【文摘】数学难题汇编(17)

1.Q^+是全体有理数构成的集合,请构造一个函数 f:Q^+ \to Q^+,
使得对任意x,y \in Q^+,均有f(xf(y))=\frac {f(x)}y

2.证明:在坐标平面上不存在一条具有奇数个顶点,每段的长度是1的闭折线,它的每个顶点的坐标是有理数。

3. n元集合X的子集A_1,A_2,…,A_m,互不包含,证明:m\le C_n^{[\frac n2]}

4. 集合N=\left \{ 1,2,…,n \right \} ,A_i\subset N (i=1,2,…,n+1),满足 |A_i|是奇数,证明:\exists A_i,A_j\Rightarrow \left | A_i\cap A_j \right | 是奇数。

5. 设ABCD是一个梯形(AB//CD),E是线段AB上一点,F是线段CD上一点,线段CE与BF相交于点H,线段ED与AF相交于点G。
求证: S_{EHFG}\le\frac14S_{ABCD}
如果ABCD是一个任意凸四边形,结论是否成立?

6. 已知f(x)=C_0z^n+C_1z^{n-1}+…+C_{n-1}z+C_n是一个 n 次复系数多项式。求证:一定存在一个复数z_0|z_0|\le1,并且满足|f(z_0)|\ge|C_0|+|C_n|

7. 已知是平面上一个正2n+1边形,O是这正2n+1边形内部任意一点。求证:一定存在一个\angle A_iOA_j,满足\pi (1-\frac1{2n+1})\le\angle A_iOA_j\le\pi

8. 在[-1,1]内取 n 个实数x_1,x_2,…,x_n(n>=2),
f_n(x)=(x-x_1)(x-x_2)…(x-x_n)。问:是否存在一对实数 a,b,同时满足以下两个条件:
(1)-1<a<0<b<1
(2)|f_n(a)|\ge 1,|f_n(b)|\ge 1

9. 已知正整数 n,问平面上最少要适当选取多少不同的点才可能具有如下性质:
对每一个给定k(1\le k \le n),平面上总存在一条直线,使之恰好通过所选取的k个点。

10. 设a是一个非零实数,给定正整数n\ge 2,求满足下述方程
f(x^2)=f(x)f(x+a)的所有n次实系数多项式f(x)

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