x) =x$ ,
并且 $Q_n(x) =\frac {(Q_{n-1}(x))^2-1}{Q_{n-2}(x)}$ ,当 $n\ge 2$ 成立。
证明：如果 n 是一个正整数，则 $Q_n(x)$ 是一个整系数的多项式。

A3.假设 a和b是实数，并且 $a<b$ ，f和g是连续函数： $[a,b]\to (0,\infty)$ ,
满足 $\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}g(x)dx$ ,但是 $f\ne g$ 。
对于每一个正整数 n，定义 $I_n=\int_{a}^{b}\frac{(f(x))^{n+1}}{(g(x))^n}dx$
证明： $I_1,I_2,I_3,...$ 是递增序列，并且 $\lim_{n\to\infty}I_n=\infty$ 。

A4.在一个班级里面有 $2N$ 个学生研究一个问题，分数可能是 $0,1,...,10$ 。每个分数至少出现了一次，并且平均分数是 7.4。
证明：可以将学生平分为两组，每组 $N$ 人，并且每组的平均分数都是7.4。

A5.有 $n$ 张卡片，分别写上 $1,2,...,n$ 的数字，混乱的放在桌子上。三个玩家A,B,C, 依照A,B,C,A,…的次序，依次随机选择一张卡片 (每张卡片被选中的可能性均等)。当一个卡片被选中后，这张卡片和所有比它数字大的卡片都会被移除桌面，并且剩下的卡片会重新洗牌。首先选中数字1的卡片的玩家获胜。
证明：对于任何一位玩家，都有相应的n的数值范围，使得这位玩家在相应的游戏中获胜的概率最大。

A6.将二十面体的30条边，分别标记 $1,2,...,30$ 。将每条边染上红色、白色，或蓝色，求满足下列条件的染色方法数量：20个三角形的面，其中两条边同色，另一条边异色？

B1.平面内两条不同的线段 $L_1$ 和 $L_2$ ,
证明： $L_1$ 和 $L_2$ 相交的充分必要条件是：对于每一个实数 $\lambda \ne0$ ，和每一个不属于 $L_1$ 和 $L_2$ 点 $P$ ，存在点 $A_1 \in L_1,A_2\in L_2$ ，满足 $\overrightarrow{PA_2}=\lambda\overrightarrow{PA_1}$ 。

B2.假设 $N$ 可以表示成 $k$ 个连续的正整数的和：
$N=a+ (a+ 1) + (a+ 2) ++ (a+k-1)$ ， $k= 2017$ 时可以满足，而其他的 $k >1$ 的值则不能满足。考虑全部的有此性质的 $N$ ,在所有可能的情况中，求出 $a$ 的最小值?

B3.假设 $f(x) =\sum_{i=0}^{\infty}c_ix^i$ ，其中的每个系数 $c_i$ 是 0 或 1。
证明：如果 $f(\frac 23) =\frac 32$ ，则 $f(\frac 12)$ 一定是无理数。

B4.计算表达式的值：
$\sum_{k=0}^{\infty}(3\cdot \frac{ln(4k+2)}{4k+2}-\frac{ln(4k+3)}{4k+3}- \frac{ln(4k+4)}{4k+4}-\frac{ln(4k+5)}{4k+5})=$
$3\cdot \frac{ln(2)}{2}-\frac{ln(3)}{3}- \frac{ln(4)}{4}-\frac{ln(5)}{5}+3\cdot \frac{ln(6)}{6}-\frac{ln(7)}{7}- \frac{ln(8)}{8}-\frac{ln(9)}{9}+$