【文摘】大学数学竞赛题汇编(12)

1.某次数学竞赛共有6道题,一共2005个人参加,其中任意两道题都被超过2/5的参赛者答对,没有人答对所有题,证明:至少有两个参赛者恰好答对了5道题。

2.用N个单元方格,在平面内拼成方格块构图,用f(N)表示构图种类数量,
例如当 N=3 ,可以拼成两种:
** 和 ***
*
所以 f(3)=2 ,
对于一般的N,求f(N)的表达式。

3.考虑复平面上的正方形,它的四个顶点所对应的复数恰好是某个整系数一元四次方程 x^4+px^3+qx^2+rx+s=0的四个根,求这种正方形面积的最小值?

4.连续掷均匀硬币M+N次,出现M次正面,N次反面,且
M>N。问在投掷过程中,出现正面次数始终大于出现
反面次数的概率?

5. (1)F is a mapping from {1,2,…,n} to {1,2,…,m}(m>n).
(2)for any x>y,F(x)>F(y).
(3)for any x,F(x)=x(mod 2).
Do you know how many mappings can satisfy these three conditions?

6.将任意一凸N 边形分割为三角形,问有多少种分法?

7. n为自然数,且 n>2, 有n个自然数x1,x2,x3……xn, 满足方程 x1+x2+x3……+xn=x1*x2*x3*……*xn ; 证明此方程对任意的n 均有解,并解的个数 是有限的.

8.求证:与n!/e最靠近的整数是n-1的倍数。

9.n 阶完全图的边被k色染色, 使得满足以下两个条件 :
(1)对于任意两个点p和q,以及任意的颜色r, 存在连接它们的长度不大于2的r色道路
(2)不存在三边各为三种颜色的三角形
求证:k<=2

10. (Putnam)Determine all possibal values of the expression:
A ^3+B^3+C^3 – 3*ABC
where A,B and C are nonnegative integers.

10.(普特南)确定表达式的全部可能值:
A ^3+B^3+C^3 – 3*ABC
其中:A,B和C是非负整数。


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