【文摘】数学难题汇编(9)

1.The numbers 1,2,3,…,n^2 are arbitarily filled on an nxn chessboad.
Show that there exist two neighbours whose difference is >=n.

1.将 1,2,3,…,n^2 分别放到n*n的棋盘格子当中,
证明:肯定有两个相邻的格子里面的数差值不小于n。

2.已知:0<=a,b,c<=1,
求证:a/(b+c+1)+b/(a+c+1)+c/(a+b+1)+(1-a)(1-b)(1-c)>=7/8.

3.f(x)=p+∑a(i)x^i 属于F[x](1<=i<=n), 其中∑|a(i)|<=p-1
求证:f(x)在Q[x]上是不可约多项式

4.在圆周上标出个n刻度,使任何两个点之间的弧长(两条)为整数,所有的任意两点间的弧长的集合包括整数1,2……f(n),其中f(n)为圆周长.
问题:f(n)的最大值是否为n^2-n+1?

5.设长方体的长、宽、高为a、b、c,面对角线为x、y、z,体对角线为t.
请问是否存在这样的长方体:
(1)a、b、c、t都是整数;
(2)a、b、c、t以及x、y、z三者之一都是整数 ;
(3)a、b、c、x、y、z都是整数;
(4)a、b、c、t、x、y、z都是整数。

6.如果一个自然数N满足 N-1 为一个完全平方数,并且 N+1 为一个完全立方数,那么称N为最优数,求所有这样的最优数。

7.(1)对于平面上的任意n个点,如果有一个不自交的n边形使得其顶点为恰巧为此n个点,应该满足什么条件?
(2)如果有一个凸n边形使得其顶点为恰巧为此n个点,应该满足什么条件?

8.证明:n个整数的两两的差的乘积被2^(n-2)*3^(n-3)*..*(n-1)整除。

9.证明:对6×6的方格盘, 用1×2的长方形无论怎么覆盖,都可以找到一条直线将方格纸分成两个部分, 而不破坏任何一个长方形。

10.在正n边形的顶点上涂上一些颜色(一个顶点涂一种颜色),使得:涂有同一
种颜色的点恰好是正多边形的顶点。
证明:在所有的这些多边形中一定有两个是全等的。

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