【文摘】数学趣题汇编(11)

1.在天平的两个称盘中各放有k个砝码,且均用1至k编号.而且左边的称盘较重.如果
交换任意两个具有同样号码的砝码,则总是右方的称盘变重,或者两边平衡.试问,
对于怎样的k值,这才有可能?

2.X为三角形ABC内一点,证明XAB,XBC,XCA中至少一个角小于等于30度。

3.Trivially, if N = 1, 10, 100, …, then in each case the initial digits of N^3 are the digits of N. A nontrivial example is N = 32, since 32^3 = 32768. Find another positive integer N with this property.

3.自然数32有一个有趣的性质,32^3 = 32768,即它的立方的前两位还等于32, 显然,10的方幂(1,10,100,…)都具有此性质,那么除了这些平凡的例子, 还有哪些自然数具有这样的性质呢?

4.一道平面几何题,不得用三角函数. 已知正方形ABCD中有一点E,角<EAB =<EBA = 15度,
求证:三角形CDE 为等边三角形。
A --------------- B
| |
| .E |
| |
| |
| |
D --------------- C

5.任意 ▲ABC 中,在 BC、CA、AB边上分别取点D、E、F(任意)。A’、B’、C’为 ▲AFE、▲BDF、▲CDE 的外心。
求证:▲ABC 相似于 ▲A’B’C’

6.Draw all of the diagonals in a convex n-sided polygon. Assuming that no three diagonals pass through the same point, what is the total number of triangles that are formed?

6.在n边形的全部顶点间连线,假设没有三线共点的情况,那么,一共可以形成多少个三角形?

7.对于任意正实数数列a(1),a(2),…,a(n),… ,
请证明: sup{lim((1+a(n+1))/a(n))^n}≥e 其中 n->∞

8.一个多边形,除一个内角外,其余角的度数之和为2570,求这个内角的度数。

9.已知f(x)连续,满足 f(x)+f(2x)+f(3x)≡0 , 求证:f(x)≡0

10.给出平面上不在一条直线上的八个互异点,四个在上半平面,四个在下半平面。 能否说明一定可以找到一条直线恰过其中两点,一点在上半平面,一点在下半平面?

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