【文摘】大学数学竞赛题汇编(10)

1.对任意实数x,y都有 f(x)- f(y)<=(x-y)^2
求所有满足的f ?

2.这里有无穷多的阻值为一个单位的电阻,用这些电阻通过并联和串联得到为m/n的阻值其中n与m互质,求最少要用多少个阻值为一个单位的电阻 ?

3.给定整数a,b,c.定义集合 A={ax^2+bxy+cy^2: x,y,z为整数}.
假设: 1∈A.
证明: 若p∈A,q∈A,则pq∈A.

4.N*N的格子,放2N个子,其中N个白子N个黑子.使得每一行每一列(有且只有)一个白子和一个黑子.求有多少种放法.记为F(N) , 比如.N=2时 ,放法数记为F(2)=2 .

5.求所有的正整数n,使得n^4-4n^3+22n^2-36n+18是一个完全平方数。

6.已知在数a1,a2……an中,数1,1/2,1/3……1/n只出现一次,且在数b1,b2,……bn也只出现一次。此外还有a1+b1>=a2+b2>=…>=an+bn。
证明:ai+bi<=4/i

7.在nxn的方格中选取n个方格填入数字 1,2,…,n. 要求
(1)任何数字的左边不能有空格,上边也不能有空格.
(2)任一横行中的数字从左向右严格递增.
(3)任一直列中的数字从上向下严格递增.
记这样的填法总数为a(n). 求母函数 ∑_{n≥1} a(n)*x^n /n!?

8.令f(n)为满足下述条件得序列的数目:
1 <= a1 < a2 <…< a(n-1) < an <= n (即 ai != aj 如果 i != j).
证明: lim [f(n)]^(1/n) 存在。
n->+infinity

9.在围棋的棋盘中间摆放着2n个棋子,左边n个是黑色,右边n个是白色的,现要你来移动棋子,要求每次只能一块儿移动一对相邻的棋子,遇到不同颜色的棋子时不能互调。你能在移动n次后使2n个棋子以不同颜色交错排列吗?规定:在最终形成的排列中,不允许留有任何空距。 【参考答案

10.任何正数a1,a2,。。。an满足不等式
a1/(a2+a3)+a2/(a3+a4)。。。+an/(a1+a2)>=k*n/4
求k的最小值,并证明。


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