【文摘】大学生数学竞赛题汇编(8)

1.Suppose f is a continuous function such that f(1000)=999 and f(x) · f(f(x)) = 1 for all real x. What is f(891)?

1.假设连续函数 f 对于全部实数满足:f(1000)=999 并且 f(x) · f(f(x)) = 1
求: f(891)?

2.已知正n-棱锥的侧面与底面所成的二面角为a,侧棱与底面所成角为b。
证明:sin^2 a -sin^2 b<= tan^2(pi/2n).

3.对于8*8的正方形网格
如何用最少的┕ (表示共3个正方形方格) 覆盖,使得剩下的正方形方格不能被 ┗ 覆盖?

4.边长为3的正立方体被分割成27个单位立方体,将1,2,3,…,27这27个数放入单位立方体中, 每个立方体一个数,我们可以得到27个行和.(在同一行或列的3个数之和),
问:这27个行和中,至多有多少个奇数?

5.对于n*n的每一个方格,都有一个n元的允许颜色集,要求证明对于每一个方格都可以从其允许颜色集中选出一种颜色,使得对于任何同行或者同列的两个方格都不是同一种颜色。【参考答案

6.n≥3,有限. 假设两个n阶实对称矩阵A,B满足
{x∈R^n: (Ax,x)=(Bx,x)=0} ={0}.
求证: 存在实数a,b使aA+bB成为正定矩阵.

7.已知f(f(x))=2x*x+1,问这样的f(x)存不存在?请证明.【参考答案

8.给定m个数列:X1(n),…Xm(n),n=1,2,3,……
给定两组正常数A1,…,Am和B1,…,Bm.
满足:Bi>A1+…+Am-Ai, i=1,…,m.
这m个数列的递推关系如下:
1)初值任意给定;
2)选定j, 使得Xj(n-1)为X1(n-1),…Xm(n-1)中取值最大,
于是有Xj(n)=Xj(n-1)-Bj, Xi(n)=Xi(n-1)+Ai, i<>j, i=1,…,m
求证:所有m个数列均趋向负无穷。

9.定义函数:F:[0,1]->[0,1], 满足
(1).当x ≤ y时,有F(x) ≤ F(y).
(2).F(x/3) = F(x)/2.
(3).F(x) + F(1 – x) = 1.
试求:F(1/13) 和F(Sqrt[1/2]) 的值?

10.n is an integer, If n is a sum of two squares of rational numbers.
Prove that n is the sum of two squares of integers.

10.对于整数n,如果n等于两个有理数的平方和,证明:n也是两个整数的平方和。

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