【文摘】数学难题汇编(11)

1.请证明:
∞ 1 π
∑ ---------------- = ------
n=0 (4n+1)*(4n+3) 8

2.求证:在数列{1,2,3,…,(3^k+1)/2}当中可以选出2^k个数,使得2^k个数中任意三个数不成等差数列。

3.平面红蓝二染色,使得不存在两个距离为1的蓝点。
求证:
(1)对任何三角形,存在一个与之全等的并且顶点全红的三角形。
(2)对任何四边形,证明上述命题。
(3)对五边形呢?

4.We are given the set of n+1 points A1, A2, A3,…,An,P all lying in a
plane. Also given that given any Ai, Aj, there exists an Ak (0<k<=n)
such that P lies inside triangle Ai Aj Ak. Show that n is odd.

5.平面内,给定n+1个点 A1, A2, A3,…,An,P ,满足:对于任意的 Ai, Aj ,都存在Ak,使得P在三角形Ai,Aj,Ak当中,请证明:n是一个奇数。

6.求证:
n
abs( ∑ (-1)^(n-i)C(n,i)C(n,i)t^i(1-t)^(n-i) )<=1 ,当0<t<1时
i=0
其中abs()表示绝对值, C(n,i)表示从n个元素中取i个的组合数

7.对任意 n 个数 a1, a2, ….an. 若其中最大的一个小于所有其它数的和,(1)求证:以这些数为边长一定可以构成共圆的 n 边形; (2)并求出有多少个这样的共圆 n 边形。

8.N个点的简单连通图,每个点的度数不超过M(M>=3),当N足够大时,试估计其半径R。

9.数列{Xn},X1>0,Xn+2=2/(Xn+Xn+1) , 求证:Xn收敛于1 。

10.Given a real number a and a sequence 2^a, 3^a, 4^a, … such that all the
entries of the sequence are integers, prove that a is a non-negative
integer.

10.给定一个实数a,数列2^a,3^a,4^a,…都是整数,请证明:a是一个非负整数。
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