【人物】数学家丘成桐

作者:丘成桐 数学与人文

今天,我想讲讲我自己做学问的经验。很多中国研究人员做研究的方法并不见得是最好的。我发现有些年轻人在国内做研究并不杰出,但在国外却做得很好,这是很值得思考的现象。所以,我想讲讲我自己的经验,包括我对数学的看法,让大家参考一下。

做学问最重要的是要有热忱,要有求真的精神,但这种精神是需要花功夫去培养的。我们在对自然界作深入的了解,或是寻找数学问题解答的时候,都会碰到不同的现象和观念,真和美却是始终如一的,发现大自然的真和美是做学问的终极目标。但是追求真与美却需要无比的热忱,我们在做学问的路上会碰到很多不同的困难,假如没有热忱的话,就没有办法继续走下去。知道自己追求的目标无误,热情才不会消减。所以要做大学问,一定要想办法培养自己追求真和美的热忱。
几天前我读父亲的遗作,其中提到屈原说的话:路曼曼其修远兮,吾将上下而求索。做大学问的路很长很远,我们一定要看得很远,才能够成功,因此我们要上下去求索,要想尽办法去求真。如何去寻找真与美,并且能够始终不断地坚持下去,是我们成功的一个重要因素。

一个活跃的科研团队,往往要和其他团队激烈竞争,尤其是实验科学的研究,可以说是分秒必争。当一个重要的科研题目出现的时候,大家都知道其他团队也在做同样的问题,研究团队会聚在一起,往往工作到深夜,甚至整个晚上不睡觉。他们一致的目标,就是比人家快一点,早一点将实验做出来,早一点发表文章,这样做固然是一个同行竞争的激烈场面。只要是光明正大的竞争,这是健康的,无可厚非的。另一方面这也是因为求真的热忱在鼓舞着他们,激励着他们不要松懈。否则的话,已经有终身教职的研究人员没有必要这样拼命,他们愿意这样做,热忱的求真求美的精神是其中一个重要的原因。
做研究的道路有时是很漫长的,我们需要在研究低潮的时候还能够坚持做下去。很多做研究的人,觉得自己若不在世界科研中心的地方,便做不出重要的研究。可是有些人在科研最负盛名的地方做研究,也不敢去碰困难的题目。这种现象有很多不同的原因,等一下我们再慢慢谈,可是我想最要紧的是基本功夫没做好。在我们上中学、大学或者在研究院做研究生的时候,基本功夫都要赶快培养好,很多学生在年轻的时候没有将基本功夫做好,以后做研究时就很吃力。

另一方面,现在大家都喜欢谈应用数学,其实大部分应用数学的主要工具和想法都是从基础数学来的。但是很多学生认为,他们既然是学应用数学就不用学基础数学,或者是学应用物理就不必学理论物理了,这是很大的错误。其实没有基础数学和理论物理的支持,应用科学不可能有重要的突破。

基本的功夫一定要在做学生的时候学好,为什么呢?在这一段时候,我们会愿意去做习题,并且会大量地去做,这是学习基本功夫的必要过程。

我相信很多本科毕了业或是拿了博士学位的学生,读书时不会再去做习题,遇到一些比较复杂计算时,也不愿意仔细地去计算,殊不知很多基本的想法就是从复杂的计算里面领悟出来的。一项研究,最终只看到很简单、很漂亮的结果,但是中间可能经过大量的计算。好的研究不是一朝一夕得来的,往往做了一百次的计算,九十九次都是错的,最后一次才是成功的。但作者只会宣布成功的结果,不会告诉你他九十九次失败的经验。

错误的经验往往是很好笑的,很多错误要在做完题目的时候才发现。有些错误其实是很明显的,可是当作者描述自己的结果给别人听的时候,不会讨论错误的那部分,一方面作者可能不知道自己的错误在什么地方,一方面发生错误的地方可能很模糊,讲不清楚。其实了解到自己如何犯错后,我们的眼睛会更加明亮,犯错的经验反而会帮助我们了解问题,让我们找到新的方向向前走。其实能够得到错的结果,已经是很不错了,因为很多初学者连怎么着手做题目都不知道。譬如说,你给我一个化学题目,该从什么地方入手我都没有头绪,因为我没有掌握任何化学的基本功夫。

一个好的数学家至少要掌握两门以上很基本的功夫。数学有很多分支,如代数、分析、几何等种种不同的方法,我们在中学的时候就开始学。有些人喜欢几何,觉得代数没有什么意思不想学,或者是学代数的人不想学几何,各种想法都有,可是最后我们发现,真正做数学研究的时候全部方法都需要用到。

有些人做了数学中某个特殊方向的题目后,就把全部精力,去继续做这方面的工作,不去做其他题目了。少数学者能够精益求精的做出深入的工作,但是大部分人却只能在同一个方向做一些琐碎的工作,连原来那方面的问题也不见得做得好。数学不停地发展,不断地改变,自然界提供给我们的问题,不会因为你是几何学家就持续不断地提供几何方面的问题,而往往是与几何结合在一起的。这些题目需要用到其他工具,如果我没办法去了解,就比其他人吃亏了。

例如,数学中有一门很重要的学科叫“群表示理论”,很多高校不教这门课,可是它在许多应用科学与理论科学中都要用到。很多著名数学家和物理学家都能够熟练地运用“群表示理论”来分析问题。假如我们没有学过这些办法,就吃亏了,这是基本功夫没有做好的缘故。在中国,“群表示理论”大概是进了研究院或者大学后半期的时候才开始学习的。中国数学家在这方面的训练不够,因此在应用群表示论时不如国外学者,由此可见基本学科一定要学好,同时要很早就学。

我们学数学的不单要学数学上的基本功夫,也要学物理上的基本功夫,同时在大学时就要学。力学、电磁学和量子力学我们都要有一定的了解,近几十年物理跟数学越走越近,很多数学问题是物理学提供的。假如对这些基本的观念完全不了解的话,我们看题目就比不上懂得这方面的学者,他们能够很快地融会贯通。理论物理、应用数学或其他的科学引发出很多数学问题,它们甚至提供了这些问题的直观看法和解决方法。数学中有很多悬而未决的问题,往往因为其他科学带来的想法而得到解决。假使我们从来都不接触其他科学的话,就完全落伍了。

举个例子,代数几何学这七十年来有了长足的发展。可是到了近三十年,一些古典方法无法解决的问题,理论物理却帮助我们看到以前看不到的地方。由于本身知识的局限,很多代数几何学家遇到这些困难的时候,没有办法接受这些专家的看法。可是物理学家却确实指明解决一些代数几何问题的方向,代数几何学家又觉得很难为情,因为他们不懂物理学,没有办法去了解他们的想法,这是一个很令人困扰的现象。假使我们年轻时不肯学物理学上的基本功夫,就没有能力接受这些新的挑战。

记得我看过一本 Joseph Wolf 写的书,在序言里,作者感谢芝加哥大学的代数学 Adrian Albert,为什么感激他呢?作者说:“Albert 教我代数,使得我坐下来的时候,看到代数的问题不会恐慌,使我能够有信心地去解决这些代数上的问题”。我们的基本功夫能不能做到如此,就是当看到数学的问题时,能不能够坐下来有信心地去想办法对付它,我想这是做学问很重要的过程。我们往往看到数学问题时,恐慌得不晓得怎么办,因此就放弃了,我想大家都有这个经验。做基本功夫一定要做到看一个题目时,即使是历史上未解决过的问题,你还是可以坐下来,花工夫想办法去解决它。即使你不能够解决它,你至少要有一定的想法去对付这个问题,不会恐慌或放弃它,我想这种训练是最重要的。往往我们因为基本功夫没做好,当一个深奥的题目出现的时候,我们拒绝去接受它,认为这些题目不重要,这是能力有缺陷的学者解释自己为什么不能去做某些问题时最常见的想法。结果是“重要的问题来了,却眼睁睁地看着别人解决它,自己却无能为力!”。著名的物理学家泡利(Wolfgang Pauli)就曾经说过这样的话。爱因斯坦是个伟大的物理学家,但是他不懂得几何的想法,他找同学 Marcel Grossmann 帮忙,才知道黎曼的重要工作,否则广义相对论发展不出来。

训练基本功夫要在中学生、大学生或研究生的时候。怎样学好基本功夫呢?有时看完一本书后,就将书放在一边,看了两三本书后就以为懂了,其实单看书是不够的,重要的是做习题,因为只有在做习题的时候,你才能知道什么命题你不懂,也理解到前人遇到的困难在哪里。习题不单在课本里找,在上课和听讲座时也可以找得到。

很多学生上课的时候不愿意做笔记,三十年前不做笔记的话根本不可能去念任何学科。尤其是有时候讲者讲的题目根本不在书本里,又或者是还没有发表的。现在有了电脑方便多了,但是笔记还是重要的。通过手写的经验比看电脑来得扎实。我常觉得很奇怪,为什么学生不做笔记?他认为他懂了,其实明明不懂。因为可能连讲课的人自己都还没搞懂。听讲的人不愿意去做笔记,也不愿去跟演讲的人谈,或去跟其他老师讨论,这是很可惜的事情。

基本功夫的另一个训练就是要找出自己最不行的地方在哪里。我们在学习“群表示理论”的时候,会遇到一大套抽象的理论。单看抽象的理论是不够的,在应用时往往要知道群表示是怎么分解的,你不能够将它写下来,漂亮而抽象的理论对你一点好处都没有。又例如,在研究微分方程时,往往会遇到方程式的估值问题,你有没有真正了解其中的方法,就全靠你的实际计算经验,不是光念一两本书就足够的。

记得我的儿子在中学时学多项式的因式分解的问题,老师教了他一大堆怎么分解整数方程的方法。他学得很好,也学了怎么找根的方法。可是有一次考试时他就是不知道怎么做因式分解。我跟他说,你明明晓得怎么找根,为什么不能够做因式分解?主要是他学的时候没想到找根与因式分解是同一件事情。问题就在于训练基本功夫的时候,要去想清楚数学命题间的关系,以及为什么要解这些命题。

我们去看很多人写的前人的历史,写了很多很漂亮的介绍和批评。可是你自己没有经历过这一条路的话,事实上很难了解困难在什么地方,为什么人家会这样子想。要得到这个经验,不单要做习题,还要做比较困难的习题。做困难的习题有什么好处呢?困难的习题往往是几个比较基本的问题的组合。我自己看书的时候,常常会一本书一下子就看完了,觉得很高兴,因为看完了。可是重新再看,还是觉得什么都不懂。我想大家都有这个经验,主要的原因是什么呢?我们没有学好这学科,做比较困难的题目的时候,就会束手无策。

我们做一些题目的时候,往往觉得似是而非,在脑子里面想,以为已经懂了,可以解决了,就一厢情愿地想这个问题已经解决了,于是很快地看完那一本书,事实上这是欺骗自己,也不是训练基本功夫的方法。一个好的题目,你应当坐下来,用笔写下来,一步一步地想,结果你会发现很多基本的步骤你根本没有弄清楚。当你弄清楚的时候,你去看你以前需要的定理在哪里,怎么证的,我想你就会慢慢了解整个学问的精义在哪里。

所以说,动笔去做题目是很重要的,我们做大学生的时候还愿意做这个事,往往做研究生的时候,就不会动手去做了,毕业以后更不用讲。一个题目在书本里,我们以为自己懂了,有些是很明显,但有些是似是而非的,好像差不多了,事实上不是,里面有很多巧妙的东西。我们一定要动手去做,才知道这些巧妙的内容在什么地方,我们把基本功夫搞得很扎实以后,就会发现书里面很多是错的。能够发现书本里的错误时,你的基本功夫就不错了。我们这个时代的学生不看课外书,连本学科的教科书也不看,很令人失望。

做研究时,自己要去找自己的思路。单单上课听听,听完以后不看书,做几个习题就算了,怎么做都做不好。因为你没有想自己的思路要怎样走。我念大一到了一半时,刚开始了解到数学严格化的过程,觉得很兴奋。从逻辑去看,所有数学命题都可以一点一点地推导,从前有些几何或分析上的问题,我发觉都可以将它们用逻辑的方法连接起来,所以很高兴。

我讲这个事情是什么原因呢?我觉得现在很多大学生或研究生对于宏观的数学看法并不热情,只是看到课本上有些题目,能够做完它,就觉得很滿足,而没有去想整体数学,整体几何,或者整体代数的内容。我们需要研究的是什么事情?我们需要追求的是什么对象?考虑这些事情其实并不会花你太多时间,可是你要有一个整体性的想法。整体性的想法是非要有基本功夫不可的,就算很琐碎的事情,你都要晓得,以后才能对整个科学有一个基本的看法,一个宏观的看法。

现在谈谈我个人的经验,记得念中学的时候我学了平面几何。大家都知道平面几何很漂亮,我也觉得很有意思。书本上的平面几何的问题,大概我都懂得怎么做,可是我觉得还是不太够,所以我将很多基本的几何问题连在一起,之后开始慢慢想,去发现一些书本没有的问题,去想书本的方法能够有什么用处,是不是大部分平面几何上的问题都可以用我知道的定理去解决?

上初中的时候,我想过一个问题,我发觉自己没有办法去解决它。我花了很多工夫去想,看了很多课外书,最后在一间书局里很高兴地找到一本书,指出那个问题不可能用圆规和直尺来解决,这事实可以用代数的方法来证明。对这个问题,我花了一年的工夫,有过很多不同的想法,但完全不晓得圆规和直尺解决不了这个问题,因此看到人家将这个问题解释得很清楚,就觉得很高兴。那时候我还是初中学生,并不了解伽罗瓦理论,所以不太搞得很清楚它是怎么证明的。可是我至少晓得有些问题是不能用圆规和直尺来解决的。也因为经过很长的思考,所以我对这类问题有所了解,也开始欣赏到做数学的精义。

我想,做习题或研究,最好花些工夫去想想这些问题的来龙去脉,也多看一些参考书,这对你的帮助很大,因为数学无非是很多方法放在一起去解决很多不同的问题,我们需要很多数学作工具。了解到已知方法的局限性后,对学习新的基本功夫有很大的帮忙。基本功夫是工具,不是终点而是起步。基本功夫没搞清楚的话,没有办法去判断某种学问好,某种学问不好。即使大物理学家批评数学的发展时,也会产生错误的结论。最近看到海报上某个数学院士在基本的线性代数上做了一些小文章,却大言不惭地说他改变了量子力学百年来的大问题,真叫人啼笑皆非。

记得我从前在香港念大学的时候,当时的环境比现在差很多,图书馆根本没有什么书,也没有什么很好的导师,但是还是看了很多课外书,也看了很多不重要的文章。但现在看来浪费了一些精力,这是眼界太浅,坐井观天,不知数学的发展与方向的缘故。以后我到伯克利,也看了很多文章,得益良多。但是我不后悔当年的努力,毕竟我可以做一个对比,知道什么叫做好文章,什么叫做不好的文章。总之,开卷有益,总是至理名言。

伯克利实在是一个好地方。一方面当地图书馆收藏丰富,一方面有良师益友的交往,心中开始建立对数学的看法。我念中学的时候,有一位中文老师说:好的书要看,不好的书也要看。数学里面不好的书我也看,你可能奇怪为什么不好的书我也看。我是觉得,你一定要晓得什么是好的书,什么是不好的书,所以你看文章的时候,一定要搞清楚这个作者写的文章并不见得是了不起的。有些作者,你晓得他的著作是了不起的可以多看,可是从不好的文章里面,你也可以看到许多现代的发展。因为有时候从简单的写法里面,反而会看得比较容易一点,可是一定要记住他里面讲的命题并不见得是有意思的,我们要运用自己的大脑去深入思考。可是这些文章的组织还是有的,它们往往也会引用有名的文章,介绍它们的内容,所以还是有一定的好处的。这是我自己的经验,我的建议是大部分的时间看大数学家的作品,小部分时间浏览一般作品,并作比较。

我读研究生的时候,从早到晚都在图书馆里面看期刊、图书。当时伯克利的研究生没有办公室,这很好,整天在图书馆里面坐。几乎主要期刊的文章我都看过,看过并不表示仔细地看,但至少有些主要的定理都看过。当时大部分都看不懂,看不懂没有什么关系。往往你要花很多工夫才能够在细节的部分搞清楚一篇好的文章,因为你第一眼看得懂的文章并不见得太好。并不是讲一定不好,简单的文章有时也有创见,多看文章让你晓得当时的人对于哪一个方向的问题有兴趣,这对你有很大的帮助。

很多学生跑来问我问题,我跟他讲某某年有谁做过、做到什么阶段。他们听了很惊讶,为什么我晓得?没有谁讲给我听,是我自己在文章上看到的。这很重要,因为你做研究的时候,你要晓得什么人做过、解过哪些问题,这对你的帮助很大。因为往往做研究的时候,你需要晓得的只是谁做过,和在什么地方可以找到这个方面的文献,有了这个以后,你可以跑回去找这个文献。甚至你只要晓得哪一年代谁碰过这个问题,对你也有很大的好处。

有很多名家的文章往往比人家做快一步,就是因为他晓得谁做过这件事情,他可以去找这方面的文章,或者去找某人帮忙。否则的话,做数学研究的有几万人,你根本不晓得谁做过这个方面的问题,谁没有做过。所以在这方面多看一些人家做过的问题,无论出名的文章也好,差的文章也好,都看一看。我当然是建议你多看一些出名的文章,因为差的文章等于是消遣性的,像看武侠小说一样,看完就放在一边。等你有追求的热情以后,慢慢地再将不同的看法放在一起。到了这一步以后,我觉得你可以开始找自己的题目,因为你开始晓得整个数学界主要在考虑什么问题。

一个好的数学家怎么找自己的问题是很重要的,当然有不同的找法。有些人要发展一套理论,有些人要解决难题,理论的目标最后还是要解决问题的,所以解决重要问题是发展一般理论中一个很重要的一环。

举例来说,像庞加莱猜想,它是三维拓扑中最主要的猜想,我们晓得前人花了很多心血去解决它,有很多不同的尝试方法,各自形成一个气候。这个命题已经变成一门学科而不再是一个独立的问题。这是三维空间的结构问题,需要彻底解决此猜想才算圆满。另一方面为什么有些人对庞加莱猜想有兴趣,对其他问题兴趣不大,那是因为它是公认的难题。我想选题方面每个人有不同的看法。我有很多朋友是很出名的数学家,他们只想解决出名的问题,我认为这不见得是最佳的选题方法。在数学上,我们应该有宏观想法,思考整体数学的目的在哪里,应当解决什么样的问题。

你们可能都念过王国维讲的做大学问的三个阶段,第一阶段是晏殊说的:“昨夜西风凋碧树,独上西楼,望尽天涯路。”这是王国维讲做大学问的第一个阶段,要解释这一段话,我要再说明基本功夫的重要性。

如果基本功夫没有做好,你根本望不远。你叫中学生去望尽天涯路,根本是不可能的事,最后只能是讲一些空话。对数学或者科学的历史不了解的话,你根本没有资格去谈以后的事。否则,得出来的结果一般来说不会太过深入。

有些研究生,我觉得比较头痛,教他做一个小题目,做了以后,他一辈子不愿意放弃原来的想法,不停地写小文章,写了文章当然可以发表,对某些年轻人来说,他认为这样子很好,不想重要的问题,今天能够写一篇小文章,明天能够写另一篇小文章,就可以升级,假如写不出来的话,生活上会受到困扰。这都是对的,可是你真要做一个好的题目,其实也不见得那么难。一些研究生的论文是历史上有名的著作。为什么他们能够花三四年的工夫,做出那么出色的工作?他们也是从不懂到懂,然后还要再向前进。

所以真要做好的题目,并不是像你想象的要花很多很多的时间才能够做到,问题是你的决心怎么样。昨夜西风凋碧树,就是说你要望很远的话,要将前面小的树去掉,才能看得远。假如我们眼界里面看的都是小题目,永远都看不远。我们要懂得怎么放弃这些渣滓,才能够做一些好的题目,我想这是一个很重要的事情。你不愿意放弃你明明晓得不会有前途的问题,就永远做不到好的问题。这是一个困难的选择,如果你觉得要毕业、升级,而不愿放弃你明明晓得不会有前途的问题,那你永远不会成就一个大学问。

我记得刚学几何学的时候,当时流行度量几何,所有工具都是从三角比较定理来的,我始终觉得对几何的刻画不够深刻。后来我和我的朋友以及学生开始做一系列用微分方程做工具的几何研究,我也很庆幸当时愿意放弃一

我们选题的时候,可以跟出名的数学家、导师讨论或者从书上去看,可是最后的思考一定要有自己的想法才能做成大有规模的学问。没有自己的想法,始终跟着人家走,是没有办法做好学问的。我讲了这么一大堆,就是希望你们把基本功夫做好,要晓得这一门学问里的不同命题。就像你去买货,你要晓得百货公司里面有可能出现什么东西,然后才去挑。

我记得我父亲批评五四运动的健将们,提出的口号是要打倒孔家店,其实他们还没有搞清楚店里卖的是什么货色。这一点和很多批评基本科学的学者,有异曲同工之妙:有些人从来没有搞清楚什么是基本科学,有些人认识的基本科学已经过了时,五十年前的学问了。

王国维谈学问的第二阶段是柳永的诗:“衣带渐宽终不悔,为伊消得人憔悴。”寻找真理的热情就如同年轻的恋人对自己对象的追慕,那是很重要的事。

在追求一个好的命题的时候,中间要花很多工夫,有时候甚至是很痛苦的。可是我们只要晓得,最后的成果是值得的,我们就会花很多工夫去做,就像爱情一样。很多年轻人找对象时,朝思暮想,但做学问却没有这种态度。假如你对做学问没有热情、没有持久力的话,你就不可能做成大学问。战国时屈原的楚辞也说过:“亦余心之所善兮,虽九死其犹未悔”,他的话比柳永说的更来得彻底。

王国维讲的第三阶段是:“梦里寻他千百度,蓦然回首,那人却在灯火阑珊处。”这是辛弃疾的词句,基本上我们做学问时都有这种感觉。我们完成一篇好文章的时候,总会有这种感觉。我们花很多工夫做一个好的命题,有想法的时候,总会考虑这个想法对不对。有时候晚上睡不好,想得很辛苦。有时候想得辛苦了,就一睡睡很久。假如做学问有这样的热情,就会解决很多意想不到的问题。

我们做学问跟一般人谈恋爱一样,有时候不一定看到一个固定目标,而是看到其他。就像我刚才说的,我们要解决庞加莱猜想,即使最后还没解决它,可是解决了其他的命题,这是数学历史上常常有的。每一个人都有这个经验,你明明是想要解决这个问题,结果却解决了其他的问题。这是因为我们做这个题目的时候,不晓得走法对不对,可是将工具全部搞清楚以后,基本的想法、有意思的想法搞熟以后,就可以解决很重要的问题。

在这条路上走的时候,思想不要太顽固,你要知道还有其他有意思的问题。你发展了一套想法以后,往往有其他的问题你刚好可以解决。因此你要知道,你在整个做研究的过程中,眼睛要睁开。眼睛怎么睁开呢?很多学生不愿意去上讨论班,也不愿意去听别人的讲座。不听讲座就不晓得人家在做什么东西。明明你的方法可以解决他们在做的问题,但你眼睛闭起来,看不到,这是一个很大的问题。很多学生尤其是中国学生,说这个讲座与我的论文无关,不愿意去听、不愿意去看、不愿意去跟人家来往、不愿意去跟人家谈。结果你做的论文可能不是你能解决的问题,可能你的方法刚好可以解决人家的问题。因为你不愿意去听、去看,你就解决不了任何问题。

一个人的思维有限、能力有限,你不可能不靠人家的帮忙。什么是人家的帮忙呢?一方面是看文章,听讲座,一方面就是请教名家。你自己去请教别人的时候,百分之九十五的时候人家不晓得你在做什么,也不可能提供给你直接的意见。假如能够直接提供给你意见,帮你直接地解决问题的话,那么你的这个问题不见得是很重要的问题。可见你刚开始没有搞清楚这个问题有多重要。但不要紧,多请教别人总是有好处,至少晓得这个问题有多好,还是不好。假如你怕发问,就在讲座或讨论班的时候要多听,多听对你的好处多得不得了。因为即使你听不懂,至少也晓得最近人家在做什么问题。你可能觉得莫名其妙,可是事实上却开阔了眼界,这是很要紧的。所以能够有机会尽量去听不同的课,对你是有很大的好处的。念纯数学的也应当去听应用数学或物理方面的课。听讲座时,即使放松一些,也没有什么关系,反正总比在家里面无聊或看电视好。

下面谈谈现在学者做学问的三个阶段。

中国的小孩子,受到父母的影响,中学以前以得到奥数金奖为人生目的,事实上奥数并不全面,我从前训练过一位两次奥数金牌并且满分的学生,基础不够全面,终究不能成才。

现在的学生进入名校以后,不是想出国,就是想走一条会赚钱的道路,真正有志于做学问的学生其实不多。毕业以后在学校工作的学者希望弄个帽子,没有帽子就以为天塌下来,一生没有前途了。有了帽子,剩下来的目标就是竞选院士,院士是中国学者的终极目标。做了院士,就真的有学问了,坐在台上高人一等。谁都得对院士鞠躬,何等快意。

我发现不少中国学生在老师的带领下,有极为不良的风气。他们认为去听课是给讲课老师的面子,而很多学者又不愿意为学生上课。一些学问还未成熟的学者,居然认为自己是天王巨星,为学生上课,是二流的工作,他们不需要去做,甚至师范大学的教授也忘记了他们成为教师的责任!其实大部分中国名校教授负责教书的责任已经比美国名校教授的负担轻松得多。有一部分名教授的薪资亦不比美国教授的薪资逊色,而且开公司,腰缠万贯的名教授亦不算小数,但是抱怨要上课的却是不少。

在美国,大部分教授被邀请做数学讨论班的讲者,除了旅费外,很少再去收取大量的演讲费,这是因为讨论学术的目标是互相交流,大家都会得到科学研究交流的好处,不用过分地计较钱财。中国则不然,不单单要收费,还往往讨价还价,即使没有内容的演讲也在收费上作不合理的要求。这种不以学问为主,以名利为主轴的做法,已经对于学生学习的态度造成了极为不好的负面影响。

由于社会和国家对于院士,和有帽子的学者特别尊重,学者一辈子的志愿也不过如此,在这样背景下长大的孩子要成为一代宗师恐怕比登天还难。

我记得我做学生的时候,为了听一个一小时的演讲(不一定是名学者的演讲),我走路、乘车、乘船花两个钟头,从来不觉得浪费时间。可是现在有些学生往往睡在床上,打开手机,听网络上的演讲,但也还是心不甘,情不愿,有时连网课都不听。这样不良的风气,没有办法孕育一流的学者!当然还是有学者带着学生一起去参加讨论班的,希望他们能够坚持下去,毋忘初心,努力向前。学术气氛自然浓厚得多。

很多家长花尽全力要孩子进入美国名校,殊不知,名校的优势,除了学习最前沿的知识以外,就是学习研究和做人的态度。有些富豪却不重视后者,甚至鼓励孩子炫耀自己家中的富贵权势。

其实,古人读书的态度还是有很多值得学习的地方。唐朝韩愈说:“将蕲至于古之立言者,则毋望其速成,毋诱于势利,养其根而俟其实,加其膏而希其光。根之茂者其实遂,膏之沃者其光晔。仁义之人,其言蔼如也。”这确是做大学问的基本态度。

如何养其根?除了上述要多看多读外,还要多问。中国家长一般不喜欢孩子没有礼貌,不许随便发问。上课时,有如一潭死水,和美国名校的态度刚好相反。我听说犹太人教育小孩,从两三岁开始,每日必须要问一个问题。有了这个习惯后,才能够寻根到底,找到事物的根源。我想我在数学上比较成功的原因是因为我从小就习惯于问问题,问题支持我的好奇心,有了强烈的好奇心,做学问会无往而不利。加其膏则是不断地多读书,多和学者交流。

至于创新,我们可以参考韩愈的说法:

当其取于心而注于手也,汩汩然来矣。其观于人也,笑之则以为喜,誉之则以为忧,以其犹有人之说者存也。如是者亦有年,然后浩乎其沞然后矣。吾又惧其杂也,迎而距之,平心而察之。其皆醇也,然后肆焉。”

要创新,必定能够专心于学问本身而不是处处关心别人的评论,多拿两顶帽子而已。就如酿酒,其皆醇也,才能够见到新的境界。

爱因斯坦在 1934 年他发表的题为《Notes on the origin of the general theory of relativity》的论文中,回顾了广义相对论的发展。

他曾说:“I was of course acquainted with Mach’s view, according to which it appeared conceivable that what inertial resistance counteracts is not acceleration as such but acceleration with respect to the masses of the other bodies existing in the world. There was something fascinating about this idea to me, but it provided no workable basis for a new theory.

爱因斯坦认为有些哲学的观点对他有帮助,也很有趣,但对于发展他的引力的新理论没有提供可操作的基础。在建立一个有实际用途的理论时,没有具体有效的基本工夫是不行的。事实上,爱因斯坦在建立广义相对论时,他知道的数学工具远远不足!只有找他的同学 Grossmann 帮忙。挣扎了好几年,以后还找来当时最伟大的数学家希尔伯特(David Hilbert),才完成了引力场的方程。

空谈哲学是不够的,最终还是需要脚踏实地才能完成深厚的学问。很多学术界的大人物年纪大了,不去参加讨论班,知识慢慢淡薄,没有办法做出有意义的学问了,我们可以尊敬他们,但是不见得要走他们建议的研究路线。

举例来说,爱因斯坦一直怀疑量子力学,花了不少工夫去找量子力学的毛病,他还算年轻时,深思熟虑,结果做出了量子纠缠的伟大贡献。但是当他年纪大了以后,和他直接交流的年轻科学家已经不多,他既没有加入量子场论的研究,也没有去了解当时在高等研究所做研究的陈省身先生发展出来的规范场理论,所以他没有足够的工具去完成他晚年梦寐以求的统一场论。

直到今天,统一场论还是物理学上最重要的难题。大家的共识是,统一场论需要大量的物理和数学的工具,不可能是一时一人能够完成。但是很多年纪大的物理学家,忘记了现代物理学已经进步到了一个境界,需要大量的现代数学而并非是普通的组合数学就足够应付的学科,但是他们往往凭着自己几十年前的知识来论断一些崭新的学问。有人认为,西方大学很注重通识教育。望得远,看得深,确是重要的事情!

但是有意义的通识教育需要在前沿工作的教授指导下,才有意义。在哈佛大学一年级有个 freshman seminar,总共有一百多班,每班十二个同学,指导的教授都是在前沿工作的学者。内容多姿多彩,对学生确有益处。但是坦白说,中国目前的高校没有足够的师资来做这件事。我认为不在前沿工作的教师强加在年轻学子自己过时的观念,非但无益,而又害之!一般来说,年纪老迈的学者喜欢空谈,正如爱因斯坦说的,马赫(Ernst Mach)对于引力的观念确是很漂亮,但是要完成一个完整的引力理论,这种哲学概念没有具体的好处!

最近有人建议减弱基础科学的学习,转型去学习一些科学哲学,他们认为这样做才能培养学生做大学问,是一流大学的重要关键。但是细细推敲后,我发觉这是削足就履的做法。事实上,中国缺乏真正有能力的科学哲学家,过分强调某人的特别观点,恐怕会产生香港通识教育这二十多年来不教历史而只学一点模糊不清的通识的灾难性错误!我看在现在的阶段,年轻人还是脚踏实地去学好基础,由自己去摸索科学的哲学观点比较重要得多。有结实的基础以后,再互相讨论,一同摸索会产生更好的结果。

在中国现阶段的情形下。如何去培养好数学家的胸襟,确是重要的。一般的中国数学家缺乏宏观的科学观,他们的心灵已经被种种帽子和院士的荣誉束缚,对于大自然赐予我们的真和美,已经模糊不清。从哲学,文学,音乐等都可以启发我们,让我们的心灵和对大自然的真和美的直觉发生共鸣。能够引起共鸣的作品水平必须要高尚,中国古代文学水平极高,诗词歌赋,古文小说史书都能摇荡人心,都可以学习。数学史积聚了先贤的想法,尤其是文艺复兴以来的数学家,值得我们学习的极多,不幸的是中国谈数学史的不懂近四百年来数学的发展,他们谈的历史对于我们研究近代数学毫无裨益。我们要花更多时间去组织研究近代大学者的历史和思想源流。

我本人受到我父亲的影响,在心情绷紧时,喜欢用中国文学和中国历史来陶冶轻松一下。父亲在他的一本书《西洋哲学史》引了文心雕龙中一段话:“嗟夫,身与时舛,志共道申,标心于万古之上,而送怀于千载之下”。古文学、古代史让我与古人神交,吸收到了他们的风骨气概,比较登高楼看得更远、更阔。古人的成就激励了我的志向,衷心地希望学业会有成就,能够送怀于千载之后。我读诗经、楚辞、汉赋、五言、秦汉古文,朗朗上口,往往情不能自己。自然之美,慷慨之情,油然而生。读左丘明国语,读太史公书,彷佛与古人游乐,凛凛有生气,不会觉得自己是吴下阿蒙,与日月并驰矣。

现在来谈谈个人做研究的经验。

我的专业虽是数学,但是影响我学问取向的不单只是数学家。先父早逝,我十四岁丧父,但自念一生为学做人,受他的教诲最深。他早岁研习经济学,后转中国历史、文学和哲学。为了更深入了解中国哲学,他曾花了十多年去研究西方和印度的哲学。他的学生每星期都来我家聚会,围绕着他讨论学问,天南地北,无所不谈,兴高采烈。年幼的我一知半解之余,深深地感觉到做学问的乐趣。印象最深刻的要算是古希腊的哲学家,他们在自然科学和数学的成就对后世的影响巨大。这些先贤对学问看得透彻,每每从哲学层面提问,并且通过逻辑推论,得出重要的结果。我虽然对其中详情不大了解,但却认为古今伟人功业,莫过于此矣。

父亲教我古文,读叔孙豹说的“立德,立功,立言”三不朽,又读到史记孔子世家赞:“天下君王至于贤人众矣,当时则荣,没则己焉。孔子布衣,传十余世,学者宗之。自天子王侯,中国言六艺者,皆折中于夫子,可谓至圣矣。”我想这样子的人生才堪称伟大,“虽不能至,然心向往之”!

志向大则大矣,但要通济彼岸谈何容易!想我父亲为了研究中国哲学,花了十多年光阴研究西方和印度哲学。可见要干大事,必须要花工夫,做好严谨的准备工作。成长后从事数学研究,采取的就是这种态度。我对卡拉比猜想一见钟情,觉得能够完成这项工作,“死且不朽”!姑不论它真确与否,这种激情支撑着我,前后花了六年工夫去攻克它。

在这里,我需要指出,我选择卡拉比猜想这个问题,不是因为它有名气。事实上,我“泥足深陷“于这个问题时,我的老师陈省身先生说,数学上的猜测多如牛毛,你为什么要去做这个问题?陈省身先生是二十世纪伟大的几何学家。他在一九四五年建立的陈类是规范理论中最重要的概念,在理论物理中也举足轻重。即使到了今天,陈类仍然在科学论文中屡见不鲜,可谓流芳百世了。

陈省身陈先生研究几何从拓扑学入手,我则是从几何分析即偏微分方程的角度来看问题。陈类提供几何的不变量,卡拉比猜想则是通过偏微分方程来深究第一陈类,从而找到一类重要的几何物体,足以描述超对称空间中的物质分布。

为什么当时很多几何学者都对卡拉比猜想有兴趣?因为它使人们对空间的里奇曲率(Ricci curvature)有深刻的理解。曲率这概念在几何中至为重要,广义相对论在描述时空时就得用到它。我下了决心,无论卡拉比猜测是对是错,非解决它不可。

这猜想对空间的描述简洁得令人难以置信,很多人心生疑惑,认为猜想不可能成立。他们反对的理由是:假如这些空间存在的话,为什么这么多年来没有人找到它?开始时,我也是他们中的一员,只有几经挫折后,我才大彻大悟,对它深信不疑。正如孟子所说“自反而缩,虽千万人,吾往矣”。

坦白说,形成这样的信念不是容易的事。为什么呢?首先,我比大部分几何学家更熟悉非线性微分方程,我在研究院时曾经跟随摩里教授(C.B. Morrey)学习,他是这方面的大师。一九七三年我已经开始在这方向探索,做了一个梯度估值,得到另外一位大师尼伦伯格(L. Nirenberg)的赏识,因此有了信心。一九七三年我在石溪(Stony Brook)任教,当时石溪是度量几何的世界中心,很多人认为学习几何非要在石溪不可。但就如父亲对于哲学有自己的看法,我对数学也有自己的想法,度量几何虽说有趣,但稍嫌深度不足,要深入了解微分几何,必须另辟蹊径。当时学者热衷讨论空间的各种性质,但是几乎没有人研究这些空间的存在性。正如我们可以巨细无遗地描述一所房子如何华丽,但是最彻底的做法却是了解它的结构。为了盖好房子,我们既需要有一个整体的概念,又要研究各项细节,过程并不简单。

不久,我离开石溪大学到了斯坦福(Stanford),当时斯坦福没有几何学家,但是数学分析很强。我很幸运,在那里碰到两个年轻人,一个是李安(Leon Simon),另外一个是孙理察(Richard Schoen),他们成为我一辈子的朋友。我们互相交流,我从他们学到了很多有用的数学工具。我的老朋友郑绍远也从伯克利跑来,参与研究几何分析这门新兴的学问。

开始研究卡拉比猜想时,总是试图证明它不对,经过三年时间,才发现走了冤枉路。纵然如此,但我仍旧坚持将问题做下去。重大挫折后的反省,使我看到成功的曙光。正如韩愈所说:“苟余行之不迷,虽颠沛其何伤!”

成功不是一蹴而就的,校正了方向后,还要花上三年的努力,终于在新婚两个星期后,完整地解决了这个问题。有些媒体问我当时的感觉,我用两句宋词答复:“落花人独立,微雨燕双飞”。后来,我填了一首叫临江仙的词,描述我当时的心情。

临江仙(记七六年事)

宇形雾笼烟锁,
遍寻缱绻难持。
灵犀一点倩谁知?
落花人独立,
微雨燕双飞。
记得好事新谐,
笙调心印人依。
弦琴天籁寄相思,
大钧玄秘在,
物数竟同归。

注:余弱冠读书柏城,受业于嘉兴陈氏。少年气盛,意有所作为。遂不自量力,欲解宇宙之形,究天地之变。然而六年辛勤,终无所成。学然后知不足,思而后知殆。浩浩乎虽存大志,惘惘乎不知其所以。俟七六年秋,友云来归,夙愿得偿,心旷神怡。不旬日竟得灵犀,解估值之迷,见时空之雅致。仿若天人合一,抑亦精诚所至,金石为开乎?心结既解,诸学为通!分析几何,送怀于千载之后矣。今日情怀依旧,当年伴侣犹在。唯愿薪传有人,家国双兴,慰我平生也。

二零一四年七月十三日


我从研究生开始,就准备发展几何分析这门学问,也对基本物理学产生兴趣。我有一个信念,即自然界的大部分现象都可以由几何来描述,而几何图形,无论抽象或具体,都是弯曲的和非线性的。描述自然现象的关键在见微知著。古典的物理现象可以由微分方程描述。同样地,广义相对论认为时空的曲率决定引力场的变化,而爱因斯坦方程可以看作曲率的波动方程。因此我意识到非线性微分方程才是研究几何学的钥匙。我和才华超卓的同行、弟子一起努力,在前人的基础上发展几何分析,为数学开拓了一个新的领域。我们解决了一大批数学和物理学上的难题,卡拉比猜想仅仅是个开端。七八十年代,孙理察、Simon、Uhlenbeck、Hamilton、Taubes、Donaldson 等人的工作都可说是划时代的,大家载欣载奔,群策群力,促进了代数几何、数学物理、拓扑学的进展,可以说是无愧于先哲矣!

卡拉比猜想的解决,让人们对第一陈类的几何有了更深入的认识。那时我在 UCLA 数学系访问,刚好哈佛大学的 David Mumford 到了南加州访问,他是菲尔兹奖得主,当代几何学大师。他要给两个演讲,最后一个在加州大学尔湾分校,离我家两个半小时的车程。我当时正在想如何把卡拉比猜想用到代数几何上去,于是老远的驾了我的老爷车去听课。没有想到 Mumford 在讨论班中,指出俄罗斯代数几何学家的一个突破,并由此提出一个猜想,而这猜想竟是我给卡拉比猜想找反例时推导过的一个不等式!

我把结果告诉 Mumford,他很惊讶。当时我虽在微分几何已经崭露头角,在代数几何圈子却藉藉无名。回家后,我将想法写出来寄给 Mumford,并且指出同样的方法可以解决代数几何另外一个老问题,那是意大利数学家 Severi 提出的重要猜想。Mumford 找了专家验证无误,宣布以后,震惊了数学界。

这方法建立了一道由非线性微分方程到微分几何再到代数几何的桥梁。全新的观点解决了一连串数学上的难题,促使“核心数学家“对分析学另眼相看,这次成功使我士气大振。

我想,数学上有两个重要分枝也可以通过分析学结合起来,它们一个是拓扑学,一个是数学物理。

在那一年,我和伯克利的老同学 William Meeks 合作,用三维拓扑空间的方法解决了一个古典的极小子流形的奇异点问题。然后反过来,用极小子流形来解决三维空间的拓扑问题。紧接着我和孙理察用几何分析解决了广义相对论中一个古老问题:正质量猜想。

那是一九七七年的事。正质量猜想在爱因斯坦创造广义相对论时就出现了。爱因斯坦和希尔伯特都曾讨论在广义相对论中如何定义能量。这个问题的出现有很多原因,基本是由于引力场的方程式是非线性的,同时在一般的引力场中,没有任何的对称群作用。结果是古典物理学中定义能量的方法不能用到广义相对论上。

爱因斯坦花了不少工夫,在孤立的引力系统下,构造了大家都觉得满意的能量的定义。紧跟着的一个重要问题:是否一如其他物理系统,这个能量是正的?为什么爱因斯坦问这个问题呢?因为负能量的引力系统会导致整个系统倒塌,这样一来,广义相对论就不能够描述现实世界了。这个问题困扰物理学家多年,在很长的时间里,广义相对论每年的年会中,都有一组学者专门讨论这问题。一九五七年,某著名广义相对论学者宣称物理学家要正视引力场出现负能量的可能性!一九七三年斯坦福的国际几何学大会,邀请了芝加哥大学物理系的名教授 Robert Geroch 作报告,在演讲中他呼吁几何学家帮忙物理学家解决这个问题。

我就是在这场演讲中第一次听到这个问题的,然而苦思其中关键毫无头绪,直到一九七七年的秋天,和理察在伯克利校园散步时,才找到所需的一个重要不等式,从而建立了正质量猜想中的第一个重要情形。我们都很年轻,解决难题的门户稍开,就勇往直前,一年内引进了新的方法,彻底地解决了这个问题。当时广义相对论学家,其中包括我的中学同学,毫不相信,他率直地说:两个无聊的数学家,居然跑到我们地头大言不惭,你们究竟搞清楚了问题没有? 不久,相对论权威霍金说我们的结果有道理,他邀请我到剑桥去访问,见面交流,得益良多,而物理学家也不再轻视我们了。

一九七九年普林斯顿高等研究所聘请我当教授时,我年方三十,初生牛犊不畏虎,和年轻的伙伴在科学的广袤原野上奔驰,倍觉兴奋。“金弋铁马,气吞万里如虎”。很幸运的,遇见了两位年轻的博士后,一个叫 Gary Horowitz,他成为我的助理,另外一个叫 Andy Strominger,以后他们都成为美国科学院的院士。我也带领了一批出色的博士生,其中佼佼者叫 Robert Bartnik。以后他们在广义相对论的贡献,都是出类拔萃的。

英国科学家彭罗斯(Roger Penrose)和霍金的著名工作以前,古典广义相对论並没有完好的数学基础。当时新西兰相对论学者找到可以旋转的黑洞方程的解,他们随即证明在这些解中出现的奇异点是稳定的,从而奠定了黑洞理论的基础。但是黑洞如何形成,除了一般的猜测外,问题并没有解决。理察和我利用证明正质量猜想的办法,第一次严格地证明了当物质的密度在某个半径内足够大时,黑洞就会形成。

为了更仔细地描述这些深入的引力问题,一九八零年彭罗斯指出核心是找到拟局部质量的合理定义。几乎所有广义相对论的学者都考虑过这问题。Bartnik 首先提出一个很好的定义。直到十多年前,王慕道与我在 Brown–York 和刘秋菊及我的定义上完成了这项工作。这工作可以说是几何分析的重要成果。由一九七三年第一次接触到广义相对论的前沿,到如今差不多五十年了,跟着我们这个方向走下去的学者不在少数。近几年来,我和几位物理学和天文学教授在哈佛大学成立了黑洞研究所,参加者甚众,讨论极为踊跃。

二零二零年的诺贝尔物理学奖颁给三位研究黑洞的学者,其中一人为彭罗斯。主要是他了解黑洞形成的机制。一般讨论黑洞的文章都会说当物质密度太大时,星球会倒塌成为黑洞。彭罗斯虽然在黑洞理论有伟大的贡献。事实上,他并没有证明这个机制,这个机制是由理察和我在一九八三年首度完成的。

我和理察的工作吸引了很多物理学家的注意。一九八零年我在普林斯敦高等研究所当教授时,和大批物理学家来往,开讨论班。数学学院的同事说:“丘成桐忘记了我们正在和物理学院吵大架呢!”我不以为然。有一次,我告诉杨振宁先生说:“André Weil 是一个伟大数学家,脾气虽然很大,也会骂人,但是还是很可爱的。”杨先生说他看不到 Weil 有什么可爱的地方。

一九八零年,我和 Horowitz、Strominger 和 Witten 等人讨论时都说过,由卡拉比猜想构造出来的空间自然而又漂亮,又满足爱因斯坦的场方程,它们在物理上应该占有重要的位置,但是他们坚决不信。直到一九八四年,弦理论在理论物理中炙手可热,他们遂把这个空间命名为卡拉比-丘空间,一大批物理学家参与这个空间的研究,硕果累累,甚至反过来影响到数学主流的发展了。

刚开始时,建立弦理论的真空模型是当务之急。他们写下了一些条件,但是不知道满足这些条件的时空存不存在。他们记起了我四年前讲的话, Strominger 很兴奋地打电话给我。当时我正在圣地亚哥看望家人,在太太的办公室里欣赏 La Jolla 的蓝天碧海,听到这个消息,也兴奋莫名。紧接着 Witten 的电话也来了,他从东岸飞到圣地亚哥,和我谈了一整天。我向他解释这些空间的特征,及如何利用代数方法去构造它们,同时纠正了他的一些想法。

临走前,Witten 意味深长地提议我多花一些时间去研究这些空间。他说,六十年前量子力学刚刚起步,天下群雄并起,争相研究这门新学问,沾上边的都留名青史。言下之意,当前正是数学和物理千载一时难逢的时机,我们都未过四十,宝刀未老,当可大展拳脚!

一九八五年理论物理学家在芝加哥的阿贡国家实验室(Argonne National Laboratory)召开大会,很多杰出物理学者与会,我也被邀作一小时报告,解释卡丘流形的性质和构造方法。我指出,现在已经能够构造出十万个以上的卡丘空间,听众很是惊讶。为了满足物理的要求,我构造了一个刚好有三簇费米子(leptons and quarks)的空间。直到如今,这样的卡丘空间并不多。

就在这个时候,我和 Uhlenbeck 刚刚完成建造复流形纤维束上规范场的重要工作,我跟 Witten 说它应该和弦论有关,可他不以为然。过了一年,他和他的学生才发现这些规范场的重要性。

卡丘空间吸引了大批物理学家当然是很有意思的事情。他们从不同角度切入,和数学家互补互动,往往先行一步。他们从物理的观点得到一些全新的看法,甚至能解决逾百年悬而未破的数学难题

物理学家的研究手法与数学家有别。他们不在乎解题的严格性。在二流物理学家手上,这样做往往只能得出似是而非的结论。然而一流物理学家具有非凡的洞察力,结论却使人拍案叫绝,甚至能带出数学上崭新的方向。不过,他们的工作往往不甚严格,需要数学家去修正和完成。

一个重要的例子是卡丘流形中的镜对称理论。

一九八七年后有一段日子,不少弦理论学家由于没有很快达到他们的目标,开始灰心动摇。我却不这样看,反正这理论既有深度,又很漂亮,我就和学生及博士后继续推进。

一九八八年秋某天,我的博士后 Brian Greene 突然跑进我的办公室,跟我讲述他和另一个研究生的工作。他们发现每个卡丘空间都有另外一个卡丘空间与之对偶,两者的拓扑性质虽然不一样,但是产生出来的物理现象却是完全一样的。当时我极为惊讶,并不相信这大胆的看法。但是,物理同行开始做计算,很快相信它是可能的。更有甚者,他们给出一条漂亮的公式,足以解决代数几何学中一个古老问题。

他们的想法是利用量子场论。在推导的过程中,有很多地方都是凭直觉,并不严格,我提醒他们要谨慎从事。一九九零年一月,我在伯克利召开了一次大会,数学家和物理学家都来了。两位挪威数学家通过严格的计算得到一个结果,和物理学家利用上述公式得到的结果并不一致。我算了一次也没有头绪。数学家不相信物理学家,物理学家倒没有坚持,只是大家都找不出错在那儿。三个月后,挪威的朋友来信,说他们编的电脑程序有误,修正后得出的答案和公式得出的一模一样,大家都松了一口气。数学家开始大量地从事这方向的研究,其中一个重要的转折点是连文豪、刘克峰和我在一九九五年给出这条公式的严格数学证明,它有力地说明了弦理论的价值,足以解决了代数几何中的一个古老问题。同年,Strominger、Zaslow(我的博士后)和我提出了如何建构镜对称空间的方法。现在大家叫它做 SYZ construction,这个看法影响至今。

这二十年来,我和几个年轻学者在弦论有关的理论都很重要,一个和 Yamaguchi 合作,一个和傅吉祥做的工作,一个是和 Adam Jacobs、Tristan Collins 的工作。这些工作都有深度,对于几何学本身有重要影响。

这二十五年来,弦理论和数学的关系愈来愈密切,它们融合在一起,使得数学中表面上分枝的几个学科汇合,得到非凡的结果。我认为数学中最古典的数论也会和这些理论挂钩,数学和理论物理将会产生更多的火花!

但是一个极为重要的学问,是如何结合量子力学和广义相对论。这是个古老的问题了,它的发展途径还是极为艰苦,只要成功,就会大放光芒,我们拭目以待!

除了上述基础科学的研究外,这三十年来我也花了不少工夫研究应用数学,约在八零年代,我想研究一个膜在激烈振动时,不动的地方有多长。我发现计算高频率振动的膜并不容易,没有准确的算法。当时美国政府的基金希望我搞一些应用的工作。于是,我用政府经费聘请了一位从麻省理工学院(MIT)来的博士后,叫陆雅言的,开始做这种计算。在二维空间的结果还不错。以后有些人用我们的方法做计算,但是他们不大愿意提我们的工作。由于我们需要大型矩阵的计算,我们也在这方面做了研究。

在九十年代中叶,我弟弟丘成栋对于非线性控制理论有很大兴趣,我们合作解决了一个重要的计算问题。我认为这是一个有实用的工作。在差不多时间,在 Bellcore 的金芳蓉休假,到哈佛大学访问,和我开始长时间合作研究图论的问题,我们的观点仍然是利用几何分析的方法,参加的朋友有林勇、Alexander Grigoryan、Gabor Lippner、Paul Horn 等人。图论比我从前想象得有意思。由于近代计算机的发展,图论中出现不少有意义的理念,我们期待它有更多重要的理论。

在九七年时,哈佛大学念计算机的顾险峰原来的导师离开哈佛大学,他跑来找我做研究图像处理的问题,我建议利用古典的共形几何方法到图像学,这个观点以后成为图像学中重要的分枝。罗锋、雷乐铭、林文伟等人都有重要的贡献,可以用在医学和其他应用科学。这几年顾险峰和我又发现从前郑绍远和我在七十年代做的几何方法可以用到人工智能理论上。

总的来说,数学是理论和应用科学之母,在研究数学、及数学和其他科学的关系时,可以窥见天地做物之美,科技之用。当政者不可不知,为人父母者不可不见。

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