【数学】跨越素数的沟壑

作者 | 埃丽卡·克拉赖希

来源 | 选摘自《素数的阴谋》,托马斯·林编著,中信出版集团

2013 年 4 月 17 日,数学领域顶级期刊之一《数学年刊》(Annals of Mathematics)收到了一篇论文。这篇论文出自一位在其领域几乎名不见经传的数学家——来自新罕布什尔大学年逾 50 岁的讲师张益唐。该论文声称在理解孪生素数猜想这一最古老数学问题上取得了重大进展。

顶级期刊的编辑们早已习惯面对不知名作者的夸夸其谈,不过这篇论文却是个例外,因为它显然是一份严肃的证明:语言清楚明晰,且完全掌握了该领域目前最新的技术。《数学年刊》的编辑决定对其加快处理。

仅仅过了三周时间——相对于数学期刊正常的审稿速度也就是一眨眼的工夫,张益唐就收到了他论文的审稿意见。

其中一位审稿人写道:“主要结果是一流的。作者证明了素数分布中一个里程碑式的定理。”

一位此前默默无闻的学者取得了一项重大进展——这一传闻在数学界迅速传播开来。事实上,在 1991 年获得博士学位后,张益唐的学术能力一直被人忽视,以至于他甚至无法在学术界找到一份工作。他当过几年会计,甚至在赛百味(三明治快餐连锁店)干过。

蒙特利尔大学的数论学家安德鲁·格兰维尔(Andrew Granville)教授说:“在此之前基本没人知道他。但突然间他就证明了数论史上重要的结果之一。”

当年 5 月 13 日,哈佛大学的数学家们赶忙为张益唐安排了一场报告,请他在听众面前展示自己的工作。随着更多的细节浮出水面,人们意识到,张益唐的结果并非来自什么全新的方法,而是来自坚持不懈地运用已有的方法。

“这一领域的顶级专家之前尝试过这种方法,”格兰维尔表示,“虽然张益唐并不是知名的专家,但那些专家都失败了,而他成功了。”

素数对问题

素数是指除了 1 和它自身以外没有其他因子的自然数,它们是构成算术的“原子”。两千多年前,欧几里得证明了存在无穷多个素数,之后,关于素数的问题吸引了无数数学家。

素数本质上与乘法性质相关,因此理解其加法性质就变得非常棘手。数学中一些最古老的猜想就涉及素数及其加法性质,例如孪生素数猜想,它断言存在无穷多对相差为 2 的素数;以及哥德巴赫猜想,它断言所有偶数都可以写成两个素数之和。非常巧合的是,张益唐在哈佛做报告的同时,来自巴黎高等师范学校的哈拉尔德·黑尔夫戈特(Harald Helfgott)在线发布了一篇文章,证明了后一个猜想的一个弱版本。

数轴上一开始有很多素数,但随着数字逐渐变大,它们变得越发稀疏。比如在前 10 个数中,素数占 40%:2,3,5,7。但在 10 位数中,素数仅占约 4%。一个多世纪以来,数学家已经理解了在平均意义上素数的出现频率是如何递减的:在大数中,相邻素数之间的期望间隔大约是其位数的 2.3 倍,比如在 100 位数中,相邻素数之间的期望间隔大约是 230。

但这只是平均意义上的结果。素数经常比预测的平均值更加紧密或稀疏。尤其是孪生素数经常会突然出现,比如 3 和 5,11 和 13,它们仅相差 2。虽然在大数中孪生素数变得越发稀少,但它们似乎从未完全消失(目前发现的最大的孪生素数是 2 996 863 034 895×21 290 000 ±1)。

数百年来,数学家一直猜想有无穷多对孪生素数。1849 年,法国数学家阿方斯·德波利尼亚克(Alphonse de Polignac)推广了这一猜想,提出对于任意可能的有限间隔(不仅仅是 2),都应该存在无穷多素数对。

从那时起,即使不知道有什么应用,但这些猜想的内在吸引力就足以让人们赋予它数学圣杯的地位。尽管人们在证明这些猜想方面付出了很多努力,数学家们还是不能排除素数的间隔会一直增长,并最终超过任意特定上界的可能。

现在张益唐突破了这道障碍。他的论文表明:存在某个小于 7 000 万的数 N,使得有无穷多对素数,它们之差小于 N。不论你在庞大素数的沙漠里走多远,也不论这些素数变得多稀疏,你总会不停地发现相差小于 7 000 万的素数对。

圣何塞州立大学的数论学家丹尼尔·戈德斯通(Daniel Goldston)说这一结果“令人震惊”。“这是一个你之前无法确定能否解决的问题。”

素数筛

张益唐的证明源自 13 年前的一篇论文。这篇论文被数论学家们称为 GPY,由论文三位作者姓名的首字母命名——戈德斯通、来自布达佩斯阿尔弗雷德·雷尼数学研究所的亚诺什·品茨(János Pintz)和伊斯坦布尔海峡大学的杰姆·伊尔迪里姆(Cem Yıldırım)。虽然 GPY 论文非常接近最终的结论,但它最终还是无法证明存在无穷多具有某个有限间隔的素数对。

不过,GPY 证明了总存在间隔比预测的平均间隔小得多的素数对。精确来讲,GPY 证明了对任意选定的分数(无论多小),只要沿数轴走得足够远,总存在一对素数,它们的间隔小于平均间隔的该分数倍。但研究者无法证明这些素数对的间隔总小于某个特定的有限数。

GPY 使用了一种被称为“筛法”的方法来过滤出那些间隔小于平均值的素数对。从两千年前用于寻找素数的埃拉托色尼筛法开始,各种筛法在素数研究中长盛不衰。

举个例子,我们来使用埃拉托色尼筛法来寻找 100 以内的素数。我们从 2 开始,划掉 100 以内所有能被 2 整除的数;接着到 3 ,我们划掉所有能被 3 整除的数;4 已经被划掉了,所以到了 5 ,我们划掉所有能被 5 整除的数,以此类推。经过了这一过程,最后剩下的数就是素数。

埃拉托色尼筛在识别素数方面效果很好,但对于解决理论问题来说却过于烦琐而低效。在过去的一个世纪中,数论学家们发展出了一整套方法来寻求这些问题的近似答案。

“埃拉托色尼筛法的准确性好过头了,”戈德斯通说,“现代筛法则放弃了完美筛选的尝试。”

GPY 设计了一种筛法,它可以过滤出一串可能包含潜在素数对的数。为了从这些数中找出真正的素数对,研究者将他们的筛法和一个函数相结合,该函数的有效性取决于一个被称为分布水平的参数,这一参数用来衡量素数开始显现出某些规律性的速度。

我们已知这一分布水平至少为 1/2。这正好是证明 GPY 结果所采用的参数,但它无法证明总存在具有某个有界间隔的素数对。研究人员已经证明:只有当素数的分布水平大于 1/2 时,GPY 使用的筛法才可能证明这个结论——任何比 1/2 大,哪怕只是大一点点的数都可以。他们认为:GPY 的定理“距离解决这个问题看似只有一根头发丝直径的距离”。

但是随着更多研究者试图解决这个困难,这一根头发丝的直径看起来却愈发遥远。在 20 世纪 80 年代,3 位研究者,来自普林斯顿高等研究院的菲尔兹奖得主恩里科·邦别里(Enrico Bombieri)、多伦多大学的约翰·弗里德兰德(John Friedlander)和罗格斯大学的亨里克·伊万涅茨(Henryk Iwaniec),发展出了一套调整分布水平定义的方法,将这一参数提高到 4/7。在 2005 年 GPY 论文发表之后,研究者们不遗余力地试图将这一调整后的分布水平整合到 GPY 的筛法框架内,但都无功而返。

格兰维尔评论道:“这个领域最有名的专家都尝试过,并且都失败了。当时我个人认为没有人能在短时间内做到。”

跨越沟壑

与此同时,张益唐在孤军奋战,试图在 GPY 定理和素数有界间隔猜想之间架设桥梁。张益唐是一位在普渡大学获得博士学位的中国移民,他一直对数论充满兴趣,尽管这不是他博士论文的题目。在无法在学术界找到工作的艰难岁月里,张益唐仍然继续关注着该领域的进展。

他说:“一个人的职业生涯中有很多机会,但重要的是要保持思考。”

张益唐读到了 GPY 的论文,特别是那句关于 GPY 定理和素数有界间隔猜想间仅有头发丝直径的距离的话。他说:“那句话让我印象深刻。”

在没有和该领域的专家进行交流的情况下,张益唐开始独自思考这个问题。然而,三年过去了,他没有取得丝毫进展。“当时的我疲惫不堪。”他说。

2012 年夏天,为了放松,张益唐拜访了科罗拉多州的一位朋友。7 月 3 日,在朋友家的后院等待启程去音乐会的半小时时间里,他突然想到了问题的答案。他说:“我马上意识到这样行得通。”

张益唐的想法是,不直接使用 GPY 的筛法,而是对其进行修正。修正后的筛法不会对每一个数都进行过滤,而仅仅过滤那些没有大的素因子的数。

戈德斯通说:“他的筛法并不是那么好,因为它并没有使用可以用来筛数的所有工具。但事实证明,虽然它的效果稍差,但却拥有某种灵活性,让结论得以成立。”

戈德斯通认为,虽然新的筛法能够让张益唐证明存在无穷多相差不超过 7 000 万的素数对,但它能证明孪生素数猜想的可能性很小。他说,即使假设最强的分布水平参数,通过 GPY 方法可能得到的最好的结果,也只是存在无穷多相差不超过 16 的素数对。

但格兰维尔却认为,数学家不应提前排除使用这些方法最终证明孪生素数猜想的可能性。

他说:“这项工作是革命性的。有时出现一个新的证明之后,原先人们认为要难得多的问题就变成了一个很小的扩展而已。目前,我们需要研究这篇论文,看看结果如何。”

张益唐花费了数月的时间来厘清所有细节,最终的论文阐述清晰,堪称典范。格兰维尔评价道:“他把每一个细节都讲清楚了,让人无从质疑。文章没有含糊不清的地方。”

在张益唐收到审稿意见之后,更多的事情纷至沓来。各地的研究机构纷纷邀请他去做报告,介绍自己的工作。格兰维尔说:“一个默默无闻的人能做到这一点,令人感到相当兴奋。”

对于自称非常害羞的张益唐来说,聚光灯下的光芒多少令他有些不适应。他说:“我说,‘为什么一切来得如此之快?’有时这令人很困惑。”

然而,在哈佛的演讲现场,张益唐并不紧张。听众称赞他的演讲思路清晰。他说:“当我做报告并且专注于数学时,我就忘记了害羞。”

张益唐说,到目前为止,自己对于之前相对默默无闻的职业生涯并无怨恨。他说:“我的心态很平和。我不是特别在乎钱,或者荣誉。我喜欢安静,我喜欢继续一个人工作。”

素数间隔问题:通力合作与孤军奋战

2013 年,张益唐攻克了素数领域一个长期悬而未决的问题。他证明了,沿数轴前进时,尽管素数的分布越来越稀疏,但你总能找到相差不超过 7 000 万的素数对。之后的几个月里,整个数学界都沉浸在张益唐这一结果所带来的兴奋之中,他收到了铺天盖地的活动邀请。张益唐在美国众多知名学府报告了自己的工作,收到了中国顶尖科研机构的工作邀请,还拿到了美国普林斯顿高等研究院访问学者的位置,后来,他所在的新罕布什尔大学也将他晋升为正教授。

与此同时,张益唐的工作也引出了一个问题:为什么是 7 000 万?事实上,这一数字并没有什么神奇之处——它只是满足了张益唐的目的,并有助于简化他的证明。其他数学家很快就意识到,应该有办法减小这一差值的上界,尽管不能一直减小到 2。

截至 2013 年 5 月底,数学家们已经对张益唐的证明进行了一些简单调整,将这个上界降到了 6 000 万以下。澳大利亚国立大学的斯科特·莫里森(Scott Morrison)发表了一篇博客,就此点燃了一场活动的风暴:数学家们开始争相减小这一数字,创造了一个又一个纪录。截至同年 6 月 4 日,数学界的著名奖项——菲尔兹奖得主、加州大学洛杉矶分校的陶哲轩(Terence Tao)创建了一个公开的“博学者计划”在线项目(Polymath project)以改进这个结果,该项目吸引了数十名参与者。

启动几周以来,该项目以惊人的速度推进。陶哲轩回忆道:“有的时候,这个上界每隔 30 分钟就会下降。”截至 2013 年 7 月 27 日,该团队已经成功将素数间隔的上界从已证的 7 000 万降到了 4 680。

随后,同年 11 月,当时还在蒙特利尔大学独立工作的博士后研究员詹姆斯·梅纳德(James Maynard)在预印本网站 arxiv.org 上发布了一篇文章,使得缩小素数间隔的竞争进入白热化阶段。就在张益唐宣布其结果几个月之后,梅纳德给出了一个独立的证明,将这一间隔降到了 600。博学者项目中的另一项工作将该项目中合作者的技术和梅纳德的方法相结合,将这个数值降到了 246。

陶哲轩说:“数学界对这一新进展非常兴奋。”

梅纳德的方法不仅适用于素数对,也适用于三元、四元和多元素数组。他证明,当你沿数轴前进时,你可以找到无穷多个包含任意给定数目个素数的有界的多元素数组(陶哲轩说,他与梅纳德几乎同时独立地得到了这个结果)。

张益唐的工作,以及梅纳德的工作(尽管梅纳德的程度更轻一些),都是孤独数学天才的典型写照:他们在某个传说中的阁楼里埋头工作数年,最后拿出一个震惊世界的伟大成果。而博学者计划却截然相反——它发展迅猛,提倡大规模合作,以随时创造一项新世界纪录所带来的满足感为动力。

对于张益唐来说,独自工作并几乎不正常地痴迷于某一个难题的方式给他带来了丰硕的回报。那他会向其他数学家推荐这种方法吗?“这很难说,”他说,“这是我选择的方式,但也只是我个人(做数学)的方式。”

陶哲轩则强烈反对年轻数学家走与张益唐相同的道路,他称这是“一种特别危险的职业危害”,并指出,这条路很少奏效,除非你是有稳定职位,并已经做出了能证明自己实力的工作的知名数学家。不过,他在一次采访中也表示,独立和合作的工作方式都能给数学带来新的东西。

陶哲轩说:“要有愿意独立工作且敢于打破传统观念的人,这非常重要。”相比之下,博学者计划“完全是群体思维”。“并非每个数学问题都适合这样的合作,但就缩小素数间隔的界这一问题而言,它非常适合。”

梳理数轴

为了证明自己的结果,张益唐使用了一种叫 k 元组(k-tuple)的数学工具来寻找素数。你可以把 k 元组想象成一把梳子,其中部分梳齿被折断了。如果你从数轴上任意选定的位置开始,沿数轴放置这样一把梳子,那么剩余梳齿将会指向一组数字。

张益唐的目光集中在一类折断梳子上,其剩余梳齿满足“可容许性”(admissibility)这一整除性质。首先,他证明,任意一把至少有 350 万个梳齿的“可容许梳子”会在数轴的无穷多个位置上发现至少两个素数。接下来,他展示了如何从一把有 7 000 万个梳齿的梳子出发,通过折断除素数梳齿以外的其他所有梳齿,来得到一把至少有 350 万个梳齿的可容许梳子。张益唐得出结论,这样一把梳子一定能不断地找到两个素数,且找到的两个素数相差不超过 7 000 万。

蒙特利尔大学的安德鲁·格兰维尔称这一发现是“一个了不起的突破”,“(这)是一个具有历史意义的结果”。

张益唐的工作包括三个单独的步骤,每一步都为他 7 000 万的上界提供了潜在的改进空间。首先,张益唐引用了一些非常深奥的数学过程来确定素数可能隐藏的位置。接下来,他用这个结果计算出他的梳子需要多少梳齿,才能保证它可以无穷多次地找到至少两个素数。最后,他计算出自己必须从多大的梳子开始,才能在折断到满足可容许性之后还能留下足够的梳齿。

陶哲轩表示,由于这三个步骤可以分别进行,改进张益唐的结果变成了一项适合多人合作的理想项目。“他的证明是非常模块化的,所以我们可以并行多个步骤,让掌握不同技术的人分别贡献出自己的改进。”博学者计划很快吸引了掌握相关技术的人,它或许比自上而下组织的计划更有效率。“博学者计划把从未想过会一起工作的一群人聚集了起来。”陶哲轩说。

素数的鱼塘

在张益唐的三个步骤中,最先得到改进的是最后一步。在这一步中,他找到了一把至少有 350 万个梳齿的可容许梳子。张益唐证明,只需一把长度为 7 000 万的梳子,就能得到这样一把可容许梳子,但他并没有特别努力去尝试缩短这一长度。这其中有很大的改进空间,擅长计算数学的研究人员很快就开始了一场良性竞争,寻找具有给定梳齿数的更小的可容许梳子。

麻省理工学院的安德鲁·萨瑟兰(Andrew Sutherland)很快就在构造可容许梳子的竞争中拔得头筹。他的研究重心是计算数论,在张益唐宣布自己结果的那段时间里,安德鲁正在旅行,并没有特别注意这个结果。但当他在芝加哥一家酒店办理入住手续,并向前台接待员提及自己在那儿参加一个数学会议时,接待员回答道:“哇,是那个 7 000 万,对吗?”

萨瑟兰说:“我被酒店接待员都知道这件事震惊了。”他很快就发现,对有像他这样计算能力的人来说,张益唐给出的上界还有很大的改进空间。“这个夏天我本来有很多计划,但它们都被我搁下了。”

对于研究这一步骤的数学家来说,他们面临的情况随时在发生改变。每当研究其他两个步骤的数学家设法减少了梳子所需的梳齿数时,他们的任务就会发生变化。“游戏规则每天都在改变,”萨瑟兰说,“当我睡觉时,欧洲的合作者可能就贴出了新的上界。有时,我会在凌晨 2 点跑下楼,去发布一个想法。”

博学者项目的最终纪录是一把总长度为 4 680、有 632 个梳齿的梳子。该团队使用了一种遗传算法,这种算法将不同的可容许梳子彼此“配对”,以制造出新的、可能更好的梳子。

梅纳德发现了一把总长度为 600、有 105 个梳齿的梳子,这使得之前博学者项目中那些庞大的计算都过时了。但这个团队的努力并没有白费。萨瑟兰说,寻找更小的可容许梳子在许多数论问题中都有用武之地。梅纳德则说,在改进自己关于三元、四元和多元素数组的结果时,这个团队的计算工具就很可能派上用场。

关注张益唐证明第二步的研究人员的工作,则是沿数轴寻找放置梳子的位置,使其最有可能找到一对素数,并以此来确定所需要的梳齿数。当你沿数轴越走越远时,素数会变得非常稀疏,因此如果你只是把梳子随机放在某个位置,你很可能找不到任何素数,更别说找到两个素数了。寻找哪里有最多素数的问题最终变成了“变分法”领域中的一个问题,变分法是微积分的一种推广。

这一步包括可能是这个计划里最了无新意的进展,它们绝大部分最终也被梅纳德的工作直接取代了。然而在当时,这一进展是最富有成果的进展之一。当这一团队在 2013 年 6 月 5 日填上这块拼图时,素数间隔的上界从大约 460 万降到了 389 922。

张益唐证明的第一步处理的问题是素数是如何分布的,关注这一步的研究人员所面临的可能是最困难的工作。一个多世纪以来,数学家们已经掌握了一系列关于素数分布的规律。其中一条规律说,如果将所有素数除以 3,则一半的素数余 1,一半的素数余 2。萨瑟兰认为,这一类规律正是我们在确定一把可容许梳子能否找到一对素数时所需要的,因为它表明“代表素数的鱼儿不可能都藏在同一块石头下面,它们是分散在各处的”。但为了在证明中使用这些分布规律,张益唐以及后来的博学者项目都必须尽力攻克一些最深奥的数学难题:其中包括从 20 世纪 70 年代起由皮埃尔·德利涅(Pierre Deligne)提出的一系列定理,这些定理关注的是在庞大的求和式中,什么时候某些特定的误差项会相互抵消。皮埃尔·德利涅目前是普林斯顿高等研究院的名誉教授。莫里森认为德利涅的工作是“20 世纪数学中巨大而惊人的一页”。

陶哲轩说:“幸运的是,有一些参与者对德利涅发展出的这套困难的机制非常熟悉。在开展这项计划之前,我自己对这个领域了解不多。”

这一步的参与者不仅通过完善这部分的证明来改进了得到的结果,还提供了另一种完全不依赖德利涅定理的方法,但此时要在得到的结果上付出一定代价:如果不用德利涅定理,这一计划得到的最好的上界是 14 950。

对于数学家来说,这种对证明的简化(如果有的话)比这个计划最终得到的数字更令人兴奋,因为数学家不仅关心证明是否正确,也关心它能带来多少新的见解。

“我们需要的是新想法。”格兰维尔说。

引人注目的是,在博学者项目的进程中,张益唐本人并未参与,尽管这一点可能并不令人意外。他说自己并未密切关注过这个计划,并表示:“我和他们没有任何联系。我更喜欢保持安静和独处,这能够让我集中精力。”

尽管不那么引人注目,但同样缺席博学者项目的还有梅纳德。当博学者项目的参与者们狂热地减小素数对之间的间隔时,梅纳德正在独自发展一套不同的方法——一套在一篇已被遗忘的论文中预示的方法,那 篇论文是十年前写的,后来被撤回了。(本文的写作与发表时间是 2013 年 11 月。——编者注)

秘密武器

张益唐的工作基于 2005 年一篇被称为 GPY 的文章,它以作者丹尼尔·戈德斯通、亚诺什·平茨和杰姆·伊尔迪里姆的姓氏首字母命名。GPY 论文发明了一个评分系统,来衡量某个给定的数与素数的接近程度。偶数得分很低,能被 3 整除的奇数得分仅比偶数略高,等等。这类评分公式被称为“筛”,它们也可以用来对可容许梳子指向的一组数进行评分,在确定梳子放在数轴上的什么位置更有可能找到素数时,它们是非常关键的工具。构造一个有效的筛其实有点儿像一门艺术:这个公式必须能很好地估计不同的数与素数的接近程度,但也必须足够简单,能用于分析。

在 GPY 论文发表的两年前,三位作者中的两位——戈德斯通和伊尔迪里姆——就发布了一篇论文,描述了他们宣称的强大评分方法。然而,没过几个月,数学家们就发现了该论文的一个漏洞。当戈德斯通、平茨和伊尔迪里姆重新调整了评分公式,补上这一漏洞后,大部分数学家开始将注意力转向调整后的评分系统,即 GPY 版本,并未考虑是否有更好的方法来调整最初有漏洞的公式。

梅纳德的博士后导师格兰维尔说:“我们这些研究 GPY 的人觉得自己已经掌握了所有的基础知识,从来没想回过头去重新做之前的分析。”

然而,2012 年,梅纳德决定回过头再看一看之前的论文。作为一名研究筛理论的刚刚毕业的博士,梅纳德发明了一种调整 GPY 评分系统的新方法。GPY 对可容许梳子评分的方法是将其指向的所有数字相乘,然后对乘积进行一次性评分。而梅纳德想出了一种对每个数字分别评分的方法,以从评分系统中获得更多细微差别的信息。

格兰维尔表示,梅纳德的筛法“出人意料地简单”。“这种方法是像我这样的人会拍着额头说,‘如果七年前我们意识到自己可能做到,我们早就做到了!’的那种。”

利用这种改进后的评分系统,梅纳德将素数的间隔缩小到了 600,并对更大的素数组也证明了相应的有界间隔结果。

张益唐和梅纳德在几个月之内各自证明了素数间隔是有界的,这“纯属巧合”。梅纳德说:“当我听到张益唐的结果时,我非常兴奋。”

对于梅纳德抢了博学者项目的风头,陶哲轩也持类似的看法,他说:“纪录就是用来被打破的——这就是进展。”

陶哲轩和梅纳德说,将梅纳德的筛法与张益唐和博学者项目关于素数分布的深刻技术性工作结合起来,有可能进一步缩小素数间隔。

这一次,梅纳德也加入了进来。他说:“我期待着使这个上界尽可能小。”从张益唐和梅纳德的方法中究竟还能榨出多少东西,仍有待观察。

在梅纳德的工作之前,最好的情况似乎是素数间隔的界可以被降到 16,这是 GPY 方法的理论极限。梅纳德的改进将这一理论极限降到了 12。梅纳德说:“可以想象,用一个更巧妙的筛法可以将这一极限降到 6。”但他同时也表示,用这些想法不太可能将素数间隔一直降到 2,来证明孪生素数猜想。

梅纳德说:“我觉得我们仍然需要一些理念上的重大突破,才能解决孪生素数问题。”

陶哲轩、梅纳德和博学者项目的参与者们最终可能会从张益唐那里获得大量新的想法。这位近期频繁乘飞机四处旅行的数学家花了相当一段时间才掌握了在飞机上思考数学的技能,但他现在已经开始研究新的问题了。张益唐拒绝透露更多信息,只说这个问题“很重要”。他说,尽管他目前没有在研究孪生素数问题,但他保留了一个“秘密武器”——在他的结果公布之前,他就发明了一种可以降低上界的技术。张益唐说,由于该“武器”太过技术性和困难,他在自己的论文中省去了这种技术。

“这是我自己的原创想法,”他说,“它应该是一个全新的东西。”

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