【文摘】大学数学竞赛题汇编(15)

1.设S=\{1,2,3,...,10\}A_1,A_2,...,A_k是S的子集,它们满足:
(1)|A_i|=5(i=1,2,...,k)
(2)|A_i\cap A_j|\le2(i,j=1,2,...,k,i\ne j)
求这样一批子集的个数k的最大值。

2. 过正十二边形内部的一个非中心点,最多可以作几条不同的对角线?

3.设 n 为一个正整数,求所有实数域连续函数f(x),使得
C_n^0f(x)+C_n^1f(x^2)+C_n^2f(x^{2^2})+…+C_n^nf(x^{2^n})=0

4. 求具有如下性质的最小正整数n:把正n边形S的任何五个顶点染成红色时,总有S的一条对称轴l,使得每一个红点关于l的对称点都不是红点。

5. p,q是两个不同的素数,正整数n\ge3。求所有整数 a,使得多项式
f(x)=x^n+ax^{n-1}+pq能够分解为两个不低于一次的整系数多项式的积。

6. 求出所有的有序正整数对(m,n),使得\frac {n^3+1}{mn-1}是一个整数。

7. 设R是全体实数的集合,和R^+是所有正实数组成的集合,a和b是给定的实数,寻找所有函数f:R^+\to R,使得对R^+内所有x和y,有f(x)f(y)=y^af(\frac x2)+x^bf(\frac y2)

8. M是\{1,2,3,...,15\}的一个子集,使得M的任何3个不同元素的乘积不是一个平方数,确定M内全部元素的最多数目。

9. 一个摆动数是一个正整数,它的各位数字,在十进制下,非零与零交替出现,个位数非零。确定所有正整数,它不能整除任何摆动数。

10. 对所有正实数a,b,c,d,求证:
\frac a{b+2c+3d}+\frac b{c+2d+3a}+\frac c{d+2a+3b}+\frac d{a+2b+3c}\ge \frac 23

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