【文摘】数学难题汇编(12)

1.首先我们定义一个算术函数r(n),它定义为非负整数n表成两整数
平方和的表示方法的个数,然后设R(n)=(r(0)+r(1)+..+r(n))/n
求极限n趋于无穷时R(n)/n的值。

2.等宽曲线的问题
定义: 若图形对于所有的方向的宽度都一样,那么称图形为等宽曲线。
宽度: 给定一个方向,给出与该方向垂直的两直线(不在图形的一侧,开始不与图形相交),使他们移动直到与图形相交止,这时两直线的距离。问题: 把所有的等宽曲线(设宽度为1),都能覆盖的图形的最小面积是多少?

3.棱长为n的正方体被分成n^3个单位小方块,选取一些小方块并且经过他们的每一个的中心引三条平行于棱的直线。若规定将所引直线经过的小方块都去掉。问最少选取多少小方块就能使全部小方块被除掉?

4.△ABC中,AD,BE,CF是高,O为外心,延长OD,OE,OF分别到X,Y,Z,使得 ∠AXO=∠DAO,∠BYO=∠EBO , ∠CZO=∠FCO.
求证:AX,BY,CZ共点.

5.若一个椭圆与一个四边形的四边都相切,该椭圆称为这个四边形的内切椭圆.
若一个椭球与一个六面体的六面都相切,该椭球称为这个六面体的内切椭球.
(1) 正方形的内切椭圆的中心是否就是正方形的中心?
正方形的对角线是否就是内切椭圆的对称轴?
(2) 正方体的内切椭球的中心是否就是正方体的中心?
正方形的至少一条对角线是否就是内切椭球的对称轴?【参考答案

6.设n为正整数,集合A(1)、A(2)、……、A(n+1)是集合{1,2,……,n}的n+1个非空子集。证明:存在{1,2,……,n+1}的两个不交的非空子集{i(1),i(2),……,i(k)}和{j(1),j(2),……,j(m)},使得A(i(1))到A(i(k))的并集等于A(j(1))到A(j(m))的并集。

7.(1)设三角形ABC的内切圆为O(r),外接圆为O(R),在O(R)上任取一点A1,做两条与圆O(r)相切的弦A1B1,B1C1,
求证:弦A1C1也与圆O(r)相切。
(2)设圆O(r)位于圆O(R)内,并且圆O(R)上的点列 A1,A2,…,An,满足:线段A1A2,A2A3,…,AnA1都与圆O(r) 相切,对于圆O(R)上的另一点列B1,B2,…,Bn,如果线段 B1B2,B2B3,…,Bn-1Bn都与圆O(r)相切,
求证:线段BnB1同样与圆O(r)相切。

8. 给定正整数m,令f(m)是满足下面条件的最小的整数n:
任意n个整数,必存在这n个数的一个m元子集,使这个子集的元素和被m整除。
命题P(m):从任意2m-1个整数中可以选出m个数,使之和被m整除。
证明:f(m)=2m-1.【参考答案

9.一个立方体是否可以分割成n个小立方体,要求小立方体之间不重叠而且无缝隙?

10.在 n*n 的格点方阵中能否取出 2n 个点,使得其中无三点共线?

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