【文摘】大学生数学竞赛题汇编(9)

1.m个集合是{1,2,……,n}的不同子集,如果其中任意的4个子集的并集的元素个数不超过n-2,那么m<=2^(n-2);

2.Fibonaci 数列:
1,1,2,3,5,8,13,… …
请问: 这个数列的前100000001项中是否有一个末4位全是0的数?

3.f(x)二阶可微,f(x)+f'(x)>0。证明:f(x)至多只有一个零点。

4.n为自然数,f(x)在[0,n]上为连续函数,且f(0)=f(n).试证明至少存在
n对不同的u,v∈ [0,n] ,使得f(u)=f(v),且v-u为整数.

5.已知,n->∞lim x(n)-x(n-2)=0, 求证:n->∞lim(x(n)-x(n-1))/n=0

6.正整数数列[An],n从1到∞,包含每个正整数恰好一次,并且对任意互不相同的正整数m和n有1/1998<|(An-Am)/(n-m)|<1998,求证:对任意n有An-n的绝对值<2000000成立。

7.证明:对于一固定球的任意内接四面体,当为正四面体时有最大内切球。

8.a,b,c>0;a+b+c=6;
证明:
1 1 1 125
( a + --- )( b + --- )( c + ---) >= --- .
a b c 8
推广问题:
1.已知x1,x2,…,xn>0,x1+x2+…+xn=A<n(n>=2).
请证明
1 1 1 n A n
(x1+--)(x2+--)…(xn+--)>=(---- + ----)
x1 x2 xn A n
2.已知x1,x2,…,xn>0,x1+x2+…+xn=A>n.(n>=2).
求:
1 1 1
(x1+--)(x2+--)…(xn+--) 的最小值。
x1 x2 xn

9.在半径为r的球内(此球为n维球)有一束平行光线,可以在球内反射,
如果可以使得球面上的每一个点都被照到,求这束光线测度的最小值。
参考答案

10.Let O(n) be the number of odd digits in the base 10
expansion of 2^n . Evaluate: Sigma(k从1到无穷){O(k)/2^k}

10.对于2^n的十进制表示,其中数字是奇数的个数用函数O(n)表示,
对 Sigma(k从1到无穷){O(k)/2^k} 求值?【参考答案



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