【文摘】趣味逻辑学问题(10)

1.森林中有 12 个人,每人都住在自己的房子里,房子染蓝色或红色。在每年的第 i 个月,第 i 个人拜访他的全部朋友,如果朋友的多数房子和他的房子的颜色不一样,那么他需要将自己的房子的颜色改成另一种,以与大多数的朋友一致,证明经过一段时间之后,每一个人都无须再变更自己房子的颜色。

2. n(n>=4)个盘子里放有总数不少于4的糖块,从任选的两个盘子中各取一块,放入另一个盘子中,称为一次操作。问能否经过有限次操作,把所有糖块集中到一个盘子中去?

3. 一辆汽车只能带L公升的汽油,用这些汽油可以行驶a千米。现在有k辆同类型汽车,要行驶d(d>a)千米的路程到某地。途中没有加油的地方,但可以先运些汽油到路旁任何地方存储起来,准备后来使用。问应如何行驶,才能到达目的地,并且最省油?

4. 设有n\ge3个城市,某航空公司在其中的某些城市间开设有直达航班,已知:
(1)对这n个城市中任何两个城市A,B,有唯一的方式可乘坐该公司的飞机从A到B(A,B之间未必有直达航班,可能要转机,唯一是指经过同一城市至多一次)
(2)在总共C_n^2种乘坐该公司的飞机路线中,票价恰好分别为1,2,...,C_n^2
求证:n是完全平方数,或者是完全平方数加 2。

5. 已知空间中九点,其中任何四点不共面,在这九点间连结若干条线段,使图中不存在四面体,问图中最多有几个三角形?

6. 在n*n方格纸的每一个方格中填入一个数,使得每一行和每一列都成等差数列,这样填好数的方格纸称为一个等差密码表。如果知道了这个等差密码表中的某些方格中的数就能破译该密码表,则称这些方格的集合为一把钥匙,该集合中的格子数称为钥匙的长度。
(1)求最小的正整数s,使得在n*n方格纸(n\ge 4)中任取s个方格都组成一把钥匙;
(2)求最小的正整数t,使得在n*n方格纸(n\ge 4)两条对角线上任取t个方格都组成一把钥匙。

7. 对于任何正整数k,f(k)表示集合\{k+1,k+2,...,2k\}内在二进制下恰有3个1的所有元素的个数。
(1)求证:对于每个正整数m,至少存在一个正整数k,使得f(k)=m
(2)确定所有正整数m,对于每一个m,恰存在一个k,满足f(k)=m

8. 求证:存在一个 具有下述性质的正整数的集合A:对于任何由有限多个素数组成的集合S,存在k\ge 2及正整数m \in An \notin A,使得m和n均为S中k个不同元素的乘积。

9. 在5×5的方格纸上,两个游戏者轮流转空格内填数,第一个游戏者总是填1,第二个游戏者总是填0,两人轮流,直到填满,在9个3×3方格纸的每一个中,3×3方格上的九个数之和是可计算的,用A表示这九个和的最大值,不管第二个游戏者怎样填数,问第一个游戏者适当填数,能得到的A值有多大?

10. 有n(n\ge 2)堆硬币,只允许下面形式的搬动:每次搬动,选择两堆,从一堆搬动某些硬币到另一堆,使得后一堆硬币的数目增加了一倍。
(1)当 n=3 时,求证:可以经过有限次的搬动,使得硬币合为两堆。
(2)当 n=2 时,用 r 和 s 表示两堆硬币的数目,求 r 和 s 的关系式的一个充分必要条件,使得硬币能合为一堆。

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