【文摘】数学难题汇编(14)

1.ABC为一三角形,分别作角A,B,C的三等份线,它们两两相交于
D,E,F三点,求证:三角形DEF为一正三角形(等边三角形)。

2.A、B两人参加竞选,最后A得到X票,B得到Y票(X>=Y),因而A获胜,
试问:在统计选票的过程中,A的得票数始终多于B的概率是多少?

3.请用初等数论写出下列数列的通项公式:
1,2,3,4,6,7,8,9,10,11……
说明: 1.数列本来是A(n)=n,但现在第5项出现了跳跃,且仅是这一项,其它不变;
2.所谓初等数论,即仅限于高中所学,且必需用一个式子表示。
参考答案

4.一条蠕虫在橡皮绳的一端.橡皮绳长一公里。 蠕虫以每秒一厘米的稳定速度沿橡皮绳向另一端爬行,在一秒钟后,橡皮绳就象橡皮筋一样拉长为两公里。再过一秒钟,它又拉长为三公里(橡皮绳是均匀的 伸长) ,请问,蠕虫最后会不会到达终点呢?

5.已经知道圆的任意一弦与其所成两个夹角相等。 求证逆命题成立,即:若一闭合曲线的任一弦与其所成两个角相等,则该曲线是圆。

6.(Putnam) Let F(m) be the mth Fibonacci number, de fined by F(1) = F(2) = 1 and F(m) = F(m-1) + F(m-2), for all m>=3. Let p(x) be the polynomial of degree 1008 such that p(2n + 1) = F(2n+1) for n = 0, 1, 2,…… 1008. Find integers j and k such that p(2019) = F(j)- F(k).

7. 求证:在群<G,*>中,若对于任意y属于G, 群方程x*x=y有唯一解,则G必为奇数阶群。

8.a,b均为大于0的无理数,且满足 1/a+1/b=1,
证明:集合 {[ma]},{[nb]}互为自然数集的补集。这里m,n均为自然数,[]表示取整。

9.Twenty-one girls and twenty-one boys took part in a mathematical contest.
* Each contestant solved at most six problems.
* For each girl and each boy, at least one problem was solved by both of them.
Prove that there was a problem that was solved by at least three girls and at least three boys.

10.Determine all functions f: R->R
such that f(x-f(y))=f(f(y))+xf(y)+f(x)-1 for all real numbers x, y.

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