【文摘】大学数学竞赛题汇编(13)

1.(群论)在奇数阶群<G,*>中, 求证:对于任意y属于G, 方程x*x=y有解。

2. (Q,+,0)是有理数Q在加法的作用下构成的阿贝尔群,记为Q;
(Q+,.,0)是正有理数Q在乘法作用下构成的阿贝尔群,记为Q+;
证明如下的几个性质:
(1) Q和Q+不同构;
(2) Q+不能嵌入Q,也就是说Q的任何一个子群都不和Q+同构;
(3) Q也不和Q+Q(直和)同构 。

3.Let a,b,c,d be integers with a>b>c>d>0.
Suppose that ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c) ,
Prove that ab+cd is not prime.

4.Determine all pairs (n,p) of positive integers such that p is a prime, n not exceeded 2p, and (p-1)^n+1 is divisible by n^(p-1).

5. 证明:对于每个 k = 2,3,4,…,存在无理数 r ,满足 [r^m] ≡ – 1(mod k)对每个自然数 m 都成立。其中 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数。

6. 若函数 f : (0,+∞) -> R 具有性质
f(x) = f(1/x) (对所有 x > 0)
证明:存在函数 u:[1,+∞ ) -> R,满足
u((x+1/x)/2) = f(x) (对所有 x > 0)

7. 在空间中,是否存在一个点集 M,对任意一个平面 σ,M∩σ 都是有限的非空集合?

8. 若 n 遍历所有正整数,证明:函数 f(n) = [n+sqrt(n/3)+1/2] 遍历所有正整数,但数列 a(n)= 3×n^2 – 2×n 的项除外。

9. 有 n 个人,每个人恰好认识其中的 3 个人。他们围绕圆桌坐下,如果每个人认识他两边的人,就称这种座法是完美的。证明:如果有一种完美的座法 S,则必有另一种完美的座法,它不能有 S 经过旋转或反射得到。

10. 三个平面镜相交于一点,且互相垂直。一条光线顺次在每个镜面上反射一次,证明:光线的初始方向和最后的方向平行并且相反。

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