【数学】天才之旅

作者 |  余文卿   好玩的数学 《数学传播》

《天才引导的历程:数学中的伟大定理》
作者:[美] William Dunham
出版社:机械工业出版社

这是一本历史性的数学书籍,谈论数学上的伟大定理及其幕后的数学天才。涵盖的年代从西元前440年的希波克拉底到西元1874年的康托。透过对数学上一些天才的生平传记,而引导出一系列的伟大数学定理,这些定理散布在古典平面几何学、立体几何学、三角学、数论以及集合论,提到的伟大数学家共11位,依年代次序是希波克拉底、欧几里得、阿基米德、海伦、卡尔达诺、牛顿、伯努利兄弟、欧拉与康托。而谈到的伟大定理即是这些天才数学家的呕心沥血的传世代表作。

一、希波克拉底,欧几里得与阿基米德

希波克拉底在几何学上有两大主要贡献;一是由几个简单的公式出发而正确地且有逻辑地发展出有系统的几何学定理,是欧几里得的巨著《几何原本》的前身。另一贡献是他建构一正方形,使其面积等于一给定新月形的面积,当然他考虑的新月形非常特殊,是圆内接正方形边上之半圆与这圆所围的弧形区域,如下图所示:

注意到:

半圆 AEC 的面积 = 四分之一圆AFCO的面积,
故新月形AECF的面积=△ACO的面积。

又三角形很容易平方化,故得出新月形AECF可平方化。
欧几得得有系统地整理出现今所称的欧氏几何学,在《几何原本》的开头,他甚至对点、线下了意义不甚明确的定义。

定义1:点没有面积。
定义2:线没有宽度。
定义3:线上的点均匀分佈。

以现代的观点,这些定义无法被完全接受。在一逻辑系统中,最后总有一些无法用其他名词来定义的“无定义名词”,而点、线与面是欧氏几何中的无定义名词。虽然如此,欧几里得提出之毕氏定理的证明却流传至今。另外他所提出关于质数有无穷多个的证明也非常简洁漂亮。
阿基米得利用圆内接与外切正多边形而算出圆面积的近似值,这也相当于计算圆周率的近似值。另外他算出球的表面积是其内接最大圆(赤道圆)之面积的四倍。
阿基米德最得意的杰作是导出圆柱内切球体之体积与圆柱体积之间的关系:

圆柱体积=2\pi r^3=\frac 32球体的体积

这定理刻在他的墓碑上,也成为他永垂千古的一大注记。

二、海伦与卡尔达诺

三角形的面积是底乘高的一半。而海伦公式则将三角形的面积表成三边长的对称式。以 a,b,c 表示一三角形的三边长,s=\frac 12(a+b+c)是半周长,则三角形的面积是

\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

这式子在现代,运用余弦定理很容易导出,亦即

但在古老的几何学上,没有这些定理可运用,仰赖的只是比例与相似的定理,这也是这定理伟大的原因。
三次方程式的解法秘方在16世纪的意大利数学界被当成是挑战对手的筹码,而卡尔达诺从塔尔塔利亚学到这秘方,但在神前发誓不公开,而他的学生费拉里更能解出一般的四次方程式。但囿于誓言,无法把解法公诸于世。
但在1543年,卡尔达诺与费拉里旅行到博洛尼亚,在希皮奥内·德尔·费罗(Scipione del Ferro)的早三十年的文献中,发现已有三次方程式的解法,因而卡尔达诺没有理由再继续遵守诺言,而将解法在1545年出版。
解决了三次与四次方程式未能使人们满足,有的人更探求五次与五次以上方程式的解法,但都没有具体的结果。1824年挪威的年轻数学家阿贝尔提出惊人的看法,五次与五次以上方程式没有根式解。这也终结了人们对多项方程式之根式解的进一步探求。

三、牛顿,伯努利兄弟与欧拉

牛顿与莱布尼茨被公认是微积分的发明人。牛顿除了创立古典力学外,在数学上的贡献更无可抹灭。这书上提到他发现的二项式定理,亦即|x|<1时

(1+x)^r=\sum_{k=0}^{\infty } {r \choose k}x^k

这里r是一般的实数,而二项系数

{r \choose k}=\frac {r\times (r-1)…\times(r-k+1) }{1\times 2…\times k}

当r是正整数时,这是一般的二项式定理。利用这展开式,牛顿计算圆周率的近似值为3.141592668。
伯努利家族有两位兄弟数学家,一是哥哥雅各布·伯努利(Jakob Bernoulli,1654-1705),另一是弟弟约翰·伯努利(Johann Bernoulli),这也是欧拉的启蒙老师。约翰证明调和级数

1+  \frac 12+\frac 13+…+\frac 1n+…

的发散性,并向全欧洲数学家提出一挑战性的问题:求从一定点到另一定点,在重力作用下,质点运动的最便捷路径。当然这解不是一般的直线,他们把这类曲线称为最速降线(brachistochrone),是由希腊文“最短的”与“时间”的合成。

这问题在期限到时共收到五个答案,一是他本身提供,另一是莱布尼茨提供,他哥哥提供了第三个解法,而洛必达加上第四个,最后一个来自英国,约翰打开一看,答案完美无瑕,但信末没有署名,这正是牛顿的一贯作风,毫无疑问地,这是出自牛顿的手法。约翰不禁惊叹:从它的爪子,我就认出它是狮子

四、欧拉与康托

欧拉在数学上论文的质与量都空前绝后,他的全集超过70巨册,这里举出只是他在数论方面的两大工作。1734年,欧拉提出级数

1+  \frac 1{2^2}+\frac 1{3^2}+…+\frac 1{n^2}+…

的和是\frac {\pi ^2}6,而他运用的手法是把根与系数的关系用在正弦函数上,这方法在当代引起很大的争议,也让他费了往后十多年的时间去说服别人相信。
欧拉在数论上的另一贡献是重证费马的结果并加以推广,如他证明了 费马小定理:

若p是质数且(a,p)=1,则 a^{p-1}\equiv 1(\mod p)

他并加以推广:

若 n是正整数且(a,n)=1,则a^{\varphi (n)}\equiv 1(\mod n)。这里的\varphi (n)表示1 到n中与n互质的正整数个数,也是现称的欧拉\varphi-函数。
费马所提出的数论结果不见得都是对的,如他对质数的猜测:2^{2^n}+1是质数。这对n=1,2,3,4 确实没错,但n=5时,欧拉发现

232+1=641×6 700 417

数学上有很多抽象的基本概念到19世纪尚有待澄清,其中之一是分析学上的极限,另一是基础学上的无穷大。1821年法国数学家对极限下了如下的定义:

当 x 趋近某一特定 a 时,f(x)L 的误差值可小到任意小,则称 L 是 x 趋近于 a 时,f(x) 的极限。

这定义经由魏尔斯特拉斯修正为:

给定\varepsilon > 0,存在有一 \delta >0,使得0< \left | x-a \right |< \delta 时,则 \left | f(x)-L  \right | < \delta 。 这也成为分析学上的\varepsilon -\delta 语言。

基础数学中的一重要议题是计数理论。凡是可与正整数 N 或其子集做一一对应的集合称为可数集。如整数与有理数都是可数集。康托证明实数是不可数集,而运用的手法即现称的对角化步骤。他假设介于0与1之间的实数是可数集而表为小数,即

康托的方法是选取b=0.b_1b_2…b_n…使得b_1\ne a_{11},b_2\ne a_{22},…,b_n\ne a_{nn},…,如此得出另一实数b不在这可数系列中,而证出实数是不可数。
\overline{A}表示集合 A 的基数(cardinal number),康托证明\overline{A} < \overline{p\left | A \right | }。这里 P[A]表示 A之所有部分集合所成的集合。这定理引起广大的议论。例如以 U 表示所有集合所成的集合,即宇集,如此的 U无所不包,已没有拓展的空间,但 康托的定理告诉我们\overline{U} < \overline{p\left | U \right | }。这表示 P(U) 比宇集U 包含更多。Cantor在1895年体认到这反常现象,在往后十年间,他尝试弥补这空 白。这要等待公设化集合论出现才弥补过来。在公设化集合论中,宇集U不存在,而把这诡辩化为乌有。

五、结语

这本书的趣味性非常浓厚,我们在书上见到的不只是定理的精彩证明,更见到背后数学天才的不同处境,有的活跃於数学界,有的却失意於非数学界,有的受宠于君王侧,有的却流浪在偏远地区,我们见到的是一部活生生的数学历史,是有志于数学工作者不可不看的好书。

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