【文摘】大学数学竞赛题汇编(14)

1.对于任一自然数 n,证明:
[\sqrt n+\sqrt {n+1}]=[\sqrt{4n+1}]=[\sqrt{4n+2}]=[\sqrt{4n+3}]

2. 空间中 n 个不共面的点,求证:必存在一个圆,它恰好只经过其中的三个点。

3. 求出所有连续有界的函数 f:R\to R, 对于一切 x,y\in R,
f^2(x)-f^2(y)=f(x+y)f(x-y)

4.设集合\left \{ a_1,a_2,…,a_n \right \}=\left \{1,2,…,n \right \}
请证明:\frac 1{2}+\frac 2{3}+…+\frac {n-1}n\le \frac {a_1}{a_2}+\frac {a_2}{a_3}+…+\frac {a_{n-1}}{a_n}

5. 证明恒等式:sin^3\frac \alpha{3}+3sin^3\frac \alpha{3^2}+…+3^{n-1}sin^3\frac \alpha{3^n}=\frac 14\left (3^nsin\frac \alpha{3^n}-sin\alpha \right )

6.求适合以下条件的所有函数 f:[1,\infty )\to [1,\infty),
(1) f(x)\le2(x+1)
(2)f(x+1)=\frac 1x[(f(x))^2-1]

7.对任意的正整数 n,
求证:\sum_{k=0}^{n}C_n^k2^kC_{n-k}^{[\frac{n-k}2]}=C_{2n+1}^n,其中C_n^0=1[\frac{n-k}2]表示\frac{n-k}2的整数部分。

8.设M为平面上坐标为(p×1994,7p×1994)的点,其中p是素数。求满足下述条件的直角三角形的个数:
(1) 三角形的 三个顶点都是整数,而且M是直角顶点
(2) 三角形的内心是坐标原点

9. 在[-1,1]内给定n个不同点x_1,x_2,...,x_n(n\ge 2),记t_k(1\le k\le n)为点x_k到其他所有点x_i(i\ne k)的距离的乘积。
求证:\sum_{k=1}^{n}\frac1{t_k}\ge2^{n-2}

10.给定正整数n\ge3\lambda是一个给定的实数,确定下列函数
x_1^2+x_2^2+...+x_n^2+\lambda x_1x_2...x_n的最大值和最小值。这里x_1,x_2,...,x_n是非负实数,满足条件x_1+x_2+...+x_n=1

大学生数学竞赛题汇编
大学生数学竞赛题
高中数学联合竞赛试题
国际象棋中的趣题妙解
数学家俱乐部
数学趣题汇编
牛顿:在海边寻找贝壳的人
凯尔文:是上帝创造了生命,并且掌管一切
陆地动物能变成鲸吗
数学界的奇人妙事
趣味逻辑学问题

Conway: 游戏人生
有关孪生素数的一个有趣猜想
素数之恋-伯恩哈德·黎曼
等分布理论简介
数学家波利亚
物理学之神奇的数
鸟和青蛙
超级圆周率π运算器
数学难题汇编

此条目发表在数学分类目录,贴了, 标签。将固定链接加入收藏夹。