【数学】3x+1问题(3)

作者:异调

四、理论结果

只要稍微动一下脑筋,我们就知道3x+1问题和下面几个命题都是等价 的: 1)所有的航班的航程都有限; 2)所有的航班的保持高度航程都有限; 3)所有的航班中的偶变换的次数都有限; 4)所有的航班中的奇变换的次数都有限; 5)所有的航班的保持高度航程中偶变换的次数都有限; 5)所有的航班的保持高度航程中奇变换的次数都有限。 R. Terra和C. Everett证明了,“几乎所有的航班都会下降到它的起 始点以下”,也就是说“几乎所有的航班的保持高度航程都有限”。

这里的“几乎所有”是有确定的数学意义的,它是指: ——存在一个自然数n1,在所有小于n1的航班里,最多只可能有1/10 的航班,它们的保持高度航程无限; ——存在一个自然数n2,它比上面的n1要大,在所有小于n2的航班里, 最多只可能有1/100的航班,它们的保持高度航程无限; ——存在一个自然数n3,它比上面的n2要大,在所有小于n3的航班里, 最多只可能有1/1000的航班,它们的保持高度航程无限; ——等等等等…… 这好象很接近证明“所有的航班的保持高度航程都有限”了,于是很 接近证明猜想本身了。但是好好想想,这个结论只不过是说明保持高 度航程无限的航班会越来越稀少罢了,它们还是有可能存在的……更 糟糕的是,这个结论一点也没有排除有其它循环存在的可能。

对于在1上着陆的航班,数学家们也得到了一些结果。他们证明了,存 在一个常数c,当n足够大的时候,在比n小的航班中,能够在1上着陆 的航班的个数大于等于nc。在1978年R. Crandal首先给出c=0.05,虽 然小了点,但毕竟是开头一步;然后J. Sander给出c=0.3;在1989年 I. Krasikov得到c=0.43;1993年G. Wirsching得到c=0.48;最后在 1995年D. Applegate和J. Lagarias得到c=0.81。看起来我们越来越 接近c=1这个最终目标了。可是我们不知道现在用来得到c的方法是否 还可以再用下去,就好象在试图征服哥德巴赫猜想的过程中,陈景润 用来证明1+2的方法,似乎不能用来证明1+1了。 1995年的这个证明相当特殊。它使用了计算机程序来解一个十分巨大 的方程组,所以这个证明不能用手工来验证。在论文中,我们看见的 不是一个关于c=0.81的定理的证明,而是一个关于如何写出这个巨大 方程组的说明,和由程序计算出来的结果,以及如何使用这些结果来 解释c=0.81。其他的数学家如果想验证这个结果,必须首先看懂关于 方程组的证明和那些解释,再按照里面的说明来写一个程序(很复杂 的!),运行它,再看看结果是否和文章中的相同。

目前四色定理的证明也是如此,所以数学家对此很不满意。 还有一些结果是关于如果有其他不同于4→2→1的循环存在时,对这样 的循环的性质的研究。R. Crandal和N. Yoneda在1978年证明,如果 这样一个另外的循环存在的话,那么它的长度(就是在这个循环中数字 的个数,比如说循环4→2→1的长度就是3)一定要大于275000。1993 年这个体积增大到17087915,最近的结果是102225496。这些结果是 通过分析包括我们前面提到的各种纪录得到的,所以这些结果我们还 是不能完全通过手工来验证。我们看到,如果真有另外的循环存在的 话,那一定是非常非常巨大的!

五、启发式论证

数学中有一种叫“启发式”的论证方法,建立在估计和概率的手段上。 比如说底下的论证方法就是这个类型的: “每个数字要么是奇数要么是偶数,如果随便取一个自然数,碰到奇 数和偶数的可能性是一样的。如果我们把一次航班中这一系列数值看 作是随机的话,那么使用奇变换和偶变换的可能性也是一样的,所以 平均在每两次变换中我们有一次是n→3n+1,有一次是n→n/2。所以平 均起来,每次飞行高度的变化就是乘以3/2,于是……就会越飞越高。”

这样的启发式论证就推翻了原来的猜想!但是这个论证显然比较幼稚, 因为它没有考虑到,每一次奇变换后随即而来的一定是一次偶变换, 因为如果n是奇数的话,3n+1一定是偶数;而每一次偶变换后随即而 来的却不一定是一次奇变换。J. Lagarias改进了这个启发式论证。 他指出,如果我们把奇变换后再作偶变换考虑在一起,那么这样得到 的结果可以看作是真的“很随机”。于是有1/2的可能性它是奇数, 有1/4的可能性是一个奇数的2倍,有1/8的可能性是一个奇数的4倍, 等等。于是飞行高度的变化就是以下变换的“平均效应”; ——n乘以3/2,这有1/2的可能(奇变换后再作偶变换的结果为奇数); ——n乘以3/4,这有1/4的可能(奇变换后再作两次偶变换); ——n乘以3/8,这有1/8的可能(奇变换后再作三次偶变换); ………… 于是平均来讲,每次变换后高度的变化就是 c=(3/2)1/2(3/4)1/4(3/8)1/8(3/16)1/16……=3/4 所以高度在总体上来说应该是越来越低,每次大约低25%,最终降到 一个循环上(不过这个论证没有排除有除了4→2→1以外的其他循环)。 这个论证可以使我们使用论证中的模型来计算出,从一个自然数开始, 平均要多少步的这样的飞行(就是保持高度航程中奇变换的次数), 可以使飞行高度降到起始点以下。理论上的数值是3.49265……。

如 果我们对3到2000000000(二十亿)之间的航班的保持高度航程中奇 变换的次数取平均值,我们得到3.4926……。这两个结果惊人的一致 性使我们相信上面的启发性模型是正确的。如果它是正确的,那么就 意味着没有保持高度航程无限的航班,于是3x+1猜想就是正确的,至 少可以得出没有飞得越来越高的航班的结论。 可是一个启发性论证,就算再有实验证据来表明它是对的,也只不过 是个论证,只能使我们对猜想的正确性更充满信心。它不能代替真正 的数学证明。比如说,数学家猜想在π的十进位小数表示当中,出现 0到9各个数字的可能性是一样的,对π的数值计算也强烈支持这个猜 想,可是如果没有数学证明,它还是得被叫做一个猜想,而不是定理。 用上面这个启发式的概率模型,我们还可以预言,对于第n次航班,它 的最大飞行高度不会超过Kn2(对于某个常数K)。数值计算表明对于 K=8,这个公式是正确的(同样地,这可以让我们提出猜想,而不是证 明定理)。

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