【文摘】千年之交话数学

开场白

二十世纪是数学的黄金时代。许多重大而长期没有答案的问题终于得到了解决,究其成功的原因,大多数由于我们对数学各个分之之间复杂的相互影响及作用有了日益增长的了解。那些相互关联不断深化和扩大,从而数学开始跨越自我来探索与其他科学领域间的相互作用,已经导致了一些伟大的深刻见解的产生,也导致了数学领域在广度和深度上进一步扩大。我将在本文中讨论几个这样的相互作用以及由此产生的深刻见解,描述二十世纪的一些数学成就,还要提出我们在二十一世纪将面临的一些挑战和机遇。

引言

作为数学家,我们在讨论我们自己的学科时总面临着进退两难的窘竟。向一般读者解释数学的最有效的方法是使用比喻,然而这要以丧失精确性为代价并招致被误解的危险。
另一方面高深的数学术语对大多数人而言是晦涩难懂的,这些人中也包含了其他的可学家。上届国际数学家联盟主席,我的同事DAVID MUMFORD曾说:“作为一个职业数学家,我以习惯于生活在一种完全孤立的环境中,在它周围的人们……带着一种古怪的自豪感宣称,他们是数学盲。”
然而,在数学界内部,使用精确的语言却有明显的好处。由于它的抽象性和普遍性,数学没有语言的疆界和政治的疆界。这便是数学为什么总是带有一种明显的国际风味的原因之一。一个日本数学家通常可以不经翻译便读懂德国同行们的文章。
世界范围内在十分积极的从事研究工作的数学科学家数量不大(很可能不足一万人),因而在每个特定分支内工作的高度专门化的人员的数量也很少。这种形式所产生的必然结果是:不管他们居住在哪国,同行们相互之间都很了解,并进行着远距离的合作。本世纪中,由不同国度的数学家联合署名的文章越来越多(1981-1993年间增加了50%)。
看来数学家们对世界一体化这一当代潮流还是很适应的。
然而这些数学家所做的到底是什么呢?从大处看,数学探求的是一些结构与模式,它们能为我们的宇宙带来秩序,并使它简单明了。可以说,一向数学研究的目的或它的出发点并不比它显露出来的模式和协同性来的重要。正是这些模式和协同性给予数学以威力因为他们常能用来阐明另外的完全不同的领域和过程:数学的其他分支,其他的科学,或整个社会。

数学世界-Fermat大定理

第一个要讲的是A. Wiles给出的关于Fermat大定理的发证明,它曾是1993年度的全球性新闻。这个例子之所以有意思,一方面在于Fermat这个人:他是个行为怪癖的法学家,一个没有发表过一篇文章的业余数学家;另一方面则在于Wiles这个人:他在这个问题上独自辛勤耕耘了7年。还有一个原因是问题本身,它的解答依赖于350年来特别是近半个世纪以来许多数学家所作出的在代数数论方面的基本进展。
这是Pierre de Fermat在研读Diophantus所写的《算术》这本关于数论的古代教科书时写下来的定理。自古希腊之后,人们对数论的兴趣已经衰减;但Fermat热爱数字。

他偶然看到了我们大多数人在学校都学过的毕达哥拉斯方程:x^2+y^2=z^2。直到今天无数学校的孩童们仍在学说着:“直角三角形斜边长的平方等于另外两边长的平方和。”
毕达哥拉斯的整数解尤为有趣,譬如象勾三股四弦五这种漂亮的直角三角形解。Fermat注意到,当方程的指数大于二时,他可能没有整数解。同时他用拉丁文写到,他发现了对此结论的奇妙的证明,可惜书的空白太小无法写下。但是,人们从来就不曾找到这样的证明。Fermat写了很多这样的眉批(有些是用来嘲弄他的同时代的数学家的),经过了几个世纪,这些眉批中提出的问题都重新得到了解答但惟独这个没有,即Fermat大定理。
Adrew Wiles生长在英格兰,他第一次看到Fermat大定理是在剑桥大学图书馆里,时年十九。他认定,有一天他要证明它。尽管当时他还是一个年轻数学家,但他已经知道直接由Fermat大定理本身来追寻答案是不可取的,取而代之,他决定在代数数论的一个复杂领域,即Iwasawa理论上展开工作。但是他从来没有忘记过Fermat。
1986年他获悉伯克利加洲大学的一个同行Ken Ribet取得了突破进展,他将Fermat大定理与另一个尚未解决的问题联系起来了,这个问题就是所谓的Taniyama-Shimura猜想;这是1955年提出来的以代数几何方式阐明的一个另人惊奇的好猜想。综合了一连串的极其复杂的推理之后,上述的这个联系表明,如果证明了这个猜想也就证明了Fermat大定理,它在椭圆曲线与模形式这两个复杂而又精细的领域之间架起了一做桥梁,给出了一部字典,使这两个领域中的问题和观点可以相互转换。它还意味着,Wiles早期在代数数论中的工作对他做Fermat大定理是有帮助的;不管他能不能找到一个证明,他都可以引出一些有意思的问题来。在一连串令人困惑的阻碍和猛然的醒悟之后,他终于找到了一个证明。甚至在已经提交了他的成果之后,在审稿过程中还发现了一个关系重大的错误,这使他又多干了一年多的活。一时似乎又没有解决办法了,最后却又有了。Wiles称这个最终的领悟是“我研究生涯中最重要的时刻。它是如此难以明状的美丽,它是如此的简明而精练,我目瞪口呆了足有二十分钟而不敢置信。”
“或许借用穿过一座黑暗而未经勘察过的大厦的行程来描述我作数学的经验是最好不过的了。你进到大厦的第一个房间,它完全漆黑一团,你跌跌撞撞的转来转去,碰撞着各种家具;但是一般说来,你还是知道了每件家具的位置。最终大概在六个月左右,你找到的照明开关,开了灯;忽然间一切都照亮了,你完全明白了你在那里。而后你又进到下一间房间,又在黑暗中花去六个月。这些突破的每一个,或是瞬间的或是超过一两天的,它们都是先前许多个月在黑暗中跌跌撞撞,转来转去的最终结果,没有这些就没有突破。”
——摘自“Andrew Wiles, who provet Fermat’s Last Theorem in 1993”
Fermat真的在十七世纪就完成了他的证明吗?无疑一些人还会去继续寻找肯定答案的证据,但事实极可能不是这样。Wiles的工作应用了在Fermat时代还没有的而在19和20世纪才出现的全部数学分支。在Fermat方程下面正展现出一个巨大而精细的形式结构,他正是数学家们努力寻求的东西。Fermat大定理的解答是由于对那个结构的了解才出现的。

数学世界-Kepler的球堆积猜想

第二个问题是Kepler的球堆积猜想。象Fermat问题一样,球堆积问题只能在最近的几十年里才能得以解决。即便如此,它也花费了Thomas Hales十年的时间。Hales是Michigan大学的数学教授,也如Fermat问题,球堆积问题听起来简单,但在差不多四个世纪时间里它打败了数学家。这两个问题都有捉摸不定的难点,以至有无数数学家曾相信他们找到了答案——可是,这些答案原来都是错的。
这个问题是在16世纪后半叶提出来的,是当时Walter Raleigh爵士向英国数学家Thomas Harriot提的一个问题:找一个快捷方法来估计在船甲板上能码放的炮弹数目。Harriot转而写信告诉了德国天文学家Johannes Kepler,他也对码放问题感兴趣;如何将球放置的使期间的空隙最小?Kepler发现最为有效的方式莫过于水手们码放炮弹的自然方式或是杂货商们码放橘子的方式了,这些自然方式称为面心立方堆积。Kepler声称,以这种技巧给出的堆积是一种最紧密的方式,从而在没有其他排列能够在同一容器中放进更多的球状物。这个断言便冠以Kelper猜想而知名。
主要的进展是在十九世纪取得的。那时具有传奇色彩的德国数学家Karl Friedrich Gauss证明了橘堆式的排列是在所有格堆式中最为有效的;但是这并没有排除掉存在更为有效的非格式排列的可能性。到二十世纪,Hilbert认为Kepler猜想十分重要从而把它收入到他的23个重大的待解决的问题中。
此问题的困难在于有数量巨大的可能性必须排除。20世纪中叶,数学家们知道了如何把它约化到一个有穷的问题,但该问题仍然太复杂而无法计算。1953年有了重大的进展当时匈牙利数学家Laszlo Fejes Toth把它约化到对许多特殊情形的大量计算,并且提出了可能用计算机去解决的办法。
Hales面临的挑战仍然十分巨大。他的方程含有150个变量,每个变量的变化必须描绘出每中可以想象到的堆积方式。证明用了250页的论证来解释,它包含了3G的计算机文件;它大量的依赖于由其他分支来的方法,其中包括整体最优化理论,线性规划及区间运算。Hales承认,对于如此冗长如此复杂的一个证明,任何人要确认它所有细节的正确性都是颇费时日的。
值得一提的是上述做法决不是无足轻重的。球堆积这个课题属于数学的一个关键部分,它是支撑着差错检测码和纠错码理论的基础。而这些理论被广泛应用于在高密度盘上存储信息,用于压缩信息以便在全世界范围内传输。在今天的信息社会中还难于想出比这更有意义的应用了。

数学世界-四色问题

作为球堆积的附带问题,值得一提所谓绘制地图的四色问题。问题的叙述是:对任何一张地图着色时,如果使相临的国家着以不同的颜色,那么只用四种不同的颜色就足够了。它与球堆积问题的类似之处有二:一它是个初等问题,当英国数学家Francis Guthrie在1852年提出时似乎就可以直接做出来;第二个相似之处是所给出的证明是把它化为一个有穷的问题,然后需要完成极大的计算量。
证明是由Wolfgang Haken和Kenneth Appel在1976年完成的,它包含了如下结论:如果列出的x张地图中每张都可以用四色着色,则所有其他的地图也都可以。虽然可以想象的地图数有无穷多张,但二人指出他们全部都能四色着色只依赖于有限多张基本地图的着色性,尽管其数量仍然十分庞大。这是要屈从于计算机本身能力的第一个有意义的问题。
同时,它引出了一些人的看法:那种“蛮力”式的计算机证明缺乏传统证明的明晰性,这就是说,他们证明了这个猜想为真,但是并没解释为什么是这样。预期就此问题还会有进一步的辩论。

数学世界-数学的双重性

我们已经谈到了数学的那种自命不凡的名声;事实上,它被称之为科学的女皇:多少有点高人一等的意味。有一种纯而又纯虚无缥缈的感觉,又一种为他们自己而起舞的感觉,的确,数学家G. H. Hardy就说过,数学活动应该被视为一种艺术形式。
实际上,这里确有一种与艺术平行的东西,象艺术家一样,数学家相当倚重于审美观和直观。在洗澡或散步之时就解决了问题这决非罕见之事。至于实用性,这是数学家最为宠爱的一个论点。只举少数几个例子,现代计算机要是没有来不尼兹的二进制数码就不可能出现;没有雷曼几何的发展,爱因斯坦就不可能阐明他的相对论;还有量子力学的庞大结构,晶体学及通讯技术,他们都实实在在建立在群论的平台上。
另外,相对于数学家的人数而言,他们所达到的领域似乎更大。那就是说,数学家们(在一个孤单的行星上一个孤单的物种中的一个微不足道的子群落)的思维产物似乎反映了能用于整个宇宙的原理。在本世纪早期,物理学家Fugene Wigner称此现象为“(抽象)数学在自然科学中不可思议的有效性”;到了今天,人们还可以把这种有效性扩大到药物设计,财经以及其他的许多领域。对于数学构想的最初起源有着许多不同的见解。
Arthur Jaffe的意见是:“数学的概念与思想并非完全从研究者的头脑中长出来。数学家经常从自然界的各种模式中获得灵感。在我们探索其他自然现象的时候,我们从与自然界的每次遭遇中所吸取的教训一直在起作用。”
数学家总是把他们的发现带进相临的领域,在那里他们产生新的洞见乃至整个新的分支。英国哲学家培根在启蒙运动前期的1605年就预先描绘过这种与恰当的想象力结为一体的科学中的基本原则:“没有任何一个完美的发现是在同一个水平或在平坦状态上得到的;如果你站在与这门科学同一水平而不登上一门更高的科学的台阶,你就不可能发现它的更深更远的部分。”
在二十世纪,数学一次又一次的登上了那个更高台阶。举例来说,x射线断层照相术(CAT与MRI扫描技术)的发展是建立在积分几何的基础上的;数据安全传输理论的产生有赖于素数的算术;在电子通讯中,大范围的高效的网络设计使用了群的无限维表示论。
因此数学具有双重性:一方面它是一门`独立的学科,其中的价值观取决于精确性与内在美;另一方面,它又是实用世界中各种工具的丰富源泉。这种双重性的两个方面紧密关联。在本文后面的部分,我们将会看到:在二十世纪正是由于这些关联的强化才使得数学领域不断的增强了有效性,这不仅仅指在数学的内部,在其外部世界也同样如此。

二十世纪的潮流-引言

说当今的数学是健康的主要理由,在于这个领域内的各种壁垒以分蹦离析。乍看起来,全部数学具有一个由两千多年以来的概念、猜想、假设和定理堆积成的硕大无比的躯体,似乎应当藐视任何统一的可能性。那种一个巨人(象欧拉高斯)可以象整个数学发号施令的日子已经一去不复反了。随着二站之后各个分支的飞速发展,数学变的相当专门化,以至于从事某个分支工作的人很难与他们自己专业以外的人进行交流。
今天,这些专家们通常分散在波思、普林斯顿、伯克利和东京各处。
然而相辅于这些分离的趋势确是另一种日益增强的趋势,即以一种包罗一切分支的方式来解决有趣的问题。过去看作完全无关的各个分支现在则被看作一个整体的各个部分,因为他们之间出现了新的联系,就以我最熟悉的领域代数几何为例,它结合了代数、几何、拓扑和分析。就在本世纪行将结束之前,在纯数学的一些顶尖成就中,这个相互联系极强的领域里发生的协同作用起了主要的作用。当然,其中一个成就就是Fermat大定理的解决,另一个则是Mordell猜想的解决。后者是说,一个次数大于四的有理系数多项式方程最多只有有限个有理数解(Fermat方程则没有这类解)。第三个是解决了Weil猜想,他是Riemann猜想在有限域中的一个类比。所有这些成就反映了数学家能同时利用多种分支并把数学看作一个整体的能力。

二十世纪的潮流-孤立子

孤立子理论是二十世纪后半叶最为突出的数学成就之一,解释了这一领域所具有的潜在的统一性。孤立子是非线性波,它展现出极端特别和有趣的性态。
我来叙述一点背景知识。习惯上,我们谈到的不同的波有两类。一类是线性波,是日常生活中所熟悉的那种,例如光波和声波。线性波穿过空间的传播是一致和不变的。就是说不管其形态如何,它们的速度是常值。C高音的传播速度与E低音一样,它们的波长相同;如果你听到的一个C高音的块状和弦,那么,它仍然还是C高音。线性波遵从叠加性:当你在钢琴上同时按下多个音键,马上听到的总是几个音调的总和,它使我们听到了和音。一个非常复杂的声音甚至可以分解出构成它的各个成分。
第二类即非线性波,它们既不亲密也十分不同。简单的例子可在由海浪冲向岸边时的情景看到。这时,在线性情形下不变的波幅、波长及波速全都能改变。当波浪“感觉”到海底时,波峰之间的距离开始变小而高度却增加了,速度也改变了;波浪的最上面部分突然压相它的底部,而当波浪破碎之时正好摔在底下的部分上。在某些错综复杂的情形下,两个波甚至可以相聚,以复杂的非线性方式相互作用;这时产生了代替那两个波的第三个波。
现在再转到孤立子。故事要从1834年谈起。那时有个苏格兰工程师名叫John Scott Russell,他试图找出设计一条运河的最佳方案。有一天,他观察到在一条浅浅的运河中,波浪有时以一种非常奇特的方式移动。波可以常速传播很长一段路程而不改变形状,但那些具有较大波幅的波比那些具有较小波幅的走的快。一个较大的会追上一个较小的,从而产生一种复杂的相互作用;之后,较大的波以比较小的波更快的前进方式出现。在这一阵非线性作用之后,它们又会以线性方式运动。
二十世纪中期,有一群数学家在研究非线性波导方程。由于该方程描述了非线性波动,他们期望解会在某处产生奇点或间断,就好象相交的波以非线性方式相互作用和断裂那样,他们写下了对这个方程进行数值计算的程序并发现这些波并不象预期的那样断裂。
这使得他们去查看Korteweg-de Vries方程,该方程是在一个世纪前得到的,用以描述浅水波浪的行为,人们终于发现那些由Russell所观察到的现象可以由Korteweg-de Vries方程从数学上加以证明;换句话说,那个方程的解展示出了孤立子的性态。这是些极不平凡的方程,因为孤立子就是在某些方式下象线性波而在另一些方式下象非线性波。
这个发现引起了蜂拥般的研究活动,它正是以最漂亮的方式展现了数学的统一性。它引起了计算方面和分析方面的进展,而分析是研究微分方程的传统方法。人们还发现,我们可以通过代数几何中一些非常精细的构造来解这些方程。。这些解也与表示论紧密相关;从表示论来看,这些方程原来具有无穷多个隐藏着的对称性。
最后,它们还与初等几何中的问题相关。例如,一个有趣的问题是:找出一个固定体积的锥体,当边界给定时,使其表面积最小。一点也看不出这个问题与浅水波有任何联系,然而事实上确有。描述这个解的微分方程就有孤立子的性态,它与描述浅水波的方程一样。于是我们可以从两个数学问题着手,一个是数学物理的而另一个是微分几何的,它们中每一个都展现了同样极端罕见和极端有趣的孤立子性态。

二十世纪的潮流-数学与其他科学

在内部壁垒崩塌之后,数学与其他科学,与商业、经济、保险、管理、决策以及复杂系统的建模等等有了非常多的相互影响和作用。这些学科中有些也以有趣的新型问题向数学提出挑战,而这又会给出新的应用。

二十世纪的潮流-数学与理论物理

上述的这种关系没有比在理论物理那里看的更清楚了。除去对纯粹数学的贡献外,代数几何一直被理论物理学家用来研究统一场论,或者更准确的说,是一种把重力与物理的三种基本力统一起来的理论,这三种力是强核力、弱核力及电磁力。
一种新的统一场论的令人兴奋的侯选者是所谓的超弦理论,这个名字来自下述思想:物质的最初级的构造单元是些微小的形如弦状的圈或段,它们以不同的模式象小提琴的弦那样震动。为了理解这种极其复杂的理论,一群理论物理学家便深深扎进数学里面,在那里他们做出了一连串惊人的数学预言;这些预言已开始得到证实。这些成果刺激出一大堆突如其来的工作,它们更增加了这个理论似乎是合理的根据。它也酿造出四维数学的一个新分支,被称为量子几何学;它也正在物理学中开辟一个新视角。
在1998年的Fields奖中可以看到数学与物理之间紧密关联的另一个表现。Fields奖是数学界的最高荣誉。在四位获奖者中有三位的研究领域都受到物理学的极大影响,而一项专门奖(Nevanlinna奖–校注)授予了在量子计算方面的工作,而这量子计算则根植于量子力学中。

二十世纪的潮流-数学与生命科学

一个急速壮大的新的伙伴关系当属数学与生物学之间的合作。这种合作关系开始于20世纪20年代,发生在生态领域中。那时,意大利数学家Vito Volterra建立了第一个捕食与被捕食之间关系的模型。他发现食鱼的鱼和被吃的鱼的群体的盈亏消长可以用数学来描述。二战之后,由Volterra发展起来的对群体建模的方法推广到了流行病学,用以研究较大群体的疾病。
最近,分子遗传学的观点激励了科学家们把这些方法用于传染病研究中,其研究的对象不是有机体或人的群体而是细胞群体。在细胞系统中,捕食者譬如是病毒群体而被捕食者是人体细胞群体。两个群体在为了生存而进行的达尔文式的斗争中有消有长;这适合于用数学来描述。近十年来,将传染源体视为捕食者而宿主细胞视为被捕食者的数学模型,已经重新界定了下述领域的许多方面,他们是免疫学,遗传学,流行病学,神经学及药物设计。这个伙伴关系之所以成功,原因在于数学模型提供了有威力的工具,用以描述在生物系统中所发现的由数量和关系构成的庞然大物。
例如,数学生物学家已经能对许多东西作出定量预测,包括病毒和微生物如何在宿主中生长,他们如何改变宿主的遗传因子结构,以及它们如何与宿主的免疫系统相互作用。
最令人惊讶的一些结果出现在对爱滋病的研究中,完全反转了对受感染病人中的HIV病毒的看法,先前通行的看法以为HIV病毒在感染宿主细胞并致病之前会潜伏大约十年时间,数学建模指出,导致最严重疾病的那种HIV病毒并不是蛰伏的;它不断迅速生长,其半寿期只有两天而已。
那么,为什么要平均十年才开始发病呢?又是数学建模告诉我们,疾病的发展是由病毒的进化造成的,免疫系统可以把病毒抑制一个较长的时间,但是最终病毒会突变为一个新的形式,数量猛增并摧毁免疫防线,发生这种情况的原因,在于病毒象其他的传染源体一样,可以以比它们的宿主更快的速度繁殖,而且它们的遗传物质的复制不太精确。
事实上,每个HIV传染体差不多可以看作为一个进化过程,其中病毒群体不停的变化着而新的病毒突变体源源不断的出现。自然选择法则偏爱那些能够逃避免疫反应的或那些能感染更多类型的人体细胞的变种以及能繁殖更快的变种,这个模型证明了,所有的进化极大的增加了病人体内的病毒密度和数量,从而加速了病变。
这些数学模型也使人明白了为什么抗HIV药物应该几种药物组合使用,而在被感染时要尽早使用。药物的组合使用之所以最有效是因为病毒极少会立刻产生多重突变。而且在病毒进化还没有发展到太远时就应该尽早使用这些药物。
下个世纪中对人类健康一个主要威胁是药物治疗引起的细菌抗药性问题,而这也是数学模型有用武之地的另一个领域。这些模型可以提出一个搜索和分析数据的清晰准则,从而使得药物更加有效。描述传染源体和免疫系统间复杂的相互作用的好模型最终会开创出一个新的定量免疫学学科。
还有许许多多的数学与其他科学的伙伴关系;许多最具创新力和经济价值的工作都是在领域之间、学科之间的边缘上做出来的。流体力学的研究中有个非常好的例子。从前要描述流体的复杂运动,象飓风、通过心脏的血流在多孔地层下的油流等等,几乎是完全不可能的;而在发现一个纯粹的数学构造,即称之为Navier-Stokes方程之后,正好可以解决这些问题。控制论是动力系统理论的一个分支,它给出另一个例子。只举其中一个应用,既高性能飞行器的大量测试工作可以用计算机同时进行,这极大的减少了使用风洞和试飞的花费和危险。
强调一下以下的事实是重要的:尽管建模和仿真模拟都是现代的和重要的研究专题,但我们仍然不太善于处置那些出现在复杂仿真中的易变因素。学会与易变因素斗争是数学家需要优先处理的事情,他们必须从基础上发现新的方法才能了解这些易变因素在模型中是怎样产生的,有时怎样在系统中传播的,我们模型的准确程度只能与我们消除易变因素的能力相当。

二十一世纪对研究工作的挑战-Riemann假设

尽管二十世纪取得了巨大的成就,但仍然有十几个突出问题在等待着答案。我们中的大多数人或许会同意下面提到的三个都是列在最有意思也最具挑战性的问题中的。
Riemann假设(通常亦称为Riemann猜想-校注)
第一个问题是Riemann假设,它使数学家们受到150年的可望不可及的煎熬,它与素数概念有关,而素数则是构建算术的基本单元。素数是一个正整数,它不能被1和自身以外的任何正整数除尽。素数的最初几个为2、3、5、7、11、13等等,可以一直写下去没有尽头。早在公元前3世纪,欧几里德就证明了找不到“最大”的素数,换句话说,素数的个数是无限的。
但是这些素数存在一个固有的模式吗?对以笔和纸来研究素数的某些人而言,它们最初显现出是随机出现的。然而在十九世纪,德国数学家bernhard riemann推广了欧几里德的看法,他断言素数不仅有无穷多个而且它们以一种微妙和精确的模式出现。证明这个结论成立(或不成立)或许是在纯数学的现存问题中最深刻的一个。

二十一世纪对研究工作的挑战-Poincaré猜想

Poincaré猜想这个问题之所以使人困惑是由于它是那样的基本又似乎那样的简单。在 Poincaré 时代,即一个世纪前,这个问题甚至连同到整个拓扑学都被看成是平凡易事——拓扑学主要是由Poincaré创立的。然而时至今日,拓扑学已经是数学中一个必不可少的有意义的子领域。
粗略的说,拓扑学是关于结构和空间基本性质的学科。例如一个球面可以拉伸、压缩,以各种方式取弯曲,只要不撕破他、戳破它,(在拓扑学家的眼里)它仍然是个球。在拓扑学家看来,一个炸面饼圈和一个咖啡杯是一样的,因为它们中的每一个都可以揉成同一个基本形状,既有一个孔的环状体或一个实心轮胎。拓扑学家特别感兴趣的是流形,它意味着“具有多重特性或形式”。例如,一个足球是一个两维流形或两维球;我们可以按我们自己的方式任意使用它,只要它没有破裂他就仍然是个足球。
拓扑学家寻求的是去识别所有可能的流形,包括宇宙的形状——这正是Poincaré猜想的主题。两维的情形相对容易些,在十九世纪末就已经作出来了。检验一个流行是否是一个二维球也是直接了当的。试想在一个足球表面上放一个橡皮箍,如果它不离开表面就可以缩成一个点,而且放在表面的任意地方都行,则这个球必是二维球面;我们称它是单连通的。
1904年Poincaré猜想,这个在两维情形是对的事实在三维时也成立,既任何的单连通的三维流形(正如我们所在的宇宙)是个三维球。听起来它在直观上是显然的,而且没有人曾证明过不存在假的三维球,故而此猜想仍然没有得到证明。令人惊奇的是,对于严格大于三的所有高维情形,等价的Poincaré猜想都有了证明,惟独三维没有。

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