【文摘】数学趣题汇编(13)

1.圆规作图问题:
已知距离为1的两个点,有下面四个问题:
问题1:仅使用圆规可以做出距离为任意有理数的两个点,也可以作出距离为sqr(m)的两个点 (其中m为任意自然数,sqr表示平方根)
问题2:已知距离为m的两个点和距离为n的两个点,仅使用圆规可以做出距离为m+n的两个点
问题3:已知距离为m的两个点和距离为n的两个点,仅使用圆规可以做出距离为m-n的两个点
问题4:若仅使用直尺和圆规可以做出距离为X的两个点,则仅使用圆规也可以作出距离为X的两个点

2.一个正整数,将它的个位,移到最左边,产生的新的自然数是原来的自然数的k (1<k<10)倍,求满足这一条件的最小自然数。【参考答案

3.在m×n矩形数表中,每行(或列)中各个数的和称为行和(列和)。
若所有行和(或列和)都相等,称为等行和(等列和)的。
若数表既是等行和的又是等列和的,则称为等和的。
m,n为何值时,由1,2,…,mn可构成一个m×n的等和数表?
已知m,n一奇一偶时,答案是否定的,m,n都是偶数时,答案是 肯定的。
m,n都是奇数时,这还是悬而未决的?

4.任给2n+1个无理数,
求证必可从中选出n+1个,使每两个选出数之和都是无理数。

5.在n维方体的顶点集中取多于2^(n+!)/n个点, 证明:中间必有等边三角形。

6.证明:如果一群人中任意两个人总是有且仅有一个共同的朋友(朋友关系是相互的),那么一定有一个人所有其他人的朋友。

7.有11大袋面粉,每大袋面粉里有10小袋面粉,正常情况下,每小袋面粉质量为100g,但这11大袋面粉中有一大袋面粉是次品,里面每小袋面粉质量只有90g。问:如何在只称重一次的情况下,找到是次品的那一大袋面粉?

8.有n名选手参加的循环赛,每对对手赛一局,没有人全胜,证明一定有三名选手甲、乙、丙,满足:甲胜乙,乙胜丙,丙胜甲。

9.有两个人参加一个猜帽子的游戏,已知一共有三顶帽子,一顶黑帽和两顶白帽,主持人分别给两位参与者戴上其中一顶帽子,然后猜自己帽子颜色,戴帽子时参与者都不知道自己帽子的颜色,但可以看到对方帽子的颜色。
主持人:“你们知道自己帽子是什么颜色的吗?”
参与者A:“不知道。”
参与者B:“刚才我不知道,现在我知道了。”
参与者A:“那么现在我也知道了。”
请问两位参与者各戴了什么颜色的帽子?

10.想办法,只用圆规,将一个给定的圆四等分。

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