【文摘】数学难题汇编(13)

1.用r种颜色对mxn的棋盘的格染色,使每个棋盘的格染且只染一种颜色,称为棋盘的r-染色。 在r-色棋盘中,若干同色格的中心间的连线构成的多边形称为r-色棋盘的同色多边形。
对给定的自然数k,哪些自然数n能使任何k-色nxn棋盘中都有同色矩形?
对给定的自然数k,把满足条件的最小的n记作R(k)。
已知R(1)=2,R(2)=5,R(3)=11,R(4)<=19,下一个问题是R(4)是多少?

2.已知实数: a+b+c+d=0 ,
证明:|a|+|b|+|c|+|d|>=|a+d|+|b+d|+|c+d|

3.组合数学,在帕斯卡三角形当中,不等于1的任何正整数,只能出现有限次,猜想上界为8.
已知有无限个数会出现2次,3次,4次和6次,但是,5次和7次的情况未知。

4.数论当中的猜想:
存在无数个素数,使得1/p的小数循环节位数等于p-1。

5.是否存在一个长方体,它的长、宽、高、每个面的对角线、主对角线的长度都是整数?

6.数列1,2,3,4,5,6,7,8,9,将其二染色,证明:一定存在1个3项的等差数列,它的三个数字同色。

7.在一个拍卖场中,一位奇葩的拍卖者打算拍卖1000元钱,规则是这样的:拍卖价从1元开始,每次最少加价1元,出价最高的人可以获得这1000元,然而与一般竞拍不同的是,除了出价最高者需要支付他的竞拍价之外,出价次高者(第二高的)也要付给拍卖者他的竞拍价。假设拍卖场中参与者足够多、智力一般,且相互直接不能串通,那么最后会发生什么事呢?

8.求证:
在任意简单有向图G(V,E)中,存在一个顶点v ,使得|N2(v)|≥2|N(v)| ,
其中N(v)={u∈V:(v,u)∈E} , N2(v)={u∈V:(v,u)∈E ∨ 存在w∈V,(v,w)∈E,(w,u)∈E}。
通俗得讲,就是在一个简单有向图中,必存在一个顶点,走至多两步能达到的顶点数量至少为走一步能达到的顶点数量的 2 倍。
注:简单有向图指任两点之间至多一条边。

9.对于非负整数a和b,定义函数:f(a,b) = [(a+b)^2 + 3a + b]/2
证明,这个函数将不同的非负整数对(a,b)映射成不同的非负整数,并且值域包括全部的非负整数。

10.If p is an odd prime and k=1 (mod p), then for any positive integer n the highest power of p dividing the finite geometric series:

            1 + k + k^2 + ... + k^(n-1)                       

is equal to the highest power of p dividing n.

10.对于一个奇素数p,如果满足k=1(mod p),则对于任意的正整数n,几何级数的和 1 + k + k^2 + … + k^(n-1) 的因数分解所包含的p的最高幂指数与n的因素分解所包含的p的最高幂指数相等。

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