【文摘】数学难题汇编(10)

1.调和级数1+1/2+1/3+1/4+…+1/n+…是发散的,据说从中去掉所有含有数字9的项之后的级数是收敛的,且和不超过91。如何证明?

2.令n为一个大于1的正奇数,K1,K2,….Kn为给定的n个整数。令A={a1,a2,….an}是{1,2,.. .n}的一个排列。 S(A)=sum(Ki*ai) (i=1,2,…n)
证明:存在两个不同排列B,C使S(B)-S(C)可以被n!整除。

3.从任意一个正整数n开始,递增的(包括相等)找到一个最小的n-1的倍数,
然后再递增的找到一个最小的n-2的倍数,等等,一直到递增的找到一个最
小的1的倍数。设最后的结果为f(n),则有
lim n^2/f(n)=pi (3.14159…)
n->∞
例如:n=10
第一步:不小于10的10-1=9的倍数最小为18;
第二步:不小于18的10-2=8的倍数最小为24;
第三步:不小于24的10-3=7的倍数最小为28;
第四步:不小于28的10-4=6的倍数最小为30;
第五步:不小于30的10-5=5的倍数最小为30;
第六步:不小于30的10-6=4的倍数最小为32;
第七步:不小于32的10-7=3的倍数最小为33;
第八步:不小于33的10-8=2的倍数最小为34;
第九步:不小于34的10-9=1的倍数最小为34;
参考答案

4.求证:对于任意的正数序列a1,a2,a3… 成立不等式
 ∑(a1a2…an)^(1/n)≤e∑an ,其中n 从1到 ∞

5.如果 p, 8p^2+1 都是素数, 求证:8p^2-1 也是素数

6.设欧氏空间中的椭球S在另一个椭球T中. 将S的长,中,短轴分别记为a≥b≥c, 而T的长,中,短轴分别记为u≥v≥w.
求证: u≥a, v≥b, w≥c.

7.往一个n*n的方格中填整数,满足任意相邻(水平和垂直两个方向)的两个方格
中填的数之差的绝对值为1。求证:一定有某个整数在方格中至少出现n次。

8.面积为S的一个正方形,最多能覆盖住平面当中的几个格点?

9.{1,2,……,n}的n+1个子集,满足每个集合都是奇数个元素的,证明其中存在两个集合,其交集是奇数个元素的集合。

10.在平面上有可列个圆,平面上的任意条直线都至少跟其中一个圆相交或相切, 求证:对任意N都存在一条直线,至少跟N个圆相交。

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