上帝的杰作系列之二:完美等式


  自从造天地以来,神的永能和神性是明明可知的,虽是眼不能见,但藉着所造之物就可以晓得,叫人无可推诿。

                                                                                               –罗马书1章20节

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数学中最基本的几个数,先让我们一一道来。

0,代表万物之始;用文言文,或称之为太初了。0的发现被称为人类伟大的发现之一,0在我国古代叫做金元数字,(意即极为珍贵的数字)。0这个数字是在公元5世纪由古印度人发明,后传入欧洲,并一直被沿用至今。公元1247年,秦九韶在其著作数书九章中使用符号“〇”来表示零的概念。非常神奇的是,0的发明在其他1~9九个数字之后,看来我们人类对于空的认识不是一件简单的事情。

0难道代表没有吗?集合论当中,0表示空集合当中元素的个数,似乎代表着无;再举一个数论的例子,自然数除以数字7的余数一共有7种可能,{1,2,3,4,5,6,0},这里的余数0,代表着和其他余数的等可能性,是一个实实在在的有,看来0这个概念所能表示的意义还真不简单。

0的发明,最早是为了在一个数当中起到站位的作用,想想如果没有0,象2106这样的数如何表示呢?当然我们现在有了0,一切都看起来是那样的顺当。好的,活跃下气氛,思考一下,在整数21的2和1之间可不可以加入一些数字0,使得得到的数200……1,可以被21整除呢?

1,量变到质变,1终于出现了,1是乘法系统中的单位数。1是自然数{1,2,3,4,5,……}当中的最小那个自然数,真的吗,有人提出怀疑,1是最小的自然数吗?假设最大的自然数是N,根据乘法规律,一个自然数乘以另外一个自然数,肯定不会小于它自身,也就是N×N≥N,这个不等式两边都除于N,得N≥1,但是另一方面,别忘了我们的假设,N是最大的自然数,NxN显示是一个自然数,所以NxN≤N,这个不等式两边都除于N,得N≤1,看到没有N=1,最大的自然数竟然是1,或者说1是最大的自然数。:p-),长这么大,数学老师们都没有告诉我呀?

1,是两个互为倒数的数的乘积,也就是p×(1/p)=1。真的吗,一般是这样,难道有反例吗?3×(1/3)=1,或者演变一下

3×(0.333333333……)=1,或者 0.999999999…….=1,不会吧?我怎么从来没注意过!数学老师啊,难道您的数学老师也没有告诉您吗?

pi,圆周率,定义为圆的周长和直径的比值,一般用希腊字母π表示 。古希腊伟大的数学家阿基米德最早采用多边形逼近法,计算pi的近似数值,得到223/71 < π < 22/7 (3.1408 < π < 3.1429)。南北朝时期的数学家祖冲之利用独特的”割圆术“进一步得出精确到小数点后7位的结果,给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927,还得到两个近似分数值,密率和约率

355/113和22/7。350px-Archimedes_pi_svg

 

pi是个无理数,即不可表达成两个整数之比,并且pi是超越数,即pi不可能是任何整系数多项式的根。

与pi相关的一些表达式:

Leibniz定理:

wallis连乘积:

pi3

John Machin分析形式的:

Euler最早证明得到的一个神奇公式:

利用这个等式,拓展一下思维,思考一个问题:两个任意自然数是互质的概率是多少呢?问题并不是很难,但想简化结果,需要用到Euler的这个等式。

目前计算圆周率pi的数值,一般都是利用数值公式加上计算机了,目前较好的结果是利用Chudnovsky公式

除了数值方法,还有许多令人惊奇的方法,其中之一就是著名的布丰投针方法(Buffon's needle),假设我们有一个以平行且等距木纹铺成的地板,随意抛一支长度不大于木纹之间距离的针,求针和其中一条木纹相交的概率。这就是布丰投针问题。1777 年,布丰自己解决了这个问题——这个概率值是 1/π。程序员可以编程序模拟一下这个概率实验,体验一下数理逻辑背后隐藏的神秘规律。

在欣赏一个蔚为壮观的连分数形式:

pi4

数论还有一个令人着迷的领域,那就是关于小数部分的分布规律问题,或称为数值的等分布理论。 如果看了这篇文章,思考一个有含义的问题:我发现pi的前1万位里面没有数字9801,根据等分布理论9801一定会在pi的小数部分里出现吗?

e,自然对数的底。位置仅仅次于pi的数学常数,由大数学家Euler命名,代表着最大的增长极限,是一个无理数,约等于2.718281828,同样和pi一样,祂也是一个超越数。

有关e的几个式子:

定义式子:

elim

无穷级数形式:

连分数形式:

e的类似计算等式不像pi那么多,但是有很多神奇的函数却与e有密切关系。

先引用一则笑话故事:在一家精神病院里,有个病患整天对着別人说,「我微分你、我微分你」,也不知为什么,这些病患都有一点简单的微积分概念,总以为有一天自己会像一般多項式函数般,被微分到变成零而消失,因此对他避之唯恐不及,然而某天他却遇上了一个始终終不为所动的人,他很意外地问他为何不会害怕,这个淡淡地对他说,「我是e的x次方。」

这个神奇的函数就是e^x,祂的导函数还是祂自身。

再引用一则与e有关的趣题,在一片空旷的草地上,甲、乙、丙、丁、四条狗分別站立在一个正方形的四个顶点 A、B、C、D上。狗主人要甲狗紧盯着乙狗、乙狗紧盯着丙狗、丙狗紧盯着丁狗、丁狗紧盯着甲狗。一声令下,四条狗以相同的速度同时冲向目标。假定每条狗在每个时刻都是正面朝向它的目标,那么,这四条狗所跑过的路径是什么形式呢? 如下图所示

fourdogs

详细的讨论见:http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_20_09_1/index.html,等角螺线  img15  的刻画揭示出被造物身上所蕴含和体现的精妙做工,令人折服于造物之奇。

i,是虚数单位。代表着方程 x2=-1的根,数学当中的复分析是研究虚数的理论。

i

现代数学分析,尤其是群论很好的揭示了数系的扩展,以及其中扩展的规律,随着数系的扩展,人类对于数的认识越来越深刻了。

目前,数学家在数和数的模型构建上,具有丰富的经验和工具了。感兴趣的可扩展一下,四元数八元数

至此,五位数学当中的主要角色都一一出场亮相了,忽见祂们聚在一起,交头接耳起来,待祂们齐转身过来,竟然组合出一个完美奇妙的等式



     ee


【约1:9】 那光是真光,照亮一切生在世上的人

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