【文摘】数学趣题汇编(12)

1.凸四边形ABCD对角线交于P,对边分别交于M.N过P做PO垂直于MN,垂足是O
求证:<A0B=<COD

2.凸多边形的外角和为2Pi(分别以顶点为圆心,半径r=1,则所切下的外角通过平移刚好是单位圆) 那么试证凸多面体的外角和等与4Pi(分别以顶点为圆心,半径r=1,则所切下的外角通过平移刚好是单位球体,表面积为4*Pi )。

3.一个国际社团的成员共来自6个国家,一共有365人,分别用1,2,3,…,365来标号,
请证明:该社团至少有一个人的标号与他的两个同胞的标号之和相等,或是某一个同胞的标号的两倍。

4.等腰三角形ABC,三个角分别为 A=20, B=80, C=80 度.
AB边上一点D,角DCB=70度. AC边上一点E,角EBC=60度.
连接DE, 求: 角EDC=?

5.在一次体育课上,老师要求同学们排队,其中有一队由8人组成,右边4人是男生,左边4人是女生;现在对他们进行调位,若每次只能一块儿调动相邻两位同学,并且遇到不同性别时须两人互相调换位置。你能在调动五次后使八个人以不同性别交错排列吗?规定:在最终形成的排列中,不允许留有任何空距。

6.设O为锐角三角形ABC的外心,P为三角形AOB内部一点,P在三角形ABC的三边BC、CA、AB上的射影分别是D、E、F。求证:以FE、FD为邻边的平行四边形位于三角形ABC内。

7.什么样的有理数度数能用尺规作出?【参考答案

8.设有K(N)对自然数m,n满足:(m,n)=1,1<=m<=n<=N,并且令B(N)=(N-1)*N/2, 则有:
N->∞ lim K(N)/B(N)=6/π^2
参考答案

9.闭的简单平面曲线上一定存在四个点,它们是正方形的顶点。

10.求多项式(x+1)^n的展开式中有多少个奇系数?

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