【文摘】数学趣题汇编(15)

1.过道里依次挂着标号是1,2,3, ……,100的电灯泡,开始它们 都是灭着的。当第一个人走过时,他将标号为 1 的倍数的电灯泡的开关 线拉了一下,当第二个人走过时,他将标号为 2 的倍数的电灯泡的开关 线拉了一下,当第三个人走过时,他将标号为 3 的倍数的电灯泡的开关 线拉了一下,…… 如此进行下去,当第一百个人走过时,他将标号为 100 的倍数的电灯泡的开关线拉了一下。
问:当第一百个人走过后,过道里亮着的电灯泡标号是多少?

2.找出全部整数对 (a,b),其中 a,b>=1,并且满足方程: a^(b^2)=b^a 。

3.地球的任一直径的两个端点称作一对对径点,可以自然的认为地球表面的温度和气压是连续量,求证:地球表面上至少存在一对对径点,其 温度和气压均相等。

4.Use only three nines and one operation sign (+, -, x, /) once and only once to write an expression equal to 1.

4.仅仅使用3个数字9,并且加减乘除符号只能使用一次,写出一个等于1的表达式。

5. 确定最小的自然数 n ,使得 n! 的结尾恰好有 2020 个 0 .

6. 考虑中心为 O 的正 1999 边形 A1A2…A1999,
证明:向量集合 M={ OAj,j=1,2,…,1999} 的任何真子集的向量和,都不会等于 0 。

7. 证明:在三维空间中,从原点引出的、两两夹角不小于 π/4 的射线不超过27条。

8. 一个保险柜上的锁由三个旋钮组成,每个旋钮有 8 中不同的位置。由于保险柜的构造有缺陷,三个旋钮中只要有两个处于正确位置,柜门即可以被打开。问至少要尝试多少次组合,才能保证门一定可以被打开?

9. 在某个考试中,有四个选择题,每个题有三个可能的答案,一群学生参加考试,结果是对于其中任意三个人,都有一个问题,他们的答案各不相同,问至多有多少学生?

10. 如果一个自然数的十进制表示是由两个不从 0 开始的相同的数字块拼接而成,则称这个数是二重数,例如:312312,500500,等等,证明:存在无限多的二重数是完全平方数。

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