【文摘】数学趣题汇编(17)

1.已知共有12个剧团参加一次为期7天的戏剧节,要求每个剧团都能看到其他所有剧团的演出,当天没有演出任务的剧团在台下观看,问最少共要演出多少场?

2. 求所有的由四个正整数a,b,c,d组成的数组,使得数组中的任意三个数的乘积除以剩下的一个数的余数都是1。

3. 对于两个凸多边形S,T,如果S的顶点都是T的顶点,称S是T的子凸多边形。
(1)求证:当 n 是奇数时(n\ge 5),对于凸n边形,存在m个无公共边的子凸多边形,使得原多边形的每条边及每条对角线都是这m个子凸多边形中的边;
(2)求出上述m的最小值。

4. 设a_0=1994,对任何非负整数n,a_{n+1}=\frac {a_n^2}{a_n+1}
求证:1994-n 是小于等于a_n的最大整数,这里0\le n\le 998

5. 在某个城市,用实数计算年龄,不用 整数。每两个市民x和x’或者互相认识,或者互相不认识。此外,如果他们互相不认识,那么一定存在一群市民x=x_0,x_1,...,x_n=x',对某个整数n\ge 2,使得x_{i-1}x_i是互相认识的。在一次人口普查中,所有男性市民公布了他们的年龄并且至少有一个男性市民,每个女性市民只提供了以下信息,她的年龄是她认识的所有市民的年龄的平均值。求证:这些信息足够确定所有女性市民的年龄。

6.正整数n\ge 3,x_1,x_2,...,x_n是正实数,满足关系式
\sum_{j=1}^{n}\frac 1{1+x_j}=1
求证:\sum_{j=1}^{n}\sqrt{x_j}\ge (n-1)\sum_{j=1}^{n}\frac 1{\sqrt{x_j}}

7.五个人A,B,C,D,E分别戴黑色和白色的帽子,没有一个人知道自己戴的帽子的颜色,但他们可以观察别人戴的帽子的颜色。他们中有四个人讲了以下的话:
A:我看见三个人戴黑帽子,一个人戴白帽子;
B:我看见四个人戴白帽子;
C:我看见一顶黑帽子和三顶白帽子;
D:我看见四顶白帽子;
E发现A,B,C,D中戴黑帽子的人讲了真话,戴白帽子订单人讲了谎话。请讲出这五个人戴帽子的颜色。

8. 有10件物体,总重20千克,每件物体重量为一个正整数,没有一件物体超过10千克。求证:这10件物体能分成两堆,每堆重10千克。

9. 在一个岛上有6个城市,每两个城市之间必有火车或长途汽车连接,
求证:必能从中找到三个城市,他们之间是用同一交通工具连接。

10. 求证:不存在一个函数f:Z\to ZZ是全体整数的集合),使得对于每个整数x,f(f(x))=x+1

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