【文摘】数学趣题汇编(16)

1.有偶数个人围着一张圆桌讨论问题,休息后,他们按不同的顺序重新坐下,证明至少有两个人,他们中间的人数在休息后和休息前是相等的。

2. 在一群数学家中,每一个人都有一些朋友。证明:存在一个数学家,他的所有朋友的朋友的平均数不小于这群人的朋友的平均数。

3. 一个岛上的游客试图得到宝藏。为此他们要按照如下的规则打开漆有 n 种不同颜色的一系列的门,规则如下:
1)每个游客有 n 把钥匙,每种颜色各一把;
2)每把钥匙一旦用了,则必须一直用到损坏为止,中间不能更换;
3)每把钥匙可以打开与它颜色不同的门,在开与它同色的门时损坏。
求解:门的序列的长度至少是多少时,每一位游客都不能得到财宝?

4. 10个地区之间有两个国际航空公司服务,在任意两个地区之间都有一个直达航线(中间不停),所有航线都是可往返的。
证明:至少有一个国家航空公司可以提供两条互不相交的环形旅行航线,其中每条线上的站数是奇数。

5.证明:在一个 10×10 的正方形棋盘内,任意 46 个互不相邻(即没有公共边)的小方格中,至少有30个小方格同色(注:棋盘小方格的颜色是黑白相间)。

6. 求所有正整数k,使得集合
X=\{1994,1997,2000,...,1994+3k\}
能分解为两个子集合A,B(A\cup B=X , A\cap B=\oslash ),A内的全部正整数之和是B内的全部正整数之和的9倍。

7.设0\le a\le b\le c\le d\le e,且a+b+c+d+e=1
求证:ad+dc+cb+be+ea\le\frac15

8.已知正数量a_1,a_2,a_3,...,满足:
a_{n+1}=\frac 1{a_1+a_2+...+a_n}(n\in N)
\lim_{n \to \infty} \sqrt na_n

9. 已知a_1\lt a_2\lt a_3\lt ... \lt a_n \lt ...是一个正整数的无穷序列。求证:从集合S=\{a_i+a_j|i\in N,j\in N \}中,一点能够找到一个无穷正整数组成的子列,在这个子列中,每个正整数都不是其他任意正整数的倍数。

10. 在一个光滑的桌面上,放有半径分别是1,2,4的3个木球,每个木球与桌面相切,每个木球都与其余两个木球外切。另外,在桌面上还有一个半径小于1的小木球,与桌面相切,而且与三个木球都相切,求这个小木球的半径。

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