【文摘】大学数学竞赛题汇编(11)

1.假设a使不小于2的自然数,并且T(n)表示正整数n的不同因子个数,包括1和n,如:T(1)=1,T(2)=2,T(3)=2,T(4)=3,……,
请证明:sum(T(n)/a^n)=sum(1/(a^n-1)),其中n=1->∞

2.顺次连接圆周上10个等距离点,则得到圆内接正10边形为P;如果顺次每隔3个点进行连接,则得到自交的等边10边形Q,证明:Q的边长与P的边长之差等于圆的半径。

3.将边长为正整数m,n的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形。 每个正方形的边均平行于矩形的相应边。
试求这些正方形边长之和的最小值?

4.设 f_n(x) (n=0,±1,±2,…) 在R上光滑, f_{n+1}=f_n的导函数 (n∈Z), 并且 |f_n(x)|≤C. (常数C与n,x都无关.)
证明: f_n ≡acos(x)+bsin(x).

5.边长为 n 的正方形,最多只能放入 2(n+1)个点, 使得其中任意三点构成的 三角形面积不小于 1/2。

6.棋盘上的组合数学, 称k个方格组成的L形图形为k-L形。

#
## 是3-L形
#
### 是4-L形
等等。
在什么情况下m*n棋盘存在k-L形的完全覆盖呢?

7.有三个在半径为r的圆上的整点,证明有两点的距离大于r的三次方根。

8.

9.设A0<A1<A2<···是一个无穷正整数列
求证:存在唯一的整数n≥1使得 A_n<(A0+A1+A2+···+A_n)/n<A_(n+1)

10.证明或否定:存在一个整系数多项式 P(x,y,z) ,满足对于任意给定的正整数n,存在x,y,z属于Z+,使得P(x,y,z)=n的充分必要条件是n不是一个完全平方数。

大学生数学竞赛题汇编
大学生数学竞赛题
高中数学联合竞赛试题
国际象棋中的趣题妙解
数学家俱乐部
数学趣题汇编
牛顿:在海边寻找贝壳的人
凯尔文:是上帝创造了生命,并且掌管一切
陆地动物能变成鲸吗
数学界的奇人妙事
趣味逻辑学问题

Conway: 游戏人生
有关孪生素数的一个有趣猜想
素数之恋-伯恩哈德·黎曼
等分布理论简介
数学家波利亚
物理学之神奇的数
鸟和青蛙
超级圆周率π运算器
数学难题汇编

此条目发表在数学分类目录,贴了, , , 标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论

电子邮件地址不会被公开。 必填项已用*标注