【数学】美国普特南数学竞赛题(3)

A1.假设S是满足以下条件的最小的正整数集合:
a) 2\in S,
b) n^2 \in S \Rightarrow n\in S,
c) n\in S \Rightarrow (n+ 5)^2\in S.
请问哪个正整数不在集合S里面?

A2.假设Q_0(x) = 1,Q_1(x) =x,
并且Q_n(x) =\frac {(Q_{n-1}(x))^2-1}{Q_{n-2}(x)},当n\ge 2成立。
证明:如果 n 是一个正整数,则Q_n(x)是一个整系数的多项式。

A3.假设 a和b是实数,并且a<b,f和g是连续函数:[a,b]\to (0,\infty),
满足 \int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}g(x)dx,但是 f\ne g
对于每一个正整数 n,定义I_n=\int_{a}^{b}\frac{(f(x))^{n+1}}{(g(x))^n}dx
证明:I_1,I_2,I_3,...是递增序列,并且 \lim_{n\to\infty}I_n=\infty

A4.在一个班级里面有2N个学生研究一个问题,分数可能是0,1,...,10。每个分数至少出现了一次,并且平均分数是 7.4。
证明:可以将学生平分为两组,每组N人,并且每组的平均分数都是7.4。

A5.有n张卡片,分别写上1,2,...,n的数字,混乱的放在桌子上。三个玩家A,B,C, 依照A,B,C,A,…的次序,依次随机选择一张卡片 (每张卡片被选中的可能性均等)。当一个卡片被选中后,这张卡片和所有比它数字大的卡片都会被移除桌面,并且剩下的卡片会重新洗牌。首先选中数字1的卡片的玩家获胜。
证明:对于任何一位玩家,都有相应的n的数值范围,使得这位玩家在相应的游戏中获胜的概率最大。

A6.将二十面体的30条边,分别标记1,2,...,30。将每条边染上红色、白色,或蓝色,求满足下列条件的染色方法数量:20个三角形的面,其中两条边同色,另一条边异色?

B1.平面内两条不同的线段L_1L_2,
证明: L_1L_2 相交的充分必要条件是:对于每一个实数 \lambda \ne0,和每一个不属于 L_1L_2P,存在点A_1 \in L_1,A_2\in L_2,满足\overrightarrow{PA_2}=\lambda\overrightarrow{PA_1}

B2.假设N可以表示成k个连续的正整数的和:
N=a+ (a+ 1) + (a+ 2) ++ (a+k-1)k= 2017时可以满足,而其他的k >1的值则不能满足。考虑全部的有此性质的N,在所有可能的情况中,求出a的最小值?

B3.假设f(x) =\sum_{i=0}^{\infty}c_ix^i,其中的每个系数c_i是 0 或 1。
证明:如果f(\frac 23) =\frac 32,则f(\frac 12)一定是无理数。

B4.计算表达式的值:
\sum_{k=0}^{\infty}(3\cdot \frac{ln(4k+2)}{4k+2}-\frac{ln(4k+3)}{4k+3}- \frac{ln(4k+4)}{4k+4}-\frac{ln(4k+5)}{4k+5})=
3\cdot \frac{ln(2)}{2}-\frac{ln(3)}{3}- \frac{ln(4)}{4}-\frac{ln(5)}{5}+3\cdot \frac{ln(6)}{6}-\frac{ln(7)}{7}- \frac{ln(8)}{8}-\frac{ln(9)}{9}+

B5.平面内的一条线如果将一个三角形分割成面积和周长都相等的两个部分,称这条线为等分线。找出正整数a > b > c,其中a尽可能的小,满足:存在一个三角形,边长分别是a,b,c,并且这个三角形存在两条不同的等分线。

B6.求出有序64元组(x_0,x_1,...,x_{63})的个数,满足:
x_0,x_1,...,x_{63}都是集合\{1,2,...,2017\}中的不同的元素,
并且x_0+x_1+ 2x_2+ 3x_3++ 63x_{63}可以被2017整除。

美国普特南数学竞赛题(1)
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